例说信号处理与滤波器设计
信号与系统中的滤波器设计与优化
信号与系统中的滤波器设计与优化在信号处理领域中，滤波器是一种关键的工具。
它可以帮助我们去除噪声、增强信号、平滑数据等。
滤波器的设计与优化是信号处理中的一个重要研究方向。
本文将介绍信号与系统中的滤波器设计与优化的基本概念和方法。
一、滤波器的基本原理滤波器是一种能够改变信号频谱的系统。
在信号处理中，通常我们希望去除不需要的频率成分，以及保留感兴趣的信号。
滤波器可以实现这一目标。
滤波器的基本原理可以通过频率响应来描述。
频率响应可以分为低通、高通、带通和带阻滤波器。
低通滤波器可以通过去除高于截止频率的频率成分，使得低频信号得以传递；高通滤波器相反，通过去除低于截止频率的频率成分，使得高频信号得以传递；带通滤波器可以传递两个截止频率之间的频率成分，而带阻滤波器则可去除两个截止频率之间的频率成分。
二、滤波器设计方法滤波器的设计有多种方法，常见的有时域设计和频域设计。
1. 时域设计时域设计是一种基于信号的时间域信息进行滤波器设计的方法。
其中，有限冲激响应（FIR）滤波器是时域设计的一种常见形式。
FIR滤波器具有线性相位特性和稳定性，并且可以通过自由设计滤波器的冲激响应来满足特定的频率响应要求。
2. 频域设计频域设计是一种基于信号的频率域信息进行滤波器设计的方法。
其中，无限冲激响应（IIR）滤波器是频域设计的一种常见形式。
IIR滤波器具有非线性相位特性，同时也能够满足特定的频率响应要求。
三、滤波器的优化方法滤波器的优化是指在设计滤波器时，通过调整参数来使其在一定指标下达到最佳性能。
在滤波器设计中，常用的优化方法有以下几种。
1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的滤波器优化方法。
在最小二乘法中，通过最小化滤波器输出与所需输出之间的误差平方和，来寻找最优滤波器参数。
最小二乘法对噪声具有较好的抑制效果，能够优化滤波器的频率响应。
2. 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，常用于滤波器设计中的参数优化。
通过随机生成一组初始参数，然后通过交叉和变异等操作来更新参数，直到达到最优解。
数字信号处理实验数字巴特沃思滤波器的设计
数字信号处理实验数字巴特沃思滤波器的设计数字信号处理技术是现代通信、音频、图像等领域中不可或缺的一门技术。
数字信号处理的核心是数字滤波器设计，本文将介绍一种常用的数字滤波器——数字巴特沃斯滤波器的设计方法。
一、数字滤波器简介数字滤波器是将连续时间信号转换成离散时间信号，实现对离散时间信号的滤波处理，具有实时性好、精度高、可重复性强等优点。
数字滤波器有两种类型：有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。
二、数字巴特沃斯滤波器数字巴特沃斯滤波器是一种常用的IIR滤波器，其主要特点是具有平坦的通/阻带，通/阻带边缘陡峭。
因此在实际应用中，数字巴特沃斯滤波器应用较为广泛。
数字巴特沃斯滤波器的设计方法一般包括以下步骤：确定滤波器类型、确定通/阻带的截止频率、确定滤波器的阶数、计算滤波器的系数。
1、确定滤波器类型在实际应用中，数字巴特沃斯滤波器有四种类型：低通、高通、带通和带阻滤波器，应根据实际需求选择。
2、确定通/阻带的截止频率通常情况下，固定本例中采用的是低通滤波器，需要确定的就是通带和阻带的截止频率。
对于低通滤波器，通带截止频率ωc应该比信号频率fs的一半小，阻带截止频率ωs 应该比ωc大一些，通常ωs/ωc取0.5~0.7比较好。
滤波器的阶数一般是与滤波器的性能相关的。
阶数越高，性能越好，但同时计算量也会更大。
在实际应用中，一般取4~8的阶数即可。
4、计算滤波器的系数根据上述参数计算滤波器的系数，这里介绍两种常用的方法：一种是脉冲响应不变法（Impulse Invariant Method），另一种是双线性变换法（Bilinear Transformation）。
脉冲响应不变法是一种较为简单的设计方法，但由于其数字滤波器与连续时间滤波器之间的不同，可能会引入一定程度的失真。
双线性变换法可以使二阶系统和一阶系统的增益分别为1和0dB，这是一种比较理想的设计方法。
四、实验步骤本实验采用Matlab软件进行数字滤波器的设计，具体步骤如下：1、打开Matlab软件，新建一个.m文件；2、输入需要滤波的数字信号，此处可以使用Matlab自带的signal工具箱中的一些模拟信号；4、使用filter函数实现数字滤波器对信号的滤波过程；5、通过比较信号的频谱图，评估滤波器的性能。
数字信号处理实验报告-FIR滤波器的设计与实现
数字信号处理实验报告-FIR滤波器的设计与实现在数字信号处理中，滤波技术被广泛应用于时域处理和频率域处理中，其作用是将设计信号减弱或抑制被一些不需要的信号。
根据滤波器的非线性抑制特性，基于FIR（Finite Impulse Response）滤波器的优点是稳定，易设计，可以得到较强的抑制滤波效果。
本实验分别通过MATLAB编程设计、实现、仿真以及分析了一阶低通滤波器和平坦通带滤波器。
实验步骤：第一步：设计一阶低通滤波器，通过此滤波器对波型进行滤波处理，分析其对各种频率成分的抑制效果。
为此，采用零极点线性相关算法设计滤波器，根据低通滤波器的特性，设计的低通滤波器的阶次为n=10，截止频率为0.2π，可以使设计的滤波器被称为一阶低通滤波器。
第二步：设计平坦通带滤波器。
仿真证明，采用兩個FIR濾波器組合而成的阻礙-提升系統可以實現自定義的總三值響應的設計，得到了自定義的總三值響應函數。
实验结果：1、通过MATLAB编程，设计完成了一阶低通滤波器，并通过实验仿真得到了一阶低通滤波器的频率响应曲线，证明了设计的滤波器具有良好的低通性能，截止频率为0.2π。
在该频率以下，可以有效抑制波形上的噪声。
2、设计完成平坦通带滤波器，同样分析其频率响应曲线。
从实验结果可以看出，此滤波器在此频率段内的通带性能良好，通带范围内的信号透过滤波器后，损耗较小，滞后较小，可以满足各种实际要求。
结论：本实验经过实验操作，设计的一阶低通滤波器和平坦通带滤波器具有良好的滤波特性，均已达到预期的设计目标，证明了利用非线性抑制特性实现FIR滤波处理具有较强的抑制滤波效果。
本实验既有助于深入理解FIR滤波器的设计原理，也为其他应用系统的设计和开发提供了指导，进而提高信号的处理水平和质量。
数字信号处理课程设计-等波纹数字FIR低通滤波器
设计题目：等波纹数字FIR低通滤波器2．对课程设计成果的要求〔包括图表（或实物）等硬件要求〕：滤波器的初始设计通过手工计算完成；在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；课程设计结束时提交设计说明书。
3．主要参考文献：[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.8[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京：电子工业出版社，2004.12[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京：电子工业出版社，2010.6[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京：电子工业出版社，2005.34．课程设计工作进度计划：序号起迄日期工作内容接到题目，搜集资料1 2016.12.26-2016.12.31整理资料，构思设计方案2 2016.12.31-2016.1.3手工计算进行滤波器的初步设计3 2016.1.3-2016.1.5完善初步设计，学习Matlab软件操作4 2016.1.5-2016.1.7通过Matlab软件分析设计内容，逐步落实课题目标5 2016.1.8-2016.1.9上交课程设计，并做细节修改并完成设计6 2016.1.10-2016.1.13主指导教师日期：年月日1.前言数字滤波器(digital filter)是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种装置，在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。
在数字信号处理中，数字滤波占有极其重要的地位。
目前对数字滤波器的设计有多种方法。
其中Matlab软件已成为设计数字滤波器的强有力工具。
传统的数字滤波器设计过程复杂、计算工作量大、滤波特性调整困难，但利用Matlab信号处理工具箱可以快速有效地实现由软件组成的常规数字滤波器的设计、分析和仿真，极大地减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。
MATLAB在工程设计中的应用与实例
MATLAB在工程设计中的应用与实例概述：MATLAB（矩阵实验室）是一种高级的数值计算和数据可视化软件，广泛应用于科学、工程和工业。
它的功能强大，可以通过编写算法和脚本来进行数据处理、模拟和分析。
在工程设计中，MATLAB的应用非常广泛，可以帮助工程师解决各种实际问题。
本文将介绍MATLAB在工程设计中的应用，并结合实例进行详细说明。
一、信号处理与滤波器设计在工程设计中，经常需要处理来自传感器或其他设备的信号。
MATLAB提供了丰富的信号处理工具箱，可以进行信号滤波、频域分析、谱估计等一系列操作。
例如，在音频处理中，我们可以使用MATLAB对音频信号进行去噪、降噪、特征提取等操作，以改善音频质量。
另外，在无线通信中，信号调制、解调和通道估计等操作也需要使用到MATLAB的信号处理工具箱。
二、控制系统设计与仿真控制系统设计是工程设计的重要组成部分，它涉及到自动化、机械、电子等多个领域。
MATLAB提供了专业的控制系统工具箱，可以进行控制系统建模、系统辨识、控制器设计等工作。
例如，在飞行器的姿态控制中，我们可以使用MATLAB进行系统模型的建立，并设计合适的控制器来实现飞行器的稳定飞行。
此外，MATLAB还支持对控制系统进行仿真，可以通过模拟系统动态响应来验证设计的效果。
三、电路与电子设计在电路与电子设计中，MATLAB可以辅助工程师进行电路分析、模拟和优化。
MATLAB提供了电路设计工具箱，包括电路拓扑分析、参数优化、电路模型生成等功能。
例如，在功率电子领域，我们可以使用MATLAB对电子变流器进行建模，并通过优化算法找到最佳的拓扑结构，以提高功率转换效率。
此外，MATLAB还支持混合信号电路设计和可编程逻辑器件（FPGA）设计等领域。
四、结构力学与有限元分析结构力学是工程设计的重要组成部分，它涉及到物体的力学性质和结构响应。
MATLAB提供了结构力学分析工具箱和有限元分析工具箱，可以进行静力学和动力学分析、结构模态分析、应力/应变分布等工作。
数字信号处理名词解析及滤波器原理和设计
论述计算题（40分）1、试分析DFT与DTFT及Z变换之间的关系，并详细阐述用DFT计算线性卷积的方法和步骤。
FT（傅里叶变换）是对纯虚数变换的情况，是拉普拉斯变换的特殊情况，即傅里叶变换是S仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。
Z变换是离散化的拉普拉斯变换（即拉普拉斯变换对应的是连续信号，而Z变换对应的是离散信号），是离散时间傅里叶变换（DTFT）的一种拓展形式，所以Z变换和拉普拉斯变换类似。
DFT（离散傅里叶变换）是傅里叶变换的离散形式，也即将x(t)进行傅里叶变换后进行离散采样得的函数X[jw]DTFT（离散时间傅里叶变换）为将x(t)先进行离散采样处理得到离散时间系列x[n]，然后再对x[n]进行傅里叶变换。
可以看作是将()jwX e在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是x[n]。
DTFT是Z变换的特殊情况，只有绝对可和的离散信号才有DTFT，所以Z变换用于那些不满足绝对可和的信号，如T j Tz eσ+Ω=(T 是采样间隔)，当σ=0时,就是DTFT。
此时其时域是离散的，而频域依然是连续的。
图像上，对应的是z平面的单位圆。
用DFT计算线性卷积：线性卷积：一个离散序列通过一个离散的线性时不变系统，它的输出即为y[k]，即在时域上，输出信号等于输入信号和系统的单位脉冲响应h[k] 的卷积。
即：y[][]*[]k x k h k=y[k]利用DFT 的循环卷积特性，可由DFT 计算线性卷积：比如若系列x[k]的长度为N，系列h[k]的长度为M，则L>=N+M-1点的循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。
即：x[k]*h[k]=x1[k] h1[k]DFT实现具体过程为：1. 首先将两序列在尾部补零，延拓成长度为L=M+N -1的序列2. 将两序列进行循环卷积，卷积后的结果即为线性卷积的结果 即：其中乘法总次数为：23log 2LL L ⨯+ 结论：线性卷积可以完全使用DFT 实现，而DFT 可以使用其快速算法FFT 大大降低计算量。
使用MATLAB进行信号处理与滤波
使用MATLAB进行信号处理与滤波信号处理与滤波是数字信号处理领域中的重要技术，而MATLAB是一种广泛应用于信号处理的工具。
本文将介绍如何使用MATLAB进行信号处理与滤波，包括信号采样、信号重构、频谱分析以及常用的滤波器设计和应用。
首先，我们先了解一下信号处理的基本概念。
信号处理是对信号进行采样、重构、滤波、增强、压缩等操作的过程。
信号可以是连续的或离散的，常常通过采样将连续信号转换为离散信号进行处理。
在MATLAB中，可以使用`plot`函数来绘制信号的波形图。
假设有一个正弦信号，我们可以通过以下代码绘制其波形图：```matlabfs = 1000; % 采样率为1000Hzt = 0:1/fs:1; % 时间向量，从0到1sf = 10; % 正弦信号的频率为10Hzx = sin(2*pi*f*t); % 构造正弦信号plot(t, x); % 绘制波形图xlabel('Time (s)'); % x轴标签ylabel('Amplitude'); % y轴标签title('Sinusoidal Signal'); % 图片标题```这段代码中，首先定义了采样率`fs`、时间向量`t`和信号频率`f`，然后使用`sin`函数构造了正弦信号`x`，最后通过`plot`函数绘制出信号的波形图。
在进行信号处理时，经常需要进行频谱分析来研究信号的频率特性。
MATLAB 提供了多种函数来计算信号的频谱，其中最常用的是`fft`函数。
以下代码演示了如何计算信号的频谱，并绘制频谱图：```matlabFs = 1000; % 采样率为1000HzT = 1/Fs; % 采样间隔L = 1000; % 信号长度为1000t = (0:L-1)*T; % 时间向量x = sin(2*pi*50*t) + 0.5*sin(2*pi*120*t); % 构造含有两个频率成分的信号Y = fft(x); % 对信号进行傅里叶变换P2 = abs(Y/L); % 计算双边频谱P1 = P2(1:L/2+1); % 取单边频谱P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); % 幅度归一化f = Fs*(0:(L/2))/L; % 频率向量plot(f,P1); % 绘制频谱图title('Single-Sided Amplitude Spectrum of x(t)'); % 图片标题xlabel('Frequency (Hz)'); % x轴标签ylabel('Amplitude'); % y轴标签```这段代码中，首先定义了采样率`Fs`、采样间隔`T`、信号长度`L`和时间向量`t`，然后使用两个正弦信号相加的方式构造了含有两个频率成分的信号`x`，接着使用`fft`函数对信号进行傅里叶变换得到频谱`Y`，最后根据频谱进行幅度归一化并绘制频谱图。
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
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20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
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另外：
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无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
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例说信号处理与滤波器设计目录数字时代 (2)数字信号处理的应用 (3)频率——信号的指纹 (5)卷积可以不卷 (8)向量运算的启示 (11)滤波器设计征程 (16)最后一击——滤波的实现方法 (22)纵览全局 (27)数字时代信号处理是对原始信号进行改变，以提取有用信息的过程，它是对信号进行变换、滤波、分析、综合等处理过程的统称。
数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术；模拟信号处理是指用模拟系统对模拟信号进行处理的方法或过程。
数字信号处理课程的主要内容包括信号分析与处理。
两者并不是孤立的，不同的信号处理方法往往需要选择不同的信号表示形式。
两者的区别主要表现在，信号处理是用系统改变输入信号，以得到所期望的输出信号，如信号去噪；而信号分析往往是通过变换(傅里叶变换、小波变换等)，或其它手段提取信号的某些特征，如语音信号的基本频率，图像的直方图等。
早期的信号处理局限于模拟信号，随着数字计算机的飞速发展，信号处理的理论和方法得以飞速发展，出现了不受物理制约的纯数学的加工，即算法，并确立了数字信号处理的领域。
现在，对于信号的处理，人们通常是先把模拟信号变成数字信号，然后利用高效的数字信号处理器(DSP：Digital Signal Processor)或计算机对其进行数字形式的信号处理。
一般地讲，数字信号处理涉及三个步骤：(1)模数转换(A/D转换)：把模拟信号变成数字信号，是一个对自变量和幅值同时进行离散化的过程，基本的理论保证是采样定理。
(2)数字信号处理(DSP)：包括变换域分析(如频域变换)、数字滤波、识别、合成等。
(3)数模转换(D/A转换)：把经过处理的数字信号还原为模拟信号。
通常，这一步并不是必须的。
图1数字信号处理基本步骤数字信号处理的应用图2家庭影院(视+听)高分辨率图像、高保真音质图3语音识别噪声环境下高识别率图4图像增强更清晰、美观图5无人驾驶高度智能、安全图6医学成像更高效、更精确的成像结果狭义地讲，信号处理可以统称为滤波，根据不同的要求，选用不同性能的滤波器。
在数字信号处理应用中，设计合适的滤波器至关重要。
什么是数字滤波器呢？数字滤波器就是数字信号处理(Digital Signal Processing)算法，或者是数字信号处理器件(Digital Signal Processor)。
什么是数字信号处理算法呢？我们需要借助基本的数学工具和方法。
首先回到信号处理的根本目的：用滤波器改变输入信号，以期得到理想的输出信号，如果输入信号用[]x n 表示，输出信号用[]y n 表示，则数字信号处理或滤波可用如下框图表示：数字滤波器图7数字信号滤波图示上述框图并没有给出数字信号处理算法的具体实现方法，但提供了数字信号处理的基本数学思想：通过系统将[]x n和[]y n进行关联。
在数学上描述x和y之间关系的手段有很多，如函数()y f x=，方程组=Ax y等，从数学角度来理解，如果()f⋅为不同映射，即使同样的自变量x，也会得到不同的因变量y；如果系数矩阵A不同，同样的x经变换之后，将得到不同的y。
在数字信号处理课程中，描述输入输出信号关系的基本数学工具是差分方程：[][]00Q Pk kk ka y n kb x n k==-=-∑∑(1) 令()max,N P Q=，上述差分方程可写为[][]00N Nk kk ka y n kb x n k==-=-∑∑(2) 如果仅局限于基础(经典)的数字信号处理算法研究，全部内容都是围绕这个常系数线性差分方程(Constant Coefficient Linear Difference Equation，CCLDE)展开的。
那么，我们需要研究CCLDE什么呢？很显然，我们可以将CCLDE看成一个系统，它描述了输入[]x n和输出[]y n之间的关系。
哪些参数决定这个系统的性能呢？方程中除了[]x n和[]y n，还有三个参数：方程阶数N，系数ka和kb——数字滤波器设计的根本任务就是确定这三个参数——目标非常明确!!!从何下手呢？如何判定所设计的滤波器符合预期呢？迷茫中ing…频率——信号的指纹烈日当空，窗外的知了热得撕心裂肺地吼叫知了声.wav声音特点：又大又尖，怎叫人不心烦意乱？!大：能量大，或者信号幅度大(声压级超过120dB即达到痛阈)；尖：频率高，即知了的叫声中包含了丰富的高频成分，因此听起来很“刺耳”。
图8知了声的频谱图(横坐标：频率(Hz)；纵坐标：幅度(dB))图9听觉曲线图10声音频率范围可见，幅度和频率是声音信号的主要参数。
诸如“低音炮”、“高音喇叭”、“男低音”和“女高音”都是从幅度和频率去描述声音信号的，因此，分析信号的频率特性是信号处理领域的重要内容。
分析信号的频率特性无非就是想知道信号包含了哪些频率成分，各频率成分的大小是多少。
傅里叶分析完美地解决了这个问题。
在信号与系统课程中，我们通常将傅里叶分析分为傅里叶级数和傅里叶变换，前者用来对付周期信号，后者用来处理非周期信号，但无论是傅里叶级数，还是傅里叶变换(当然，傅里叶级数也可以纳入到傅里叶变换体系中)，它们的原理或宗旨都一样：将一般的信号分解为基本信号的线性组合(连续周期信号)()0jk t k k x t a e ω+∞=-∞=∑ (3) (离散非周期序列) []()212j j n x n X e e d ωωπωπ=⎰ (4) 以式(3)为例，等式左边是一般的(满足收敛条件的)周期信号，而右边则是频率为0k ω、幅度为k a 的虚指数信号0jk t e ω的线性组合。
现在可以谈论一下滤波的概念了。
假设式(3)中()xt 就是知了发出的“嗞哇嗞哇……”没完没了的周期信号，现在我们想把烦人的高频成分去掉，最直观的想法就是需要设计一个滤波器，这个滤波器可以让较低频率的信号顺利通过，同时又能阻止较高频率的信号，这就是所谓的低通滤波器。
卷积可以不卷再回到常系数线性差分方程(2)，参数N ，k a 和k b 完全决定了方程所描述的系统的所有特性。
什么？难道与输入[]x n 和输出[]y n 没关系？对，没有关系!电阻是一个系统，其阻值仅与自身的材料及结构有关，虽然有关系式()()/R v t i t =，事实上，即使两端没有电压，电阻依然存在；再比如理想的线性放大电器，它的增益仅取决于内部结构，而与输入输出无关，但为了测量放大器的增益(放大倍数)，我们可以在输入端接入幅度为i 的信号，然后测量输出信号的幅度o ，这样就可以得到放大倍数o g i=，更特殊地，如果取1i =，此时输出信号的幅度就是放大器的增益，即g o =。
类似的概念推广到CCLDE 描述的LTI 系统，我们如何获得这个系统的特性呢？输入——输出描述法，即令输入[]x n 取某种特殊值时，计算(或测量)系统的输出[]y n 。
那么，什么样的[]x n 算特殊呢？单位脉冲![]1,00,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ (5)也就是说，令[][]x n n δ=，此时系统的输出就是所谓的单位脉冲响应[]h n 。
再与放大器的例子对比一下：输入信号幅度1i =，输出信号的幅度o 就是放大倍数(放大器的重要指标，从应用者角度而言，其实就是唯一关心的指标)。
我们有理由相信，对于CCLDE 描述的LTI 系统，得到了单位脉冲响应[]h n ，就能够掌握系统的全部特性(因果性、稳定性、频率选择性等)。
何以见得呢？之后将逐步解答。
现在，我们假设已经知道了LTI 系统的单位脉冲响应[]h n ，对于任意输入[]x n ，如何求系统的输出[]y n 呢？其实就是求滤波后的信号。
首先，我们要建立已知和需求之间的联系。
已知的是[][]LTI n h n δ−−→，需求是[][]LTI ?x n y n −−→=。
LTI系统图11单位脉冲响应事实上，任意序列[]x n 很容易用[]n δ的移位、加权的线性组合来表示：[][][]k x n x k n k δ+∞=-∞=-∑。
图12序列的单位脉冲表示结合系统的线性和时不变性，有[][][][][][][][][][][][][][]LTI k k n h n n k h n k x k n k x k h n k x n x k n k y n x k h n k δδδδ+∞+∞=-∞=-∞−−→-−−→--−−→-=-−−→=-∑∑已知：时不变性：齐次性：线性时不变性： (6) 式(6)中最后一个等式[][][]k y n x k h n k +∞=-∞=-∑就是卷积和，记作[][][]*y n x n h n =，表明LTI 系统的(零状态)响应[]y n 是单位脉冲响应[]h n 的移位、加权、求和。
这句话也描述了求[]y n的步骤。
根据图11，我们可以假想有这样的一个LTI 系统——出钞机：如果你今天往出钞机投币口(输入端)投币一元，它将在接下来的三天，每一天都会从出币口(输出端)吐出一元。
试问：如果某个月的1、3、4日，你分别投了2、2、3元，那么，出钞机每天的输出是多少元呢？不妨用图来说明一下。
LTI系统0 1 2 3 4 532==0 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5 6 7320 1 2 3 4 5 6320 1 2 3 4 5320 1 2 3 4 5 6 73254输入响应图13卷积和的图解图解结果告诉我们，出钞机在2-7日分别吐出2,2,4,5,5,3元。
图解的过程包含了乘积与求和(“积”与“和”)，但并有体现出“卷”(翻转)这一操作。
如果只想求某一天(比如5日)出钞口吐出多少钱，此时就要用另一种方法，即许多教材中描述的步骤： (1) 变量替换：[][][][],x n x k h n h k →→ (2) 将[]x k 或[]y k 翻转 (3) 移位、相乘、相加以上步骤包含了“卷积和”所有的操作(卷——翻转；积——相乘；和——相加)。
图解过程是根据线性时不变系统的定义导出的一种结果，是系统特性的直接反映。
卷积和是信号与系统、数字信号处理中最重要的公式之一，它描述了LTI 系统输入[]x n 、输出[]y n 以及单位脉冲响应[]h n 之间的关系，已知三者中的任何两个，就可以确定第三者，于是就有以下应用场合：(1) 已知输入[]x n 和系统单位脉冲响应[]h n ，求输出[]y n ，即用确定的系统对输入信号滤波处理；(2) 已知输出[]y n 和系统单位脉冲响应[]h n ，求输入[]x n ； (3) 已知输入[]x n 和输出[]y n ，求系统单位脉冲响应[]h n 。
现在，我们将注意力集中到卷积和公式上来，公式重写如下[][][]k y n x k h n k +∞=-∞=-∑(7)卷积和只包含了移位、数乘和相加运算，看来，数字信号处理的计算十分简单。