高中数学竞赛_奥林匹克数学的技巧(上)
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
中学奥林匹克数学竞赛
中学奥林匹克数学竞赛
（原创版）
目录
1.中学奥林匹克数学竞赛的概述
2.中学奥林匹克数学竞赛的组织形式
3.中学奥林匹克数学竞赛的竞赛内容
4.中学奥林匹克数学竞赛的参赛对象
5.中学奥林匹克数学竞赛的意义
正文
中学奥林匹克数学竞赛，简称中学奥数，是一项面向全球中学生的数学竞赛活动。
它旨在选拔和培养优秀的数学人才，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养和逻辑思维能力。
中学奥林匹克数学竞赛的组织形式主要包括国家级、省级、市级和校级等各个层次的比赛。
其中，国家级比赛是最高水平的比赛，选拔出的选手将代表我国参加国际数学奥林匹克竞赛。
这些比赛的组织和管理，通常由各地区的教育部门和数学学会共同负责。
中学奥林匹克数学竞赛的竞赛内容涵盖了初等数学的各个领域，包括代数、几何、组合、数论等。
竞赛题目分为个人赛和团体赛两类。
个人赛主要测试选手的数学技能和解题能力，团体赛则侧重于选手的协作和沟通能力。
中学奥林匹克数学竞赛的参赛对象主要是中学生，包括初中生和高中生。
对于参赛选手来说，参加奥数比赛不仅可以提高自己的数学能力，还可以拓宽视野，结识志同道合的朋友。
中学奥林匹克数学竞赛在我国具有重要的意义。
首先，它有助于选拔和培养优秀的数学人才，为我国的科技创新和经济发展提供人才支持。
其
次，它有助于提高全社会对数学教育的重视，推动初等数学教育的改革和发展。
最后，它有助于激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和创新能力。
总的来说，中学奥林匹克数学竞赛是一项对中学生具有重要意义的活动。
奥数比赛的备战方法
奥数比赛的备战方法奥数（即奥林匹克数学竞赛）是一项智力竞技活动，对学生的数学能力和解题能力提出了较高的要求。
为了在奥数比赛中取得好成绩，学生需要有一套有效的备战方法。
本文将探讨一些备战奥数比赛的方法和技巧。
一、提前了解比赛要求在备战奥数比赛前，学生应该仔细研究比赛的规则和要求。
了解比赛的考点、考题类型以及解题时间限制等，有助于学生有针对性地制定备战计划和策略。
此外，阅读往年的奥数比赛题目和答案也是一种很好的备战方式，可以帮助学生熟悉题目的难度和解题思路。
二、系统学习数学知识奥数比赛要求学生具备扎实的数学基础，因此，学生需要系统地学习各个数学分支的知识。
包括但不限于数论、代数、几何和概率等。
可以参考相关的教材或者寻找优质的学习资源，例如网上的教学视频和教程，以便全面理解和掌握数学的核心概念和解题方法。
三、多做练习题练习题是奥数备战的重要环节。
通过大量的练习，学生可以提升解题速度和解题技巧。
建议学生选取一些经典的奥数习题集进行练习，同时也要重视做题过程中的错误和不足，及时总结和纠正。
另外，可以参加一些奥数辅导班或者组织奥数训练营，与其他优秀的奥数学员切磋交流，共同进步。
四、培养逻辑思维和解题能力奥数比赛强调的是学生的逻辑思维和解题能力。
因此，学生需要通过培养逻辑思维，提高问题分析和解决问题的能力。
可以尝试做一些逻辑题和脑筋急转弯题，积极参与数学推理和解题游戏，锻炼自己的思维灵活性。
此外，多进行数学证明题的练习，这有助于培养学生的严谨性和推理能力。
五、掌握时间管理技巧奥数比赛对解题时间有一定的限制，学生在备战过程中也要注重时间管理。
练习时可以设置计时器进行模拟考试，提高自己在有限时间内解题的效率。
同时要分配好每道题的解题时间，避免在某道题上花费过多的时间而影响整体的解题进度。
结语：备战奥数比赛需要学生付出大量的努力和时间。
通过系统学习数学知识，多做练习题，培养逻辑思维和解题能力，以及掌握时间管理技巧，学生可以提高自己的奥数竞赛水平。
高中数学竞赛怎么学
数学竞赛怎么学搞竞赛要找好苗子，首先他是热情的，勤奋的，其次是有抱负的，不畏艰难的；当然不能是临时抱佛脚的。
冰冻三尺，非一日之寒。
应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。
细细地说来，注意事项还有很多。
学习进度方面要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。
然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。
老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。
入门书单首先如果要涉猎竞赛，最基本的高中课程是一切的基础。
接下来的书就是建立在此基础上的。
我们最先做的当然是补全差距:课标大纲和竞赛大纲之间的差距。
1）《新编中学数学解题方法全书》，即基础衔接书。
2）《奥数教程》经典奥数蓝皮书。
优点是与课本知识联系紧密，适合你在第一遍学习高中数学知识的同时同步提高，帮助你打下坚实的基础，以讲解为主，以测试为辅。
(与《培优教程》二选一即可，小编认为《培优》稍难，但很散，推荐《奥数教程》。
)提高书单1）《奥赛小丛书》专而精，很多专题非常精彩，难度涵盖联赛和冬令营，读起来也容易让同学们感兴趣。
如果仅以省级国一为目标，其中概率、几何不等式可以不看，图论、组合几何、数论编的不错，集合变换、三角与几何虽然写的很好但不实用；其它的如函数、集合还好，可以看看。
这套书中代数只有两本不等式，而且很不实用，不推荐。
至于数学归纳法里面题很经典，不过很综合，可以放在该套书后面看。
对于这套书要尽快看完，里面题要自己做，可能比较辛苦。
总的来说这套书值得一看，要尽早开始看。
2）《奥赛经典》内容比较全面，例题选取也比较新，难度也较高，适合着眼于联赛二试和冬令营的同学们；代数部分可以做为《奥赛小丛书》的补充。
几何还可以，但定理可以只记最基本的，拓展的可以不记。
组合，数论有时间可以看看,不过很多都和小丛书重复，没时间就算了。
奥林匹克数学题型乘法原理与排列组合
奥林匹克数学题型乘法原理与排列组合奥林匹克数学题型：乘法原理与排列组合在奥林匹克数学竞赛中，乘法原理与排列组合是常见且重要的题型。
它们通过将问题抽象为组合和排列的方式来解决，可以帮助学生培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
本文将详细讨论乘法原理和排列组合的概念，以及如何运用它们解决奥林匹克数学竞赛中的题目。
一、乘法原理乘法原理是指在多个独立事件的情况下，这些事件同时发生的可能性等于各个事件发生的可能性的乘积。
在解决问题时，我们可以将问题转化为多个独立事件的组合，并利用乘法原理求解。
例如，假设小明有 3 件外套和 4 条裤子，他想选择一件外套和一条裤子进行搭配。
按照乘法原理，他的选择可能性为 3 乘以 4，即 12 种搭配方式。
在奥林匹克数学竞赛中，乘法原理常常被用于解决涉及多个独立事件的排列组合问题。
学生需要找到问题中多个事件的发生方式，并利用乘法原理计算可能的结果数量。
二、排列组合排列组合是奥林匹克数学竞赛中的另一个重要概念。
它主要用于解决不同元素的排列和组合问题。
1. 排列在数学中，排列指的是从一组元素中，选择若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。
排列可以分为有放回和无放回两种情况。
有放回的排列指元素被选中后又放回到原来的组合中，不改变元素的个数。
无放回的排列指元素在选择后不放回，所以每次选择的元素个数会减少。
例如，小明有 3 个球员，他要选择其中 2 个球员组成一支队伍。
如果考虑排列，即按照一定的顺序进行选择，那么小明有 3 乘以 2，即 6 种不同的组队方式。
2. 组合组合是指从一组元素中，选择若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
组合也可以分为有放回和无放回两种情况。
有放回的组合指元素被选中后又放回到原来的组合中，不改变元素的个数。
无放回的组合指元素在选择后不放回，所以每次选择的元素个数会减少。
继续以上面的例子，如果小明只需要选择 2 个球员组成球队，不考虑顺序，那么他有 3 种不同的组队方式。
奥林匹克数学竞赛高中
奥林匹克数学竞赛高中
奥林匹克数学竞赛高中组是指参加高中年级奥林匹克数学竞赛
的选手。
奥林匹克数学竞赛是一个全球性的数学竞赛，旨在激发青少年对数学的兴趣和热情，提高他们的数学水平和思维能力。
参加奥林匹克数学竞赛高中组需要满足以下条件:
1. 年龄：选手必须出生于 2003 年 1 月 1 日之后。
2. 年级：选手必须是高中年级学生。
3. 资格：选手必须获得所在学校或机构的资格认证，并且必须在比赛中遵守比赛规则和纪律。
奥林匹克数学竞赛高中组的比赛包括两个部分：初赛和决赛。
初赛通常在学校或机构举行，决赛通常在全球各地的考点举行。
初赛和决赛的题目都包括数学基础知识和更高级的数学知识，难度非常大。
参加奥林匹克数学竞赛高中组可以帮助青少年提高数学水平和
思维能力，也可以增强他们的自信心和独立性。
同时，参加奥林匹克数学竞赛高中组也可以帮助学生更好地准备未来的升学考试，如高考和出国留学考试。
中国人民大学附属中学高中的奥林匹克数学竞赛的重点的知识
中国人民大学附属中学高中的奥林匹克数学竞赛的重点的知识
奥林匹克数学竞赛是中国人民大学附属中学高中学生准备和参加的一种竞赛，要求学生掌
握比较完整的数学知识，提高个人的数学素养，并将相关的数学运用于竞赛中，以起到帮
助学生取得好成绩的目的。
要从原理和技术性知识两方面来准备奥林匹克数学竞赛。
在原理知识方面，学生要掌握数
学基本概念，并能够熟悉解决问题的方法，有良好的公式记忆和抽象、综合思维能力。
在
技术性知识方面，学生要持续学习复习几何、代数、概率论和统计等一系列基础数学课程，特别是函数和微积分等高等数学，以便在考试中掌握解题技巧。
此外，学生在训练过程中还要多加练习，以及尽早从简单的题中开始慢慢深入，克服拖延症，加强逻辑性思维表达，训练数学竞赛的专业性。
如果学生有充裕的时间可以阅读名家
数学文章和著作以及参加竞赛，这将有助于熟悉一些最新的理论，有助于更好地发掘数学竞赛的难点。
在练习过程中，学生应该认真研究相关考题，多分析难点，加强自我训练，有意识地积累
答题技巧，努力提高数学竞赛答题成绩。
总之，准备奥林匹克数学竞赛需要学生全面掌握数学知识，掌握解题方法和策略，提高数学竞赛的专业性，以及多做题积累经验，这样才能取得好成绩。
奥数解题技巧的奥妙
奥数解题技巧的奥妙奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项旨在培养学生数学思维和解题能力的竞赛活动。
在奥数比赛中，常常出现一些看似复杂的问题，要求学生利用巧妙的解题技巧来解决。
本文将揭示奥数解题技巧的奥妙，并帮助读者更好地掌握这些技巧。
一、问题拆解法在解决奥数问题时，我们常常会遇到复杂的题目，看起来无从下手。
这时候，我们可以尝试将问题进行拆解，将其分解为更简单的子问题来解决。
比如，当我们遇到一个含有分数的问题时，可以将其转化为整数计算，或者将其转化为小数计算，从而简化问题的复杂度，使其更易于解答。
二、巧用等式性质在奥数解题中，等式性质是非常重要的工具。
我们可以通过对等式进行变形、整理，从而得到更简洁的表达形式。
例如，当我们遇到一个方程时，可以通过移项、合并同类项等方式，将其变形为更容易解答的形式。
另外，我们还可以利用等式的对称性、倒数性质等特点，进一步简化问题的解答过程。
三、查找规律法奥数问题中，有很多题目都存在一定的规律性。
通过观察和归纳，我们可以发现其中的规律，并利用这些规律解答问题。
例如，当我们遇到一个数列题目时，可以尝试列出前几项，观察它们之间的关系，并推测出数列的通项公式。
又如，当我们遇到一个几何问题时，可以尝试绘制图形，通过观察图形的特点找到解题的突破口。
四、借助辅助图形在解决几何题目时，我们可以借助辅助图形来帮助我们理解和解决问题。
通过绘制辅助图形，我们可以更直观地理解问题，并找到解题的思路。
例如，当我们遇到一个三角形的问题时，可以尝试绘制高、中线、角平分线等辅助线，从而得到更多的线索和信息。
借助辅助图形，我们可以将原问题转化为等效的几何问题，使其更易于解答。
五、逆向思维法逆向思维是一种解决问题的重要方法，也常被应用于奥数解题中。
当我们无法从正向解决问题时，可以尝试从反向思考，寻找问题的破绽。
例如，当我们遇到一个无法直接求解的问题时，可以尝试从最终答案出发，思考如何逆推得到答案的过程。
逆向思维可以帮助我们打破思维定势，寻找出解题的新思路。
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奥林匹克数学的技巧（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。
这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。
在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。
”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。
2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。
常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。
例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。
证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。
这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。
例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。
解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，则其面积为1∆== 另方面2()()2sin x y y z ab C∆++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+()y x y z xz ++=时，()()x y y z ++取最小值2，如1,x z y ===时，()()2x y y z ++=。
2-7-2 映射它的基本形式是RMI 原理。
令R 表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像x ，令M 表示一种映射，通过它的作用把原像结构R 被映成映象关系结构R*，其中自然包含着未知原像x 的映象*x 。
如果有办法把*x 确定下来，则通过反演即逆映射1I M -=也就相应地把x 确定下来。
取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。
建立对应来解题，也属于这一技巧。
例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 。
解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A 1，A 2，…，A 7和B 1，B 2，…B 7。
如果甲方获胜，设i A 获胜的场数是i x ，则07,17i x i ≤≤≤≤而且 1277x x x +++=… （*）容易证明以下两点：在甲方获生时，（i ）不同的比赛过程对应着方程（*）的不同非负整数解；（ii ）方程（*）的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：A 1胜B 1和B 2，B 3胜A 1，A 2和A 3，A 4胜B 3后负于B 4，A 5胜B 4，B 5和B 6但负于B 7，最后A 6胜B 7结束比赛。
故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程（*）的非负整数解的个数713C 。
解二 建立下面的对应；集合{}127,,A A A …,的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程，且这种对应也是一个一一对应。
例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是{}123456,,,,,A A A A A A 所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合{}127,,A A A …,的7-可重组合的个数7777113C C +-=。
例2-130 设()n p k 表示n 个元素中有k 个不动点的所有排列的种数。
求证0()!nnk kp k n ==∑ 证明 设{}12,,,n S a a a =…。
对S 的每个排列，将它对应向量12(,,)n e e e …,，其中每个{}0,1i e ∈，当排列中第i 个元素不动时，1i e =，否则为0。
于是()n p k 中所计数的任一排列所对应的向量都恰有k 个分量为1，所以!n 个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为1()nnk kp k =∑。
另一方面，对于每个i ，1i n ≤≤，使得第i 个元素不动的排列共有(1)!n -个，从而相应的n 维向量中，有(1)!n -个向量的第i 个分量为1。
所以，所有向量的取值为1的分量总数(1)!!n n n -=，从而得到1()!nnk kp k n ==∑ 例2-131 在圆周上给定21(3)n n -≥个点，从中任选n 个点染成黑色。
试证一定存在两个黑点，使得以它们为端点的两条弧之一的内部，恰好含有n 个给定的点。
证明 若不然，从圆周上任何一个黑点出发，沿任何方向的第1n -个点都是白点，因而，对于每一个黑点，都可得到两个相应的白点。
这就定义了一个由所有黑点到白点的对应，因为每个黑点对应于两个白点，故共有2n 个白点（包括重复计数）。
又因每个白点至多是两个黑点的对应点，故至少有n 个不同的白点，这与共有21n -个点矛盾，故知命题成立。
2-7-3 递推如果前一件事与后一件事存在确定的关系，那么，就可以从某一（几）个初始条件出发逐步递推，得到任一时刻的结果，用递推的方法解题，与数学归纳法（但不用预知结论），无穷递降法相联系，关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。
用递推的方法计数时要抓好三个环节：（1）设某一过程为数列()f n ，求出初始值(1),(2)f f 等，取值的个数由第二步递推的需要决定。
（2）找出()f n 与(1)f n -，(2)f n -等之间的递推关系，即建立函数方程。
（3）解函数方程例2-132 整数1，2，…，n 的排列满足：每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。
试问有多少个这样的排列？解 通过建立递推关系来计算。
设所求的个数为n a ，则11a =（1）对1n >，如果n 排在第i 位，则它之后的n i -个数完全确定，只能是,1,n i n i ---…,2，1。
而它之前的1i -个数，1,2,n i n i -+-+…,1n -，有1i a -种排法，令1,2,i =…,n 得递推关系。
1211211111(1)2n n n n n n n n a a a a a a a a a a -------=++++=++++=+= (2)由（1），（2）得 12n n a -=例2-133 设n 是正整数，n A 表示用2×1矩形覆盖2n ⨯的方法数；n B 表示由1和2组成的各项和为n 的数列的个数；且 02421221352112321, 2, 21m m m m m n m m m m m C C C C n m C C C C C n m +++++++⎧++++=⎪=⎨++++=+⎪⎩……，证明n n n A B C ==证明 由,n n A B 的定义，容易得到 1112,1,2n n n A A A A A +-=+== 1112,1,2n n n B B B B B +-=+==又因为121,2C C ==，且当2n m =时，0242221352113112212122112m m m n n m m m m m m m m m m m C C C C C C C C C C C C C ---++-++-+++=++++++++++=+……5212132211m m m m m n C C C C -++++++++=…类似地可证在21n m =+时也有11n n n C C C -++=，从而{}{},n n A B 和{}n C 有相同的递推关系和相同的初始条件，所以n n n A B C ==。
223296,IMO IMO --用无穷递降法求解也用到了这一技巧。
2-7-4 区分当“数学黑箱”过于复杂时，可以分割为若干个小黑箱逐一破译，即把具有共同性质的部分分为一类，形成数学上很有特色的方法——区分情况或分类，不会正确地分类就谈不上掌握数学。
有时候，也可以把一个问题分阶段排成一些小目标系列，使得一旦证明了前面的情况，便可用来证明后面的情况，称为爬坡式程序。
比如，解柯西函数方程就是将整数的情况归结为自然数的情况来解决，再将有理数的情况归结为整数的情况来解决，最后是实数的情况归结为有理数的情况来解决。
142IMO -的处理也体现了爬坡式的推理（例2-47）。
区分情况不仅分化了问题的难度，而且分类标准本身又附加了一个已知条件，所以，每一类子问题的解决都大大降低了难度。
例2-134 设凸四边形ABCD 的面积为1，求证在它的边上（包括顶点）或内部可以找出4个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的4个三角形的面积均大于1/4。
证明 作二级分类1．当四边形ABCD 为平行四边形时，1124ABC ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆∆====> A ，B ，C ，D 即为所求，命题成立。
2．当四边形ABCD 不是平行四边形时，则至少有一组对边不平行，设AD 与BC 不平行，且直线AD 与直线BC 相交于E ，又设D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作AB 的平行线交BC 于F ，然后分两种情况讨论。
（1）如图2-52，12DF AB ≤，此时可作△EAB 的中位线PQ 、QG ，则 111222AGQP EAB ABCD S S S =>= 即A 、G 、Q 、P 为所求。
（2）如图2-53，12DF AB >，此时可在CD 与CF 上分别取P 、Q ，使12PQ AB =。
过Q9或P ）作QG ∥AP 交AB 于G 。