定积分应用方法总结(经典题型归纳)
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关于定积分的应用这一部分内容，考研数学大纲要求掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。在定积分的应用中，经常采用所谓元素法。经常用到的关于定积分应用的计算公式如下：
（一）平面图形面积
（二）平面曲线的弧长
（三）旋转体体积
（四）旋转曲面面积
题型一：求平面图形的积
例1.
分析：该心形线所围成图形为心状，根据求曲边扇形面积计算公式可得
解：
题型二：求平面曲线的弧长
例2：
解：
题型三：求旋转体的体积
例3.
解：
总结：对于定积分的应用需要熟练掌握在各种情形下计算公式，然后直接套用公式计算得到结果。
积分与定积分应用总结
积分与定积分应用总结在数学中，积分是一种基本概念，常用于求解曲线下的面积、求解变量间的相关关系等问题。
而定积分则是积分的一种特殊形式，用于求解曲线下的面积或者曲线的长度等特定问题。
以下是对积分与定积分应用的总结。
一、求解曲线下的面积积分与定积分最常见的应用之一是求解曲线下的面积。
当我们需要计算曲线所围成的图形的面积时，可以通过进行积分或定积分来实现。
例如，给定函数f(x)在区间[a, b]上的连续曲线，我们想要求解曲线与x轴之间的面积。
首先，我们需要确定曲线与x轴的交点，即求解方程f(x) = 0的解。
然后，我们可以将曲线所围成的图形划分为无数个微小的矩形，并计算这些微小矩形的面积之和。
最后，通过对这些微小矩形面积的积分或定积分，即可得到曲线下的总面积。
二、求解变量间的相关关系积分与定积分还可用于求解变量间的相关关系。
当我们已知两个变量之间的变化规律时，可以通过积分或定积分来获取它们之间的具体关系。
例如，假设我们知道一个物体在某一时间段内的速度变化规律，我们可以通过对速度函数进行积分或定积分，从而得到物体在这一时间段内的位移变化规律。
同样地，如果我们已知一个物体在某一时间段内的加速度变化规律，可以通过对加速度函数进行积分或定积分，得到物体在该时间段内速度的变化规律。
三、求解曲线的长度除了求解曲线下的面积外，定积分还可以用于求解曲线的长度。
当我们需要计算曲线的长度时，可以通过定积分来实现。
例如，给定曲线的参数方程x = x(t)和y = y(t)，我们可以使用勾股定理计算无穷小线段的长度Δs = √(Δx² + Δy²)。
然后，将这些无穷小线段的长度之和进行积分，即可得到整条曲线的长度。
在实际应用中，积分与定积分还有许多其他的应用，如概率统计、微分方程的求解等。
无论是求解曲线下的面积，还是求解变量间的相关关系，积分与定积分都是重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
总结起来，积分与定积分的应用十分广泛，涉及面积计算、相关关系求解以及曲线长度等问题。
定积分应用总结
一、主要内容
二、典型例题
一、主要内容
微 元 法 的所 特求 点量
解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
1、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
x
( t )
其中 ( t ), ( t ) 在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 2 ( t ) ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( ) 弧长 s
2
( )
2 r ( ) r ( )d
(4) 旋转体的侧面积
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积 A ( t ) ( t )dt t
1
t2
极坐标情形
r ( )
d
r 1 ( )
d
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
o
a
x x dx
b
x
V a A( x )dx
b
(3) 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
弧长 s a 1 y dx
2 b
y
dy
定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
1.7定积分的几何应用
2
2
围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组 x 0 x 1 y x 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
y xx
2
B
2
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲 边 梯 形 OABC - S曲 边 梯 形 OABD
B(1，－ 1)． ∴围成图形 (阴影部分 )面积为
S＝
-2
1
(－ x2－ x＋ 2)dx 9 ＝ . 2
1 3 1 2 ＝ (－ x － x ＋ 2x) 3 2
9 答案： (1) 2
例 2 计算由曲线 y 围成的图形的面积.
2x
，直线 y
x 4 以及
y 2x
x 轴所
解:
两曲线的交点
2
|0 8
8
X型求解法
40 3
x 1 2 y
2
16 2 8
1 2
3
2
[( 4 y )
y ]d y
4
(4 y
44
1 2 1
2
y
2
2
1 6
x 4 y
y ) |0
1 6
3
4
4
40 3
Y型求解法
练习 1（例 2 变式题） ： 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围成的图形的面积
2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝ 1－ x2，∴ S＝ 1 3 1 1 4 1 2 ＝ (1－ )－(－ 1＋ )＝ . -1 (1－ x )dx＝ (x－3x ) 3 3 3
积分知识点各种题型归纳方法总结
积分知识点各种题型归纳方法总结一、定积分题型归纳方法1. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。
3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。
4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。
5. 换元积分法：对于特定的被积函数，可以通过合适的换元变量进行换元，使得积分变得更加简单。
二、定积分题型求解步骤1. 确定积分上下限：根据题目给出的条件，确定定积分的上下限。
2. 分析被积函数：仔细分析被积函数的形式和性质，确定可能适用的积分方法。
3. 选择合适的方法：根据被积函数的特点，选择适用的积分方法进行求解。
4. 进行换元或分解：如果需要进行换元或分解，根据题目要求进行相应的代换或分解。
5. 积分求解：根据选择的方法进行积分计算，注意求解过程中的每一步骤，避免计算错误。
6. 确定常数：如果题目中有未知常数，根据给出的条件确定常数的值。
7. 检查结果：对得到的积分结果进行检查，是否符合物理意义或题目要求。
三、不定积分题型归纳方法1. 函数求导法：对于某些函数，可以通过求导反过来求不定积分。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。
3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。
4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。
5. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。
以上是积分知识点各种题型归纳方法的总结，希望能对您的学习和应用有所帮助！。
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定积分复习重点
定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质
1212(1)()()().
(2)[()()]()().
(3)()()()().
b b
a
a
b b
b a
a
a
b c b
a
a
c
kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b
2．微积分基本定理
如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'
()()F x f x =，那么
()()()
b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法
（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.
例如：
2
30
(1-2sin
)2d π
θ
θ⎰注：3
2
2
()3x x '=，(-cos )sin x x '=
②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的
基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）
1．计算积分⎰---3
22|32|dx x x
解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为
⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.
31,)32(,
12,32|32|2
2
2x x x x x x x x 所以
⎰
---3
2
2|32|dx x x 13)32()32(3
1
212
2=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .
（2）利用定积分的几何意义求定积分
如定积分
1
20
14x dx π
-=
⎰
，其几何意义就是单位圆面积的1
4。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性
a. 若()f x 为奇函数，则()0
a
a f x dx -=⎰；
b. 若()f x 为偶函数，则0()()a a
a f x dx f x dx
-=⎰⎰2；其中0a >。
例题：1.2
352
2(+5x )0
x dx -=⎰（同步训练P32 第3题）
2.
a
a
a
(cos -5sin 2)(cos -5sin )24a
a
a
x x x dx x x x dx dx a
---+=+=⎰
⎰⎰
3) (2007枣庄模拟)已知f(x)为偶函数，且60
()8
f x dx =⎰
，则6
6
()f x dx
-⎰
等于（ B ）
Ａ.０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ.16 （同步训练P30 第6题）
4．利用定积分求曲边多边形的面积
在直角坐标系中，要结合具体图形来定：
方法总结：求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1)画出图形，（2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；
(1)();
(2)()();
(3)()()()();
(4)[()()]b
a
b
b
a
a c
b
c
b
a
c
a
c
b
a
S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx
==
=-=+=-=-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求面积．
5.定积分在物理中的应用 （1）变速直线运动问题
如果作变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是()()()0v v t v t =>，那么物体从时刻()t a t b a b ==<到所经过的路程为：
()b
a s v t dt =⎰
（2）变力做功问题
()b
a
W F x dx =⎰
巩固练习：
1．由直线x y e x y 2,,0===及曲线x
y 2
=
所围成的封闭的图形的面积为( ) A.2ln 23+ B.3 C.322
-e D.e 2．由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积
是 .
3．在平面直角坐标系xOy 中，由直线0,1,0x x y ===与曲线x y e =围成的封闭图形的面积
是 . 4．曲线0,,2y y x y x ==
=-所围成的封闭图形的面积为 ．
5．由直线x ＝－3π，x ＝3
π
，y ＝0与曲线y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为 ．
6．曲线1xy =与直线y x =和3y =所围成的平面图形的面积为_________. 7．
2
20
4x dx -=⎰
.
8．曲线2
y ＝x 与y ＝2x 围成的图形的面积为______________．
巩固练习答案：
1．B
1
21010
1
22|2ln |123e
e
xdx dx x x x
+=+=+=⎰
⎰
，故选B. 2．222-
故4
400
222
(cos sin )2(sin cos )|2(
1)22222S x x dx x x ππ
=-=⋅+=⋅+-=-⎰
3．1e -
4．
103
4
4
332
44
220
22
02210
(2)(2)423233x S xdx x dx x x =--=--=⨯-=⎰
⎰.
5．3
6．4ln3-
则所求区域面积为()1
31131334ln 3S dx x dx x ⎛
⎫=-+-=- ⎪⎝
⎭⎰⎰
7．π根据积分的几何意义，由图可得
⎰
=-2
24π
dx x ，故填π.
3,3()
13,3()
1,1()
O
y
x
y=3
y=
1x
y=x。