傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换

二维离散傅里叶、余弦、小波变换专业班级：10 信息安全学生姓名：***学生学号：_ ************** _指导教师：***完成时间：2022年4月28日数字图像处理实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换一、实验目的1. 了解图像正变换和逆变换的原理。

2. 了解图像变换系数的特点。

3. 掌握常用图像变换的实现过程。

4. 掌握图像的频谱分析方法。

5. 了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。

二、实验主要仪器设备1. 微型计算机：Intel Pentium 及更高。

2. MATLAB 软件。

三、实验原理二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MATLAB 中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。

1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，DFT ）对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：∑∑-=-=+-=101)//(2),(1),(M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F π （1） ∑∑-=-=+=1010)//(2),(),(M u N v N vy M ux j e v u F y x f π （2）频谱公式如式（3）所示：),(),(|),(|),(),(|),(|),(22),(v u I v u R v u F v u jI v u R e v u F v u F v u j +=+==ϕ （3） 由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。

先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。

显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的，这里不再一一赘述。

此外，在实际工程应用中分析幅度谱较多，习惯上也常把幅度谱称为频谱。

使用DFT 变换进行图像处理时，有如下特点：（1）频谱的直流成分为∑∑-=-==1012),(1)0,0(M x N y y x f N F ，说明在频谱原点的傅里叶变换F （0,0）等于图像的平均灰度级。

（2）幅度谱|),(|v u F 关于原点对称，即),(),(v u F v u F --=。

（3）图像),(y x f 平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生变化。

DFT 是一种基本和重要的正交变换。

为了提高计算效率，应用时往往采用二维FFT 实现。

而一般的正交变换图像经过对数变换后便于观察。

MATLAB 采用fft2和ifft2分别进行二维DFT 变换和二维DFT 逆变换，采用fftshift 将直流分量移到频谱图的中心以便观察。

2. 二维离散余弦变换（Discrete Cosine Transform ，DCT ）对于二维余弦变换，其离散形式如式（4）所示，逆变换如式（5）所示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑-=-=)21(cos )21(cos ),(2)()(),(1010y v MN x u MN y x f MN v C u C v u F M x N y ππ （4） 式中，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤==⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤==11,10,21)(11,10,21)(N v v v C M u u u C ∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1010)21(cos )21(cos ),()()(2),(M u N v y v N x u Mv u F v C u C MN y x f ππ （5） 在MATLAB 中，采用dct2和idct2分别进行二维DCT 变换和二维DCT 逆变换。

二维DCT 常用于信号和图像处理，典型应用是对静止图像和运动图像进行性能优良的有损数据压缩。

在静止图像编码标准JPEG 、运动图像编码标准MJPEG 和MPEG 等标准中都使用了8*8块的离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。

DCT 具有很强的能量集中在频谱的低频部分的特性，而且当信号具有接近马尔科夫过程（Markov processes ）的统计特性时，DCT 的去相关性接近于具有最优去相关性的K-L 变换（Karhunen-Loeve 变换）的性能。

另外，改进的离散余弦变换（Modified Discrete Cosine Transform ，MDCT ）对交叠的数据进行DCT ，有助于避免由于区块边界所产生的多余数据，被用在高级音频编码（Advanced Audio Coding ，AAC ）、Ogg V orbis 、AC —3和MP3音频压缩中。

3. 二维离散小波变换（D Discrete Space Wavelet Transform ，DDSWT ）对于二维小波变换，其离散形式如式（6）所示；逆变换如式（7）所示：dxdy ab y a b x y x f a y x f b b a W R b b a y x f y x ),(),(1),(,),,(*,2-->==<⎰ψψ （6） 式中，x b 和y b 分别函数),(y x f 在轴上的x ，y 平移量。

da db db ab y a b x b b a W a y x f y x y x b a y x f R R ),(),,(1),(,22--=⎰⎰+ψ （7） 类似地，可以定义二维离散小波变换逼近，并采用Mallat 二维快速算法求解。

与DFT 类似，可分离二维小波变换最终可转换为两次一维小波变换。

对图像进行小波变换的MATLAB 常用函数有：① 对图像进行一层二维小波分解，常见形式为：[CA,CH,CV ,CD]=dwt2（X,’wname ’）式中，X 为图像矩阵；’wname ’是使用的小波基函数名称，如可选择双正交样条小波基函数，形式为biorNr.Nd 。

② 查询使用的小波基函数的信息，使用形式为：Waveinfo(‘wname ’)式中，小波基名称’wname ’可选用’haar ’（哈尔小波）、’db ’（Daubechies 小波）、’bior ’（双正交样条小波）等。

例如，在命令行状态下键入wavainfo(‘bior ’)进行查询双正交样条小波，可知r 表示reconstruction （重建），d 表示decomposition （分解），N 表示相应FIR 滤波器的阶数；CA 、CH 、CV 、CD 分别是输入矩阵X 小波分解的近似系数矩阵、水平细节系数、垂直细节系数和对角线细节系数。

③ 对二维小波分解的图像进行各种分量的重构，常见函数形式为：Y=upcoef2(O,X,’wname ’,N)式中，X 是分解后的细节信号，Y 是重构的细节信号分量；N 表示对矩阵X 的系数进行重建的步骤数，即重构的层数，默认值为1。

O 是细节信号的类型。

如果O=’a ’，则表示对信号的近似系数进行重建；否则，如果O=’h ’、’v ’或’d ’，则分别对水平、垂直或对角线细节进行重建。

④ 对应上述的一层二维小波变换DWT2函数，进行一层二维小波变换逆变换，常见形式为：X=idwt2(CA,CH,CV ,CD,’wname ’)idwt2函数采用’wname ’所指示的小波、已重建的基于近似矩阵CA ，以及水平细节CH 、垂直细节CV 和对角线细节CD 计算原图像矩阵X 。

⑤ 对重构的图像进行量化编码，常见函数形式为：Y=wcodemat(X,NBCODES,OPT,ABSOL)式中，X 为待进行量化编码的矩阵，Y 为编码矩阵。

在编码中，把矩阵X 中元素绝对值最大的作为NBCODES （整数），绝对值最小的作为1，其他元素依其绝对值的大小在1与NBCODES 中排列。

当OPT 为’row ’时，做行编码；当OPT为’col’时，做列编码；当OPT为’mat’时，做全局编码，即把整个矩阵中元素绝对值最大的元素作为NBCODES，最小的作为1.当ABSOL为0时，该函数返回输入矩阵X的一个编码版本，当ABSOL非0时，返回X的绝对值。

四、实验内容1.在MATLAB环境中，进行图像的离散傅里叶变换和离散余弦变换，观察图像的频谱并减少DCT系数，观察重建信号和误差信号，理解正交变换在压缩编码中的应用。

2.在MATLAB环境中，进行图像的离散小波变换，观察图像的近似图像和各方向的细节图像，观察重建图像，理解小波变换在图像特征检测（如边缘检测、方向检测等）中的应用。

五、实验步骤1.选择典型图像作为研究对象。

2.显示原始图像。

3.进行图像变换。

4.对图像进行处理（如选择不同个数的变换系数可以进行压缩、选择不同方向的频谱可以进行特征检测等）。

5.对图像进行逆变换复原图像，观察重建图像和误差图像并进行对比。

六、实验结果及分析1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）根据实验内容要求，我们通过编写MATLAB程序（详见附录一），调用函数fft2和ifft2，对所选用的图像（见下图1）进行二维离散傅里叶变换得到如下结果（见图2）：图1 原始图像图2 实验1运行结果截图从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。

它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

当前傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

2. 二维离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）根据实验内容要求，我们通过编写MATLAB程序（详见附录二），调用函数dct2和idct2，对所选用的图像（见下图3）进行二维离散余弦变换得到如下结果（见图4）：图3 原始图像图4 实验2运行结果截图从实验结果中可以看出：离散余弦变换的重要特点是能量集中，信号常将其能量的大部分集中于频率域的一个小范围内，这样描述不重要的分量只需要很少的比特数；频率域分解映射了人类感觉系统的处理过程，并允许后继的量化过程满足其灵敏度的要求。

变化后，能量集中的范围可以精细的量化，其他的范围可以粗糙量化，这样处理，不会引起太大的精度问题，符合人体的听觉，视觉需要。

这样量化后，可以用小的数据量来保存采集的数据，对处理音频，视频等数据非常有效。

此外，离散余弦变换，在当前音频视频编码中起着非常重要的作用。

3. 二维离散小波变换（D Discrete Space Wavelet Transform，DDSWT）根据实验内容要求，我们通过编写MATLAB程序（详见附录三），调用函数dwt2和idwt2，对所选用的图像（见图5），进行二维离散小波逆变换得到图像（见图6）及一层小波变换后的图像（见图7），具体如下所示：图 5 原始图像 图 6 逆变换后的图像Approximation A15010015020025050100150200250Horizontal Detail H15010015020025050100150200250Vertical Detail V15010015020025050100150200250Diagonal Detail D15010015020025050100150200250图 7 一层小波变换的四个分量经过上述实验，从结果分析并结合查找的资料，我们可以得到小波变换具有如下优点：（1）小波分解可以覆盖整个频域（提供了一个数学上完备的描述） ；（2）小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；（3）小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；（4）小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。