习题课 二重积分的计算
二重积分的习题课(无解题过程)
Dk
试比较I1, I2 , I3之大小。
y
2 D1 D2 1 D3
o
x
12
例2 设f (x, y)是有界闭域D : x2 y2 a2上的
连续函数,
试求极限
lim
a0
1
a
2
D
f (x, y)dxdy。
例3 把 f (x, y)d表为极坐标下的二次积分, D
2
D1
f
( x,
y)d ,
当f ( x, y) f ( x, y)时 当f ( x, y) f ( x, y)时
其中D1是D的右半区域 （奇零偶倍）
8
2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,
如D的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从几何 意义去确定D的极坐标表示（图
形是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。
r 2( )
D
O
r 1( )
r x2( ) D
O
r 1( )
x
r ( )
oD
x
6
(3)坐标系的选取
D
D
1 [ f ( x, y) f ( y, x)]d
2D
（轮换对称）
（四）有关二重积分的一些证明题
中值定理、变上限积分、换元等
11
例1 设D1是以(0,1)为中心,边长为2的正方形,
D2, D3分别为D1的内切圆和外接圆 f ( x, y) (2 y x2 y2 )e x2 y2
习题课10--二重积分部分
9计算二重积分 ,其中
10计算二重积分 ，其中D是由直线 ， ， 以及曲线
所围成的平面区域。
11设函数 在区间 上连续，并设 ，
求 。
解法1：化为二重积分，然后利用二重积分的性质。
如图， ： ， ： 。
∵ ，
∴
。
解法2：更换二次积分顺序
∵
∴
。
解法3：利用定积分换元法。
。
解法3：利用分部积分
，
得所求二重积分的方程，解之得 。
宁波工程学院高等数学AI教案
习题课10--重积分
1选择填空
（1） ，其中 的大小
关系为:（ ）
(A) (B) (C) (D)无法判断
（2） ，且 在 上连续.
(A) (B) (C) (D)
（3） 区域 ,按Y型区域应为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（4） 已知
，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
12设 连续，且 ，其中D是由 ， ，
所围成区域，则 等于（C）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
解：设 （常数）。在D上对 两边积分得：
，解得 ，
故 。
（5）设 连续,且 ,其中D由 所围成,则
(A) (B) (C) (D)
2 填空
（1） 在Y型区域下的二次积分为
（2） 将 转换为极坐标形式下的二次积分
（3） 所围成，且 连续。
（4）
（5） 。
解： 。
（6） 。
解：
。
（7） 。
解：该积分不是二重积分的二次积分。
。
（8） 在极坐标系下的二次积分
为 。
（二）、客观题
1设 在 上连续,证明： .
多元微积分第7次习题课(二重积分概念、性质、计算)答案(2015)
I = ∫∫ (1 −
D
x2 y2 − )dxdy 9 4
就会达到最大值，所以积分域应取为
D = {( x, y ) x2 y2 + 9 4
≤1} ． （二重积分与累此积分的关系）设函数 f ( x, y) 连续，交换下列累次积分的积分次序： 2． （1） ∫ dx∫ f ( x, y)dy ； （2） ∫ dx∫ f ( x, y)dy + ∫ dx∫ f ( x, y)dy ；
多元微积分第 7 次习题课
多元微积分第 7 次习题课 参考答案
1
1/9
． （比较定理，区域可加性）确定积分区域 D ，使得二重积分 I = ∫∫ (1 − x9 − y4 )dxdy 达到
2 2 D
最大值． 解：根据重积分的比较定理和积分区域的可加性性质，只要积分域 D 包含了使得被积函数 x y x y f ( x, y ) = 1 − − ≥ 0 的所有点，而没有包含 f ( x, y ) = 1 − − < 0 的点，那么二重积分 9 4 9 4
=
6 8 2 3 4 x dx + ∫ (8x 2 − x3 )dx ∫ 2 3 0 3
=
2 4 x 3
1
π
0
3 0
（4） ∫
(1, 0)
π 2 π − 2
dθ ∫
2 cos θ
0
f (r cos θ , r sin θ ) rdr
对应的积分域 D 是一个圆心在
ห้องสมุดไป่ตู้
D
1
，半径为1 的圆（如图） ，所以
2 cos θ 0
∫
dθ ∫
f (r cos θ , r sin θ ) rdr
高数二重积分习题加答案
高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
重积分习题课
重积分习题课1．计算σd yx D ⎰⎰22，其中D 由x y =，x y 1=，2=y 围成。
2．计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)(，其中D 由x y22=，4=+y x ，12=+y x 所围成。
3．计算[]dxdy y x yf x I D⎰⎰++=)(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
4.计算dxdy xye x I Dy x⎰⎰++=)(222，其中：（1）D 为圆域122≤+y x ；（2）D 由直线x y =，1-=y ，1=x 围成。
5．计算二重积分：（1）dxdy x y I D⎰⎰-=||2，其中D ：11≤≤-x ，10≤≤y 。
（2）dxdy xy y x I D⎰⎰+-+=)22(22，D 为圆域122≤+y x 在第一象限的部分。
6．交换积分次序：⎰⎰=xdy y x f dx I sin 020),(π。
7．计算dxdy y x I D⎰⎰+=22，其中D 是由心脏线)cos 1(θ+=a r 和圆a r =所围的区域（取圆的外部）。
8.在极坐标系下计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(，其中D 是曲线y x y x +=+22围成区域。
9．在极坐标系下把二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化为两种不同次序的累次积分，其中区域D 由222R y x Rx ≤+≤所确定，),(y x f 在D 上连续。
10．计算dxdy yx yx I D⎰⎰+-=)cos(，其中D 是由1=+y x ，0=x 及0=y 所围成。
11．将积分dz z y x f dx dy y x y y yy ⎰⎰⎰+---++)(3022212222)(化成柱坐标和球坐标下的累次积分。
12.计算⎰⎰⎰Ω++=dxdydz y x xy x I )sin 5(2222，其中Ω由)(2122y x z +=，1=z ，4=z 围成。
13.计算⎰⎰⎰Ω-++=dxdydz z y x I |1|222，其中Ω由2223z y x =+，1=z 围成。
二重积分的计算习题课
d y d x
0 x y 1 x
e x y d y
d x e x 1 1
)dx (e
1 0
(e e
D D1
2 x 1
x y x y 问： e d 4 e d ？
1 e )d x e . e
1
3
0
2 d
2 0
3!! 3 4 a 4a cos d 4a 4!! 2 4
4 4
4
4
P155:13(1)(3)
(1) dx
0 2a 2 ax x 2 0
把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值.
2 2
( x y )d y
(3) dx 2 ( x 2 y 2 ) d y
• 确定积分序
积分域分块要少.
累次积分好算为妙(首先内积分易积). “平行线穿越法” “射线穿越法”
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等)
2
P154:2(3)
x y e d , 其中D ( x , y ) x y 1 D
.
1
0 x 1 解: X-型 D1： x 1 y 1 x
V 2 x y d x y d
2 2
D
2
2
D
D
o x
y
d
0
2
1
0
2 2 ρd d ρd
0 0
2
1
y
x2 y2 1
1
o D
x
9
P155:10
计算曲面z x 2 2 y 2及z 6 2 x 2 y 2所围成的立体的体积.
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( x, y) 1 2. J . ( u, v ) ( u, v ) ( x, y)
二、例题分析
2 2 2 2 ( x y ) d 例1 计算 D : 2x x y 4 x D
解
积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 要使 2 x x 2 , 4 x 2 都有意义 必须限制 x [0,2]
v
D
1 f ( x y )dxdy f ( u)dudv 2 D
0 A u A A u
u
1 1 f ( u)du dv f ( u)du dv 2 A 20 A u u A
1 f ( u)( A u)du f ( u)( A u)du 2 A 0
2 2 xyf ( x y )d 0 D
0
D D
D2
xd xd xdx dy D D
1
x
3
D1
1
x
3
2 5
2 I 5
例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续
求
dx f ( x ) f ( y )dy 0 x
1
1
f ( x )dx A 0
③若D关于原点对称
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
D3
④若 D 关于直线
y=x
对称
f ( x , y )dxdy f ( y , x )dxdy D D
——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质
①、②、③简单地说就是
奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关 于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两 倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的 性质
①若D关于 x 轴对称
D
(1)当f ( x , y ) f ( x , y )时 I 0
(2)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D2 ( x , y ) D, y 0
D2
②若D关于 y
轴对称
(1)当f ( x, y ) f ( x , y )时 I 0
dx f ( t )dt dt A A
2 x 2
A 2
x
A 2
0
t
A 2
A
A 2
f ( t )dx dt
0
A
t
Af (t )dx
2
A 2
x
f ( t )[ A t ]dt f ( t )[ A t ]dt A 0
一、主要内容
二重积分的计算方法是累次积分法，化二重 积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限
1。关于坐标系的选择
这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑
积分区域为圆形、扇形、圆环形 被积函数呈
y f ( x y ), f ( ) x
—内上限
, r1 ( ) r r2 ( ) ⑵极点在D的边界上 , r1 ( ) r r2 ( )
⑴极点在D的外部
, 是边界在极点处的切线的极角 r1 ( ) 绝大多数情况下为0 ⑶极点在D的内部 0 2 ,0 r r ( )
x v 0 y v
f ( x , y )dxdy f [ x( u, v ), y( u, v )] J ( u, v )dudv D D
1
注意
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1 rf ( r )dr 4 rf ( r ) arccos dr r 0 1
2
2
注
依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数
f ( x 2 y 2 ) 化为一元函数 自然想到用极坐标
其次，若先对 r 后对 不可进一步化为定积分
又想到换序
例8 设 f(x) 连续，证明
A
D
简述为“你对称，我奇偶”
5 关于二重积分的换元法
f(x,y)在D上连续 变换T： x=x(u,v),y=y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域D1 变成 xoy 平面的闭区域D
（1） x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数 （2）在D1上
x ( x , y ) u J ( u, v ) ( u , v ) y u
4 4
3 4
（和差化积）
4 4 sin tdt 2 30
D
(令t ) 4
例5 计算 x[1 yf ( x 2 y 2 )]d D : y x 3 , y 1, x 1
解 2 2 I xd xyf ( x y )d
I f ( x 2 y 2 )d
D
D: y x 1
化成定积分 解 由积分域和被积函数的对称性 有
I 4 f ( x y )d
2 2 D1
D1 : 0 x 1,0 y x
用极坐标
0
4
4
,0 r sec
sec
I d
化累次积分后 外限是常数
内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘
r
4。关于对称性
利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的， 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不 过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面，不可误用
对 I f ( x , y )dxdy
2 2
常用极坐标
其它以直角坐标为宜
2。关于积分次序的选择
选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简
3。关于积分限的确定 二重积分的面积元 d dxdy (d rdrd ) 为正
确定积分限时一定要保证下限小于上限
定限
看图定限 —穿越法定限 和不等式定限
先选序，后定限
①直角坐标系 ⅰ。先 y 后 x ， 过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线
0 A
f ( u)[ A | u |]du f ( u)[ A | u |]du A 0 f ( u)[ A | u |]du A
A A 2 A 2
0Байду номын сангаас
A
证二
f ( x y )dxdy dx f ( x y )dy A A D
2 2
y
I d
1 2 (16 16 cos 4 )d 40
3 1 5 4( ) 2 4 2 2 4
例2 计算
解 故
(x D
2
2 x 3 y 2)d D : x y a
2 2
2
D关于 x , y 轴及原点及 y = x
( 2 x 3 y )d 0 D
x
x
1
1
0 0
1
1
y
0
0
1
D
dx f ( x ) f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
0 0 0 0
1
1
1
1
A [ f ( x )dx] A I 2 0 例7 设f ( x )在( , )上连续 试将二重积分
2 2
1
2
0
D
D2
2
2
0
[sin sin x ]dx [cos x sin ]dx 2 2 0 0 2
2
2
x
D2
D1
sin( x y ) dxdy 2 D : 0 x ,0 y D
x y 2
例4 计算
1 1 1 2 2 解 D的边界 ( x ) ( y ) 2 2 2
极点在D的边界上 圆周在(0, 0)的切线斜率为 y 1 故 , 3 4 4 3
I
( x y )dxdy, D : x D
2
y x y
2
r dr (cos sin )d 0
4 3 4
4
cos sin 2
1 4 4 4 (cos sin ) d sin ( )d 3 3 4
这射线和两个半圆相交
从
r 2 cos
穿入
从
r 2 穿出
尽管极点在D的边界上 但极角为 ( [0, ]) 2 的射线并不是从极点穿入
而不是
域D的极坐标表示为 0 ,2 cos r 2 2
0 ,0 r 2 2
2 0 2 cos 2 r rdr 2
0
为将二次积分化为所需要的定积分， 须变换积分次序
0 f (r )rdr
4
D1 D
I 4 dr rf ( r )d 4 dr
0 0 1
1 2
1
2
arccos
( r )d rf 1
r
4
1 rf ( r )dr ( 4 arccos )rf ( r )dr r 0 1
因此D只能在x=0 ， x=2 之间 确定了积分区域后，再看被积函数结合积 分区域的特点，化成极坐标计算较为简单
显然 r 呢？ 0 2 极点在D的边界上，所以 0 r 2 那就错了 积分限如何确定 不能以为极点O在区域的边界上