第12章 双正交小波及小波包
基于渐进插值的Catmull-Clark双正交细分小波及其应用
基于渐进插值的Catmull-Clark双正交细分小波及其应用章节一：引言介绍双正交小波及其应用的背景和意义，简述当前研究现状，阐述本文研究的目的和意义。
章节二：相关概念和原理介绍双正交小波变换及其特点，介绍渐进插值的概念和原理，引出Catmull-Clark双正交细分的概念和相关原理。
章节三：基于渐进插值的Catmull-Clark双正交细分小波的算法实现介绍基于渐进插值的Catmull-Clark双正交细分小波的算法流程和实现过程，并分析其优点与不足。
章节四：小波双正交细分在几何建模中的应用介绍小波双正交细分在几何建模中的应用，如模型细节增加、曲面生成等，具体展示实例并阐述实现方法和实际效果。
章节五：对比实验结果分析通过对比实验，与传统细分方法进行对比，验证基于渐进插值的Catmull-Clark双正交细分小波在几何建模中的效果，分析实验结果并提出未来改进方向。
章节六：结论和展望总结论文，阐述研究意义和价值，并展望未来在该领域的研究方向和趋势。
第一章滴梵高季风儿变色龙引言小波处理在数字信号处理、图像处理、地震勘探、计算机视觉等领域都有广泛的应用，其中小波双正交细分技术是将给定的物体表面细分成更小的细节，并且保证表面依然光滑的一种技术。
双正交细分能生成具有高几何精度的曲面，能够用于三维建模、图形动画和计算机辅助设计(CAD)等领域。
由于小波变换的通用性，它可以用于处理几何对象，其中采用了包括离散小波变换和连续小波变换等多种类型的变换。
因此，在几何建模方面，小波技术受到广泛关注。
Catmull–Clark细分技术是一种应用于三维多面体网格的方法，它会对拓扑结构进行修改，从而将网格细分。
而基于渐进插值的Catmull-Clark双正交细分方法将Catmull-Clark细分与小波分析有机地结合，实现了高效、高精度的三维几何建模。
作为广泛应用的方法，定量分析Catmull-Clark双正交细分小波及其应用，对于加深对该领域认识和提升小波技术在相应领域中的应用具有非常重要的实践意义。
小波包PPT课件
引言
小波分解示意图----每层分解只对低频部分细分
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
4
引言
小波包分解，在小波分解的基础上进一步细分高频部分，达 到更优的时频局部化效果
S
A1
D1
A2,1
D2,1
A2,2
D2,2
5
A3,1
D3,1
A3,2
D3,2
A3,3
D3,3
A3,4
D3,4
小波包原理
❖ 所谓小波包，简单地说就是一个函数族。由 它们构造出的规范正交基库。从此库中可以 选出的许多规范正交基，小波正交基只是其 中的一组，所以小波包是小波概念的推广。
包，称为小波包系数。G，H为小波分解滤波器， H与尺度函数 有关，G与 j (t)有关。二进小波包 分解的快速算法为：
p01 (t) p 2i 1
j
f
(t) H (k
2t
)
p
i j
1
(t
)
k
p
2i j
k
G(k
2t
)
p
i j
1
(t
)
9
重构算法为：
p
i j
(t
)
2[
h(t
2k
)
p
2 i 1 j 1
(t
)
g
(t
2k
)
p
2i j 1
(t
)]
k
k
式中，j J 1, J 2,,1，0；i 2 j ,2 j1,,2,1;
J
log
N 2
, h,
g为小波重构滤波器，
小波变换 5 矢量小波、双正交小波、小波包
双正交小波
• 定义： 假设 {Vj | j Z和{V%j | j Z}是两个多分辨分析，
和%分别是其尺度函数．如果
(t),~(t k) 0,k , k Z
则称和%是双正交尺度函数。
• 尺度函数的双尺度方程：
(t) hn(2t n), %(t) h%n%(2t n)
nZ
nZ
频域形式：
ˆ(2) H ()ˆ(), R ,
200
400
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
600
0
compressed signal
200
400
图
双 正 交 小 波 用 于 信 号 压 缩
600
5-1
结果表明，尽管压缩后的图像仅由约16%的小波系数重建而成，但却保 留了原图像几乎全部的能量，获得了很好的压缩效果。从视觉上看，压缩后 的图像与原图像几乎没有区别。
j,n(t),un(t k) j ,1,0;n 2,3, , k Z
是L2 (R) 的一个正交基
正交小波包
小波包的分解算法与重构算法
分解算法：
alj,2n
k
1 2
hk
2l
a j1,n k
alj,2n1
k
1 2
g a j1,n k2l k
重构算法：
a j1,n l
[hl2k akj,2n gl2k akj,2n1 ]
WjΒιβλιοθήκη U2 j 1U
3 j 1
U
4 j2
U
5 j2
U
6 j2
U
7 j2
L
U
2k j
k
U 2k 1 jk
四元双正交小波的构造与性质
ｔ ｇ ｆ ｔ ｒ ｆａｃａ ｓｏ ｉｒｈ ｇ ｎ ｌｆｕ － ｉ ｅ ｓｏ ａ ｖ ｌｔ ｒ ｒ ｓｎ ｅ ｙ ｍｅ ｎ ｆｉｔ ｒ ｏａｏ ｙ ｉ ｉ ｅ ｓｏ ｌｓ ｆｂ ｏ ｔ ｏ ｏ ａ ｏ ｒｄｍ ｎ ｉｎ ｌｗａ ｅｅｓｗｅ ｅｐ ｅ ｅ ｔｄ ｂ ａ ｓｏ ｎ ｅ ｐ ｌｔ ｒ ｎ ｌ
一
数． 文献［ ，］ ６７分别研究二元双正交小波 ， 三元双正 交小 波 的构造算 法． 文运用矩 阵 的多相分解方 法 ， 本 给 出 由插 值 函数 构 造 双 正交 小 波 的矩 阵 扩 充 新 算 法．讨论 多元 双 正交 小 波 包 的性 质 ， 到 三个 双 正 得 交性公 式 ．
ｐ ｃ ｅｓｗｅ ｅｄｓ ｕ ｓ ｄ ｎ ｈ ｅ ｉｒｈ ｇ ｎ ｌ ｙｆ ｒ ｕ ａ ｏ ｃ ｒ ｉｇ ｔ ｅｗａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｒ ｂ ａｎ ｄ ａ ｋ ｔ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ，ａ ｄ ｔ ｒ ｅｂ ｏ ｔ ｏ ｏ ａｉ ｏ ｔ ｍ ｌｓｃ ｎ ｅ ｎｎ ｈ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅｓｗｅｅｏ ｔｉｅ ． Ｋ ｅ ｏ ｄ ：ｂ ｏ ｔ ｏ ｏ ａｉｙ ｏ ｒｄｍ ｅ ｓｏ ｙ ｗ ｒ ｓ ｉｒｈ ｇ ｎ ｌ ；ｆ ｕ － ｉ ｎ ｉｎ；ｓ ａｉ ｇ ｆ ｎ ｔ ｎ ；ｗａ ｅｅ ｓ ｉ ｅ ｓ ｎ ｅｐ ｌｔ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ ｔ ｃ ｌ ｕ ｃｉ ｓ ｎ ｏ ｖ ｌｔ ；ｆｌ ｒ ；ｉｔｒ ｏａｉ ｕ ｃ ｉ ｓ ｔ ｏ ｏ
关键词 ： 双正交；四元 ； 尺度 函数 ；小波；滤波器 ； 值函数 插
中图分类号：Ｏ１４ ２ ７． 文献标 识码 ： Ａ ．
Ｃｏ ｓｒ ｃｉ ｎ ａ ｄ ｐｒ ｐ ｒ ｉｓｏ ｏ ｈ ｇ ｎａ ｏ ｒｄ ｍ ｅ ｓｏ ａ ｖ ｌｔ ｎ ｔ ｕ ｔｏ ｎ ｏ ｅ ｔｅ ｆｂｉｒ ｏ ｏ ｌｆ ｕ － ｉ ｎ ｉｎ ｌｗａ ｅｅ ｓ ｔ
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
chapter11_2_双正交小波构造
区别
Hˆ 0 (z) G0 (z) Hˆ 1(z) G1(z)
来自不同的滤波器
H0 (z1) H0 (z) H1(z1) H1(z)
翻转
双正交滤波器组中的正交关系：
注意两 组正交 的不同
hˆ0 (k), h0 (k 2n) (n) hˆ1(k), h1(k 2n) (n) hˆ0 (k), h1(k 2n) 0 hˆ1(k), h0 (k 2n) 0
两对滤波器 的频率特性
尺度、小波函 数和其对偶函 数的频率特性
正交性在 频谱上的 反映
双正交小波变换的快速算法和正交小波变换的快速
算法基本相同，区别是在重建时使用的是对偶滤波 器 Hˆ 0(z), Hˆ1(z) 。
双正交情况下的多分辨率分解：
a j (n) a j1(n) h0 (2n)
a j1(k)h0 (k 2n) k
For a biorthogonal wavelet: [PHI1,PSI1,PHI2,PSI2,XVAL] = WAVEFUN('wname',ITER)
returns the scaling and wavelet functions both for decomposition (PHI1, PSI1) and for reconstruction (PHI2, PSI2).
同一支路，滤 波器系数偶数 移位正交
上下支路，滤 波器系数偶数 移位交叉正交
上下支路各自是正交的:
h和0 其对偶 正hˆ0 交; 和其h1对偶
上下支路交叉正交:
h正1 交于 hˆ0 ; 正交于h0
正交hˆ1 hˆ1
11.7 双正交小波
双正交小波及小波包
ˆ ˆ H1 ( ) H1 ( ) H1 ( ) H1 ( ) 2
ˆ ˆ H0 ( )H1 ( ) H0 ( )H1 ( ) 0
ˆ ˆ H1 ( )H0 ( ) H1 ( ) H0 ( ) 0
ˆ ˆ N 1 N 2 1 N 2 N 1 1 , 2 2
和
ˆ ˆ N 1 N 2 1 N 2 N 1 1 , 2 2
ˆ ˆ 它们的长度都是 ( N 2 N1 N 2 N1 ) / 2
第12章
双正交小波及小波包
ˆ (k )h1 (n 2k )
d d 式中a j (n) ，j (n) 分别是a j (n) ，j (n) 作二插值得到的序列
第12章
双正交小波及小波包
12.3 双正交小波的构造
(t ) ，ˆ (t ) ， (t ) 及ˆ(t ) 的 双正交小波的构造包括 H 构造，而它们又都源于分解滤波器 H 0 ( z) 、 1 ( z) 及用 ˆ ˆ 于重建的对偶滤波器 H0 ( z) 和 H1 ( z) 。(12.1.14)式给 ˆ ˆ 出了H1 ( z) 、H1 ( z) 和 H 0 ( z) 及H0 ( z)的关系，因此，双正交 ˆ 小波构造的核心问题是H 0 ( z)和 H0 ( z)的构造，这和正
a
j 1
(k )h0 (k 2n) (k )h1 (k 2n)
k
a
j 1
' ' ˆ ˆ a j 1 (n) a j (n) h0 (n) d j (n) h1 (n)
' '
k
a
j
第12章 双正交小波及小波包
- 352 -第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。
本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
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352 / 49第12章 双正交小波及小波包我们在上一章给出了正交小波的构造方法。
正交小波有许多好的性质，如)()(),(',,'k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ，0)(),(',,=t t k j k j ψφ ，此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。
Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。
但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。
)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。
我们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。
本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念12.1 双正交滤波器组现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。
所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。
将图10.6.2的正变换和图10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。
注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和)(1z H ，而是)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。
有关“对偶”的概念见1.6节，在下面的讨论中将涉及对偶滤波器的作用。
现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR 的条件。
由第七章关于两通道滤波器组的理论，我们有353 / 49图12.1.1 双正交滤波器组)2()()(001n h n a n a *=)2(),()2()(0000n k h k a n k h k a k-=-=∑ (12.1.1a))2()()(101n h n a n d *=)2(),()2()(101n k h k a n k h k a k-=-=∑ (12.1.1b))(ˆ)()(ˆ)()(ˆ1'10'10n h n d n h n a n a *+*=∑∑-+-=lll n h l d l n h l a )2(ˆ)()2(ˆ)(1101(12.1.2)将(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有)2(ˆ)2(),()(ˆ0000l n h l k h k a n a l--=∑)2(ˆ)2(),(11l n hl k h k a l--+∑(12.1.3)(12.1.1)式是用一组向量{}Z k n n k h n k h ∈--,),2(),2(10对)(0n a 作分析，(12.1.3)式是用一组对偶向量{}Z l n l n h l n h ∈--,),2(ˆ),2(ˆ10对)(0n a 作综合。
(12.1.3)式还可表为 )354 / 49)()2(ˆ),2()(ˆ0000k a l n h l k h n a l∑--=)()2(ˆ),2(011k a l n hl k h l∑--+(12.1.4)显然，如果)()2(ˆ),2(00k n l n h l k h -=--δ(12.1.5a))()2(ˆ),2(11k n l n h l k h -=--δ(12.1.5b)则)(2)(ˆ00n a n a= 从而实现了准确重建。
(12.1.5)式的含意是，在图12.1.1中，同一条支路上的两个滤波器)(ˆ),(00n h n h 或)(ˆ),(11n h n h 的偶序号位移之间是正交的。
但是该式没有涉及上下支路两个滤波器之间的关系。
我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。
下面的两个定理清楚地回答了该问题。
定理12.1 对图12.1.1所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号)(0n a ，其准确重建的充要条件是：0)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+++ωπωωπωH H H H (12.1.6a) 及2)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+ωωωωH H H H(12.1.6b)证明：仿照(7.1.5)式的导出，有[])()(ˆ)()(ˆ)(21)(ˆ01110100z A z H z H z H z H z A --+=[])()(ˆ)()(ˆ)(210111010z A z H z H z H z H --+-+--(12.1.7)355 / 49式中)(0z A 、)(ˆ0z A 分别是)(0n a 和)(ˆ0n a 的z 变换，)(0z A -是混迭分量。
因此，为消除混迭失真，应有0)(ˆ)()(ˆ)(111010=-+---z H z H z H z H(12.1.8a)为保证系统的准确重建，应有k cz z H z H z H z H ---=+2)(ˆ)()(ˆ)(111010(12.1.8b)式中c 和k 均为常数。
令1=c ，0=k ，(12.1.8)式对应的频率表示是：0)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+++ωπωωπωH H H H 2)(ˆ)()(ˆ)(1*10*0=+ωωωωH H H H 于是定理得证。
对比图7.1.1的两通道滤波器组，其对应的PR 条件是（见(7.1.5)式）：0)()()()(1100=-+-z G z H z G z H(12.1.9a)2)()()()(1100=+z G z H z G z H(12.1.9b)将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用)(ˆ0z H 、)(ˆ1z H 代替了)(0z G 和)(1z G ，并在分析滤波器组中，用)(10-z H 、)(11-z H 分别代替了)(0z H 和)(1z H 。
其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。
由(12.1.6a)式，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++**02)(ˆ)(ˆ)()()()(101010ωωπωπωωωH H H H H H(12.1.10)可求出356 / 49⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡**)()()(det 2)(ˆ)(ˆ0110πωπωωωωH H H H H(12.1.11)式中)()()()()(det 0110πωωπωωω+-+=H H H H H(12.1.12)显然，为了保证对偶滤波器)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是稳定的，)(det ωH 在ππω~-=的范围内应该非零。
为了保证)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是FIR 的，)(det ωH 应取纯延迟的形式。
仿照(7.2.16)式对)(0z G 和)(1z G 的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分析滤波器之间的关系：)(ˆ)(0)12(1πωωω+=*+-H e H l j(12.1.13a))()(ˆ0)12(1πωωω+=*+-H e H l j(12.1.13b)或)(ˆ)(10)12(1-+--=z H z z H l(12.1.14a))()(ˆ10)12(1-+--=z H z z H l(12.1.14b)假定0=l ，它们对应的时域关系是)1(ˆ)1()(011n h n h n --=+(12.1.15a))1()1()(ˆ011n h n h n --=+(12.1.15b)357 / 49注意，上述时域、频域关系均是在图12.1.1中的交叉方向上给出的，它正好反映了双正交滤波器组的特点。
将(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我们可得到如下的关系：2)(ˆ)()(ˆ)(0000=+++**πωπωωωH H H H(12.1.16a)或2)(ˆ)()(ˆ)(1111=+++**πωπωωωH H H H (12.1.16b)及0)(ˆ)()(ˆ)(1010=+++**πωπωωωH H H H(12.1.17a)或0)(ˆ)()(ˆ)(0101=+++**πωπωωωH H H H(12.1.17b)至此，我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系，即(1) 去除混迭条件：(12.1.6a)式； (2)PR 条件：(12.1.6b)式；(3) 保证PR 条件和滤波器均为FIR 的情况下，四个滤波器在时域和频域的关系：(12.1.13)式～(12.1.17)式。
回顾在共轭正交滤波器组的情况下，我们经常用到的功率互补关系，即2)()(2020=++πωωH H ，或2)()()()(0000=+++**πωπωωωH H H H(12.1.18)显然，若)()(ˆ00z H z H =，则(12.1.16a)式即变成(12.1.18)式，也即双正交滤波器组变成了正交滤波器组。
有了以上讨论的基础，我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念。
定理12.2[8] 如果图12.1.1中的四个滤波器)(0z H ，)(1z H ，)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 满足准358 / 49确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则Z l l n h l n h ∈--)},2(ˆ),2(ˆ{10 和 Z l l n h l n h ∈--)},2(),2({10 是)(2R L 中的双正交Riesz 基。
证明：为证明0h 、1h 、0ˆh 及1ˆh 的偶序号项移位是双正交的，我们需要证明如下三个关系成立：)()2(),(ˆ00n n k h k h δ=-(12.1.19a))()2(),(ˆ11n n k h k h δ=-(12.1.19b)及0)2(),(ˆ)2(),(ˆ0110=-=-n k h k h n k h k h(12.1.19c)由(12.1.16a)式，有[]1)(ˆ)()(ˆ)(210000=+++**πωπωωωH H HH 该式对应的时域关系是)()2()(ˆ)2(ˆ00n n k h k hn h h k δ=-=*∑∞-∞=(12.1.20)于是(12.1.19a)式得证。