第三章连续小波变换和离散小波变换.

在地图中，在同样的图幅中，比例尺越大，地图所表示 的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越 小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度 越低。小比例尺（小于一百万分之一）得到的是整个地区的 地形概貌，细节不多，而大比例尺（大于万分之一）得到的 是局部地区的细节。类似地，在信号分析中，低频率段（大 尺度因子段，相当于小比例尺）对应一个信号的整体信息（ 时间跨度大），而高频率段（小尺度因子段，相当于大比例 尺）对应信号中一个内在模式的详细信息（时间跨度小）。

则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许 性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
1
2

2
R
t | (t ) | 2 dt ，
2
0= || ˆ || R | ˆ ( ) |

1
d
Fra Baidu bibliotek
t= || || [
2
1
R
(t t 0 ) 2 | (t ) | 2 dt
] ，
1
1 2

=
1 ˆ || 2 ||
[
R
ˆ ( ) | 2 d ] 2 ( 0 ) 2 |
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深，表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波（1910 年由数学家 A. Harr 提出）
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else

2
h(t)=
i
sin 2 (
幸运的是，在实际情形中，高频成分（对应于小尺度因 子，相当于大比例尺）持续时间不长，它们往往以短时突变 的形式出现。而低频成分（对应于大尺度因子，相当于小比 例尺）往往要持续很长时间。 低频信号的特点是，在较大的时间范围内幅值变化慢， 其频率范围窄，于是在分析低频信号时时窗宽而频窗窄；高 频信号的特点是，在较小的时间范围内幅值变化快，其频率 范围宽，于是分析高频信号时时窗窄而频窗宽。
t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋ 5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，’db3’，’plot’)； title(’对不同的尺度小波变换系数值’)； Ylabel(’尺度’)； Xlabel(’时间’)；
定义 3.3 设ψ(t)是一个小波函数， 则连续小波变换(CWT) 定义如下：WT f(a,b)=
1 a

R
f (t ) (
t b )dt a
从定义可知，小波变换与 Fourier 变换一样，都是一种 积分变换，但从上述方程可以看出，变换后的信号是两个变 量的函数：一个是平移参数 b，另一个是尺度参数 a。即小 波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。 函数 f(t)在某一尺度因子 a、平移参数 b 上的小波变换系数 ，表征的是在 b 位置处，时间段 2a t 内包含的中心频率为
0 a
、宽度为 2 a 的频窗内的频率成分的大小。

定 义 3.4
设 ψ (t) 是 一 个 小波 函 数 ， 则 连 续 小 波 变 换
(CWT)的逆变换定义如下：
1 f(t)= C


0
da a2



WT f (a, b) a,b (t )db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种 （即八种基本比例尺） ： 1:5000 ， 1:10000， 1:25000， 1:50000， 1:100000， 1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
ˆ (0) = R (t )dt =0。“母”指的是小波变换中用到的基函数
都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。
定义 3.2 设 ψ(t)是一个小波函数。 对它进行伸缩和平移变 换得
a ,b (t )
1 t b ( )，a 0，b R a |a|
其中 a 为伸缩因子（尺度因子，scale） ，b 为平移因子。称
2）海森堡测不准原理告诉我们：在任何尺度因子 a 和 平移因子 b 上，小波基函数 a,b (t ) 的时—频窗面积是不变的， 即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提得很高。
小尺度因子 高频 持续时间短 窄的时间窗口，宽的频率窗口 大尺度因子 低频 持续时间长 宽的时间窗口，窄的频率窗口
2
2
e

Daubechies小波（dbN小波）
Db4尺度函数与小波
1.4
2
1.2
1.5
1 0.8 0.6 0.4
0 1 0.5
0.2
-0.5
0 -0.2 -0.4
-1 -1.5 -2
0
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
3
Db6尺度函数与小波
Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 图1.5
3.4 离散小波变换(DWT， Discreet Wavelet Transform)

4
)
ˆ ( )=ie h

4
它就是后面提到的 db1 小波。

Morlet 小波
(t)=e e i t ， 5
t2 2
0
0
ˆ
( )=
2
e

( 0 ) 2 2
Marr 小波(墨西哥草帽小波)
(t)=(1-t2)e
ˆ ( )=
2
2

t2 2
第三章 连续小波变换和离散小波变换
3.1 连续小波变换（CWT， Continuous Wavelet Transform）
CWT 用来代替窗口傅里叶变换(WFT)以克服分辨率不 能随时间与频率的不同而改变不变的问题。 当窗口函数选定 之后，对 WFT 来说，时-频窗的窗口形状是固定的，它不能 随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变 化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非 平稳信号的分析能力是很有限的。小波变换类似于 WFT， 即信号用小波相乘，对时域信号的不同时间段计算小波变 换。
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
故关于时—频窗口中心及形状随尺度因子 a 的变化有 如下几个规律： 1） 平移的意义在小波变换中和 WFT 中一样， 它与窗口 的位置有关，表示窗口在信号中的移动。这显然与变换域中 的时间信息相关。但和 WFT 不一样，小波变换中没有频率 参数， 而有尺度参数。 尺度因子 a 的倒数在一定意义上对应 于频率。尺度因子越小，对应频率越高，尺度因子越大，对 应频率越低。
对 a 的每个值重复上述过程。对每个 a 的计算都 得到时间—尺度平面上对应一行的点的变换值。 当对所 有需要的 a 进行完毕时， 我们就得到了信号的 CWT 在 各种尺度、各个位置上的小波系数。 通过平移小波， 我们得到了信号的时域局部化， 而 通过改变 a 的值，我们得到了信号的频域局部化。
如果该信号有一个对应于当前尺度因子 a 的频率 成分， 则在该频率成分出现的地方， 小波和信号的内积 （对应时间—尺度平面上的点的 CWT）有一个较大的 值。如果该信号没有一个对应于当前尺度因子 a 的频 率成分， 则小波和信号的内积 （对应时间—尺度因子平 面上的点的 CWT）有一个较小或为 0 的值。 因此，对每对尺度因子值和时间（段） ，我们计算 出了时间—尺度因子相平面上的一个点。 对应于一个尺 度因子值的计算结果对应于平面上的一行， 不同尺度因 子上的计算结果对应于平面上的列。
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
首先将小波置于信号的起始（t=0）。尺度因子为 1 的小波函数与信号相乘，然后关于 t 在 R 上积分。积分值 乘以常数
1 a （主要是为了使能量规范化，以便变换后的信
号有每个尺度上都有相同的能量）。最后所得的结果就是 CWT 在 a=1，b=0 时的值，这对应于时间—尺度因子平 面上点 a=1，b=0 的变换值。
由于大量的计算都要由计算机来进行。显然 Fourier 变换、WFT 和小波变换都不能用它们的积分形式计算。变 换需要进行离散化。 而且由于 CWT 中存在信息表述的冗余 性（Redundancy） ： （1）由 CWT 恢复原信号的重构公式 不唯一； （2）小波函数存在许多可能的选择（如非正交、 半正交、双正交和正交小波等） ，从数值计算和数据压缩的 角度看， 我们总希望尽量减少 CWT 的冗余度。 因此就像在 Fourier 变换和 WFT 中一样，要对时间—频率（尺度）相 平面进行采样。在小波变换中，随着尺度的改变采样率也 可加以改变。在低频段，采样率可减低以节省大量计算时 间。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处，在 a=1，b=τ 处计算 CWT，这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1，b=τ 的变换值。 重复上述过程， 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换， 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话，则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样， 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率，而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 （对应高频段） 有更好的尺度分辨率 （即能更精确地确定尺度因子的值） ，大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)＝3sin(100πt)＋2sin(68πt)＋ 5cos(72πt)，且该信号混有白噪声，对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3，尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下：