连续小波变换和离散小波变换
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1
2
2
R
t | (t ) | 2 dt ，
2
0= || ˆ || R | ˆ ( ) |
1
d
t= || || [
2
1
R
(t t 0 ) 2 | (t ) | 2 dt
] ，
1
1 2
=
1 ˆ || 2 ||
[
R
ˆ ( ) | 2 d ] 2 ( 0 ) 2 |
定义 3.3 设ψ(t)是一个小波函数， 则连续小波变换(CWT) 定义如下：WT f(a,b)=
1 a
R
f (t ) (
t b )dt a
从定义可知，小波变换与 Fourier 变换一样，都是一种 积分变换，但从上述方程可以看出，变换后的信号是两个变 量的函数：一个是平移参数 b，另一个是尺度参数 a。即小 波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。 函数 f(t)在某一尺度因子 a、平移参数 b 上的小波变换系数 ，表征的是在 b 位置处，时间段 2a t 内包含的中心频率为
故关于时—频窗口中心及形状随尺度因子 a 的变化有 如下几个规律： 1） 平移的意义在小波变换中和 WFT 中一样， 它与窗口 的位置有关，表示窗口在信号中的移动。这显然与变换域中 的时间信息相关。但和 WFT 不一样，小波变换中没有频率 参数， 而有尺度参数。 尺度因子 a 的倒数在一定意义上对应 于频率。尺度因子越小，对应频率越高，尺度因子越大，对 应频率越低。
在地图中，在同样的图幅中，比例尺越大，地图所表示 的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越 小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度 越低。小比例尺（小于一百万分之一）得到的是整个地区的 地形概貌，细节不多，而大比例尺（大于万分之一）得到的 是局部地区的细节。类似地，在信号分析中，低频率段（大 尺度因子段，相当于小比例尺）对应一个信号的整体信息（ 时间跨度大），而高频率段（小尺度因子段，相当于大比例 尺）对应信号中一个内在模式的详细信息（时间跨度小）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许 性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
ˆ (0) = R (t )dt =0。“母”指的是小波变换中用到的基函数
都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。
定义 3.2 设 ψ(t)是一个小波函数。 对它进行伸缩和平移变 换得
a ,b (t )
1 t b ( )，a 0，b R a |a|
其中 a 为伸缩因子（尺度因子，scale） ，b 为平移因子。称
2）海森堡测不准原理告诉我们：在任何尺度因子 a 和 平移因子 b 上，小波基函数 a,b (t ) 的时—频窗面积是不变的， 即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提得很高。
小尺度因子 高频 持续时间短 窄的时间窗口，宽的频率窗口 大尺度因子 低频 持续时间长 宽的时间窗口，窄的频率窗口
0 a
、宽度为 2 a 的频窗内的频率成分的大小。
定 义 3.4
设 ψ (t) 是 一 个 小波 函 数 ， 则 连 续 小 波 变 换
(CWT)的逆变换定义如下：
1 f(t)= C
0
da a2
WT f (a, b) a,b (t )db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种 （即八种基本比例尺） ： 1:5000 ， 1:10000， 1:25000， 1:50000， 1:100000， 1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
3.1 连续小波变换（CWT， Continuous Wavelet Transform）
CWT 用来代替窗口傅里叶变换(WFT)以克服分辨率不 能随时间与频率的不同而改变不变的问题。 当窗口函数选定 之后，对 WFT 来说，时-频窗的窗口形状是固定的，它不能 随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变 化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非 平稳信号的分析能力是很有限的。小波变换类似于 WFT， 即信号用小波相乘，对时域信号的不同时间段计算小波变 换。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 aห้องสมุดไป่ตู้
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
2
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R
t | (t ) | 2 dt ，
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0= || ˆ || R | ˆ ( ) |
1
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t= || || [
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(t t 0 ) 2 | (t ) | 2 dt
] ，
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1 2
=
1 ˆ || 2 ||
[
R
ˆ ( ) | 2 d ] 2 ( 0 ) 2 |
定义 3.3 设ψ(t)是一个小波函数， 则连续小波变换(CWT) 定义如下：WT f(a,b)=
1 a
R
f (t ) (
t b )dt a
从定义可知，小波变换与 Fourier 变换一样，都是一种 积分变换，但从上述方程可以看出，变换后的信号是两个变 量的函数：一个是平移参数 b，另一个是尺度参数 a。即小 波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。 函数 f(t)在某一尺度因子 a、平移参数 b 上的小波变换系数 ，表征的是在 b 位置处，时间段 2a t 内包含的中心频率为
故关于时—频窗口中心及形状随尺度因子 a 的变化有 如下几个规律： 1） 平移的意义在小波变换中和 WFT 中一样， 它与窗口 的位置有关，表示窗口在信号中的移动。这显然与变换域中 的时间信息相关。但和 WFT 不一样，小波变换中没有频率 参数， 而有尺度参数。 尺度因子 a 的倒数在一定意义上对应 于频率。尺度因子越小，对应频率越高，尺度因子越大，对 应频率越低。
在地图中，在同样的图幅中，比例尺越大，地图所表示 的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越 小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度 越低。小比例尺（小于一百万分之一）得到的是整个地区的 地形概貌，细节不多，而大比例尺（大于万分之一）得到的 是局部地区的细节。类似地，在信号分析中，低频率段（大 尺度因子段，相当于小比例尺）对应一个信号的整体信息（ 时间跨度大），而高频率段（小尺度因子段，相当于大比例 尺）对应信号中一个内在模式的详细信息（时间跨度小）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许 性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
ˆ (0) = R (t )dt =0。“母”指的是小波变换中用到的基函数
都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。
定义 3.2 设 ψ(t)是一个小波函数。 对它进行伸缩和平移变 换得
a ,b (t )
1 t b ( )，a 0，b R a |a|
其中 a 为伸缩因子（尺度因子，scale） ，b 为平移因子。称
2）海森堡测不准原理告诉我们：在任何尺度因子 a 和 平移因子 b 上，小波基函数 a,b (t ) 的时—频窗面积是不变的， 即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提得很高。
小尺度因子 高频 持续时间短 窄的时间窗口，宽的频率窗口 大尺度因子 低频 持续时间长 宽的时间窗口，窄的频率窗口
0 a
、宽度为 2 a 的频窗内的频率成分的大小。
定 义 3.4
设 ψ (t) 是 一 个 小波 函 数 ， 则 连 续 小 波 变 换
(CWT)的逆变换定义如下：
1 f(t)= C
0
da a2
WT f (a, b) a,b (t )db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种 （即八种基本比例尺） ： 1:5000 ， 1:10000， 1:25000， 1:50000， 1:100000， 1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
3.1 连续小波变换（CWT， Continuous Wavelet Transform）
CWT 用来代替窗口傅里叶变换(WFT)以克服分辨率不 能随时间与频率的不同而改变不变的问题。 当窗口函数选定 之后，对 WFT 来说，时-频窗的窗口形状是固定的，它不能 随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变 化，而非平稳信号都包含丰富的频率成分，所以，它们对非 平稳信号的分析能力是很有限的。小波变换类似于 WFT， 即信号用小波相乘，对时域信号的不同时间段计算小波变 换。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换； 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 aห้องสมุดไป่ตู้
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||