第十一章 连续小波变换
连续小波变换python实现
连续小波变换python实现连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种信号处理技术，可以将信号分解为不同频率的子信号。
它在时间和频率上提供了更好的分辨率，因此被广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别等领域。
本文将介绍如何使用Python实现连续小波变换。
我们需要导入相关的库。
在Python中，我们可以使用PyWavelets 库来进行小波变换的计算。
通过以下代码导入PyWavelets库：```pythonimport pywt```接下来，我们需要准备一个信号来进行连续小波变换。
在本文中，我们以正弦波信号为例。
通过以下代码生成一个正弦波信号：```pythonimport numpy as np# 生成正弦波信号t = np.linspace(0, 1, 1000)f = 10 # 正弦波的频率x = np.sin(2 * np.pi * f * t)```生成的信号x是一个包含1000个样本点的正弦波信号。
接下来，我们可以使用CWT函数来进行连续小波变换。
CWT函数的参数包括输入信号、小波函数、尺度范围等。
通过以下代码进行连续小波变换：```python# 进行连续小波变换wavelet = 'morl' # 小波函数scales = np.arange(1, 100) # 尺度范围coefficients, frequencies = pywt.cwt(x, scales, wavelet)```连续小波变换的结果包括系数矩阵coefficients和频率向量frequencies。
系数矩阵coefficients的行数对应于尺度范围的大小，列数对应于输入信号的长度。
通过系数矩阵coefficients，我们可以得到不同尺度下的子信号。
我们可以使用matplotlib库来绘制连续小波变换的结果。
通过以下代码进行绘制：```pythonimport matplotlib.pyplot as plt# 绘制连续小波变换的结果plt.imshow(coefficients, cmap='coolwarm', aspect='auto')plt.xlabel('Time')plt.ylabel('Scale')plt.show()```绘制的结果是一个热力图，横轴表示时间，纵轴表示尺度。
连续小波变换的概念
连续小波变换的概念swt,cwt,dwt1。
连续小波的概念。
就是把一个可以称作小波的函数（从负无穷到正无穷积分为零）在某个尺度下与待处理信号卷积。
改变小波函数的尺度，也就改变了滤波器的带通范围，相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。
本质上，连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。
2。
连续小波是尺度可连续取值的小波，里面的a一般取整数，而不像二进小波a取2的整数幂。
从连续小波到二进小波再到正交离散小波，其实就是a、b都连续，a不连续、b连续，a、b都不连续的过程。
操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶)，多孔(a trous)，MALLAT。
在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。
SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。
3。
从冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面两个都冗余，后面的离散小波变换不冗余。
4。
从应用上：CWT适合相似性检测、奇异性分析；SWT适合消噪，模极大值分析；DWT适合压缩。
5。
操作。
就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积，再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。
每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数，多个尺度就是一个矩阵，这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。
6。
显示。
“不要认为工程很简单”。
我的一个老师说过的话。
小波系数的显示还是有技巧的。
很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。
第一步，一般将所有尺度下的小波系数取模；第二步，将每个尺度下的小波系数范围作映射，映射到你指定MAP的范围，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令画图；第四步，设置时间和尺度坐标。
MATLAB是个很专业的软件，它把这些做的很好，但也就使我们懒惰和糊涂，我是个好奇心重的人就研究了下。
里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起，就是WCODEMAT，有兴趣的同学可以看看。
希望大家深入研究小波。
第3.2连续小波变换的性质2014修正2
* * 1 * 1 * ^ ^ , (t b) , a ^ a ^ a (t b) * a a a a a
a2
2 *^
4 ^
a 1
*
^
2 ^ ^
a 1/ 2
( )2 d 0 a ,
2 1 2
a ,
ˆ ( ) ，根据 设母小波为 (t ) ，其傅里叶变换为 上公式计算出母小波 (t ) 对应的波形参量 , t, 0 , 分别为 t0 ，经过伸缩平移后的 小波基函数 a, (t ) 对应的波形参量分别为 t0 , t , 0 , ，则存在以下的结论： （1）能量守恒 ：
x 2 2
2 a2
WT a , 的完全准确恢复需要 a 平面 那么， 上无数个类似于的点的共同贡献才能完成，即 把这种贡献的累积就归结为平面上的二维积分：
x 1 1
WTx a1 ,1 da2
0
WTx a2 , 2 K a1 ,1 , a2 , 2 a WTx a, K a1 , 1 , a,
§2.3 连续小波变换的性质
1.小波基的自适应时频窗及其度量 小波基的时窗、频窗的波形参量如下： （1）时窗中心：实质上信号在时域的一阶 矩，即
t0
t a , t dt
2
a , t
2
t
[
1 * ^ 2
1
2
t
2.连续小波变换的性质 假设信号矢量 x(t ) 和 y(t ) 为能量有限信号， 即 x(t ), y(t ) L (R) ，其连续小波变换（CWT）分别 k2 为任意常 表示为 WTx a, 和 WTy a, ，令 k1 ， 数。 （1）线性叠加性 若 z t k1x(t ) k2 y(t ) ，则 z t 的连续小波变换 为 WTz a, k1WTx a, k2WTy a, 。 （2）时不变性 令原信号 x(t ) 的延时信号表示为 z t x t t 则其连续小波变换为 WTz a, WTx a, t0
正交变换-小波变换
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2
H 1 ( 0 ) 0
1
2
j 1
2
H 0 (2
j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变 换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
模态分解和连续小波变换
模态分解和连续小波变换模态分解和连续小波变换是两种信号分析方法，分别对于不同类型的信号具有强大的分析能力。
在本篇文档中，我们将分别介绍这两种方法的基本原理、主要特点和应用场景，旨在帮助读者更好地了解信号分析领域中的两个核心概念。
一、模态分解模态分解（Mode Decomposition，MD）也称为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD），是一种非常常见的原始信号分解方法。
它的基本思想是将原始信号分解成若干个本征模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF），每个IMF都代表了原始信号中某种特定的振荡模式。
经过多次迭代，即可得到一组IMF，最后剩余的信号称为残差信号。
MD方法的主要特点是其无需事先确定信号的频率、振幅和相位等特性，也无需假设信号的结构和幅度信息，从而能够对非线性、非平稳和非高斯随机信号等多种形式的信号进行有效分解。
MD方法的主要步骤包括：1. 对原始信号进行局部极大值检测，得到上包络线。
2. 对原始信号进行局部极小值检测，得到下包络线。
3. 求解局部均值，得到平均线。
4. 将上下包络线减去平均线，得到一个IMF。
5. 对该IMF重复步骤1~4，直到提取出所有IMF和残差信号。
MD方法的应用场景非常广泛，例如在信号去噪、特征提取、谐波分析等领域都有广泛的应用。
同时，MD方法还可以与其他分析方法如小波分析和时频分析等方法结合使用，以提高研究的准确性和可靠性。
二、连续小波变换连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是另一种常见的信号分析方法，与传统的傅里叶变换和离散小波变换相比，其最大的特点在于它具有多尺度分析的能力，即可以在不同时间和频率尺度下进行信号分析。
CWT方法的基本原理是基于小波函数在不同时间和频率尺度下的多重缩放变换，从而得到一组小波系数，这些小波系数可以表示原始信号在不同时间和频率尺度下的特征信息。
连续小波变换CWT以及MA LB例程
k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2
(cos2
2
)
N
P(sin
2
2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t
)
(1
t
2
)e
t2 2
()
2
2e
2
2
4.Morlet小波
2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率 Fa为
Fa＝Fc×fs/a
(1)
显然，根据采样定理，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范 围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够 大即可。
3.尺度序列的确定
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
（4）品质因素
Q
0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。
连续小波变换
2.振荡性。（表征 f的局部频率特性）
“容许性”条件：
若： L , 且满足条件：
2
ˆ ( ) c : d
2
则称为基小波, c 为小波常数。
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着： ˆ（ 0 ）＝ 0 即： (t)dt 0
小波变换重构定理的一个推广：
令 1, 2是两个基小波， ˆ 1() ˆ 2 () d c1 2 1
则：
－ －
1 2 [ f , b,a b,a , g
da db c1, 2 1 f , g 2 a da db 2 a
__________ ______ 2 2 对所有的 f , gL 成立，并且对于 f L 和 f的连续点 x R ，有
1 da f (x) [ W ( f )( b , a ) ( x ) db b,a 2 c a － －
小波重构定理的证明：
da 左端＝ f , g , 2db b , a b , a a － －
,
对小波变换时频窗口的分析：
对小波变换时频窗口的分析：
1 . 小波变换的时频窗口形 状仅与参数 a 有关。
2. 时频窗口形状与参数 a的关系。 当 a下降时：中心频率上升 ， 当 a上升时：中心频率下降 ，
频域窗口变宽，时域窗 口变窄。
频域窗口变窄，时域窗 口变宽。
a
*
a1 a 2
1
1 2 1 2
* , 时域半径为
i t
连续小波变换和离散小波变换
幸运的是，在实际情形中，高频成分（对应于小尺度因 子，相当于大比例尺）持续时间不长，它们往往以短时突变 的形式出现。而低频成分（对应于大尺度因子，相当于小比 例尺）往往要持续很长时间。
低频信号的特点是，在较大的时间范围内幅值变化慢， 其频率范围窄，于是在分析低频信号时时窗宽而频窗窄；高 频信号的特点是，在较小的时间范围内幅值变化快，其频率 范围宽，于是分析高频信号时时窗窄而频窗宽。
第二页，共38页。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
第三页，共38页。
定义 3.1 设 ψL2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换ˆ () 满足
0 C
|ˆ () |2 d | |
第三十五页，共38页。
由于大量的计算都要由计算机来进行。显然 Fourier 变换、WFT 和小波变换都不能用它们的积分形式计算。变 换需要进行离散化。而且由于 CWT 中存在信息表述的冗余 性（Redundancy）：（1）由 CWT 恢复原信号的重构公式 不唯一；（2）小波函数存在许多可能的选择（如非正交、 半正交、双正交和正交小波等），从数值计算和数据压缩的 角度看，我们总希望尽量减少 CWT 的冗余度。因此就像在 Fourier 变换和 WFT 中一样，要对时间—频率（尺度）相 平面进行采样。在小波变换中，随着尺度的改变采样率也 可加以改变。在低频段，采样率可减低以节省大量计算时 间。
因此，对每对尺度因子值和时间（段），我们计算 出了时间—尺度因子相平面上的一个点。对应于一个尺 度因子值的计算结果对应于平面上的一行，不同尺度因 子上的计算结果对应于平面上的列。
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正则性
t au
小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分 析信号的p阶导数以上的成份 当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正 则性条件高的小波函数
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其它特性 光滑性和连续性 :避免短时加窗截断时的非线性影响 紧支集性:时域或频域紧支性可保证小波函数在一个域中具有最 好的局域化特性 线性相位性 :防止小波变换过程中产生相位失真 正交性 :变换之后的冗余度最小，实现最大限度的数据压缩 具有解析表达式 :方便连续小波变换的计算
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第十一章
连续小波变换
短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷 Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌 理想状态
•既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析
•又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析
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11．1分析窗的尺度伸缩和平移特性
分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标
(t ), t ~
[t * 2 , * ˆ 2 ]
分析窗的尺度伸缩平移 1 t a , ( )
a a
尺度伸缩平移窗函数的局域化指标
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Meyer小波
0 8 / 3 or 0 2 / 3 1/ 2 j / 2 32 2 4 / 3 8 / 3 1 exp e 3 ( 8 / 3 ) 2 ( 4 / 3 ) 2 ˆ ( ) j / 2 (t ) e 4 / 3 1/ 2 4 j / 2 2 / 3 4 / 3 1 exp e 3 ( 4 / 3 ) 2 ( 2 / 3 ) 2
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连续小波变换的频域分析
CWTx (a, ) 1 a
x(t ) * (
t
a
)dt
1
t x(t )* * ( ) a a
1 t ˆ ( ) IFT x FT * ( ) a a t e jt * t * FT ( ) ( ) dt a * (u)e j au du a * (a ) t au a a
CWTx (a, ) x(t ), a , (t ) 1 a
x(t ) *a (t )dt a 0, x(t ) L2
x(t ) (
t )dt a
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某尺度下CWT的计算过程
某尺度和某位移下的CWT值等于求信号 与小波函数的尺度伸缩平移的相关
k 0
1 a
[ y( n 1) y( n)], y( n) x( n)* I ' a ( n)
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CWT卷积法计算过程
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由 I [kTs ] 计算 I [kTs ]
a
Ts1小波采样频率 (nTs1 ), n 0,1,..., N
例， (t ) (1 t 2 )et
2
/2
t 2 ( a , (t ) 1 ( ) e a
t 2 ) /2 a
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尺度调节对时频相平面的影响
调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距
Matlab工具箱中常用小波及其特性比较
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11．3连续小波变换的性质
线性性
y(t ) x1 (t ) x2 (t )
WTy (a, ) WTx1 (a, ) WTx2 (a, )
时移不变性
x(t t0 )
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1
ˆ ( ) j
sin( )e 4
4
j
2
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墨西哥草帽（Mexican Hat）或Marr小波 2 2 2 1/ 4 2 2 / 2 ˆ ( ) (t ) 1/ 4 (1 t 2 )et / 2 e 3 3
时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
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小波变换的发展
•地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念
•数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
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11．4连续小波变换的计算机实现
CWT变换的数值卷积实现
1
*
x(kTs ), k 0,1,...,
t 1 ( k 1)Ts * t CWTx (a, ) x ( t ) ( ) dt x ( kT ) ( )dt s a a a a k 0 kTs 1
nTs
( k 1)Ts
*(
( k 1)Ts t )dt a* (t nTs )dt I a [(k 1 n)Ts ] I a [((n 1) k )] I ' a [(n 1) k ] a
CWTx (a, ) x(kTs ) I ' a [(n 1) k ] I ' a [ n k]
ˆ( ) * (a ) CWTx (a, ) a IFT x
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频域观察CWT的物理意义
若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等 效提取信号在不同频带的成份
尺度参数a与模拟角频率参数等效
垐 * (a ) 频域局域化指标为 [ , ] a 2a a 2a
* a ˆ * [at , ] 2 a 2a
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尺度伸缩平移窗函数的特性
尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小 尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大
ˆa , 常数
分析窗的时间——带宽乘积等于常数
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常见小波函数
Morlet小波
(t ) e e j t
0
t2 T
0 5
T 4
ˆ ( ) T e ( 0 ) 2
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1 Haar小波 (t ) 1
*
*
•尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份 •尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份
Digital Signal Processing
典型小波函数不同尺度下的频率特性
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连续小波变换的逆变换
Moyal定理
x 1 (t ), x2 (t ) L( R 2 )
尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌）
尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部
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11．2连续小波变换
连续小波变换的定义
2 信号 x(t ) L ( R)
时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 (t ) 小波函数尺度伸缩与平移 a, (t ) CWT变换
连续小波变换的逆变换
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) (t u )
x(t ) 1 c
0
da t WT ( a , ) ( )d x a a 2
Digital Signal Processing
小波函数的特性
振荡性
c ˆ ( ) d
2
ˆ ( )
0
(t )dt 0
正则性 小波函数的阶原点距
CWTx (a, ) 1 1 a
M k t k *(t )dt
x(t ) * (
t )dt a
(k ) (t ) k * t )dt x ( ) ( k ! a a k 0 1 x ( k ) ( ) t (t ) k * ( )dt k ! a a k 0
c
ˆ ( ) d
2
c x1 (t ), x2 (t ) WTx1 (a, ), WTx2 (a, )
0
da x 1 (t ), a , (t ) a , (t ), x 2 (t ) d 2 a
WTx (t t0 ) (a, ) WTx (a, t0 )
尺度伸缩性
x(a0t )
WTx ( a0t ) (a, ) WTx (a0 a, a0 )