离散小波变换与框架-对连续小波的完全离散化37P
小波变换的基本原理和数学模型详解
小波变换的基本原理和数学模型详解一、引言小波变换是一种信号分析的数学工具，可以将信号在时间和频率上进行局部分析。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍小波变换的基本原理和数学模型。
二、小波变换的基本原理小波变换的基本原理是将信号分解成不同频率的小波基函数，并通过对这些小波基函数的线性组合来表示原始信号。
与傅里叶变换不同的是，小波变换可以实现信号的时频局部化分析，能够更好地捕捉信号的瞬态特性。
三、小波基函数的选择小波基函数是小波变换的核心，不同的小波基函数对信号的分析效果有所不同。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波、Morlet小波等。
这些小波基函数在时域和频域上具有不同的特性，可以根据具体应用的需求选择合适的小波基函数。
四、小波变换的数学模型小波变换的数学模型可以通过连续小波变换和离散小波变换表示。
连续小波变换是对连续信号进行小波变换，可以用积分来表示。
离散小波变换是对离散信号进行小波变换，可以用矩阵运算表示。
五、连续小波变换连续小波变换的数学模型可以表示为：W(a, b) = ∫f(t)ψ*[ (t-b)/a ] dt其中，W(a, b)表示小波系数，f(t)表示原始信号，ψ(t)表示小波基函数，a和b 分别表示尺度参数和平移参数。
六、离散小波变换离散小波变换的数学模型可以表示为：W(n, k) = ∑f(m)ψ*[ (m-k)/2^n ]其中，W(n, k)表示小波系数，f(m)表示原始信号，ψ(m)表示离散小波基函数，n表示尺度参数，k表示平移参数。
七、小波变换的算法小波变换的计算可以通过快速小波变换算法实现，常用的算法有快速小波变换（FWT）和快速多尺度小波变换（FWMT）。
这些算法可以大大提高小波变换的计算效率，使得小波变换在实际应用中更加可行。
八、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、信号分析等；在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测等；在数据压缩中，小波变换可以用于无损压缩和有损压缩等。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种基于小波函数的信号分析方法。
与傅里叶变换等连续信号变换方法不同，离散小波变换是针对离散信号进行处理的。
离散小波变换的主要原理是将信号分解成不同尺度和频率的小波系数，通过分析小波系数的能量和频谱分布，可以对信号的特征进行提取和分析。
离散小波变换可以将信号的时域和频域信息同时考虑，具有较好的时频局部化特性，可用于对信号进行降噪、特征提取和压缩等处理。
离散小波变换的步骤主要包括分解和重构两个过程。
在分解过程中，首先将信号通过滤波器组进行低通滤波和高通滤波，分别得到近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行二次抽取，继续进行低通滤波和高通滤波，得到更精细的近似系数和细节系数。
如此循环重复，直到达到设定的尺度或结束条件。
在重构过程中，将各个尺度上的近似系数和细节系数进行逆滤波与合成，得到原始信号的近似重构。
离散小波变换的优点在于：一方面，相比于傅里叶变换等传统方法，离散小波变换能够更好地捕捉信号的非平稳和局部特征，适用于对包含非平稳特性的信号进行处理；另一方面，离散小波变换能够提供多分辨率分析，即对信号的不同频率成分进行分解和表示，能够更好地揭示信号的时频特征。
离散小波变换的应用非常广泛。
例如，离散小波变换可用于信号的去噪处理。
由于小波变换具有良好的时频局部化特性，可以将信号在时频域进行分解，对不同尺度和频率下的小波系数进行分析和修复，从而实现信号的去噪效果。
此外，离散小波变换还可应用于图像处理、语音信号处理、生物医学信号处理等领域。
在实际应用中，离散小波变换通常通过快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）方法来实现计算的高效性。
FWT采用迭代的方式将小波滤波和下采样操作合并，从而减小了计算量，提高了计算效率。
总之，离散小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，具有较好的时频局部化特性和多分辨率特性，广泛应用于信号和图像处理等领域。
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种常用的信号处理方法，可以将信号在不同尺度上进行分解和重构。
它利用一组基函数，通过对信号进行多尺度分解，提取出信号中的不同频率成分，从而实现信号的特征提取和压缩。
离散小波变换的核心思想是将信号分解为低频和高频部分。
低频部分包含信号中的趋势信息，而高频部分则包含信号中的细节信息。
通过不断进行分解，可以得到不同尺度上的低频和高频部分，从而实现信号的多尺度表示。
离散小波变换具有多尺度、局部性和良好的时频局部性等特点。
它可以有效地处理非平稳信号，对于图像压缩、噪声去除、边缘检测等应用具有重要意义。
离散小波变换的算法基于滤波和下采样操作。
首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，得到低频和高频部分。
然后，低频部分经过下采样操作，得到更低尺度上的低频部分。
这个过程可以迭代地进行，直到达到所需的尺度。
离散小波变换具有很多变种，如离散小波包变换、二维离散小波变换等。
它们在信号处理领域广泛应用，具有很高的实用价值。
总结一下，离散小波变换是一种有效的信号处理方法，可以实现信号的多尺度分解和重构。
它具有多种应用，能够处理非平稳信号并
提取出信号的特征信息。
离散小波变换在图像处理、音频处理、视频压缩等领域有广泛的应用前景。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
离散小波变换
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform）在数值分析和时频分析中很有用。
第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明，离散小波变换顾名思义就是离散的输入以及离散的输出，但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的关系，只能以阶层式架构来表示。
定义∙首先我们定义一些需要用到的信号及滤波器。
∙x[n]：离散的输入信号，长度为N。
∙：low pass filter低通滤波器，可以将输入信号的高频部份滤掉而输出低频部份。
∙：high pass filter高通滤波器，与低通滤波器相反，滤掉低频部份而输出高频部份。
∙Q：downsampling filter降采样滤波器，如果以x[n]作为输入，则输出y[n]=x[Qn]。
此处举例Q=2。
举例说明:清楚规定以上符号之后，便可以利用阶层架构来介绍如何将一个离散信号作离散小波变换：架构中的第1层(1st stage)架构中的第2层(2nd stage)可继续延伸架构中的第层( stage)则第的长度为二维离散小波转换此时的输入信号变成，而转换过程变得更复杂，说明如下：首先对n方向作高通、低通以及降频的处理接着对与延著m方向作高低通及降频动作经过(1)(2)两个步骤才算完成2-D DWT的一个stage。
[编辑]实际范例以下根据上述2-D DWT的步骤，对一张影像作二维离散小波变换(2D Discrete Wavelet Transform)原始影像2D DWT的结果[编辑]复杂度(Complexity)在讨论复杂度之前，先做一些定义，当x[n]*y[n]时，x[n]之长度为N，y[n]之长度为L：其中，为(N+L-1)点离散傅里叶反转换(inverse discrete Fourier transform)为(N+L-1)点离散傅里叶转换(discrete Fourier transform)(1)一维离散小波变换之复杂度(没有分段卷积(sectioned convolution))：(2)当 N >>> L 时，使用“分段卷积(sectioned convolution)”的技巧：将x[n]切成很多段，每段长度为，总共会有段，其中。
第三章连续小波变换和离散小波变换.
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处，在 a=1，b=τ 处计算 CWT，这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1，b=τ 的变换值。 重复上述过程， 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换， 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话，则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
离散小波变换与框架对连续小波的完全离散化
分析：
函数可以被其“小波系数”完全表征。
即：如果有
f1, j,k f2 , j,k , 对于所有的 j, k Z
则：
f1 f2
等价地，
f , j,k 0, 对于所有的 j, k Z
则：
f ＝0
分析：
我们希望的重构方法是：
f
f , j,k ~j,k
j,k
分析：
为了保证“重构”方法的稳定性，我们 需要某种“稳定性”条件。
( y 2 j x m, p k m)
1
eipˆ ( )~ˆ ( )d
2
1
2
e ip
ˆ ( 2k )~ˆ ( 2k )d
2 0
k
1
2
eip d
2 0
p,0 k,m
关于定理的进一步讨论：
定理的证明过程中隐含了把一个半正交 小波变为正交小波的方法。
ˆ ()＝
ˆ（）
~
j
，
,k
使对任意的 f L2，有：
f
f , j,k ~j,k
j,k
定理的证明思想：
首先，定义一个映射T ,T : L2 L2,
Tf f , j,k j,k
j,k
f L2 ,
由框架的稳定性条件，T是一个有界线性算子。
算子T有如下特点： 1. T是连续算子。 2. T是一一映射。 3. T－1也是连续算子。
对定理的进一步讨论：
•~
j
也是一个框架。
,k
称~
j,k为
的对偶框架。
j,k
•~
j ,k 与
互为对偶框架。
j,k
f f ,~ j,k j,k
j,k
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关于连续小波变换的离散化：
定理：
~，将与 令是一个R _ 小波，其对偶为 1 k ~ 作为基小波，它的连续 小波变换在( j , j )有： 2 2
d j ,k f , j ,k
~ c j ,k f , j ,k
1 k ＝W ( f )( j , j ) 2 2 1 k ＝W , j) ~ ( f )( j 2 2
正交小波的自对偶性：
当是正交小波时，我们有 ： ~ 由f f , j ,k j ,k
j ,k
取f j 0 , k 0 ~ j ,k , j ,k j ,k j ,k
0 0
关于定理的进一步讨论：
~ 中，最重要的是 在小波框架 j ,k 与其对偶 j ,k 双正交性。 ~ , j ,k l ,m j ,l k , m j, k , l , m Z
R_小波的定义：
称小波为一个R _ 小波，若其框架 j ,k 与 ~ 满足： 其对偶
＋ 2
－
e
ijx
ˆ( x) dx j ,0
2
k
ˆ( x 2k ) 1
对几乎处处x成立。
证明：
（2） （3 ）： 定义函数：G ( x ) 1 c j (G ) 2 1 2 1 2 1 2
2 k ijx e G ( x)dx 0
关于连续小波变换的离散化：
则f可以由 {d j ,k }与 {c j ,k }重构。而且： f , g L2 :
~ ,g f , g f , j ,k j ,k
j ,k
开题报告论文答辩
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{ j ,k }是一组基。但不一定是 Riesz基。
定理：
{ j ,k }是Riesz基。 { j ,k }是框架且线性无关。
一些注释：
1. 2.
若ψ是一个框架，则它必是一个二进小 波。 今后，通常取b0=1.
一些注释：
3.
1)
2)
在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从 而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件） 近似。 2 f (t ) f , j ,k j ,k (t ) A B j ,k
等价地， f , j ,k 0, 对于所有的j , k Z 则： f ＝0
f1 f 2
分析：
我们希望的重构方法是：
~ f f , j ,k j ,k
j ,k
分析：
为了保证“重构”方法的稳定性，我们 需要某种“稳定性”条件。
存在0 A B , 对f L2 , A f
j ,k
0
0
~ j0 , k 0
判断小波是否具有正交性的方法：
定理： 对于任意的 L2 , 下列命题等价。 （ 1 ） . { ( x k ), k Z }是规范正交族。 即： ( x k ), ( x l ) k ,l ˆ满足： （2） . 的Fourier 变换 1 2 (3).
j ,k
~ , j ,k l ,m j ,l k , m
j, k , l , m Z
~ ( x) f ( x) c j ,k j ,k ( x) d j ,k j ,k
j ,k j ,k
~ c j ,k f , j ,k d j ,k f , j ,k
~ f f , j ,k j ,k
j ,k
定理的证明思想：
首先，定义一个映射 T , T : L2 L2 , Tf f , j ,k j ,k
j ,k
f L2 ,
由框架的稳定性条件， T是一个有界线性算子。
算子T有如下特点： 1. T是连续算子。 2. T是一一映射。 3. T－1也是连续算子。
2
f , j ,k B f
2
2
则称 j ,k 满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2 , 生成的函数序列 j ,k 满足稳定性条件， 则称{ j ,k }是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。 若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
~ ， 若 j ,k 是L2上的一个框架，则存在 函数序列 j ,k 使对任意的f L2，有：
j ,k＝2 (2 j t kb0 )
j 2
连续小波离散化后的问题：
1.{d j ,k }是否保留了 f的全部信息。 2.怎样由 {d j ,k }重构f。
分析：
函数可以被其“小波系数”完全表征。
即：如果有 f1 , j ,k f 2 , j ,k , 对于所有的j , k Z 则：
j ,k l ,m j ,l k ,m
若 * j ,k 是 j ,k的对偶，有 f f , j ,k * j ,k
j ,k
~ 取f j0 , k 0 ~
j0 , k 0
0 0
j ,k
0
~ , * j ,k j0 , k 0 j ,k
0
离散小波变换与框架
————对连续小波的完全离散化
对连续小波的离散化处理：
k 定义 : b j ,k j b0 2 对W ( f )(b, a)离散化
j , k Z , b0 0
1 W ( f )(b j ,k , j ) f , j ,k d j ,k 2
其中：
2 2 1 ~ f , j ,k f A 2
对定理的进一步讨论：
~ 也是一个框架。 j ,k ~ 为 的对偶框架。 称
j ,k j ,k
~ 与 互为对偶框架。 j ,k j ,k ~ f f ,
j ,k
j ,k
j ,k
对定理的进一步讨论：
对正交与半正交小波的讨论：
（以下我们讨论的小波被限制在ψ生成的框 架是Riesz基的条件下。）
正交与半正交小波的定义：
(1) 称为正交小波。若其生 成的框架 { j ,k }满足： j ,k , l ,m j ,l k ,m j, k , l , m Z
(2) 称为半正交小波。若其 生成的框架 { j ,k }满足： j ,k , l ,m 0 jl j, k , l , m Z
定理： 令 L2，是一个半正交小波， 通过其Fourier 变换定义： ˆ（） ~ ˆ （）＝ 2 ˆ ( 2k )
k
~ ( x) 2 ~ (2 j x k )}为 的对偶框架。 则{ j ,k j ,k
j 2
证明：
~ 与 具有双正交性。 我们只需证明 j ,k j ,k ~ , 即： j, k , l , m Z
2
第二步：
j ,k
~ , j ,m
2j
j ~ ( 2 j x m)dx ( 2 x k )
~ ( y )dy ( y p )
( y 2 j x m, p k m)
1 2 1 2 1 2
2
演示完毕感谢观看
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ˆ ( )＝
ˆ（） ˆ ( 2k ) ) (
k ˆ（ ） 1 2 2
则： ~ ˆ ( )＝ ˆ
( 2k )
2
ˆ ( ) ＝
k
关于定理的进一步讨论：
对非半正交小波，上述“正交化”过程 是不能成立的。
定理的证明思想：
由T 的存在性，我们有： f T 1Tf T 1 ( f , j ,k j ,k )
j ,k 1
f , j ,k T 1 j ,k
j ,k
, 我们只需要取： 1 ~ T
j ,k
j ,k
对定理的进一步讨论：
~ 也满足稳定性条件 ,且 j ,k 1 f B
ip ~ ˆ ( )d ˆ e ( )
ip e 0
k
~ ˆ ( 2k )d ˆ ( 2 k )
2
ip e d 0
p ,0 k ,m
关于定理的进一步讨论：
定理的证明过程中隐含了把一个半正交 小波变为正交小波的方法。
* ~ j ,k j ,k
下面，我们分两步证明 定理。 第一步 : 证明 ~ , 0
j ,k l ,m
j l时
是半正交，我们有： j ,k , l ,m 0 j l时 ~ } 是{ } 的线性组合， 如果，我们能证明 { j ,k k j ,k k
则第一步证明完成。
进一步，我们只需证明 ： ~ ( x)
k
a (x k)
k
1 取： ak 2
^
2
0
e ikx
j
~ ˆ ( x 2j ) ˆ（）
k
2
dx
~ ˆ＝{a } ˆ 则： k
ˆ ( 2k )
( x k ) ( x l )dx ( y