旋转圆法求粒子轨道
数学圆法巧解磁场中的临界问题(解析版)
数学圆法巧解磁场中的临界问题一、应用技巧1.“放缩圆”法适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上界定方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法1如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是()A.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C.在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合D.电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同【答案】 BC【解析】 由t=θ2πT知，电子在磁场中运动时间与轨迹对应的圆心角成正比，所以电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角θ越大，电子飞入匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹线弧长s=rθ，运动时间越长，θ越大，但半径r不一定大，s也不一定大，故A错误，B正确．由周期公式T=2πmqB知，电子做圆周运动的周期与电子的速率无关，所以电子在磁场中的运动周期相同，若它们在磁场中运动时间相同，但轨迹不一定重合，比如：轨迹4与5，它们的运动时间相同，但它们的轨迹对应的半径不同，由r= mvqB可知它们的速率不同，故C正确，D错误．2.“旋转圆”法适用条件速度大小一粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射定，方向不同入初速度为v0，则圆周运动半径为R=mv0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=mvqB的圆上界定方法将一半径为R=mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法2如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。
18.4带电粒子在磁场中运动的临界及多解问题(原卷版)
18.4.带电粒子在磁场中运动的临界、多解问题要点一. 带电粒子在磁场中运动的临界问题1.临界问题的特点带电粒子在磁场中运动，由于速度或大小的变化，往往会存在临界问题，如下所示为常见的三种临界草图。
临界特点：（1）粒子刚好穿出磁场的条件：在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）根据半径判断速度的极值：轨迹圆的半径越大，对应的速度越大.（3）根据圆心角判断时间的极值：粒子运动转过的圆心角越大，时间越长.（4）根据弧长（或弦长）判断时间的极值：当速率一定时，粒子运动弧长（或弦长）越长，时间越长.2.解题思路分析思路：以临界问题的关键词“恰好”“最大”“至少”“要使......”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，画出临界状态下的运动轨迹，建立几何关系求解．往往采用数学方法和物理方法的结合：1.利用“矢量图”“边界条件”结合“临界特点”画出“临界轨迹”。
2.利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求临界极值。
一般解题流程：3.探究“临界轨迹”的方法1. “伸缩圆”动态放缩法定点粒子源发射速度大小不同、方向相同的同种带电粒子时，其轨迹半径不同，相当于定点圆在“伸缩”。
特点：1.速度越大，轨迹半径越大。
2.各轨迹圆心都在垂直于初速度方向的直线上。
应用：结合具体情境根据伸缩法，可以分析出射的临界点，求解临界半径。
2. “旋转圆”旋转平移法定点粒子源发射速度大小相同、方向不同的同种带电粒子时，其轨迹半径相同，相当于定点圆在“旋转”特点：1.半径相同，方向不同。
2.各轨迹圆心在半径为R的同心圆轨迹上。
旋转圆的应用：结合具体情境，可以分析圆心角、速度偏向角、弦切角、弧长、弦长的大小；求解带电粒子的运动时间.应用情景1.（所有的弦长中直径最长）速度大小相同、方向不同的同种带电粒子，从直线磁场边界上P点入射。
M点是粒子打到直线边界上的最远点(所有的弦长中直径最长)．应用情景2.（所有的弦长中直径最长）速度大小相同方向不同的同种带电粒子，从圆形磁场边界上的P射入磁场；①若轨迹半径>磁场半径当PM距离为磁场直径时，粒子出射点与入射点之间的距离最远、共有弦最长、时间最长。
带电粒子在磁场中运动问题的解题思路.
s=2r=
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一 个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方 向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当 ∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转 半径R及在磁场区中的运动时间。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一 个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方 向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当 ∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转 半径R及在磁场区中的运动时间。
如图所示，一个带负电的粒子以速度v由坐标原点射入磁感应强度 为B的匀强磁场中，速度方向与x轴、y轴均成45°。已知该粒子电 量为-q，质量为m，则该粒子通过x轴和y轴的坐标分别是多少？
45
45
O
（二）利用互余或互补和关系
如图所示,一束电子流以一定速率通过一个处于矩形空间的磁感应 强度为B匀强磁场,速度方向与磁感线垂直。且平行于矩形空间的其 中一边,矩形空间边长为 3 a和a电子刚好从矩形的相对的两个顶 点间通过,求电子入射速度V和在磁场中的飞行时Байду номын сангаас。
60
30
60
O
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成 30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电 荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成 30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电 荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？
熟记 于心
mv r qB
互推
灵活 应用
直角三角形 三角函数 勾股定理
T t 2 T
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的三种巧妙方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的三种巧妙方法(一)对称法1.如图8220所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。
现将带电粒子的速度变为v 3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B ．2Δt C.13Δt D ．3Δt解析：选B(二)旋转圆法2. (多选)如图8221所示，扇形区域AOC 内有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。
某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC 射出磁场。
已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T 2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间不可能为( )A.T 12B.T 8C.T 4D.T 3 解析：选AB 粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦。
初速度大小相同，轨迹半径R ＝m v qB 相同。
设OS ＝d ，以S 为圆心，将轨迹圆逆时针旋转。
当出射点D 与S 点的连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则粒子在磁场中运动的时间最长。
由此得到：轨迹半径为：R ＝32d ，当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短。
则：SE ＝32d ，由几何知识，得θ＝60°，最短时间：t min ＝T 6。
所以，粒子在磁场中运动时间范围为16T ≤t ≤T 2，故不可能的是A 、B 。
(三)放缩圆法3．如图8222所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边中点O 射出与Od 边夹角为30°，大小为v 0的带电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力忽略不计，求：(1)试求粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围；(2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。
带电粒子旋转圆问题有界磁场
带电粒子旋转圆问题
当一个带电粒子在有界磁场中旋转成圆形轨道时，其运动可由洛伦兹力和向心力共同决定。
洛伦兹力是由磁场和带电粒子的电荷性质决定的力，它始终垂直于带电粒子的速度和磁场方向。
向心力则是由带电粒子的质量和速度决定的力，它指向圆心，使得带电粒子保持在圆形轨道上。
首先，考虑洛伦兹力的作用。
洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷大小、速度以及磁场强度相关。
在磁场中，洛伦兹力会使带电粒子受到一个向心力的作用，引导其沿着圆形轨道运动。
洛伦兹力的方向始终垂直于速度和磁场的方向，这使得带电粒子的速度方向会不断发生变化，从而导致其轨道是一个圆形。
其次，向心力也会参与其中。
向心力始终指向圆心，使得带电粒子保持在圆形轨道上。
向心力的大小与带电粒子的质量和速度有关。
在带电粒子绕圆形轨道运动时，向心力和洛伦兹力相等，使得带电粒子保持运动的稳定性。
需要注意的是，带电粒子的质量、电荷大小、速度和磁场强度等因素会影响带电粒子在有界磁场中旋转圆的半径和速度。
通过调节磁场强度或改变粒子的性质，可以实现对带电粒子旋转圆运动的调控。
总之，在有界磁场中，带电粒子旋转成圆形轨道的问题涉及到洛伦兹力和向心力的相互作用。
这种运动是通过调节带电粒子的性质和磁场强度来实现的，可以用来研究电磁场中粒子的运动规律。
高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法
高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远射出的时间差是多少解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
物理模型：磁场模型集合
模型/题型：磁场常见模型·集合一、缩放圆和旋转圆模型 1． 缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。
解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
2． 环形磁场临界问题临界圆临界半径 221R R r +=2-12R R r =勾股定理(R 2-R 1)2=R 12+r2解得：)R R (R r 1222-=3． 旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。
解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。
4． 旋转圆五大特征 ①半径相等 R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R )25． 旋转圆中粒子运动的空间范围问题最近点：A （OA =2Rsinθ） 最远点：B （OB 为直径） 圆中最大的弦长是直径 左边界：相切点A ； 右边界：OB 为直径边界点：相切点B 、C× × × ×× × × × ×× × × ×v 0R 1 R 2× × × ×× × × × ×× × ××v 0 R 1R 2× × × ×× × × × ×× × ××v 0R 1R 2× × × × × × × × × ×× × × × ×v 0A B O ●● θ( ABC6．圆形有界磁场中的旋转圆问题r<R r>R r=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r在磁场中运动的最长时间为t max=αrv0=αmqB(sinα2=Rr)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线二、磁聚焦/磁发散模型⭐规律1:磁聚焦：如果磁场圆半径等于粒子的轨迹圆半径,带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。
(完整版)高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
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旋转圆法求粒子轨道
在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
题型一：打中的区域的长度:（最值）
规律要点：
①最值相切：当带电粒子的运动与边界相切时（如图中a点），切点为带电粒子不能射出的磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）。
②最值相交：当带电粒子的运动轨迹的直径与边界相交的点（如图中b点）为带电粒子射出边界的最远点（距O最远）
课堂练习：
1.如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度围发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的围为多大？
2.如图所示S为电子射线源能在图示纸面上和360°围向各个方向发射速率相等的
质量为m、带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直档板且与S的水平距离OS＝L，档
板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场：
①若电子的发射速率为V 0，要使电子一定能经过点O ，则磁场的磁感应强度B 的条件？ ②若磁场的磁感应强度为B ，要使S 发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？
③若磁场的磁感应强度为B ，从S 发射出的电子的速度为m
eBL
2，则档板上出现电子的围多大？
3．如图12所示，真空室存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向
里，磁感应强度的大小B ＝0.6T ，磁场有一块平面感光干板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离为L=16cm 处，有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s ，已知α粒子的电荷与质量之比q/m ＝5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求
（1）α粒子在该磁场中运动半径多大？ （2）ab 上被α粒子打中的区域的长度。
(2010年黄冈调考)3.如图所示，真空室有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60T ，磁场有一块平行感光
a b
● S
图12
板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16cm 处，有一个点状的α粒子发射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s ．已知α粒子的电量与质量之比q/m ＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域长度．
题型二：带电粒子在双直线边界磁场中的运动 一、求最值：
规律要点：
① 最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面各个方向以相同速率发射同一粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨迹分别与两边界相切，如图所示。
（第一行图）
② 对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线。
如图所示，a 、b 之间有粒子射出，可得2
22d dr L ab -=。
二、速度最值： 质量m ，电荷量q 的带正电粒子，以与边界成任意角度的相同速率射入磁感应强度为B ，宽度为L 的匀强磁场区。
为使所有粒子都不能穿越该磁场，求粒子的最大速度。
速率相同的条件下，最容易穿越磁场的是沿磁场下边界向左射入的粒子，如果它对应的半径r=L /2（对应的轨迹圆弧如图中实线所示）将恰好到达磁场上边界，那么沿其他方向射入磁场的粒子必然不能穿越该磁场。
如果以垂直于下边界的速度v
L
B
n N 360θ
=射入的粒子恰好到达磁场上边界，对应的半径r ′=L （其轨迹圆弧如图中虚线所示），那么入射方向比它偏左的粒子将穿越磁场。
课堂练习： 1、强磁场宽度d=16cm,磁感应强度B=0.5T ，电子源在A 点以速度大小v=1.0×1010m/发射电子，在纸面不同方向，从A 点射入磁场（足够大）中，且在右侧边界处放一荧光屏（足够大），电子的比荷e/m=2×1011c/kg,求电子打中荧光屏的区域的长度 ？
题型三：粒子个数的计算
方法：计算带电粒子的辐射的的圆心角θ，再用公式 计算。
真空室存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B = 0.60T 。
磁场有一块足够大的平面感光平板ab ，板面与磁场方向平行。
在距ab 的距离为l = 10cm 处，有一个点状的α放射源S ，它仅在纸平面向各个方向均匀地发射α粒子。
设放射源每 秒发射n = 3.0×104个α粒子，每个α粒子的速度都是
v = 6.0×106m/s 。
已知α粒子的电荷与质量之比7
100.5⨯=m q
C/kg 。
求每分钟有多少个α
粒子打中ab 感光平板？ 题型四：
综合练习：
(2010年全国卷1)2（21分） 如下图，在03x a ≤≤
区域存在与xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为
B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy 平面发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向的夹角分布在0～180°围。
已知沿y 轴正方向发射的粒子在0t t =时刻刚好从磁场边界上(3,)P a a 点离开磁场。
求： （1） 粒子在磁场中做圆周运动的半径R 及粒子的比荷q ／m;
（2） 此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y 轴正方向夹角的取值围； （3）
从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。