第12章 双正交小波及小波包
小波包、多小波及第二代小波
M
因此，很容易得到小波子空间的各种分解如下： jW
3121++⊕=jjjUUW
72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW
M
121221.
+
+
++
+⊕⊕⊕=lllljljljjUUUWL 4.14
M
文本框:
jW空间分解的子空间序列可以写作，；mljlU+
+
212,,1,0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlmLjl,,2,1L=；。子空间
序列的标准正交基为：
L,2,1=jmljlU+
+
2
{}Znntwljmljl∈.+.
+
+.:)2(2)(
22/)( 4.15
当和时，子空间序列简化为，相应的正交基简化为0=l0=mmljlU+
+
2jjWU=1{})2(2)2(22/
在感兴趣的频率点上尽可能地提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽可能地提高时间分辨率，这样当用
滤波器组对信号进行分解时，短时Fourier变换的等带宽或小波变换的恒-Q带宽都不一定合适，应该按信
号特性选择相应组合的滤波器组，这就是小波包(Wave1et Packet)。
小波包的概念是由M.V.WickerhaMser，R.R.Coifman等人在小波变换的基础上，根据实际应用的需求
()()0,122=.+ktWtwll
4.1.2 小波包分解
现在令、L,2,1=lL,2,1=j，并对式(4.11)进行迭代分解，有
小波包PPT课件
引言
小波分解示意图----每层分解只对低频部分细分
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
4
引言
小波包分解，在小波分解的基础上进一步细分高频部分，达 到更优的时频局部化效果
S
A1
D1
A2,1
D2,1
A2,2
D2,2
5
A3,1
D3,1
A3,2
D3,2
A3,3
D3,3
A3,4
D3,4
小波包原理
❖ 所谓小波包，简单地说就是一个函数族。由 它们构造出的规范正交基库。从此库中可以 选出的许多规范正交基，小波正交基只是其 中的一组，所以小波包是小波概念的推广。
包，称为小波包系数。G，H为小波分解滤波器， H与尺度函数 有关，G与 j (t)有关。二进小波包 分解的快速算法为：
p01 (t) p 2i 1
j
f
(t) H (k
2t
)
p
i j
1
(t
)
k
p
2i j
k
G(k
2t
)
p
i j
1
(t
)
9
重构算法为：
p
i j
(t
)
2[
h(t
2k
)
p
2 i 1 j 1
(t
)
g
(t
2k
)
p
2i j 1
(t
)]
k
k
式中，j J 1, J 2,,1，0；i 2 j ,2 j1,,2,1;
J
log
N 2
, h,
g为小波重构滤波器，
小波变换 5 矢量小波、双正交小波、小波包
双正交小波
• 定义： 假设 {Vj | j Z和{V%j | j Z}是两个多分辨分析，
和%分别是其尺度函数．如果
(t),~(t k) 0,k , k Z
则称和%是双正交尺度函数。
• 尺度函数的双尺度方程：
(t) hn(2t n), %(t) h%n%(2t n)
nZ
nZ
频域形式：
ˆ(2) H ()ˆ(), R ,
200
400
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
600
0
compressed signal
200
400
图
双 正 交 小 波 用 于 信 号 压 缩
600
5-1
结果表明，尽管压缩后的图像仅由约16%的小波系数重建而成，但却保 留了原图像几乎全部的能量，获得了很好的压缩效果。从视觉上看，压缩后 的图像与原图像几乎没有区别。
j,n(t),un(t k) j ,1,0;n 2,3, , k Z
是L2 (R) 的一个正交基
正交小波包
小波包的分解算法与重构算法
分解算法：
alj,2n
k
1 2
hk
2l
a j1,n k
alj,2n1
k
1 2
g a j1,n k2l k
重构算法：
a j1,n l
[hl2k akj,2n gl2k akj,2n1 ]
WjΒιβλιοθήκη U2 j 1U
3 j 1
U
4 j2
U
5 j2
U
6 j2
U
7 j2
L
U
2k j
k
U 2k 1 jk
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的信号分析工具，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分，可
以应用于图像处理、数据压缩、模式识别等领域。
多分辨分析是正交小波的基本理论之一，是研究正交小波性质、特点及应用的重要方向。
多分辨分析是指在不同分辨率下对信号进行分解和重构的过程。
在小波分析中，信号
可以被分解成不同频率的成分，每个频率成分对应一个尺度。
多分辨分析的目的是通过不
同尺度的分析，得到信号的局部和整体特征，实现信号的多尺度分析。
在多分辨分析中，正交小波起到了重要的作用。
正交小波是一种特殊的小波函数集合，具有正交、紧支集和尺度层次性的特点。
通过正交小波的分解，可以将信号分解成多个不
同尺度和频率的成分，得到信号的各种特征信息。
正交小波的分解和重构过程可以通过滤
波器组来实现，不同的小波系数对应着不同频率成分的能量。
多分辨分析的研究内容主要包括正交小波基函数的选择、多分辨框架的构建和多尺度
分析方法的研究。
正交小波基函数的选择是多分辨分析的关键，不同的小波函数在信号分
解中具有不同的性能。
研究者通过对不同小波函数的分析比较，选择合适的正交小波基函数，以实现信号的有效分析和特征提取。
多尺度分析方法是指在不同尺度上对信号进行分析和重构的方法。
常用的多尺度分析
方法有小波变换、小波包变换等。
小波变换是正交小波多尺度分析的基本方法，通过正交
小波基函数的分解和重构，实现信号的多尺度分析。
小波包变换是小波变换的一种扩展方法，更加灵活和精细。
第12章 双正交小波及小波包
352 / 49第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。
本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
双正交小波介绍
j
W
j
V j V j 1 W
W
j 1
（ 5） 双 尺 度 方 程 变 为 ：
(x) (x)
kZ
2 hk ( 2 x k ) 2 g k (2 x k )
(x) (x)
kZ
2 h k (2 x k ) 2 g k (2 x k )
k
2 g k 2l
j ,k
2 g k 2l f j ,
k
j ,k
2 g k 2 l c j ,k
k
双正交小波的分解与重构
重 构 ： c j ,k f j ,
j ,k
j 1, l
c
l
j 1, l
对比
• 正交多分辨分析中
| P ( z ) | | P ( z ) | 1 Q ( z ) z P ( z )
2 2
| Z | 1
紧支撑双正交小波的构造
• 必要条件
有限滤波器 h , h , g , g 使得尺度函数 , 和对偶小波 ,
d
l j ,k
j 1, l
j 1, l
,
j ,k
,
c
l
j 1, l
j 1, l ,
d
l
j 1, l
j 1, l
j ,k
c
l
j 1, l
k
2 h k 2 l j ,k ,
j ,k
d
l
j 1, l
紧支撑双正交的多重向量值小波包
Ｌ （ ）＝ ＾（ Ｒ， ＝ ＝（ ｚ）一 （ 。 ｚ） ｈ （ ） ｈ （ ＾ （ … ，ｚ） ： ｚ）∈ Ｌ （ Ｒ）， ７ ３一 ｌ … ， ｝ ， ｒ
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第 ２ 卷 ７
第 １ 期
《 疆 师 范 大 学 学 报 》 自然 科 学 版 ） 新 （
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＸｉｊ ｎ ｒ ｌ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ａ ｎｉ ｇ Ｎｏ ｍａ ｏ ａ Ｕｎｖ ｒｉｙ
（ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ Ｅｄ ｔ ｎ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｉｉ ） Ｓ ｏ
２ 多 重 向量 值 多分 辨 分 析
设 ， 向量值 函数 ． 个
一
∈ Ｌ （ Байду номын сангаас ） ｌ １ ・， 别满 足 以下 ，个 加 细方程 。 Ｒ， ， … ，分 ． ．
（） １
∑ ∑口 （） （ 一五，一１ ， 五 ２ ） ｘ ｌ ， ． …，
ｉ １ ｋ Ｚ 一 ∈
其 中 ｛ 州（ ） Ｚ １ …， ｋ∈ Ｚ） ａ 五 ，， 一 ， ． ， 为一 仅有 有 限项数 不 为 ０的复数序 列 ， 记 （ ） ｛ （ ） ｚ 一 ｚ … （ ） 则 上方 ｚ ） 程等 价于 下方程 （ ）一 ＞： （ ｘ— ｋ ｚ Ｐ ２ ）
摘 要 ：文章研究了紧支撑双正交多重向量值小波包的性质， 并给出了相应的分解与重构算法。 关 键 词 ：双正交； 向量值小波包； 分解与重构算法
＼ 三 ｊ
中 图 分 类 号 ： Ｏ ７． １４２
文献 标识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ： １ ８ ６９ ２０） １ ０４ ７ ０ — ５ （ ８一 — ０— ０ ９ 一 ０ ００ ０
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- 352 -第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。
本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
有关“对偶”的概念见1.6节，在下面的讨论中将涉及对偶滤波器的作用。
现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR 的条件。
由第七章关于两通道滤波器组的理论，我们有- 353 -图12.1.1 双正交滤波器组)2()()(001n h n a n a *=)2(),()2()(0000n k h k a n k h k a k-=-=∑ (12.1.1a))2()()(101n h n a n d *= )2(),()2()(101n k h k a n k h k a k-=-=∑ (12.1.1b))(ˆ)()(ˆ)()(ˆ1'10'10n h n d n h n a n a *+*=∑∑-+-=lll n h l d l n h l a )2(ˆ)()2(ˆ)(1101 (12.1.2)将(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有)2(ˆ)2(),()(ˆ0000l n h l k h k a n a l--=∑)2(ˆ)2(),(11l n hl k h k a l--+∑(12.1.3)(12.1.1)式是用一组向量{}Z k n n k h n k h ∈--,),2(),2(10对)(0n a 作分析，(12.1.3)式是用一组对偶向量{}Z l n l n h l n h ∈--,),2(ˆ),2(ˆ10对)(0n a 作综合。
(12.1.3)式还可表为 )()2(ˆ),2()(ˆ0000k a l n h l k h n a l∑--=)()2(ˆ),2(011k a l n hl k h l∑--+(12.1.4))- 354 -显然，如果)()2(ˆ),2(00k n l n h l k h -=--δ (12.1.5a) )()2(ˆ),2(11k n l n h l k h -=--δ(12.1.5b)则)(2)(ˆ00n a n a= 从而实现了准确重建。
(12.1.5)式的含意是，在图12.1.1中，同一条支路上的两个滤波器)(ˆ),(00n h n h 或)(ˆ),(11n h n h 的偶序号位移之间是正交的。
但是该式没有涉及上下支路两个滤波器之间的关系。
我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。
下面的两个定理清楚地回答了该问题。
定理12.1对图12.1.1所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号)(0n a ，其准确重建的充要条件是：0)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+++ωπωωπωH H H H (12.1.6a) 及2)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+ωωωωH H H H(12.1.6b)证明：仿照(7.1.5)式的导出，有[])()(ˆ)()(ˆ)(21)(ˆ01110100z A z H z H z H z H z A --+=[])()(ˆ)()(ˆ)(210111010z A z H z H z H z H --+-+-- (12.1.7)式中)(0z A 、)(ˆ0z A 分别是)(0n a 和)(ˆ0n a 的z 变换，)(0z A -是混迭分量。
因此，为消除混迭失真，应有0)(ˆ)()(ˆ)(111010=-+---z H z H z H z H (12.1.8a)为保证系统的准确重建，应有k cz z H z H z H z H ---=+2)(ˆ)()(ˆ)(111010 (12.1.8b)式中c 和k 均为常数。
令1=c ，0=k ，(12.1.8)式对应的频率表示是：0)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+++ωπωωπωH H H H- 355 -2)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+ωωωωH H H H 于是定理得证。
对比图7.1.1的两通道滤波器组，其对应的PR 条件是（见(7.1.5)式）： 0)()()()(1100=-+-z G z H z G z H(12.1.9a)2)()()()(1100=+z G z H z G z H(12.1.9b)将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用)(ˆ0z H 、)(ˆ1z H 代替了)(0z G 和)(1z G ，并在分析滤波器组中，用)(10-z H 、)(11-z H 分别代替了)(0z H 和)(1z H 。
其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。
由(12.1.6a)式，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++**02)(ˆ)(ˆ)()()()(101010ωωπωπωωωH H H H H H (12.1.10)可求出⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡**)()()(det 2)(ˆ)(ˆ0110πωπωωωωH H H H H(12.1.11)式中)()()()()(d e t0110πωωπωωω+-+=H H H H H (12.1.12)显然，为了保证对偶滤波器)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是稳定的，)(det ωH 在ππω~-=的范围内应该非零。
为了保证)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是FIR 的，)(det ωH 应取纯延迟的形式。
仿照(7.2.16)式对)(0z G 和)(1z G 的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分析滤波器之间的关系： )(ˆ)(0)12(1πωωω+=*+-H e H l j (12.1.13a))()(ˆ0)12(1πωωω+=*+-H e H l j(12.1.13b)或)(ˆ)(10)12(1-+--=z H z z H l (12.1.14a)- 356 -)()(ˆ10)12(1-+--=z H z z H l (12.1.14b)假定0=l ，它们对应的时域关系是 )1(ˆ)1()(011n h n h n --=+ (12.1.15a))1()1()(ˆ011n h n h n --=+(12.1.15b)注意，上述时域、频域关系均是在图12.1.1中的交叉方向上给出的，它正好反映了双正交滤波器组的特点。
将(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我们可得到如下的关系：2)(ˆ)()(ˆ)(0000=+++**πωπωωωH H H H (12.1.16a)或2)(ˆ)()(ˆ)(1111=+++**πωπωωωH H H H (12.1.16b)及0)(ˆ)()(ˆ)(1010=+++**πωπωωωH H H H (12.1.17a) 或0)(ˆ)()(ˆ)(0101=+++**πωπωωωH H H H(12.1.17b)至此，我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系，即(1) 去除混迭条件：(12.1.6a)式； (2) PR 条件：(12.1.6b)式；(3) 保证PR 条件和滤波器均为FIR 的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系：(12.1.13)式～(12.1.17)式。
回顾在共轭正交滤波器组的情况下，我们经常用到的功率互补关系，即2)()(2020=++πωωH H ，或2)()()()(0000=+++**πωπωωωH H H H(12.1.18)显然，若)()(ˆ00z H z H =，则(12.1.16a)式即变成(12.1.18)式，也即双正交滤波器组变成了正交滤波器组。
有了以上讨论的基础，我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念。
- 357 -定理12.2[8] 如果图12.1.1中的四个滤波器)(0z H ，)(1z H ，)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 满足准确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则Z l l n h l n h ∈--)},2(ˆ),2(ˆ{10 和 Z l l n h l n h ∈--)},2(),2({10 是)(2R L 中的双正交Riesz 基。
证明：为证明0h 、1h 、0ˆh 及1ˆh 的偶序号项移位是双正交的，我们需要证明如下三个关系成立： )()2(),(ˆ00n n k h k h δ=- (12.1.19a))()2(),(ˆ11n n k h k h δ=-(12.1.19b)及0)2(),(ˆ)2(),(ˆ0110=-=-n k h k h n k h k h (12.1.19c)由(12.1.16a)式，有[]1)(ˆ)()(ˆ)(210000=+++**πωπωωωH H HH 该式对应的时域关系是)()2()(ˆ)2(ˆ00n n k h k hn h h k δ=-=*∑∞-∞=(12.1.20)于是(12.1.19a)式得证。