双正交小波滤波器系数设计

双正交小波滤波器系数设计
2013/4/27 9:01
很多人学了小波分析后，不知如何设计小波滤波器。

本文从尺度空间及小波空间之间的关系出发，推导了两者线性表达的关系，进而推导频域及时域的联系,最后得到由尺度函数求小波函数及滤波器系数的一个正交解。

尺度空间存在正交归一基{}()k z t k φ∈−
'
''11,(),()()k k t t t t φφδ=−
尺度空间V1中的任意函数，均可表示为{}1,()k k z t φ∈的线性组合
1
1
1,()()k k k
P f t x t φ=∑ 同理小波空间W0中的任意函数，均可表示为{}()k z t k ψ∈−的线性组合
111,()()k k k
D f t d t ψ=∑
因此V0中的任意函数表示为
011()()()P f t P f t D f t =+
对于下面式子成立
*1212()()()R
f t k f t k k k δ−−=−∫
v
则有Poisson 公式
2
(2)1k
F k ωπ+=∑
若下式成立
2*112()()0R
f t k f t k −−=∫
v
同理得
*
12
(2)(2)0k
F k F
k ωπωπ++=∑
由上面两个推导可得尺度函数及小波函数频域特征：
2
(2)
1k k φωπ+=∑
2
(2)1k
k ψωπ+=∑
(2)(2)0k
k k φωπψωπ++=∑
下面推导相邻尺度间的关系
由尺度空间定义可知V(j)被V(j-1)包含，所以尺度函数,0()j t φ可由{}1,()j k k z t φ−∈线性组合表达
,001,()()j k j k k
t h t φφ−=∑
0(2)()()H ωωφω=
由{}1,()j k k z t φ−∈的正交性质可得
0,01,(),()k j j k h t t φφ−==
小波空间W(j)被V(j-1)包含，则有
,011,()()j k j k k
t h t ψφ−=∑
1(2)()()H ωωφω=
由{}1,()j k k z t φ−∈的正交性质可得
1,01,(),()k j j k h t t ψφ−==
把频域关系代入通过Poisson 公式得出的公式中
2
(2)1k
k φωπ+=∑
2
(2)
1k
k ψωπ+=∑
(2)(2)0k
k k φωπψωπ++=∑
可得：
2
2
01()()2H H ωωπ++=
11**00()()()()0H H H H ωωωπω++=
能满足上面两个方程的一个解为：
0*
1()()j H e H ωωωπ−=−+
1,0,1(1)k k k h h −=−
由上述推导，已知尺度函数,0()j t φ，则可求得滤波器系数0,k h 、1,k h 及小波函数,()j k t ψ。

具体步骤为：
1：由尺度函数可求
0,01,(),()k j j k h t t φφ−=
=
及()φω；
2：由0,k h 可求1,0,1(1)k k k h h −=−及0()H ω； 3：由
()φω及0()H ω0(2)()()H ωωφω=，求反变换则得小波函数,0()j t ψ。