第十二章 离散小波变换
离散小波变换matlab
离散小波变换matlab一、离散小波变换介绍离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）是一种基于小波分析的数学方法，它可以将信号分解成不同尺度的频带，从而实现信号的多分辨率分析。
与傅里叶变换相比，离散小波变换更加适用于非平稳信号的处理，如图像、音频等。
二、matlab中的离散小波变换函数matlab提供了多种离散小波变换函数，常用的有dwt和wavedec两个函数。
1. dwt函数dwt函数用于对一维信号进行单层离散小波变换。
其语法为：[c,l] = dwt(x, wname)其中，x为输入信号，wname为所选用的小波基名称。
c为输出系数向量，l为各层输出长度向量。
2. wavedec函数wavedec函数用于对一维信号进行多层离散小波分解。
其语法为：[c,l] = wavedec(x, n, wname)其中，x为输入信号，n为所需分解层数，wname为所选用的小波基名称。
c为输出系数向量，l为各层输出长度向量。
三、matlab中的离散小波重构函数与离散小波变换函数对应，matlab也提供了离散小波重构函数，常用的有idwt和waverec两个函数。
1. idwt函数idwt函数用于对单层离散小波变换系数进行重构。
其语法为：x = idwt(c, l, wname)其中，c为输入系数向量，l为各层输出长度向量，wname为所选用的小波基名称。
x为输出信号。
2. waverec函数waverec函数用于对多层离散小波分解系数进行重构。
其语法为：x = waverec(c, l, wname)其中，c为输入系数向量，l为各层输出长度向量，wname为所选用的小波基名称。
x为输出信号。
四、matlab中的图像处理中的应用离散小波变换在图像处理中有广泛应用。
常见的应用包括图像压缩、边缘检测、图像增强等。
1. 图像压缩利用离散小波变换可以将图像分解成不同尺度的频带，在高频子带上进行量化和编码可以实现图像压缩。
离散小波变换与框架-38页文档资料
1
2
e ijx
ˆ ( x
2 k )
2
dx
2 k 0
1
2 (k 1)
e ijy
ˆ ( y )
2
dy
2
k
2k
1
e ijx
ˆ ( x )
2
dx
2
（ 1）（ 2）：
( x k ), ( x l )
( x k ) ( x l )dx
( y j ) ( y )dy
对连续小波的离散化处理：
定义:
bj,k
k 2j
b0
对W ( f )(b, a)离散化
j, k Z,b0 0
W (
f
)(bj
,k
,
1 2j
)
f , j,k
d j,k
j
其中： j,k＝22 (2 j t kb0 )
连续小波离散化后的问题：
1.{dj,k}是否保留f的了全部信息。 2.怎样{d由 j,k}重构 f。
存在0 AB,对f L2,
A f
2 f ,j,k
2
B f
2
则称j,k满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2,生成的函数 j,k满 序足 列稳定性条 则称 {j,k}是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。
若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
若j,k是L2上的一个框架，则存 函在 数序列~j,k，
一些注释：
3. 在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从
而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。
1) 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件）
2) 近似。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
离散小波变换
长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。
各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。
本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。
1.1 离散小波变换DWT1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。
设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ，)2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与)}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。
记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为：∑∑+=+=-kkjk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1其中：∑=-=-+112)(p n j n k jk c n h c ，∑=-=-+112)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jkψ来确定，p 为权系数的长度。
}{0n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。
由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。
所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
离散小波变换公式原理
离散小波变换公式原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，简称DWT）是一种在信号与图像处理中常用的变换方法。
它是将信号或图像通过一对分析滤波器和合成滤波器进行卷积运算，得到信号或图像的低频分量和高频分量。
(1) 分解（Analysis）:将长度为N的输入信号x(n)通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)分别卷积得到低频分量和高频分量：L(k) = Sum(h(i) * x(2*k-i))H(k) = Sum(g(i) * x(2*k-i))其中，L(k)表示k时刻的低频分量，H(k)表示k时刻的高频分量。
(2) 上采样（Upsampling）和滤波（Filtering）:将得到的低频分量和高频分量分别进行上采样（插值）和卷积运算，得到长度为2N的信号：LL(k) = Sum(h(i) * L(2k-i))HL(k) = Sum(g(i) * L(2k-i))L(k)=LL(k)H(k)=HL(k)(3) 递归（Recursion）:重复以上过程，将得到的低频分量和高频分量再次进行分解，直到分解到指定的层数。
这个过程可以用一棵二叉树来表示，每个节点对应一个分解层，汇聚到根节点的路径就是一个信号或图像的分解系数序列。
一、滤波器组的选择离散小波变换通过一对滤波器组来进行分解和合成，低通滤波器h(n)用于提取信号或图像的低频成分，高通滤波器g(n)用于提取信号或图像的高频成分。
滤波器组的选择决定了小波变换的性质。
常用的小波滤波器有Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波等。
二、多尺度分析1.小波变换具有良好的时间局部性，能够更好地捕捉信号或图像的短时特征。
2.小波变换不仅能够提取信号或图像的低频成分，还能够提取高频细节信息，可以在对信号或图像进行降噪、压缩等处理时发挥较好的作用。
3.小波变换可以进行多尺度分析，对信号或图像的不同频率特征进行精细化处理。
小波变换
1、 离散小波变换
小波变换是一种信号的时频分析方法，具有良好的时频局部分析特性。
图像经2维小波变换后，可得到一个低频子带和3个高频子带，图像的低频子带系数包含了图像的主要能量，高频子带系数对应图像的细节信息。
设原始图像为0C ，H 、G 是一维小波滤波器矩阵，r 和c 是图像的行和列，则小波变换分解算法可以描述为：
1j r c j C H H C += 式(2-3)
1v j r c j D H G C += 式(2-4)
1h j R c j D G H C += 式(2-5) 1d
j r c j D G G C += 式(2-6)
其中，0,1,......1j J =-，,,h v d 分别代表水平、垂直、和对角分量，*H 、*G 分别是H 、G 的共轭转置矩阵，相应的重构算法为：
********1111v h d j r c j r c j r c j r c j G H H C H G D G H D G G D ++++=+++ 式(2-7)
离散小波变换具有良好的时频分析特性，所以基于离散小波变换的融合算法与传统的基于金字塔变换的融合算法相比，具有更好的融合效果。
但在进行小波变换时，由于采用了行列降采样，使得图像的大小发生了变化，每层图像的大小均为其上一层图像大小的1/4，而且这种图像变换不具有平移不变性，这在图像融合处理过程中往往是不利的，尤其是在图像配准精度不高的情况下。
图像处理 第十二章 小波变换
第十二章小波变换目录11引言22连续小波变换33二进小波变换3.1 3.1Haar变换44离散小波变换4.1 4.1多分辨率分析4.2 4.2快速小波变换算法4.3 4.3离散小波变换的设计4.4 4.4二维离散小波变换4.5 4.5双正交小波变换55Gabor变换作业1.1.引言小波变换是近年来在图象处理中受到十分重视的新技术，面向图象压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法，如多分辨率分析、时频域分析、金字塔算法等，都最终归于小波变换（wavelet transforms）的范畴中。
线性系统理论中的傅立叶变换是以在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数的。
对于瞬态信号或高度局部化的信号（例如边缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换系数（频谱）不是紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成。
这种情况下，傅立叶变换是通过复杂的安排，以抵消一些正弦波的方式构造出在大部分区间都为零的函数而实现的。
为了克服上述缺陷，使用有限宽度基函数的变换方法逐步发展起来了。
这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波（wavelet）。
基于它们的变换就是小波变换。
2.2.连续小波变换（CWT）所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。
基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：即基本小波在频域也具有好的衰减性质。
有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。
一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生： 连续小波变换定义为：连续小波变换也称为积分小波变换。
连续小波逆变换为： 二维连续小波定义为：二维连续小波变换是：二维连续小波逆变换为：∞<ψ==⎰⎰∞∞-∞∞-ds ss C dt t 2)(0)(ψψ而且其频谱满足条件：)(1)(,a bx ax b a -=ψψdx abx x f adx x x f x f b a W b a b a f )()(1)()()(,),(,,-=>==<⎰⎰∞∞-∞∞-ψψψ2,0)(),(1)(a dadbx b a W C x f b a f ψψ⎰⎰∞∞-∞=),(1),(,,ab y a b x a y x y x b b a yx--=ψψdxdy y x y x f b b a W y x b b a y x f ),(),(),,(,,ψ⎰⎰∞∞-∞∞-=3,,0),(),,(1),(a dadb db y x b b a W C y x f y x b b a y x f y x ψψ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞=2.1 滤波器族解释这里将小波变换与一族带通线性（卷积）滤波器相联系，作为小波变换的一种解释。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小波框架
小波框架的定义
尺度、伸缩离散化构成的函数簇
2 2 j k
0 0
a0j
, k 0
(t ), j Z , k Z
A x(t ) x(t ), a j ,k (t ) B x(t )
2
当0 A B a j , k (t ), j Z , k Z 构成小波框架
c j ,k , j ,k (t ) B c j ,k
2 j k
a0j
, k 0
(t ) 2 j , k (t ) j , k (t ), j Z , k Z
R小波 与框架 小波相 比，具 有更高 的要求
Digital Signal Processing
小波级数表达式
x(t ) d j , k j , k (t )
j k
对偶R小波
j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ') j ,k (t ),
j , k (t ) d j , k x(t ),
j , k (t ) j , k (t ) x(t ) x(t ),
t a
Digital Signal Processing
小波函数离散化
a , (t )
j j a0 (a0 t k 0 ) a j , k (t )
0 0
a a0j
,
ka0j 0
j , k Z
离散小波变换
* WTx ( j , k ) WTx (a0j , k 0 ) x(t ) a (t )dt j , k
小波框架的性质
满足框架条件的小波函数必然是允许小波
离散小波变换不具备时移不变特性
Digital Signal Processing
离散小波的重建核方程 1 WTx (a0j0 , k0 0 ) x(t ) *j (t ) dt 0 ,k a A 0 0 0
* 1 WTa j , k (t ) j0 (t ) j0 (t )dt a0 , k 0 0 0 A j k a0 ,k0 0 1 WTa j , k (t ) a j , k (t ) *j (t )dt 0 0 0 0 a00 ,k0 0 A j k 1 WTa j , k (t ) K ( j0 , k0 ; j , k ) 0 0 A j k
2 k
0 A B
2 2
A x(t ) x(t ), k (t ) B x(t )
Tk [ x(t )] x(t ), k (t )
称k (t ), k Z 构成L2 ( R)空间的一个框架
框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意 味着任一信号按基函数 k (t ), k Z 展开时，其展开系数 不一定具有唯一性
K ( j0 , k0 ; j, k ) a j , k (t ) *j
0 0 a00 ,k0 0
(t )dt a j , k (t ),
0 0
a0 0 , k0 0
j
(t )
正交小波基：
K ( j0 , k0 ; j, k ) ( j j ') (k k ')
Digital Signal Processing
对偶框架
(t ) F * F (t ), k Z k k
1
2 (t ) 2 A1 x(t ) B1 x(t ) x(t ), k k 2
原函数的重建
(t ) x(t ) x(t ), j (t ) j
Digital Signal Processing
小波函数位移离散化方法
0 a a0 1 位移 的离散化间隔
0 k 0 , k Z
j a a0 1
j j 位移 的离散化间隔 a0 0 k a0 0 , k Z
j a ( ) (a0 t )在时间方向扩展a0j 倍
当
A B 时
2 j (t ) A B
(t ) 对偶框架的一阶近似 j
近似重建公式x(t )
2 x(t ), j (t ) j (t ) Rx(t ) A B j 2 B A x(t ), j (t ) j (t ), R A B j B A
j k
j , k (t ) x(t ) x(t ), j , k (t )
j k
计算小波级数的关键是寻找R小波和求解对偶小波
Digital Signal Processing
小波分类
正交小波
(t 是一个 ) R小波
( t ), j Z , k Z满足正交性条件 j ,k
t ), ~ j 2
二进小波变换在信号的奇异性检测和图像处理方面有着 广泛应用
Digital Signal Processing
二进小波变换
定义
WTx ( j, ) x(t )* k , (t ) 2 j / 2 x(t ) k , (
t
2
j ,k (t ), j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ')
正交小波具有自对偶 小波级数系数
j , k (t ) j , k (t )
d j , k x(t ), j , k (t )
Digital Signal Processing
j
(t ) (t ) x(t ) x(t ), j j
j
Digital Signal Processing
对偶框架的计算和原函数的重建
当 A B 1 时
{ j (t ), j Z}构成正交基， 信号分解具惟一性
(t ) (t ) j j
0 0
x(t ) A1 x(t ), a j , k (t ) a j , k (t )
j k
0 0 0 0
A1 WTa j , k (t ) a j , k (t )
当
A B 时
x(t )
j
k
0
0
0
0
2 a j , k (t ) j (t ) 0 0 A B a0 , k 0
2 WTa j , k (t ) a j , k (t ) 0 0 0 0 A B j k
Digital Signal Processing
连续小波变换离散化参数和框架的关系
(t )
2 3
1/ 4 (1 t 2 )et
2
/2
Digital Signal Processing
减少截断误差影响信号重建精确度 线性相位性 小波函数具有奇对称或偶对称性减少相位失真
Digital Signal Processing
12．4二进小波变换
尺度和位移都离散化的离散小波变换牺牲了位移不变性
二进小波变换只对尺度进行离散化处理位移仍连续变化
a
j 0 , 0
(t ) 2 j , (t ) 2 j / 2 (
0 0
小波框架的频域表示
0 ln a0 2
A
0
ln a0 ˆ ( ) d 02 B 1 2
Digital Signal Processing
对偶小波框架和信号重建
当 A B 1时
a
j 0 , k 0
(t ) a j ,k (t )
j
)dt
二进小波变换定义成卷积形式，CWT是内积形式
定义 '(t ) (t )
WTx ( j, ) x(t )* 'k , (t ) 2 j / 2 x(t ) 'k , (
t )dt 2j 2 j / 2 sgn( j ) x(t ), 'k , (t )
k
小波级数系数
j , k (t ) d j , k x(t ),
Digital Signal Processing
半正交小波
(t 是一个 ) R小波
j ,k (t ), j Z , k Z尺度和位移方向均不满足正交性条件
对偶小波与原R小波在尺度和位移方向正交
半正交小波
(t 是一个 ) R小波
j ,k (t ), j Z , k Z仅在尺度方向满足正交性条件
j , k (t ), j ', k (t ) ( j j ')
对偶小波
ˆ ( ) ˆ ( ) 2 ˆ ( 2 k )
0 0
离散小波变换中的“离散”含义是指对尺度参数和位 移参数进行离散化，并没有对分析信号和小波函数中的 时间变量进行离散化
Digital Signal Processing
尺度和位移离散化的规则
Digital Signal Processing
12．2框架理论
框架定义
k (t ), k Z
精确重建递推公式 x0 (t ) 2 x(t ), j (t ) j (t ) A B j 2 x(t ), j (t ) xN 1 (t ), j (t ) j (t ) A B j
xN (t ) xN 1 (t )
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing