第十一章连续小波变换介绍
小波变换的基本原理和数学模型详解
小波变换的基本原理和数学模型详解一、引言小波变换是一种信号分析的数学工具，可以将信号在时间和频率上进行局部分析。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍小波变换的基本原理和数学模型。
二、小波变换的基本原理小波变换的基本原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数的线性组合来表示原始信号。
与傅里叶变换不同的是，小波变换可以实现信号的时频局部化分析，能够更好地捕捉信号的瞬态特性。
三、小波基函数的选择小波基函数是小波变换的核心，不同的小波基函数对信号的分析效果有所不同。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
这些小波基函数在时域和频域上具有不同的特性，可以根据具体应用的需求选择合适的小波基函数。
四、小波变换的数学模型小波变换的数学模型可以通过连续小波变换和离散小波变换表示。
连续小波变换是对连续信号进行小波变换，可以用积分来表示。
离散小波变换是对离散信号进行小波变换，可以用矩阵运算表示。
五、连续小波变换连续小波变换的数学模型可以表示为：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[ (t-b)/a ] dt其中，W(a, b)表示小波系数，f(t)表示原始信号，ψ(t)表示小波基函数，a和b 分别表示尺度参数和平移参数。
六、离散小波变换离散小波变换的数学模型可以表示为：W(n, k) = ∑f(m)ψ*[ (m-k)/2^n ]其中，W(n, k)表示小波系数，f(m)表示原始信号，ψ(m)表示离散小波基函数，n表示尺度参数，k表示平移参数。
七、小波变换的算法小波变换的计算可以通过快速小波变换算法实现，常用的算法有快速小波变换（FWT）和快速多尺度小波变换（FWMT）。
这些算法可以大大提高小波变换的计算效率，使得小波变换在实际应用中更加可行。
八、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、信号分析等；在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测等；在数据压缩中，小波变换可以用于无损压缩和有损压缩等。
连续小波变换
0
10 20
30 40
50 60 70
80 90 100
sin(5.89t),
f
t
sin(8.83t), sin(5.89t)
sin(8.83t),
0,
0t 1 1t 2 2t3 t 3
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32
和频率窗 * gˆ , * gˆ 内的局部化信息。
时间-频率窗 t* b g ,t* b g * gˆ , * gˆ 的特性：不变的宽度 2g 和固定的窗面积 4ggˆ
测不准原理：
g gˆ
1 2
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
2
sin 4
4
1 2sin2 4
1
2 3
sin 2
4
3
8 sin 2
4
8 sin 4
4
t Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier分析简介
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于 频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。 因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
1
t2 2
2
e 2 1/ 4
1, 5
Gabor 小波
t g t eit
Morlet小波
常用的基本小波
5. 高斯小波
t 1 tet2 /2
连续小波变换核心知识
2.1.1 连续小波变换（1）连续小波基函数所谓小波(Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。
小波函数的数学定义是：设)(t ψ为一平方可积函数，即)()(2R L t ∈ψ，若其傅立叶变换)(ˆw ψ满足： ∞<=⎰dw w w C R 2)(ψψ （2-1）时，则称)(t ψ为一个基本小波或小波母函数，并称式（2-1）是小波函数的可容许条件。
根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点;另一方面，根据可容许性条件可知0)(0==w w ψ，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。
将小波母函数)(t ψ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(亦称尺度因子)为a ，平移因子为b ，并记平移伸缩后的函数为)(,t b a ψ，则： 0;,,)(21,≠∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-a R b a a t a t b a τψψ （2-2） 并称)(,t b a ψ为参数a 和b 小波基函数。
由于a 和b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数)(t ψ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。
定义小波母函数)(t ψ的窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则可以求得连续小波基函数)(,t b a ψ的窗口中心及窗口宽度分别为：t a t b at t a b a ∆=∆+=τ,0,, （2-3） 设)(ˆw ψ是)(t ψ的傅立叶变换，频域窗口中心为0w ，窗口宽度为w ∆，)(t ψ的傅立叶变换为)(,w b a ψ，则有：)()(,aw e a w jwb b a φψ-= （2-4） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为：w aw w a w b a b a ∆∆1,1,0,== （2-5） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有w t w t b a b a ∆⋅∆=∆⋅∆,, （2-6）即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是Heisenberg 测不准原理。
连续小波变换CWT以及MA LB例程
k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2
(cos2
2
)
N
P(sin
2
2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t
)
(1
t
2
)e
t2 2
()
2
2e
2
2
4.Morlet小波
2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率 Fa为
Fa＝Fc×fs/a
(1)
显然，根据采样定理，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范 围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够 大即可。
3.尺度序列的确定
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
（4）品质因素
Q
0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。
连续小波变换
2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d
2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着： ˆ（ 0 ）＝ 0 即： (t)dt 0
小波变换重构定理的一个推广：
令 1, 2是两个基小波， ˆ 1() ˆ 2 () d c1 2 1
则：
－ －
1 2 [ f , b,a b,a , g
da db c1, 2 1 f , g 2 a da db 2 a
__________ ______ 2 2 对所有的 f , gL 成立，并且对于 f L 和 f的连续点 x R ，有
1 da f (x) [ W ( f )( b , a ) ( x ) db b,a 2 c a － －
小波重构定理的证明：
da 左端＝ f , g , 2db b , a b , a a － －
,
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1 . 小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a 有关。
2. 时频窗口形状与参数 a的关系。 当 a下降时：中心频率上升 ， 当 a上升时：中心频率下降 ，
频域窗口变宽，时域窗 口变窄。
频域窗口变窄，时域窗 口变宽。
a
*
a1 a 2
1
1 2 1 2
* , 时域半径为
i t
cwt 小波变换
cwt 小波变换1. 介绍小波变换（Wavelet Transform）是一种用于信号处理和数据分析的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的子信号，并提供了对信号在时间和频率上的局部分析能力。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是其中一种基本形式。
CWT 是通过将信号与一个母小波函数进行卷积来实现的，这个母小波函数可以进行平移和缩放。
通过调整平移和缩放参数，CWT 可以提供不同尺度下的频谱信息，从而提供了对信号局部特征的多尺度分析能力。
2. 算法原理CWT 的算法原理如下：1.选择一个合适的母小波函数（通常选择具有紧支集、平滑性和可调节性质的小波函数），如 Morlet 小波、Mexican Hat 小波等。
2.对于给定的输入信号 x(t) 和尺度参数 a，计算连续小波系数 C(a, b)：其中 x(t) 是输入信号，ψ(a, t) 是母小波函数在尺度 a 和时间 t 上的形状。
3.对不同尺度参数 a 进行迭代，计算得到一系列连续小波系数矩阵。
4.可以通过对连续小波系数矩阵进行反变换，恢复原始信号。
3. 特点与应用CWT 具有以下特点和应用：•多尺度分析能力：CWT 可以提供对信号在不同尺度下的频谱信息，从而实现多尺度分析。
这使得 CWT 在信号处理、图像处理、模式识别等领域有广泛应用。
•局部特征提取：CWT 可以通过调整母小波函数的尺度参数，实现对信号局部特征的提取。
例如，在音频处理中，可以利用 CWT 提取不同频率范围内的声音特征。
•压缩表示与去噪：CWT 可以将信号分解成不同频率的子信号，并且具有压缩表示的能力。
这使得 CWT 在数据压缩和去噪方面有应用潜力。
•图像处理与边缘检测：CWT 在图像处理中可以实现边缘检测、纹理分析等功能。
通过将图像进行连续小波变换，并根据不同尺度下的系数信息来进行图像分割和特征提取。
•信号识别与分类：CWT 可以提取信号的局部特征，并结合机器学习算法进行信号识别和分类。
连续小波变换的定义
连续小波变换的定义连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种数学工具，用于在时域和频域之间转换信号。
它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。
连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别等。
一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数，用于分析信号的局部特征。
母小波必须满足一定的数学条件，其中最重要的是零平均性和正交性。
零平均性要求母小波的积分为零，这样可以排除信号的直流成分。
正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性，以便在不同频率和时间上分析信号。
一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。
每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性，适用于不同类型的信号分析。
二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算：1.选择合适的母小波函数。
根据信号的特征选择适合的母小波函数，例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。
2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。
通过缩放和平移母小波函数，生成在不同时间尺度下的小波函数。
3.将信号与小波函数进行卷积。
对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算，得到连续小波系数。
4.可选的信号重建。
根据需要，可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。
三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点：1.连续性：连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号，不需要进行离散化处理。
这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。
2.尺度可调性：连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。
不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。
3.多分辨率分析：连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息，从而实现对信号的多尺度分析。
这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。
4.良好的时-频局部化特性：连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析，对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。
第十一章连续小波变换介绍
第十一章连续小波变换介绍
一、简介
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一种处理时间序列信号的数学方法，由发明者Marcel Grossman和Jean Morlet于1986年提出。
它是理想小波变换的推广，也是时频分析的一种技术。
连续小波变换基于一种称为小波函数的正弦余弦函数，可以将一个时间信号分解为由不同频率和频带组成的一系列复合信号。
二、连续小波变换的基本原理
连续小波变换 (Continuous WaveletTransform,CWT)是一种将信号的时间序列变换为小波指数系数的一种变换。
它可以使用单点操作来将一个时间上连续的信号变换为时间上不连续的信号。
信号中的高频分量被窄带保留，而低频分量则被底带宽度突出发挥。
可以使用不同尺度的小波滤波器对信号进行分解和重建，确定信号各分量的能量分布。
三、连续小波变换的应用
(1)音频处理：连续小波变换可以用来处理声音信号，分析和处理噪声，增加音质，增强音量，去掉噪音，等等。
(2)运动控制：连续小波变换可以用来处理运动控制的信号，可以用来控制自动测量装置的稳定性，减少步进电机的抖动，改善舵机控制系统的表现等。
(3)数字图像处理：连续小波变换可以应用于数字图像处理方面，可以用来完成图像质量改善，图像去噪，以及实现视觉特征提取等任务。
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Digital Signal Processing
连续小波变换的频域分析
CWTx (a, ) 1 a
x(t ) * (
t
a
)dt
1
t x(t )* * ( ) a a
1 t ˆ ( ) IFT x FT * ( ) a a t e jt * t * FT ( ) ( ) dt a * (u)e jau du a * (a ) t au a a
时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
Digital Signal Processing
小波变换的发展
•地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念
•数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
连续小波变换的逆变换
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) (t u )
x(t ) 1 c
0
da t WT ( a , ) ( )d x a a 2
Digital Signal Processing
小波函数的特性
振荡性
c ˆ ( ) d
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正则性
t au
小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分 析信号的p阶导数以上的成份 当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正 则性条件高的小波函数
ˆ() * (a) CWTx (a, ) a IFT x
Digital Signal Processing
频域观察CWT的物理意义
若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等 效提取信号在不同频带的成份
尺度参数a与模拟角频率参数等效
垐 * (a ) 频域局域化指标为 [ , ] a 2a a 2a
Digital Signal Processing
第十一章
连续小波变换
短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷 Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌 理想状态
•既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析
•又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
11．1分析窗的尺度伸缩和平移特性
分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标
(t ), t ~
[t * 2 , * ˆ 2 ]
分析窗的尺度伸缩平移 1 t a , ( )
a a
尺度伸缩平移窗函数的局域化指标
CWTx (a, ) x(t ), a , (t ) 1 a
x(t ) *a (t )dt a 0, x(t ) L2
x(t ) (
t )dt a
Digital Signal Processing
某尺度下CWT的计算过程
某尺度和某位移下的CWT值等于求信号 与小波函数的尺度伸缩平移的相关
例， (t ) (1 t 2 )et
2
/2
t 2 ( a , (t ) 1 ( ) e a
t 2 ) /2 a
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尺度调节对时频相平面的影响
调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距
*
*
•尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份 •尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份
Digital Signal Processing
典型小波函数不同尺度下的频率特性
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连续小波变换的逆变换
Moyal定理
x 1 (t ), x2 (t ) L( R 2 )
2
ˆ ( )
0
(t )dt 0
正则性 小波函数的阶原点距
CWTx (a, ) 1 1 a
M k t k *(t )dt
x(t ) * (
t )dt a
(k ) (t ) k * t )dt x ( ) ( k ! a a k 0 1 x ( k ) ( ) t (t ) k * ( )dt k ! a a k 0
尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌）
尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部
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11．2连续小波变换
连续小波变换的定义
2 信号 x(t ) L ( R)
ห้องสมุดไป่ตู้
时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 (t ) 小波函数尺度伸缩与平移 a, (t ) CWT变换
* a ˆ * [at , ] 2 a 2a
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尺度伸缩平移窗函数的特性
尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小 尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大
ˆa , 常数
分析窗的时间——带宽乘积等于常数
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c
ˆ ( ) d
2
c x1 (t ), x2 (t ) WTx1 (a, ), WTx2 (a, )
0
da x 1 (t ), a , (t ) a , (t ), x 2 (t ) d 2 a