第三章 离散小波变换与框架
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离散小波变换与框架-38页文档资料
0
1
2
e ijx
ˆ ( x
2 k )
2
dx
2 k 0
1
2 (k 1)
e ijy
ˆ ( y )
2
dy
2
k
2k
1
e ijx
ˆ ( x )
2
dx
2
（ 1）（ 2）：
( x k ), ( x l )
( x k ) ( x l )dx
( y j ) ( y )dy
对连续小波的离散化处理：
定义:
bj,k
k 2j
b0
对W ( f )(b, a)离散化
j, k Z,b0 0
W (
f
)(bj
,k
,
1 2j
)
f , j,k
d j,k
j
其中： j,k＝22 (2 j t kb0 )
连续小波离散化后的问题：
1.{dj,k}是否保留f的了全部信息。 2.怎样{d由 j,k}重构 f。
存在0 AB,对f L2,
A f
2 f ,j,k
2
B f
2
则称j,k满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2,生成的函数 j,k满 序足 列稳定性条 则称 {j,k}是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。
若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
若j,k是L2上的一个框架，则存 函在 数序列~j,k，
一些注释：
3. 在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从
而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。
1) 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件）
2) 近似。
1
2
e ijx
ˆ ( x
2 k )
2
dx
2 k 0
1
2 (k 1)
e ijy
ˆ ( y )
2
dy
2
k
2k
1
e ijx
ˆ ( x )
2
dx
2
（ 1）（ 2）：
( x k ), ( x l )
( x k ) ( x l )dx
( y j ) ( y )dy
对连续小波的离散化处理：
定义:
bj,k
k 2j
b0
对W ( f )(b, a)离散化
j, k Z,b0 0
W (
f
)(bj
,k
,
1 2j
)
f , j,k
d j,k
j
其中： j,k＝22 (2 j t kb0 )
连续小波离散化后的问题：
1.{dj,k}是否保留f的了全部信息。 2.怎样{d由 j,k}重构 f。
存在0 AB,对f L2,
A f
2 f ,j,k
2
B f
2
则称j,k满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2,生成的函数 j,k满 序足 列稳定性条 则称 {j,k}是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。
若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
若j,k是L2上的一个框架，则存 函在 数序列~j,k，
一些注释：
3. 在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从
而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。
1) 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件）
2) 近似。
第三章 离散小波变换
第三章 离散小波变换3.1 尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a t a t a τψψτ1)(,的τ,a 限定在一些离散点上取值。
1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取mm a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。
如果采用对数坐标，则尺度a的离散取值如图3.1所示。
图3.1 尺度与位移离散方法2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。
（1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。
3. )(,t a τψ=？当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。
因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。
此时)(,t a τψ可表示为);(2212221,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为()n t t m m n m -=--22)(2,ψψ （3.1）4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为⎰⋅=Rn m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2）DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。
将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。
（2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和∑∈=Zn m n m nm t Ct f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？上述两个问题可以归结为一个。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
这样，a 和b 联合越来确定了对x(t) 分析的 中心位置及分析的时间宽度。
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
sjs3-第三章 离散小波变换(3课时)
Sbasic ⊃
Sadmissible
⊃
S dyadic ⊃ S discrete
等价地，小波框架在频域中是指，满足
的函数族。 α
≤
m ∈ Z
∑
ψˆ ( 2
m
ω )
2
≤
β
19
19二进小波及其稳定性条件二进小波变换的稳定性条件二进小波及其重构小波二进小波变换具有平移不变性二进小波是允许小波离散小波是二进小波basic
第三章
离散小波变换(DWT)
引言 • CWT中的尺度a和位移b连续变化，在a−b平面上的不同点
上 ， ψ a ,b (t ) 具 有 很 大 的 相 关 性 ， 因 此 ， CWT 系 数 的 WTx (a, b) 信息量是冗余的，不适合图像压缩、数值计算。 另外，其计算量大的惊人。
1
a0
….
m a0
a0τ 0
….
m a0 τ0
a τ
m 0 0
m b⎯ ⎯→ na0 τ0
(m = 0,1,2,...；n ∈ Z )
3
问题：如何理解尺度与位移离散之间的关系？
（2）离散小波
则:
− m 2 m 2
t −b 1 ψ a ,b (t ) = ψ( ) a a
ψ m,n (t ) = a0 ψ [a0 − m (t − na0 mτ 0 )]
m∈Z
∑∫
x
2 m ,b
（3.18)
~ 其中：ψ
1 (t ) = ψ 2m ,b是ψ 2m ,b的对偶小波。 2 m ,b A
16
（5）二进小波的性质
• 线性变换； • 构成一个框架； • 也是容许性小波； • 具有平移不变性：
Sadmissible
⊃
S dyadic ⊃ S discrete
等价地，小波框架在频域中是指，满足
的函数族。 α
≤
m ∈ Z
∑
ψˆ ( 2
m
ω )
2
≤
β
19
19二进小波及其稳定性条件二进小波变换的稳定性条件二进小波及其重构小波二进小波变换具有平移不变性二进小波是允许小波离散小波是二进小波basic
第三章
离散小波变换(DWT)
引言 • CWT中的尺度a和位移b连续变化，在a−b平面上的不同点
上 ， ψ a ,b (t ) 具 有 很 大 的 相 关 性 ， 因 此 ， CWT 系 数 的 WTx (a, b) 信息量是冗余的，不适合图像压缩、数值计算。 另外，其计算量大的惊人。
1
a0
….
m a0
a0τ 0
….
m a0 τ0
a τ
m 0 0
m b⎯ ⎯→ na0 τ0
(m = 0,1,2,...；n ∈ Z )
3
问题：如何理解尺度与位移离散之间的关系？
（2）离散小波
则:
− m 2 m 2
t −b 1 ψ a ,b (t ) = ψ( ) a a
ψ m,n (t ) = a0 ψ [a0 − m (t − na0 mτ 0 )]
m∈Z
∑∫
x
2 m ,b
（3.18)
~ 其中：ψ
1 (t ) = ψ 2m ,b是ψ 2m ,b的对偶小波。 2 m ,b A
16
（5）二进小波的性质
• 线性变换； • 构成一个框架； • 也是容许性小波； • 具有平移不变性：
离散小波变换
随后，小波变换在信号处理、图像处理、语音识别 等领域得到了广泛的应用和发展。
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（DWT）是一种信号处理技术，它将信号分解成不
同频率的子信号，从而可以更好地理解信号的时间和频率特性。
DWT
是一种多尺度分析技术，通过对信号进行分解和重构，可以提取信
号的特征，去除噪音，压缩信号等。
DWT的基本原理是利用小波函数对信号进行分解和重构。
在分
解过程中，信号被分解成不同频率的子信号，每个子信号对应不同
尺度的小波函数。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的频域特性，同时也可以提供信号的时间信息。
在重构过程中，可以根据需
要选择部分子信号进行合成，从而实现对信号的去噪、压缩等操作。
DWT在信号处理领域有着广泛的应用，例如在图像压缩、语音
信号处理、生物医学信号分析等方面都有重要的作用。
通过DWT可
以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解信号的特性，
有助于提取信号的特征，减少数据冗余，实现信号的压缩和去噪等
操作。
在实际应用中，DWT有多种变种和扩展，如离散小波包变换（DWPT）、连续小波变换（CWT）等，这些方法在不同领域都有着广
泛的应用。
总的来说，离散小波变换作为一种重要的信号处理技术，对于理解和处理信号具有重要意义，它为我们提供了一种多尺度分
析的工具，有助于从不同角度理解和处理信号。
小波变换及离散
Wavelet Analysis and its Applications
小波变换的分类
连续小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的 小波变换。 离散参数小波变换 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散 的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的 小波变换。
Wavelet Analysis and its Applications
连续小波变换
不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系
t / 2
(a 1 / 2) 2 0 (a 1)
2
t 2 t
0
/ 2
(a 2) 0 / 2
f (t) C
其中：
-1
(W f )(a, b)a,b (t)
da db 2 a
互为对偶关系
C ( ) ( ) d | |
Wavelet Analysis and its Applications
小波反变换及小波容许条件
设 x(t ), (t ) L ( R) ，记 () 为 (t ) 的傅里叶变换，
小波分析及其应用
第三章 小波变换及 离散实现
华中科技大学 电子与信息工程系 国家防伪工程中心 尤新革 you1231cncn@
Wavelet Analysis and its Applications
本章的主要内容
小波变换的分类及概念 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 小波变换的性质 Mallat算法 Shannon抽样定理 小波包分析 正交小波、半正交小波、双正交小波 半正交小波的正交化
小波变换的分类
连续小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的 小波变换。 离散参数小波变换 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散 的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的 小波变换。
Wavelet Analysis and its Applications
连续小波变换
不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系
t / 2
(a 1 / 2) 2 0 (a 1)
2
t 2 t
0
/ 2
(a 2) 0 / 2
f (t) C
其中：
-1
(W f )(a, b)a,b (t)
da db 2 a
互为对偶关系
C ( ) ( ) d | |
Wavelet Analysis and its Applications
小波反变换及小波容许条件
设 x(t ), (t ) L ( R) ，记 () 为 (t ) 的傅里叶变换，
小波分析及其应用
第三章 小波变换及 离散实现
华中科技大学 电子与信息工程系 国家防伪工程中心 尤新革 you1231cncn@
Wavelet Analysis and its Applications
本章的主要内容
小波变换的分类及概念 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 小波变换的性质 Mallat算法 Shannon抽样定理 小波包分析 正交小波、半正交小波、双正交小波 半正交小波的正交化
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( Fq) j ( F ( F F ) f ) j q, j ( F F ) f , j
1 1
~ ( Ff ) j ( F ( F F ) 1 f ) j ~ 1 (式3-18a)得证。 F F (F F ) ~ 2 ~ ~ ~ 2 Ff , Ff 由内积定义： Ff f , j
第三章 离散小波变换与框架
连续小波变换中，CWT中的参数a和b都是连 续变化的值。实际应用中，信号f(t)是离散序列， a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT。 离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。 讨论这个问题涉及框架理论。
一、离散小波变换 在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就 得到一个二维序列:
f , ( F F ) 1 F g
可得： F ( F F ) 1 F
~
(式3-20)
则定理中 (式3-18b)、 (式3-18c)、 (式3-18d)既可得证。
由(式3-13)： F c c j j
jJ
令：c Ff , 即c j f , j , 则上式变为：
(式3-29)中级数取N项，有：
fN
2 N k R (F F ) f A B k 0 2 2 R N 1 k (F F ) f R (F F ) f A B A B k 0 2 ( F F ) f Rf N 1 （将R表达式代入） A B 2 f N 1 ( F F )( f f N 1 ) A B
(式3-1)
其中a0、b0为常数，则分析小波变为：
j ,k (t ) a0 j / 2 (a0 j t k b0 )
(式3-2)
这样，连续小波变换就变为离散小波变换：
c j ,k (W f )( a , kb a ) f (t ), j ,k (t )
j 0 j 0 0
~ ~ F F F F Id ~ ~ FF FF
~ ~ F F ( F F ) 1
(式3-18b) (式3-18c) (式3-18d)
证明：令f H , q H , 且q ( F F )
*
1
f , 则有：
~ ~ f , ( F F ) 1 ( Ff ) j f , j j
j ,k
(t )
(式3-8)
以上两式表明，c j ,k j ,kZ 将f(t)完全“特征化”意味着ψj,k(t)应满 足： A f (t ) 2 f (t ), (t ) 2 B f (t ) 2 0 j ,k (式3-L2(R) 空间的“框架”概念。
f f , j j
jJ
(式3-23)
(3)对偶框架的计算 重构 f 需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1 ~ A1 , 的值。在A＝B的紧框架条件下，容易得到： j j 而在一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。 令： 2 R Id F F (式3-24) A B 2 2 Rf f F Ff f f , j j A B A B jJ
3、对偶框架 (1)定义３.3:对于H空间中的一个框架 j jJ ，其算子为F，则 定义： ~ ( F F ) 1 , j J (式3-17)
j j
称 ~ j jJ 为 j jJ 的对偶框架(共扼框架)。
(2)对偶框架算子 定理3.1 设 j jJ 为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其 框架算子为F， ~ j jJ 为其对偶框架,则 ~ j jJ 也构成H空 ~ 间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架算子 F 满 足： ~ 1 (式3-18a) F F (F F )
j
Id R
1
R k j
k 0
j 2 2 k ~ j (F F ) j R j A B I d R A B k 0
则： f
~ f , j j
jJ
(式3-29)
2 2 k f , j R k j R (F F ) f A B jJ A B k 0 k 0
2 则： f f , j j Rf A B jJ
(式3-25)
再由(式3-15)、(式3-15)可知：
B A B A Id R Id A B A B B A r B R 1, 其中r 1 A B 2 r A
(式3-26) (式3-27)
j ,k (t ) 2
(2 t k )
j
(式3-5) (式3-6)
c j ,k (W f )( 2 j , k 2 j ) f (t ), j ,k (t )
对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。
我们最为关切的问题： 1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)? 2.对于任意f(t) ∈L2(R)，是否能表示为基函数ψj,k(t)的线性组 合？ 上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用 离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述， Tf 就是能否这样定义线性变换：(t ) f (t ), j ,k (t ) j ,k (t ), j , kZ 使得其正反变换连续。 首先．正变换是连续的，表明线性变换有界：
F c, f c, Ff c j f , j
c j j , f c j j , f
jJ jJ
jJ
(式3-12) (式3-13)
F c c j j
jJ
由F的定义可得：
Ff
2
f , j Ff , Ff F Ff , f
jJ
若A=B=1,
f , A f 则 为 H 的正交基，则有：
2 2 jJ j
j jJ
f f , j j
jJ
(式3-10)也称为稳定性条件。
2 例3-1：设 H R , e1 (0,1), e2 ( 3 / 2,1 / 2), e3 ( 3 / 2,1 / 2) ，则对于H中 的任意向量 v (v1 , v2 ) ，有：
jJ
jJ
以上两式就是 f 的重构公式，由<f, φj >重构 f 需要求出框架φj ~ 的对偶： ( F F ) 1
j , jJ j , jJ
需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是 线性相关的。这样重构 f 的公式将不惟一。但当A＝B＝1时， ~ j j ，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：
2 jJ
(式3-14)
(式3-10)可写成：
Af , f F Ff , f Bf , f
令Id为H到H的单位算子，即： Idf=f，上式可写成：
AI d F F BI d
(式3-15)
F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为 (F*F)-1它必满足：
将以上两式合并，有：
~ 上式表明，
j
~ 2 A1 f B f f , j
1 2 jJ
jJ
2
(式3-19)
是H空间的一个框架。
~ ~ 记 F 的伴随算子为： F ，则由： ~ Ff , g F ( F F ) 1 f , g ( F F ) 1 f , F g
c j ,k (W f )( 2 j , k 2 j ) f (t ), 2 j ,k 2 j (t )
此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。 在一般情况下，尺度参数a和平移参数b的离散化可令：
a a , b k b0 a , j Z , k Z
j 0 j 0
二、框架 1、框架定义 定义 3.1 设 j jJ H 0﹤A≤B﹤∞,使得：
,若对于一切
2
f H
2
，存在常数 (式3-10)
A f
2
则称函数序列 j jJ 为 H 空间的一个框架。B、A分别 称为此框架的上、下界．A＝B时称为紧框架。
f , j B f
若B充分接近A，则 r<<1 ，所以 ||R|| 充分接近于0。 (式3-25) 中可忽略 Rf 项，则有近似公式： 2 f (式3-28) f , j j A B jJ
当 r 不满足还远小于1的条件时，由于||R||<1l，仍可导出一 个具有指数收敛于 f 的重构算法。 由(式3-24)可得： 2 1 (F F ) ( I d R) 1 A B
3 1 3 1 3 2 v, e j v2 v1 v2 v1 v2 [v12 2 ] 2 2 2 2 2 2 j 1
2
3
2
2
即：
j 1
3
v, e j
2
3 v 2
2
表明 {e1 , e2 , e3} 2空间的紧框架，但不是正交基，因为： 是R e1 e2 e3 (0,0) 线性相关。 e
2、框架算子 为便于讨论框架，引入框架算子。 定义3.2：如果 j jJ 为H空间的一个框架，那么框架算子F定 义为H空间向 l 2 ( J ) 空间的映射，即：
Ff { f , j } jJ , f H , Ff l 2 ( J )
(式3-11)
因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义， 可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。 记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定 义： F : l 2 ( J ) H ， F c, f c, Ff , c l 2 , f H ，则有：