两通道滤波器组和离散序列的小波变换
基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计
基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计王飞;邓志清【摘要】分析了二通道采样系统的基本原理,对其中的信号流程进行了数学推导,研究了基于Daubechies小波的二通道采样系统,对其中小波分解和重构与滤波器组的关系进行了数学分析,用MATLAB仿真验证了采用db4小波对一个超宽带冲激信号进行二通道采样的处理结果。
%This paper analyzes the basic principle of two-channel data sampling system,derives signal processing flow based on mathematics,studies the two-channel sampling system based on Daubechies wavelet,performs the mathematic analysis to the relationship between filter groups and wavelet decomposition and reconstruction,validates the processing result of using db4 wavelet to perform the two-channel sampling for an ultra-wideband impulse signal through the simulation based on MATLAB.【期刊名称】《舰船电子对抗》【年(卷),期】2012(035)001【总页数】4页(P109-112)【关键词】小波变换;数据采集;滤波器组【作者】王飞;邓志清【作者单位】船舶重工集团公司723所,扬州225001;镇江舰艇学院,镇江212001【正文语种】中文【中图分类】TN971.10 引言在处理超宽带信号时，信号带宽过大，为降低对A／D采样的要求，可以考虑将信号分解为二通道或者多通道情况进行分别采样，从而实现降速采样的目的。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种基于小波函数的信号分析方法。
与傅里叶变换等连续信号变换方法不同，离散小波变换是针对离散信号进行处理的。
离散小波变换的主要原理是将信号分解成不同尺度和频率的小波系数，通过分析小波系数的能量和频谱分布，可以对信号的特征进行提取和分析。
离散小波变换可以将信号的时域和频域信息同时考虑，具有较好的时频局部化特性，可用于对信号进行降噪、特征提取和压缩等处理。
离散小波变换的步骤主要包括分解和重构两个过程。
在分解过程中，首先将信号通过滤波器组进行低通滤波和高通滤波，分别得到近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行二次抽取，继续进行低通滤波和高通滤波，得到更精细的近似系数和细节系数。
如此循环重复，直到达到设定的尺度或结束条件。
在重构过程中，将各个尺度上的近似系数和细节系数进行逆滤波与合成，得到原始信号的近似重构。
离散小波变换的优点在于：一方面，相比于傅里叶变换等传统方法，离散小波变换能够更好地捕捉信号的非平稳和局部特征，适用于对包含非平稳特性的信号进行处理；另一方面，离散小波变换能够提供多分辨率分析，即对信号的不同频率成分进行分解和表示，能够更好地揭示信号的时频特征。
离散小波变换的应用非常广泛。
例如，离散小波变换可用于信号的去噪处理。
由于小波变换具有良好的时频局部化特性，可以将信号在时频域进行分解，对不同尺度和频率下的小波系数进行分析和修复，从而实现信号的去噪效果。
此外，离散小波变换还可应用于图像处理、语音信号处理、生物医学信号处理等领域。
在实际应用中，离散小波变换通常通过快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）方法来实现计算的高效性。
FWT采用迭代的方式将小波滤波和下采样操作合并，从而减小了计算量，提高了计算效率。
总之，离散小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，具有较好的时频局部化特性和多分辨率特性，广泛应用于信号和图像处理等领域。
小波分析实验：二维离散小波变换Mallat快速算法
小波分析实验：实验2 二维离散小波变换(Mallat快速算法)实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
实验工具：计算机，matlab6.5附录：（1）二维小波分解函数%二维小波分解函数function Y=mallatdec2(X,wname,level)%输入:X 载入的二维图像像数值;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 多极小波分解后的小波系数矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为低通和高通滤波器X=double(X);hh=size(X,2);while t<=level%先进行行小波变换for row=1:hhY(row,1:hh)=mdec1(X(row,1:hh),h,g) ;end%再进行列小波变换for col=1:hhtemp=mdec1( Y(1:hh,col)',h,g);Y(1:hh,col)=temp';endt=t+1;hh=hh/2;X=Y;end%内部子函数，对一行(row)矢量进行一次小波变换，利用fft实现function y=mdec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波分解后的系数lenx=size(x,2);lenh=size(h,2);rh=h(end:-1:1);rrh=[zeros(1,(lenx-lenh)),rh];rrh=circshift(rrh',1)';rg=g(end:-1:1);rrg=[zeros(1,(lenx-lenh)),rg];rrg=circshift(rrg',1)';r1=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrh,lenx)),1); %use para 1r2=dyaddown(ifft(fft(x).*fft(rrg,lenx)),1);y=[r1,r2];（2）二维小波重构函数%二维小波重构函数function Y=mallatrec2(X,wname,level)%输入:X 载入的小波系数矩阵;% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分解)% wname 小波名字wavelet name%输出：Y 重构图像矩阵[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g分别为重构低通滤波器和重构高通滤波器hz=size(X,2);h1=hz/(2^(level-1));while h1<=hz% 对列变换for col=1:h1temp=mrec1(X(1:h1,col)',h,g)';X(1:h1,col)=temp;end%再对行变换for row=1:h1temp=mrec1(X(row,1:h1),h,g);X(row,1:h1)=temp;endh1=h1*2;endY=X;%内部子函数，对一行小波系数进行重构function y=mrec1(x,h,g)%输入：x 行数组% h为低通滤波器% g为高通滤波器%输出： y 进行一级小波重构后值lenx=size(x,2);r3=dyadup(x(1,1:lenx*0.5),0); %内插零use para 0r4=dyadup(x(1,(lenx*0.5+1):lenx),0); %use para 0y=ifft(fft(r3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(r4,lenx).*fft(g,lenx));（3）测试函数（主函数）%测试函数（主函数）clc;clear;X=imread('E:\Libin的文档\Course\Course_wavelet\实验2要求\exp2\LENA.bmp');%路径X=double(X);A = mallatdec2(X,'sym2',3);image(abs(A));colormap(gray(255));title('多尺度分解图像');Y= mallatrec2(A,'sym2',3);Y=real(Y);figure(2);subplot(1,2,1);image(X);colormap(gray(255));title('原始图像');subplot(1,2,2);image(Y);colormap(gray(255));title('重构图像');csize=size(X);sr=csize(1);sc=csize(2);mse=sum(sum( (Y-X).^2,1))/(sr*sc);psnr=10*log(255*255/mse)/log(10)小波分析实验：实验1 连续小波变换实验目的：在理解连续小波变换原理的基础上，通过编程实现对一维信号进行连续小波变换，（实验中采用的是墨西哥帽小波），从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种常用的信号处理方法，可以将信号在不同尺度上进行分解和重构。
它利用一组基函数，通过对信号进行多尺度分解，提取出信号中的不同频率成分，从而实现信号的特征提取和压缩。
离散小波变换的核心思想是将信号分解为低频和高频部分。
低频部分包含信号中的趋势信息，而高频部分则包含信号中的细节信息。
通过不断进行分解，可以得到不同尺度上的低频和高频部分，从而实现信号的多尺度表示。
离散小波变换具有多尺度、局部性和良好的时频局部性等特点。
它可以有效地处理非平稳信号，对于图像压缩、噪声去除、边缘检测等应用具有重要意义。
离散小波变换的算法基于滤波和下采样操作。
首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，得到低频和高频部分。
然后，低频部分经过下采样操作，得到更低尺度上的低频部分。
这个过程可以迭代地进行，直到达到所需的尺度。
离散小波变换具有很多变种，如离散小波包变换、二维离散小波变换等。
它们在信号处理领域广泛应用，具有很高的实用价值。
总结一下，离散小波变换是一种有效的信号处理方法，可以实现信号的多尺度分解和重构。
它具有多种应用，能够处理非平稳信号并
提取出信号的特征信息。
离散小波变换在图像处理、音频处理、视频压缩等领域有广泛的应用前景。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
小波变换
小波变换1、小波函数的类型及特点目前有大量的小波函数被提出，我们大致可以把它分为三类。
第一类是所谓地“经典小波”，在M ATLAB 中把它们称作“原始（Crude）小波”。
这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是D aubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，D aubechies构造的双正交小波。
1.1 经典小波1.1.1 Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：ψt= 1 0≤t<1/2;−1 1/2≤t<1;0 其他;Haar小波有以下优点：（1）Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；（2）Haar小波属于正交小波；（3）Haar波是对称的。
我们知道，离统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。
（4）Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；Haar小波仅取＋1和－1，因此计算简单。
但Haar小波是不连续小波，因此ψ（Ω）=0在Ω=0处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际信号处理应用中受到了限制。
但由于Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。
1.1.2 Morlet小波Morlet小波定义为：ψt=e−t2/2e jΩt其傅里叶变换为ψΩ=2πe−(Ω−Ω0)2/2它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。
该小波不是紧支撑的，增大Ω的值可以使小波在频域和时域上都具有很好的集中。
Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。
但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。
Morlet的时域波形和频域波形如下图：1.1.3 Mexican hat小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。
它定义为:ψt=c1−t2e t2/21/4，其傅里叶变换为式中c=3ψΩ=2πcΩ2e−Ω2/2该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计
（ ． ｅ７ ３ Ｉ ｓ ｔ ｔ ｏ Ｓ Ｃ。 ａ ｇ ｈ ｕ２ ５ ０ ， ｈ ｎ ；． ｈ ￣ｉ ｇ Ｎ ｖ ｌ ｈｐ ｏ ｌ ｅ Ｚ ｅ ｊ ｎ １ ０ １ Ｃ ｉａ １ Ｔｈ ２ ｎ ｔ ｕｅ ｆ Ｉ Ｙ ｎ ｚ ｏ ２ ０ １ Ｃ ｉａ ２ Ｚ ｅ ａ ａ ａ Ｓ ｉｓＣ ｌ ｇ ， ｈ ｎｉ ｇ２ ２ ０ ， ｈｎ ） ｉ Ｃ ｎ ｅ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈｉ ｐ ｒ ａ ａ ｙ ｅ ｈｅ ｂａ ｉ ｉ ｃｐｌ ｆｔ — ｈａ ｅ ａ ａ ｓ ｍ ｐｌ ｙ ｔ ｍ ， ｒｖ ｓ ｓｇ— ｓｒ ｃ ： ｓｐａ ｅ ｎ ｌ ｚ ｓ ｔ ｓｃ ｐｒｎ ｉ ｅ ｏ ｗｏ ｃ ｎｎ ｌｄ ｔ ａ ｉ ｓ ｓｅ ｎｇ ｄｅ ｉ ｅ ｉ ｎａ ｏ ｅ ｓｎｇ ｆｏｗ ｓ ｄ ｏ ｔ ｍａ ｉ ｓ ｓ ｕ ｅ ｈｅ ｔ — ｈ ｎｎｅ ａ ｐ ｉ ｙ ｔ ｍ ａ ｅ ｎ Ｄａ ｌｐｒ ｃ ｓ ｉ ｌ ｂａ ｅ ｎ ｍａ ｈｅ ｔｃ ， ｔ ｄｉｓ ｔ ＷＯ ｃ ａ ｌｓ ｍ ｌｎｇ ｓ ｓ ｅ ｂ ｓ ｄ ｏ ｕ—
０
言
在处 理超 宽带 信号 时 ， 号 带宽 过大 ， 降低 对 信 为
Ａ／ Ｄ采样 的要 求 ， 以考虑 将 信 号 分解 为二 通 道 或 可 者 多通 道情 况进 行 分 别 采 样 ， 而 实 现 降 速 采 样 的 从 目的 。小 波变 换 的特点 就是 将信 号在 不 同尺 度上 进 行 分解 ， 过小 波 的 带通 滤 波 特 性 实 现 对 信 号 频 带 通 的分 割 。采用小 波 变换 理论 对信 号进 行逐 层分 解 和 重构 ， 逐步 降低 信号 的频 率分 析 区间 ， 为构 造 多通 道 采 样 系统提 供 了一种 思路 。
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2 离散正交小波变换理论
在实际应用中 ,处理的信号通常是离散时间采样 信号 ,需要高效实现的是这类信号的小波变换 ,实现它
第 27 卷第 2 期 卢 山 等 : 两通道滤波器组和离散序列的小波变换
89
的方法就是著名的 Mallat 算法 ,Mallat 算法有多种表 现形式 ,如图象处理中的金字塔编码算法[16 ] ,而在多
=
1 2
[ H0 ( z )
G0 ( z )
+
H1 ( z )
G1 ( z ) ] ,
F
( z)
=
1 2
[
H0
(
-
z ) G0 ( z )
+
H1 ( -
z ) G1 ( z ) ]
F( z) X ( - z ) 称为混叠分量 ,应为 0 ,为使 F ( z )
= 0 ,最直观的选取是令
G0 ( z ) = H1 ( - z )
CQMFB) ”。
此时有 G0 ( z ) = H1 ( - z ) = - z - ( N - 1 H0 ( z - 1) ,
令 P ( z ) = H0 ( z ) H0 ( z - 1) ,代入前面的 T ( z ) 有
T( z)
=
1 2
z - ( N - 1) [ P ( z )
+
P( -
z) ]
仔细分析一下图 1 中的两通道滤波器组输入信号 x ( n) 和输出信号 ^x ( n) 的关系 ,由多抽样率信号处理 的理论可以得到 :
^
X ( z)
=
1 2
[
G0 ( z )
G1 ( z )
]
H0 ( z) H0 ( - z ) X ( z ) (1)
H1 ( z) H1 ( - z ) X ( - z )
(3)
G1 ( z ) = - H0 ( - z )
(4)
T ( z ) 称为“失真传递函数”, 实现 PR 的充要条件
是 T ( z) 为具有线性相位的全通系统 , 最简单的取法
是令 T ( z ) = cz - k的纯延迟形式 ,经过推导[13 ]可以得
到综合滤波器的一般选取方法 。
G0 ( z) G1 ( z)
(重庆大学 电气工程学院 ,重庆 400030)
摘 要 :多抽样率滤波器组理论和离散时间序列的小波变换有着密切关系 。笔者从信号处理的角
度研究了离散时间序列的小波变换利用树状滤波器组实现的方法 ,分析了两通道共轭正交镜象滤波器
组理论及滤波器设计 ,离散时间序列的正交小波变换的快速实现以及正交小波的构造 ,指出了其内在联
^
X ( z)
=
1 2
[
H0 ( z )
G0 ( z )
+ H1 ( z ) G1 ( z ) ] X ( z )
+
1 2
[
H0 (
-
z ) G0 ( z ) + H1 ( -
z ) G1 ( z ) ] X ( -
z)
= T( z) X ( z) + F( z) X ( - z)
(2)
其中
T ( z)
小波函数以及尺度函数之间的递推关系 。
+∞
∑ <( t) = 2 h0 ( n) <(2 t - n)
(11)
n=- ∞
+∞
∑ ψ( t) = 2
h1 ( n) <(2 t - n)
(12)
n=- ∞
(11) 、(12) 式中的 h0 ( n) 和 h1 ( n) 恰是一对共轭正交
滤波器组 。通过推导[18 ]可以得到相临两个尺度下多
虽然和标准正交镜像滤波器组中 H1 ( z ) 的相同 , 但由 于 z 变成了 z - 1 ,所以在相频响应上多了一个共轭 ,故 称这样 定 义 的 滤 波 器 组 为“共 轭 正 交 镜 像 滤 波 器 组
( Conjugate Quadrat ure Mirror Filter Banks ,
相位的 ,不幸的是在满足正交性的前提下分解是不能
得到线性相位的[15 ] ,即 CQM FB 中的各滤波器不具备
线性相位 。
3) 有限长 : 如果 P ( z ) 是 F IR 的 , H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是它的 F IR 因子 ,那么也是有限长的 。
这样就将QM FB 中的 2 个基本事实[14 ] :
事实一 :满足 PR 条件的必 P( Z) 是一个半带滤波器 ;
事实二 : h0 ( n) 和 h1 ( n) 各自及相互之间有如下 正交性 :
1) h0 ( n) 和 h1 ( n) 各自都具有偶次移位的正交 归一性 ,即
〈 h0 ( n) , h0 ( n + 2 k) 〉= δk
对应关系 。
1) 正 交 性 : 如 果 满 足 ( 8) 、( 9) 和 ( 10) 式 , 那 么
H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是 P ( z ) 的谱因子
2) 线性相位 :如果 P ( z ) 是线性相位的 , H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是它的线性相位因子 ,那么各滤波器也是线性
离散时间序列的小波变换结合起来 ,分析两者的内在
联系和对应关系 。
图 1 所示是一个两通道滤波器组 ,其中 H0 ( z ) 和 H1 ( z ) 是分析滤波器 , G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 是综合滤波器 。
分析滤波器将输入信号 x ( n) 分解成 2 个子带信号 ,
由于子带信号的频带减小了 1 倍 , 因此可以进行 2 倍
抽样率信号处理中 ,可以采用如图 2 所示的树状结构
滤波器组来实现 。通过图 2 的滤波器组将原始信号分 解为一系列的“细节 dj ( k) ”和“概貌 aj ( k) ”。 dj ( k) 是离散信号在尺度函数空间的离散逼近系数 , 而 aj ( k) 是离散信号在小波函数空间的离散逼近系数 。正 交小波变换中的二尺度方程[17 ]揭示了滤波器系数和
n=- ∞
(14) 其中 , h0 ( k) 和 h1 ( k) 是 h0 ( k) 和 h1 ( k) 序列的翻 转 ,即 h ( k) = h ( - k) 。初始化时 ,简单的方法是假定 a0 ( k) = x ( k) 。
在用滤波器组实现时 ,由于信号的滤波可以引入
FF T ,因此离散信号的小波变换就找到了一条快速实
现的途径 ,并且可以通过这对共轭正交滤波器组来递
推尺度函数 <( t) 和小波 ψ( t) 。Daubechies 通过这种 方法构 造 了 一 系 列 小 波 , 即 Daubechies 小 波 ( db 小 波) 。下面用 db 小波中最简单的 db1 小波 ,即 Haar 小 波为例来阐述两通道滤波器组和离散小波变换的内在 联系 ,并用滤波器组结构来实现离散小波变换的分解 和重构 ,如图 3 所示 。
(8)
〈 h1 ( n) , h1 ( n + 2 k) 〉= δk
(9)
2) h0 ( n) 和 h1 ( n) 之间具有偶次移位的正交性 , 即
〈 h0 ( n) , h1 ( n + 2 k) 〉= 0
(10)
其中 k ∈Z 。可以通过对 P ( z ) 的谱分解来设计
CQMFB ,CQMFB 中各滤波器特性和 P ( z ) 存在如下
系 ,最后举例说明了正交小波变换通过共轭正交镜象滤波器组来实现信号分解和重构的全过程 。
关键词 :滤波器组 ;小波变换 ;共轭正交 ;离散
中图分类号 : TN911. 72
文献标识码 :A
多抽样率滤波器组和小波变换已经成为信号处理
领域两个强有力的工具 。它们有着不同的起源和理论
体系[1 - 4 ] ,但现在两者却紧密地结合起来[5 - 6 ] 。小波
(6)
若令 T ( z) = P( z) + P( - z) = 2 ,则 T ( z) 为一纯延
迟 ,从而实现
^
X
(
z
)
对
X ( z) 的准确重建 ,由此得到
H0 (e jω) 2 + H1 (e jω) 2 = 2
(7)
即 H0 , H1 满足功率互补关系 ,它们是一对功率互补 的滤波器 。
2004 年 2 月 第 27 卷第 2 期
重庆大学学报 Journal of Chongqing University
文章编号 :1000 - 582X(2004) 02 - 0087 - 05
Feb. 2004 Vol. 27 No. 2
两通道滤波器组和离散序列的小波变换Ξ
卢 山 ,杨 浩
图 2 Mallat 算法的滤波组实现
Ξ 收稿日期 :2003 - 09 - 05 作者简介 :卢山 (1980 - ) ,男 ,四川雅安人 ,重庆大学硕士研究生 ,主要从事生物医学信号处理 、小波分析的研究 。
88
重 庆 大 学 学 报 2004 年
1 两通道滤波器组理论
图 3 Haar 小波函数 、尺度函数及其所对应 的滤波器系数和频率响应
Haar 小波的尺度函数 <( t) , 小波函数 ψ( t) 以及
对应的滤波器组如下 :
<( t) =
1 0
0
≤t <
其它
1 ψ( t)
=
1 -1 0
= H0 ( z) H1 ( -
2z- k z) - H0 ( -
z) H1 ( z)
H1 ( - z) - H0 ( - z)
(5) 当给定一个低通原型滤波器 H ( z ) 后 , 最简单 、直 接的选取方法是令 H0 ( z ) = H ( z ) , 及 H1 ( z ) = H0 ( - z ) ,这时 H1 (e iω) = H0 ( e j (ω+π) ) 是 H0 ( e iω) 移位π 后的 结 果 , 所 以 H1 ( e iω) 是 高 通 的 , 且 H0 ( e iω) , H1 (e iω) 是相对π/ 2 为对称的 ,故称按此方法选定的滤波 器组 称 为“标 准 正 交 镜 像 滤 波 器 组 [14 ] ( Quadrat ure Mirror Filter Banks ,QMFB) ”,它是最早提出的一种两 通道滤波器组 ,从 (3) 和 (4) 可知此时的 G0 ( z ) 是低通 的 ,而 G1 ( z ) 是高通的 ,文献 [ 14 ] 已经证明这样的选 取方法 ,如果要实现 PR ,那么 H0 ( z ) 和 H1 ( z ) 只能 取纯延迟的形式 。 H0 ( z ) 、H1 ( z ) 、G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 作 为滤波器 ,总是希望它们的通带尽量平坦 ,阻带尽可能 快地衰减 , 且过渡带尽量窄 , 尽管 PR 是最终目的 , 但 滤波器的核心作用是信号的子带分解 , 因此放弃 H1 ( z ) = H0 ( - z ) 的简单形式 , 取 H1 ( z ) = z - ( N - 1) H0 ( - z - 1) , H1 ( z ) 仍是高通的 ,这时 H1 ( z ) 的幅频特性