二重积分的计算.ppt

0 y 1 x2.
D
ydxdy 11dx0 1x2 ydy
o
x
D
11
1 2
y2
1 x 2 0
dx
1 2
11(1
x2 )dx
2. 3
解法2 先对x积分. 用平行于x轴的直线自左而右穿越区域D，入口曲线 为 x 1 y2，出口曲线为 x 1 y2，因此
1 y2 x 1 y2
ydxdy
故二重积分可写为
y
yi yyi
D
i
yi
f (x, y)d f (x, y)dxdy.
D
D
o xxi xxixxi x
设z=f(x,y)在D上连续非负，下面针对两种不同类型的
区域，给出直角坐标系下，二重积分的计算公式。
1、D为x–型区域.
y
y 2(x)
D {(x,y)|a x b,1(x) y 2(x)},
2 dx 1
02
π
2 sin 4xdx
1 cos 4x
2
0.
0
8
0
和x 例π4所计围算成积的分三D角sin形x区co域s y.dxdy ，其中D是由y=x，y=0
2 解法1 先对y积分.
用平行于y轴的一组直线自下而上穿越积分 区域D，入
口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间
为 [0, π].
π2 2 dy
π
2 cos 2ydy)
2 0
0
π
π
o
1 y 2 1 sin 2y 2
20 4
0
π. 4
yx
D
x
x
2
练习2 计算积分 ydxdy ，其中D由 x2 y2 1, y≥0确
D
定.
解法1 先对y积分，
用平行于y轴的直线自下而上穿越区域D，入口曲线
y=0；出口曲线
y
为 y 1 x2，因此
8.7 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为
二次积分或累次积分.
一、利用直角坐标系计算二重积分
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直
线段，将区域D分割成n个小块 1, 2,, n, 从而有
i xiyi xy 故面积元素为 d dxdy
2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，计算会
简单些.因此，我们选择先对y积分，即
xy
cos(
xy
2
)dxdy
π
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
π
2 dx
0
2 cos(xy2 )d xy2
0
2
π
1 2
π
2
0
sin( xy 2 )
y
sin2x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
Dπ
π
（2 sin x sin y）x dy
0
0
2 sin2 xdx
0
π 2
1
cos
2x
dx
1
(
π
2 dx
π
2 cos 2xdx)
0
2
π
20
0
π
o
1 x 2 1 sin 2x 2 π .
20 4
04
yx
D
x
x
2
解法2 先对x积分.
D
解 用平行于y轴的一组直线自下而上穿越积分区域，
则有原式
3
dx
1 xy2dy
1
0
3 y3 1 (x )dx
1 30
y
1 D
3x dx
x2
3 4
13
61 3
o1
3x
练习1
计算积分
D
y x2
dxdy，其中D是正方形区域：
1 x 2,0 y 1.
解
原式
2
dx
1
1 0
y x2
dy
（2 1 1 2x2
f (x, y)dxdy
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
oa
y
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x, y)dydx
上式称为先对y后对x的累次
积分.
oa
y 1(x)
bx
y 2(x) y 1(x) bx
例1 计算二重积分 xy2d，D {(x, y) |1 x 3,0 y 1}.
用平行于x轴的直线自左而右穿越积分区域D，入口曲
线为x=y，出口曲线为x π .D在y轴上的投影区间为[0, π]
故
2
2
π
π
sin
x
cos
ydxdy
2 0
dy
2 y
sin
x
cos
ydx
y
Dπ
π
π
2 cos （y cos x）2 dy 2 cos2 ydy
0
y
0
π 2
1
cos
2y
dy
0
1(
D首先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积 分下限.与区域D最后相交的边界线y=y2(x),称之为出口曲 线，作为积分上限.
而后对x积分时，其积分区间为区域D在x轴上投影区
间[a,b]，a是下限，b是上限，即
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1( x)
f
(x,
y)dy.
4
2 (5 y2 1 y3 1 y4 )dy 0 2 2 32
(5 y3 1 y4 1 y5) 2 6 8 160 0
y2
D
o
2
x
67 15
确定二次积分的积分限可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，确定关于y积分限的方法是：
用平行于y轴的一组直线自下而上穿越区域D，与区域
以上步骤适合于入口曲线与出口曲线都只有一条的
情形.
如果入口曲线或者出口曲线不唯一，则先将区域D划
分为几个子区域，从不唯一的边界曲线交点处划分为几个
子区域，再用二重积分的可加性及前述步骤可求区域D上
的二重积分.
例3 计算积分 xy cos( xy2)dxdy，其中D是由不等
式：0
x
π ,0
y
D
2
所确定的长方形区域.
f
(x,
y)dx dy
上式称为先对x 后对y的累次积分.
例2 计算二重积分 (x 2 y)d，D由y x, y2 4x及y 2
围成.
D
解 用平行于x轴的一组直线自左而右穿越积分区域，
则有，原式
2
dy
0
y
y2 (x 2 y)dx
4
y
y2 4x
yx
2 x2 ( + 2yx 02
y y2 ) dy
01
dy
1 y 1
2
y
2
ydx
01 yx
1 y 2 1 y 2
dy
D
1
2 y 0
1
y 2 dy
2 3
(1
3
y2)2
1 0
源自文库
2 3
.
比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二
重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.
及
x
例5 计算
2所确定.D
x2 y2
1
y2） dx
0
1 2 dx
2 1 x2
1. 4
2、D为y–型区域
D {(x, y)|c y d,1(y) x 2(y)},
y
y
d
d
x 1(y)
c
o
x 2(y)
x
x 1(y)
c
o
x 2(y)
x
f (x, y)dxdy
d
dy
2( y)
f (x, y)dx
D
c
1( y)
d c
2 ( y) 1( y)