经典滤波器设计

1-1
p：通带截止频率(通带上限频率) s：阻带下限截止频率
1：通带截止频率衰减度 2：阻带下限截止频率衰减度
P s
2
图2 低通滤波器频率域波形图
2、滤波器设计
2)高通滤波器
H(ej)|
1-1 2
P：通带截止频率(下限频率) s：阻带上限截止频率
s P

1 ：通带截止频率衰减度 2 ：阻带截止频率衰减度
jn jn e e 2cos(n)，上式可以写作 考虑到
( N 1) / 2 j ( N 1) / 2 H ( j ) e 2h(( N 1) / 2 n) cos(n) h(( N 1) / 2) n1
明显地，H(j)的滞后相位为(N-1)/2，它是线性的。
2、滤波器设计

偶数长度偶对称 H ( j ) h(n)e
N 1 n 0
jn

N / 21 n 0
h(n)e
jn

把
N 1
n N / 2
h(n)e
N 1
jn
写作 N / 2 1 j n h ( n ) e 考虑到 h(N-1-n)=h(n) ，可以把 n0 写作 N / 2 1 j [ N / 2 1 n ] h ( N / 2 n 1) e 于是，从上式右边三项中 n 1 ( N / 2 1) 提取 e jN 得到： ( N 1)/ 2 1
y (n) hi x(n i)
i 0
式中hi为多项式除法中得到的商中的系数。 如何确定N的值就构成了FIR滤波器的设计方法。
2、滤波器设计
(4). FIR系统的线性相位
1) 非线性相位带来的误差 假定初始信号为： y=sin(x)+sin(3x) 分别用两个滤波器进行滤波，滤波器1和滤波器2对sin(x)分量 与sin(3x)分量的幅频特性均分别为0.998和0.99。滤波器1对 sin(x)分量与sin(3x)分量的相位分别为：6º 和18º ，滤波器2对 sin(x)分量与sin(3x)分量的相位分别为：6º 和36º 。于是y分别用 滤波器1和滤波器2滤波后得到的信号F1和F2可以表示为： F1=0.998*sin(x-6º )+0.99* sin(3x-18º ) F2=0.998*sin(x-6º )+0.99* sin(3x-36º )
sh 3
1 sl
图5 带阻滤波器频率域波形图
2、滤波器设计
(3). 滤波器设计方法
常用的滤波器有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波 器、椭圆滤波器等，鉴于篇幅，这里只介绍巴特沃 斯滤波器的设计思想。 1)模拟巴特沃斯滤波器设计 巴特涡斯滤波器的模型为：
1 G ( j ) 1 C N ( 2 ) N
n 1 ( N 1) / 2
n 1
e )
jn
2h( N / 2 1 n) cos(n)
2、滤波器设计
奇数长度奇对称 H ( j ) h(n)e h(n)e

N 1 j n ( N 3) / 2 n 0 N 1
j n
jn
h((N 1) / 2)e
图3 高通滤波器频率域波形图
2、滤波器设计
3)带通滤波器
|H(ej)|
1：通带下限截止频率 3：通带上限截止频率 sh：上阻带截止频率 sl：下阻带截止频频率域波形图
2、滤波器设计
4)带阻滤波器
|H(ej)|
1：通带下限截止频率 3：通带上限截止频率 sh：阻带上限截止频率 sl：阻带下限截止频率
b0 b1 z 1 b2 z 2 Y ( z) H ( z) X ( z) a0 a1 z 1 a2 z 2
a0y(n)+a1y (n-1)+a2y(n-2)+∙∙∙=b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)+∙∙∙
2、滤波器设计
若想获得FIR响应的滤波器，可以对上式进行多项 式除法运算，保留前N项，即可获得N-1阶FIR滤波器。 也就是 y(n)=h0x(n)+h1x(n-1)+h2x(n-2)+ ∙∙∙+hN-1x(n-N+1) 或者 N 1
H ( j ) e
j ( N 1) / 2 / 2
明显地，H(j)的滞后相位为(N-1)/2+/2，它是线 性的。
n 1
h(( N 1) / 2 n)e
j [( N 1) / 2 n ]
h( n)e
jn
写作
于是，从上式右边三项
中提取e j ( N 1) / 2 得到：
h(n)
(N-1)/2
n
2、滤波器设计
H ( j ) h(n)e jn
n 0 N 1 ( N 1) / 2 j ( N 1) / 2 jn jn e h((N 1) / 2 n)(e e ) h((N 1) / 2) n1
1、正弦波的形成与特征
(1)正弦波的形成

C r=1 B A' C' sin(tC)=1
B'
0 tB tC
A
D D -'
t
D' D'' (a) (b) sin(tD)=-1 图1 正弦波的形成。(a)单位圆的旋转；(b)正弦波
1、正弦波的形成与特征
(2).正弦波的正交性
两个不同频率的正弦波的相关函数是一个恒0值的函数。即对 于两个正弦函数f1=sin(1t+1)和f2=sin(2t+2)，若1≠2，则
2、滤波器设计
红色： y 蓝色：F1 洋红：F2
2、滤波器设计
2)线性相位滤波器
当FIR系统的系数对称时，滤波器将具有线性相位。 对称有偶对称和奇对称两种情况。对于偶对称，即FIR 滤波器系数h满足关系式：h(N-1-n)=h(n)；而对于奇对 称，即FIR滤波器系数h满足关系式：h(N-1-n)=-h(n)。 另外，FIR系统系数的长度有奇数个和偶数个之分，因 此需要分为四种情况来论证。
经典滤波器设计
汤晓君
0 滤波器简介
滤波器的分类： 可按功能、实现方法、设计方法等方面来进行分 类，但总的来说可以分为经典滤波器和现代滤波器 两类。经典滤波器假定噪声和信号的频率不重叠， 然后让信号通过一个线性系统去除噪声部分，它对 有用信号和噪声相互重叠的测试信号无能为力。现 代滤波器研究的主要内容是从含有噪声的数据记录 中估计出信号的某些特征或信号本身，它把信号和 噪声都看作随机信号。现代滤波器主要是自适应滤 波、卡尔曼滤波、小波分析等。
n 0 ( N 1) / 2
n ( N 1) / 2
h(n)e
N 1
jn
j [ n ( N 1) / 2 ] h (( N 1 ) / 2 n ) e n 1
( N 3) / 2 n 0
考虑到h(N-1-n)=h(n)，可以把
( N 1) / 2

其中1 (1 2 s 2 ),2 (1 2 s 2 )
1、正弦波的形成与特征
(3). 傅立叶变换的实质
由于不同频率的正弦波是正交的不同频率的正弦波构成 不同的空间，对于一个有限能量的时间域信号，总是可以分 成那些空间分量的直接和f(t)=a0+a1sin(t+θ1)+· · · 。傅立叶变 换的过程实质上是时间域函数与e-jωt(ejt=cos(t)-jsin(t))的 相关函数。由正弦波的正交性可知，傅立叶变换所要确定的 就是各正弦空间的分量的幅值.
1 T f1 f2 ( s) lim sin(1t 1 )sin[2 (t s) 2 ]dt T 2T T 1 T lim [cos(1t 1 2 (t s) 2 )) cos(1t 1 2 (t s) 2 ))]dt T 2T T 1 T lim [cos((1 2 )t (1 2 s 2 )) cos((1 2 )t 1 2 s 2 ))]dt T 2T T 1 T lim [cos((1 2 )t 1 ) cos((1 2 )t 2 ))]dt T 2T T
F ( )


f (t )e
jt
d(t ) [a0 a1 sin(1t 1 ) ]e jt d(t )


2、滤波器设计
(1)滤波器初步 滤波器的作用：将信号中的某部分正弦波分 量去除。 滤波器的基础：许多信号具有叠加性，或者 说是由其它信号叠加而成的。如电路中的电 压信号、电流信号等。而根据傅立叶变换可 知，任意一个信号可以看作是多个频率正弦 波的叠加。
2、滤波器设计
奇数长度偶对称 H ( j ) h(n)e h(n)e

N 1 j n ( N 3) / 2 jn
h((N 1) / 2)e
j ( N 1) / 2

把
n ( N 1) / 2
jn h ( n ) e 写作
n 0 N 1
j ( N 1) / 2

j [ n ( N 1) / 2 ] h ( n ) e h (( N 1 ) / 2 n ) e 把 写作 n 1 考虑到h(N-1-n)=-h(n)，可以把 h(n)e 写作 ( N 1) / 2
n ( N 1) / 2
2、滤波器设计
2)从模拟滤波器到数字滤波器
通过前述方法得到的滤波器是拉普拉斯形式，它是模 拟滤波器。想得到数字形式的巴特沃斯滤波器，需要通 过双线性变换将拉普拉斯形式的滤波器表达式变换成z变 换的形式。双线性变换只需要把s=(z-1)/(z+1)/Ts代入拉普 拉斯形式的滤波器表达式中即可。不过此时得到的滤波 器可能是IIR响应滤波器，它的形式为：