第6章连续小波变换
第六章小波分析基础ppt课件
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
小波分析连续小波变换
小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具，可以在时频域上对信号进行局部化分析。
连续小波变换是小波分析的一种常用方法，它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分，从而揭示出信号的时间和频率特征。
在本文中，我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用，并对其进行详细分析。
连续小波变换的原理可以用数学公式表示为：CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数，\(f(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。
小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到，其中缩放因子\(a\)控制小波的频率，平移因子\(b\)控制小波的相位。
连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择，常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。
每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性，适用于不同类型的信号分析。
连续小波变换方法的基本步骤如下：1.选择合适的小波基函数和尺度范围。
2.将原始信号进行滤波和下采样，得到不同尺度的近似信号。
3.将原始信号与小波基函数进行卷积，得到不同频率和尺度的细节信号。
4.重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的小波系数。
连续小波变换的应用十分广泛，包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。
下面我们将以信号分析为例，详细介绍连续小波变换的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。
通过对信号进行小波变换，可以得到不同尺度的频谱信息，从而揭示出信号的时频特征。
例如，在生物医学信号分析中，连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律，从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。
同时，连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。
在工程领域，连续小波变换也有重要的应用。
例如，在机械故障诊断中，连续小波变换可以用来分析振动信号，从而检测机械设备中的故障和异常。
第6章 气象上常用小波及其应用
第6章 气象上常用小波及其应用实例(1)前面五章讲述了小波分析方法的由来和原理，这些基本知识为气象上实际应用奠定了基础。
本章将介绍气象上常用的几种小波，特别是Haar 小波和墨西哥帽（Mexihat ）小波，以及小波分析的应用实例。
6.1 二进小波二进小波的产生基于第4章的“二分法”。
它的基本思路是把连续型函数)(t f 及其连续小波变换),(b a W f 离散化，以便于实际应用。
作为一种方便和常用的形式，是对小波参数中的放（伸）缩因子a 进行二进制离散。
若小波函数系的表达式{}Zm,n n t am∈-- ),(ψ（••） 中的放缩因子)(2Z j a j ∈=，则称)(t ψ为二进小波。
把经过这种离散化后的二进小波的变换，称为二进小波变换。
强调说明：在应用时所用的小波函数系（式（••））与前面第4章第3节的式（•）有所不同。
比照这两式：),()(),2(2)(,2/,b at a t k t t b a jj kj -=-=ψψψψ或（•）),()(,n t at mn m -=-ψψ（••） 可以看出，二者主要的不同点是t 的系数a 指数正负号恰好相反。
所以，用式（•）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变窄；而用式（••）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变宽。
定义6.1 函数)()(2R L t ∈ψ被称为二进小波，若存在两个常数∞<≤<B A 0，使得：∑∈-≤≤Zj j B A .)2(ˆ2ωψ（6.1）上述条件式（6.1）称为稳定性条件；若A =B ，则称最稳定条件。
而函数序列{}Zj j f W ∈2称为二进小波变换，其中，,d 2)(21)()(22b b t t f t f t f W Rjjjj ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=*=ψψ（6.2）这里j a 2=是放缩因子，b 是平移因子。
由卷积定理知：)2(ˆ)(ˆ)(ˆ2ωψωωj f f W j ⋅= （6.3） 据此，稳定性条件等价于：对任意)()(2R L t f ∈，有：∑∈≤≤Zj fB fW fA j 2020220（6.4）下面定理说明，二进小波一定是允许小波。
小波变换
第五章 小波变换 Wavelet Transform小波理论是20世纪80年代后期发展起来的一门新兴应用数学分支，在法国学者莫列特（J.morlet ）马莱特（S.Mallat ）杜比垂丝（I.Daubechies ）努力下，小波理论及其在工程中的应用迅猛发展，打破了积分变换领域长期以来付氏变换一统天下的格局，开创了一个划时代的局面。
小波变换被认为是信号分析工具和方法上的重大突破。
由于小波变换可看成是傅氏变换的发展，所以与傅氏变换一样具有极广的应用面。
目前，在通信、图像、语言、地震、雷达、声纳、机械振动分析、信号检测、特征提取、故障诊断、滤波、数据压缩等多方面都得到了应用。
小波变换的应用研究正方兴未艾。
小波变换之所以有如此好的局面，源于它具有的多分辨特性——多尺度特征，可以把小波变换看成是一组品质因数相同具有良好选频特性的带通滤波器，通过适当地选择尺度因子和平移因子和基本小波，可以得到一个伸缩窗使得小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力——称为数学显微镜本章不对小波变换进行完整的数学讲述。
只从信号处理的角度对小波变换的基本理论和方法作一简单的介绍。
突出其定性的概念，建立起对小波的一点概念和兴趣，为今后的应用研究打下基础。
主要讲：连续小波变换、多分辨分析、Mallat 算法、小波包分析。
5.1 傅立叶变换到小波变换5.1.1傅立叶变换的局限性傅立叶变换： ()()j t x j x t e dt ωω∞--∞=⎰ （5-1） ()()12j t x t x e d ωωωπ∞-∞=⎰ （5-2）一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式1.揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系（时域 频域）2.反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。
注解：(1)积分区间都是无穷的，所以傅氏变换是对无穷区间函数的分析。
注解：(2)用傅氏变换的方法是提取信号频谱时，需要利用信号的全部时域信号。
现代数字信号处理6章(new1)
现代数字信号处理6章(new1)通信专业基础知识Chapter6小波分析（WaveletAnalyi）小波分析在数学中占有独特的地位。
而在信号处理领域中，如计算机视觉和图象处理中的多分辩率技术、语言和图象压缩中的子带编码技术等，很好地运用了“小波”这种特殊的数学工具。
本章主要从信号处理工程应用角度对小波分析的基本理论、基本概念和主要方法进行扼要介绍。
重点是讨论小波变换的概念和性质、算法及其实现，以及在信号处理中的典型应用。
其中涉及到的数学理论，大多只引用重要结论，而不与推导、证明。
先介绍几个数学概念（符号）⒈Z：整数集theetofinteger⒉R：实数集theetofrealnumber⒊L2(R)：表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间thevectorpaceofmeaurablequare-integrable⒋g(u),f(u)g(u)f(u)du：g(u)和f(u)的内积g(u),f(u)L2Rf(u)：f(u)的复共轭⒌||f||2|f(u)|2du在L2(R),f(u)的范数⒍f(u)某g(u)f(u)g(tu)duf某g(t)[f(u)某g(u)](t)⒎f(w)f(t)ejwtdt，j1,ji2令L(R)表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间，该空间中的任何函数f(t)是可测的且满足|f(t)|2dt这样的函数可用来表示能量有限的连续时间信号or模拟信号。
通信专业基础知识§6.1窗口付里叶变换（WindowedFourierTranformWFT）or短时付里叶变换（Short-TimeFourierTranformSTFT）信号的局部发生变化，会影响到信号的整个频谱。
例如一个低频信号如果在某一时刻t0增加一个冲激，那么它的频谱立刻变成宽带频谱。
但这个宽带频谱只能辨别信号中存在着冲激，但却无从确定这个冲激发生的时间位置。
说明付里叶分析没有时间定位或时间局域化的能力。
现代信号处理第6章连续小波变换
小波
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
设离散信号 是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度N Δ为Δ的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为 :
由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δ t，所以上式的极限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格，k∈Z+，令
6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。 小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度 由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。
6.1.4 谐波小波滤波
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m，当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析
谐波小波的定义及正交性
谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
谐波小波的定义及正交性
连续小波变换的定义
连续小波变换的定义连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种数学工具，用于在时域和频域之间转换信号。
它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。
连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别等。
一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数，用于分析信号的局部特征。
母小波必须满足一定的数学条件，其中最重要的是零平均性和正交性。
零平均性要求母小波的积分为零，这样可以排除信号的直流成分。
正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性，以便在不同频率和时间上分析信号。
一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。
每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性，适用于不同类型的信号分析。
二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算：1.选择合适的母小波函数。
根据信号的特征选择适合的母小波函数，例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。
2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。
通过缩放和平移母小波函数，生成在不同时间尺度下的小波函数。
3.将信号与小波函数进行卷积。
对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算，得到连续小波系数。
4.可选的信号重建。
根据需要，可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。
三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点：1.连续性：连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号，不需要进行离散化处理。
这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。
2.尺度可调性：连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。
不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。
3.多分辨率分析：连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息，从而实现对信号的多尺度分析。
这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。
4.良好的时-频局部化特性：连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析，对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。
python ;连续小波变换
python ;连续小波变换（实用版）目录1.介绍 Python 编程语言2.连续小波变换的概念和原理3.Python 中实现连续小波变换的方法和常用库4.应用案例：使用 Python 实现连续小波变换正文1.介绍 Python 编程语言Python 是一种广泛使用的高级编程语言，以其简洁的语法和强大的功能受到广大开发者的喜爱。
Python 具有丰富的第三方库和工具，可以快速地进行数据分析、图像处理、机器学习等领域的开发。
在科学计算和数据处理方面，Python 的表现尤为出色，因此成为了许多研究和工程项目的首选编程语言。
2.连续小波变换的概念和原理连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种信号处理方法，可以用来分析信号的时频特性。
与离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）不同，连续小波变换可以在连续的时间尺度上进行信号分析。
连续小波变换的原理是将一个信号分解为一系列不同尺度、位置和频率的小波函数，从而得到信号的详细特征。
3.Python 中实现连续小波变换的方法和常用库在 Python 中，可以使用 SciPy 库中的 signal 模块实现连续小波变换。
SciPy 提供了一系列信号处理工具，包括小波变换、傅里叶变换等。
要使用 SciPy 实现连续小波变换，需要首先安装 SciPy 库，然后按照其文档中的示例代码进行操作。
需要注意的是，SciPy 中的信号处理函数需要输入信号的样值，因此需要先对信号进行采样。
4.应用案例：使用 Python 实现连续小波变换假设有一个信号如下：```x = np.array([0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0])```首先，需要对这个信号进行采样，假设采样频率为 1000：```t = np.arange(0, len(x), 1/1000)```然后，可以使用 SciPy 的 signal 模块中的 wavelet 函数实现连续小波变换：```wavelet_coefficients = signal.wavelet(x, t, "gauss", level=3) ```这里，"gauss"表示使用高斯小波，level=3 表示分解到第三层。
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−∞
−∞
小波分析:
小波滤波:
尺度与频率: 注意: 在连续小波变换的情况下,没有要求小波有相应的尺度函数.
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
设函数 ψ (t ) ∈ L1(R) ∩ L2 (R) , 若
∫ cψ =
+∞ ψˆ (ω ) 2 dω < +∞ −∞ ω
则称 ψ (t) 为一个允许小波。
−∞
a
f ,ψ a,b
连续小波变换
∫ WTf (a,b) =
1 a
+∞ −∞
f
(t)ψ ∗(t
− b)dt a
=
a 1/2
f
∗ψ
a
(b)
ψ a (t ) = a ( ψ −1 * −t / a)
性质： 线性性质 平移不变性
在实际工程应用中,常假设a>0.
……….
∫ ∫ 连续卷积的定义:(h ∗ f ) (t) = +∞ h (u) f (t − u) du = +∞ f (u) h(t − u)du
允许条件等价于： ψˆ (0) = 0 （波动性），与
( ) ψ (t ) ≤ c 1+ t −1−ε ,ε > 0 （衰减性）
允许条件是保证正、逆变换存在的条件。
∫ ∫ f (t) = 1 +∞ cψ −∞
+∞ −∞
1 a2
WTf
(a, b)ψ
a,b
(t)dadb
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
4. Morlet小波
ψ (t) = e−t2 / e2 iω0t
ψˆ (ω ) = π2 e−(ω−ω0 )2 / 2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
在Matlab中， morlet 小波的定义为
ψ (t) = e−t2 /2 cos 5t
问 ψˆ (ω) = ?
2009-5-19
，则称 ψ (t) 为一个基本小波或母小波。
ψ a,b (t) =
1 ψ(t −b)
aa
a,b ∈ R a ≠ 0
(连续)小波函数
a和b的意义
ψ a,b (t) 2 = ψ (t) 2
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∫ WTf (a,b) =
1 a
+∞ f (t)ψ ∗(t − b)dt =
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Morlet小波
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
( ) ( ) g
t
=
σ π − t2
1 2σ 2 e 2 1/ 4
ψ (t ) = g (t ) eiηt
σ = 1,η = 5
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常用的基本小波
1. Haar小波
⎧1
ψ
(t
)
=
⎪ ⎨
−1
⎪⎩0
0 ≤ t <1/2 1/2 ≤ t <1
其它
ψˆ (ω) = i 4 e−iω /2 sin2 (ω / 4)
ω
1 ψ (t)
01
1
2
−1
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2. Daubechies小波
+∞
−∞ W f
a;b1, b2
ψ
⎛ ⎜⎝
x
− a
b1
,
y − b2 a
⎞⎟⎠db1db2
∫∫ ( ) 其中，cψ
=
1
4π 2
2
ψˆ ωx ,ωy
ωx2
+பைடு நூலகம்
ω
2 y
dωxdωy
当 a = 2 j 时，得出二进二维连续小波变换：
∫ ∫ ( ) Wf (b1,b2 ) =
+∞ −∞
+∞ f ( x, y ) 2− jψ ∗
第6章 连续小波变换
• 小波及连续小波变换 • 常用的基本小波 • 时频分析 • 连续小波变换的计算 • 小波变换的分类
2009-5-19
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目的
• 熟悉连续小波变换的定义 • 深入理解小波时频分析的思想和方法
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小波及连续小波变换
∫ 设函数 ψ (t ) ∈ L1(R) ∩ L2 (R) ，并且 ψˆ (0) = 0 ，即 +∞ψ (t)dt = 0 −∞
h=
1 2
⎩⎧⎨18
,
1 2
,
3 4
,
1 2
,
1 8
⎫⎬ ⎭
h=
1 2
⎧3 ⎨⎩16
,
−
3 4
,
5 16
,
5 2
,5 16
,
−
3 4
,3 16
⎫ ⎬ ⎭
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
Bior2.4
双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。
2009-5-19
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−∞
2− j ( x − b1 ) , 2− j ( y − b2 ) dxdy
2009-5-19
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当 a = 2− j , b1 = al, b2 = am;l, m ∈ Z 时，得出二维
离散小波变换：
∫ ∫ ( ) Wf ( j,l, m) = 2 j
+∞ −∞
+∞ f ( x, y)ψ ∗
（7-5）小波滤波器:
⎧ ⎪ ⎪
p0
=
4q2 8q2
−3 −2
⎪ ⎪ ⎪
p1
=
4q22 + 5q2 −1 8q2 − 2
⎪ ⎪ ⎨
p2
=
4q2 +1 16q2 − 4
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
p3
=
4q22 + q2 2 − 8q2
q0 = 1− 2q2
⎪ ⎪ ⎩
q1
=
1 2
~
pn = 2 hn , qn = 2hn
二维连续小波变换与离散小波变换
设 f ( x, y) ∈ L2 ( R2 ), ψ ( x, y) 满足条件
称积分
∫ ∫+∞ +∞ψ ( x, y)dxdy = 0 −∞ −∞
∫ ∫ Wf (a;b1,b2 ) =
+∞ −∞
+∞ −∞
f
( x,
y)
1ψ
a
∗
⎛ ⎝⎜
x
− b1 a
,
y
− b2 a
⎠⎞⎟dxdy
为 f ( x, y) 的二维连续小波变换，称 ψ ( x, y) 为二维
基本小波函数。
ψ
a;b1 ;b2
(
x,
y)
=
1ψ
a
⎛ ⎝⎜
x
− b1 a
,
y
− b2 a
⎞ ⎠⎟
2009-5-19
清华大学计算机系 孙延奎
相应的反演公式为
∫ ∫ ∫ f ( x, y) = 1
cψ
( ) +∞ da
0 a3
+∞ −∞
2009-5-19
D4尺度函数与小波
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
清华大学计算机系 孙延奎
3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器
bior2.2, bior4.4
−∞
2 j x − l, 2 j y − m dxdy
如果再把小波函数 ψ ( x, y) 取为变量可分离的二元函数：
ψ ( x, y) =ψ 1 ( x)ψ 2 ( y)
它可以通过一维多分辨分析得出二维多分辨分析。
附注：有更一般的二维连续小波变换的定义，它在尺度可伸缩的同时还可 以旋转。
2009-5-19