圆柱三重积分
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系求三重积分公式
柱面坐标系求三重积分公式在数学和物理学中，三重积分是一种用于计算立体空间内某个数量的数学方法。
在柱面坐标系中求三重积分是一种常见且有效的方法，它可以帮助我们解决与立体空间相关的问题。
在本文中，我们将探讨柱面坐标系下如何计算三重积分，并推导出相应的公式。
首先，我们回顾一下柱面坐标系的定义。
在柱面坐标系中，一个点的位置由三个坐标确定：径向距离r、极角$\\theta$以及高度z。
与直角坐标系不同，柱面坐标系提供了一种更方便描述圆柱面内点的方式。
要计算柱面坐标系下的三重积分，我们需要了解如何表示微元体积和如何变换积分元素。
微元体积在柱面坐标系下的表示可以通过微元体积元素dV来描述。
在柱面坐标系中，微元体积dV可以表示为：$dV = r dz dr d\\theta$。
这个表示方式是基于极坐标系的性质推导出来的，通过将微小的径向、高度和角度方向上的长度相乘得到微元体积。
接下来，我们来推导柱面坐标系下的三重积分公式。
假设我们要计算函数$f(r, \\theta, z)$在柱面坐标系下的三重积分，积分区域为D。
那么，三重积分的表达式可以写成：$$\\iiint\\limits_D f(r, \\theta, z) dV = \\int\\limits_{\\alpha}^{\\beta}\\int\\limits_{h_1(r, \\theta)}^{h_2(r, \\theta)} \\int\\limits_{g_1(r)}^{g_2(r)} f(r, \\theta, z) r dz dr d\\theta$$在上式中，$\\alpha$和$\\beta$表示极角$\\theta$的取值范围，$h_1(r,\\theta)$和$h_2(r, \\theta)$表示高度z的取值范围，g1(r)和g2(r)表示径向距离r的取值范围。
通过这个公式，我们可以将柱面坐标系下的三重积分问题转化为累次积分的计算问题，便于我们进行计算。
柱面坐标系下的三重积分计算
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有 些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
M(x, y,z)
z .
o
yLeabharlann P(, )x如图，三组坐标面分别为
为常数 为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
M (x, y, z)
z
o P(, )
y
2、柱面坐标下的计算公式
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,
柱面坐标计算三重积分
柱面坐标计算三重积分三重积分是在三维空间中对一个三变量函数进行积分的数学工具，用于计算复杂空间内的体积、质量等物理量。
柱面坐标是一种常用于处理旋转对称问题的坐标系，利用柱面坐标可以简化三维空间中的积分计算问题。
本文将介绍如何使用柱面坐标系来计算三重积分的具体方法。
柱面坐标系简介在三维空间中，柱面坐标系由极径（ρ）、极角（θ）、高度（z）这三个坐标轴来描述一个点的位置。
其中，极径ρ表示从原点到点的距离，极角θ表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴的夹角，高度z则表示点在z轴上的位置。
柱面坐标系下，点的坐标表达为(ρ, θ, z)。
三重积分概述对于一个三变量函数f(x, y, z)，其在柱面坐标系下的三重积分计算公式如下所示：∭f(x, y, z)dV = ∬∫f(ρsinθ, ρcosθ, z)ρdρdθdz其中，dV = ρdρdθdz表示三维空间中的微元体积，f(ρsinθ, ρcosθ, z)表示函数在柱面坐标系下的具体形式。
柱面坐标计算三重积分步骤1.确定积分区域：首先需要确定积分区域在柱面坐标系下的表示方式，即确定极径、极角和高度的取值范围。
2.建立积分限：在确定积分区域后，建立对应的积分限，极径、极角和高度的取值范围即为积分限。
3.变量替换：将函数f(x, y, z)中的x、y、z用极径ρ、极角θ、高度z表示，并将dx dy dz替换为ρdρdθdz。
4.进行积分：根据以上步骤，将被积函数替换为柱面坐标系下的形式，然后进行对应的积分计算。
通过以上步骤，即可利用柱面坐标系来计算三重积分，求解复杂空间内的体积、质量等物理量。
总结本文介绍了柱面坐标系下计算三重积分的基本方法和步骤，通过建立合适的积分区域、确定积分限、进行变量替换和积分计算，可以简化复杂空间内的计算问题。
利用柱面坐标系进行三重积分的计算，有助于解决旋转对称问题和提高计算效率，是一种常用且有效的数学工具。
希望本文能够对读者理解柱面坐标计算三重积分提供帮助，进一步掌握在三维空间中的积分计算方法。
三重积分的柱面坐标法
三重积分的柱面坐标法柱面坐标法是三重积分中的一种方法，它适用于具有圆柱形状的立体图形，通常由一个平面区域 R、一条从 R 上方出发的直线 L 和边缘曲线 C 等三个部分组成。
在柱面坐标法中，通常用参数方程表示曲面，从而将三维空间中的积分问题转化为两个变量的平面问题。
具体来说，假设曲面的参数方程为：x = f(u, v)其中，u 和 v 分别代表曲面上的两个参数，它们的值可以从 R 区域内取得。
此时，三重积分可以通过以下方式计算：∭ f(x,y,z) dxdydz = ∬∫ f(f(u,v), g(u,v), h(u,v)) * JdudvdL其中，J 是雅可比行列式，其计算公式为：J = ∂(x,y,z)/∂(u,v) = [∂x/∂u ∂y/∂u ∂z/∂u; ∂x/∂v ∂y/∂v ∂z/∂v]以上公式的计算方法类似于二维极坐标法，通过确定积分区域和相应的参数范围，再利用定积分技巧计算积分即可。
以下是柱面坐标法的具体步骤：步骤一：确定曲面参数方程在柱面坐标法中，首先需要确定曲面的参数方程，该方程应能够描述出整个曲面的形状以及参数范围。
通常情况下，我们需要用到圆柱坐标系（或极坐标系），并根据曲面的特点确定相应的坐标轴。
例如，对于一个圆柱体，其参数方程可以表示为：x = r cosθz = h其中，r 和θ 分别代表圆柱体上的径向距离和极角，h 则代表圆柱体的高度。
当然，对于不同形状的立体图形，其参数方程也会有所不同，需要根据实际情况逐步确定。
步骤二：确定积分区域在确定曲面的参数方程之后，我们需要确定积分区域，该区域应为曲面所包含的平面区域 R（定义域）和从 R 上面延伸的直线 L 所围成的立体体积。
该体积通常由直线 L 和边缘曲线 C 两部分组成。
R：r ∈ [0, R]，θ ∈ [0, 2π]L：z ∈ [0, h]C：x²+y² = R²，z = 0其中，R 代表圆柱体的半径，而θ 的范围为[0, 2π] 则表示了圆柱体的旋转对称性。
三重积分柱面球面坐标
0
d
.
y
rcos ) r 2 sin drdd
x
19
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f ( x, y, z)dxd ydz
F (r , , ) r 2 sin d r d d
其中 F (r , , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos )
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
1
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利用柱面坐标计算 三重积分。
2
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2. 利用柱面坐标计算三重积分。
回忆用投影法（先一后二）计算三重积分
z2 ( x , y )
1
f ( x, y, z)dV dxdyz ( x, y )
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成： 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
dV = r 2 sin drdd
dV
r
f ( x , y, z )dxdydz
f (r sin cos , r sin sin ,
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
20
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下面介绍一些区域的球面 坐标的描述
21
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直角坐标 球体
球面坐标
: x 2 y 2 z 2 R2
: 0 2 0 0r R
三重积分的体积计算问题
三重积分的体积计算问题三重积分是高等数学中的一个重要概念，它是对三维空间内的某一物理量进行计算的方法之一。
而在实际应用中，三重积分的体积计算问题也经常被人们所关注。
在本文中，我将探讨三重积分的体积计算问题，并结合一些具体例子，阐述三重积分在实际计算中的应用。
一、三重积分的定义在了解三重积分的体积计算问题之前，先让我们回顾一下三重积分的基本定义。
三重积分是对三维空间内某一物理量进行计算的一种方法。
它的定义可以表示为：$$\iiint\limits_D f(x,y,z) \mathrm{d}V$$其中，$D$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示要计算的物理量，$\mathrm{d}V$ 表示体积微元。
在三重积分中，积分区域 $D$ 可以是任何形状的三维空间区域，如长方体、球体、圆柱体、锥形等等。
二、三重积分的体积计算方法在三重积分中，如果要计算一个区域 $D$ 所包含的体积，可以使用以下公式：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V$$这个公式的意思就是对积分区域 $D$ 中的所有体积微元$\mathrm{d}V$ 进行累加，从而得到整个区域 $D$ 的体积。
当积分区域 $D$ 为长方体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\int_a^b \int_c^d \int_p^q\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$其中 $a、b、c、d、p、q$ 分别为长方体的六个面的坐标值。
当积分区域 $D$ 为球体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^rr^2 \sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r$$其中，$\theta$ 和$\phi$ 分别为球面坐标系中的极角和方位角，$r$ 为球体的半径。
习题课-三重积分(直、柱、球)
zdxdydz
化为三次定积分，其中
z= x2+y2 z=1
D: x2+y2≤1
x2+y2=1 z=1
1 x y
2
原积分 dxdy 2
D
zdz
1
1 [1 ( x 2 y 2 ) 2 ]dxdy 2D 1 1 2 4 d (1 r )rdr 0 2 0 3
区域 160页公式（3）
“一”-------定积分 “二”-------二重积分
2、柱面坐标系中的体积元素与三重积分
x r cos , y r sin , z z.
( x, y, z ) dv dxdydz drddz rdrddz (r , , z )
复习： 三重积分的计算
1.利用直角坐标计算三重积分 2.利用柱面坐标计算三重积分 3.利用球面坐标计算三重积分
1.三重积分的计算(利用直角坐标)
总目标：将三重积分转化为三次积分！ 利用直角坐标计算三重积分:
域 159页第3行的公式
方法1 . 投影法 (“先一后二”) ---曲顶曲底柱形长条区 方法2 . 截面法 (“先二后一”) ---截面为面积已知的
I zdxdydz
2
0
d dr 2
0 r
1
2 r 2
z rdz
1 1 2 d [2 r 2 r 4 ] r dr 0 2 0
17
x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z x y 例 4 求曲面 例
2
2
所围成的立体体积. 解 采用球面坐标， 由锥面和球面围成，
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圆柱三重积分
1. 介绍
在数学中，积分是一个重要的概念，用于计算曲线、曲面和体积等几何图形的性质。
圆柱三重积分是其中一种特殊的积分形式，用于计算圆柱体内的物理量或几何性质。
圆柱三重积分可以看作是对三维空间中的函数在圆柱体内进行求和。
它由两个变量确定底面圆上的点位置，另一个变量确定高度位置。
通过将底面圆划分成无数个小区域，并对每个小区域进行求和，最终得到整个圆柱体内函数的积分值。
2. 圆柱坐标系
在进行圆柱三重积分之前，我们需要了解圆柱坐标系。
与直角坐标系不同，圆柱坐标系使用极径、极角和高度来描述点在三维空间中的位置。
•极径（ρ）：表示点到z轴（高度轴）的距离。
•极角（θ）：表示点在x-y平面上与x轴正向之间的夹角。
•高度（z）：表示点在z轴上的位置。
通过这三个参数，我们可以唯一确定三维空间中的一个点。
圆柱坐标系与直角坐标系之间的转换关系如下：
x = ρ * cos(θ)
y = ρ * sin(θ)
z = z
3. 圆柱体的体积
在圆柱三重积分中，我们经常需要计算圆柱体的体积。
对于一个底面半径为R、高
度为h的圆柱体，其体积可以通过以下公式计算：
V = π * R^2 * h
这个公式是基于直角坐标系下计算得出的。
如果我们使用圆柱坐标系进行计算，可以将底面半径和高度表示为函数的形式，然后进行积分求解。
4. 圆柱三重积分的计算
在进行圆柱三重积分之前，我们需要确定被积函数在圆柱体内是否具有连续性和有界性。
如果被积函数满足这两个条件，则可以使用圆柱三重积分来计算。
圆柱三重积分的计算公式如下：
∭f(ρ, θ, z) dV = ∫[a, b] ∫[c, d] ∫[g(ρ, θ), h(ρ, θ)] f(ρ, θ, z) ρ
dz dρ dθ
其中，a和b确定了ρ的范围，c和d确定了θ的范围，g(ρ, θ)和h(ρ, θ)
确定了z的范围。
被积函数f(ρ, θ, z)是一个在圆柱体内连续且有界的函数。
具体计算过程中，我们可以按照以下步骤进行：
1.确定被积函数f(ρ, θ, z)及其定义域。
2.根据定义域确定积分的范围。
3.将圆柱坐标系下的被积函数转换为直角坐标系下的形式。
4.按照上述公式进行积分计算。
5. 圆柱三重积分的应用
圆柱三重积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：
•计算物体质量：通过将物体密度函数与体积元素相乘，并对整个圆柱体进行积分，可以计算出物体的质量。
•计算电荷：通过将电荷密度函数与体积元素相乘，并对整个圆柱体进行积分，可以计算出电荷。
•计算流量：通过将流速与面积元素相乘，并对整个圆柱体进行积分，可以计算出流体通过圆柱体的流量。
•计算惯性矩：通过将物体密度函数与距离平方相乘，并对整个圆柱体进行积分，可以计算出物体的惯性矩。
6. 总结
圆柱三重积分是一种用于计算圆柱体内物理量或几何性质的方法。
它利用圆柱坐标系将三维空间中的点位置描述为极径、极角和高度，然后通过积分求和的方式得到最终结果。
在应用中，我们可以根据具体问题确定被积函数和积分范围，并利用圆柱三重积分来计算物体质量、电荷、流量等。
这种方法在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。