浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(三)试题 Word版 含解析
浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题三2017110201138
浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分11.设，则sin x cos x sin3x cos3x22.设i为虚数单位，化简(i1)2016(i1)20163.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a a a11,2,1000a4. 集合x2x3x x R1,2,,100共有个元素，其中x表示不超过x的最大整数。
5.若关于x的方程x2ae x有三个不同的实根，则实数a的取值范围是16.在如图所示的单位正方体 中，设 为正方体的中心，点 分别在棱ABCD A B C DOM , N1 1 1 1A 1D 1,CC 11 2上，,则四面体的体积等于A M,CN OMNB1123D1 M C1 B1A1NDC OAB7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，并且 P 与 E 恰有三个交点， 则 E 得离心率等于二、 简答题2a3a 928.已知数列满足，。
用数学归纳法证明：aa1,a5,an 1 n 12nn1n2an2a n2n2329.证明：对任意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2并求等号成立的充分必要条件。
10.求满足1m n n m mn的所有正整数对(m,n)32017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、 填空题，每题 8分11.设，则sin x cos xsin 3 x cos 3 x2113sin x cos x1 2sin x cos xsin x cos x解 答 ： 由， 可 得， 故 ， 从 而24813 11sin x cos xxx2xx x2 x33(sincos )(sin cos sin cos ) (1 )2 8 162.设i 为虚数单位，化简 (i 1)2016(i 1)2016解 答 ： 由 (i1)2 2i ， 可 得 (i 1)201621008 ， 同 理 可 得 (i1)201621008 故(i 1)2016 (i1)2016210093.已知等差数列 的前 100项之和为 100，最后 100项之和为 1000，则a 1,a 2,a 1000 a1解答：设等差数列的公差为 d ，则有 ，解得100a4950d 100 100a94950d 100011a 10.5054. 集合x 2x 3xx R1, 2,,100共有个元素，其中x表示不超过 x 的最大整数。
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______一、填空题，每题8分 1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a4. 集合[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
5.若关于x 的方程2=xx ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112,23==AM CN ,则四面体1OMNB 的体积等于7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于二、简答题8.已知数列{}n a 满足2110122391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。
用数学归纳法证明：223+=-n n a9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并求等号成立的充分必要条件。
10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案一、填空题，每题8分1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=x x ，可得112s i n c o s 4+=xx ，故3sin cos 8=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816+-+=+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得20161(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故201620161009(1)(1)2++-=i i3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得10.505=a4. 集合[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
浙江镇海镇海中学2017年高中数学竞赛模拟
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2）姓名_______1. 若集合，，，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；2. 若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；3. 如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图，设(在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；4. 中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6. 记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号)故选B．二、填空题（每小题8分，共64分）7. 数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．8. 省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．9. 已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．10. 已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．11. 已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．12. 已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．13. 方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．14. 一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题（共56分）15. 已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．16. 如图，椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，焦点为，四边形的内切圆半径为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，试证为定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）为定值.【解析】试题解析：（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|=由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b，|OF2|=c，|B2F2|=a，得bc= a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=又P（-4，-3k），F2（-1，0）由，得，∴∵∴为定值考点：本题考查椭圆的几何性质向量共线点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可17. 已知函数，直线为曲线的切线．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．【答案】(1) 的值为1；(2) 实数的取值范围是．【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.11。
浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(四)试题 Word版 含解析
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4） 姓名_______一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为 。
2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。
3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为 。
4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为 。
5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=uu u r uu u r。
6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。
O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。
C 1B 1D 1C A BD A 1B DCA7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z 的最小值为 。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。
（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。
10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z +++的最大值为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。
要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。
【精选】浙江省宁波市镇海区高中数学竞赛模拟试题三
浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分1.设，则2.设为虚数单位，化简3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则4. 集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。
5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于二、简答题8.已知数列满足，。
用数学归纳法证明：9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。
10.求满足的所有正整数对2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、填空题，每题8分1.设，则解答：由，可得，故，从而2.设为虚数单位，化简解答：由，可得，同理可得故3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则解答：设等差数列的公差为d，则有，解得4. 集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。
解答：设则有，当时，的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,个元素。
5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是解答：设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，，，当时因此，有三个不同的实根当且仅当6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于解答：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则有由此四面体的体积7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于解答：不妨设椭圆的方程为，经过的两个焦点，，与恰有三个交点，所以，则得离心率等于四、简答题8.已知数列满足，。
用数学归纳法证明：证明：从而对成立。
当时假设，由递推公式可得由此，对一切成立。
9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。
证明方法一：两边平方移项合并两边平方展开可得移项合并不等式成立的必要是当不等式等号成立等价于，当时不等式等号成立。
浙江省宁波市镇海区高中数学竞赛模拟试题(二)(扫描版)(new)
浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题(二）（扫描版）(5）已知函数22016()2016log (1)20162x x f x x x -=+++-+,则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( ） A 。
1(,)2016-+∞ B.1(,)3-+∞ C.1(,)2-+∞ D.1(,)4-+∞（5)已知函数22016()2016log (1)20162x x f x x x -=+++-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( ） A.1(,)2016-+∞ B.1(,)3-+∞ C.1(,)2-+∞ D.1(,)4-+∞ 解法1 令()()2g x f x =-,则函数()g x 为奇函数且在实数上为增函数， 不等式转化为(31)()0g x g x ++>(31)()g x g x ⇔+>-31x x ⇔+>-14x ⇒>-尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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浙江省镇海中学2017-2018学年高三10月模拟考试文数试题 Word版含解析
浙江省镇海中学2017-2018学年高三 模拟考试文数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{1,2,3,4,0}U =----，集合{1,2,0}A =--，{3,4,0}B =--，则()U C A B =（ ）A ．{0}B ．{3,4}--C ．{1,2}--D ．φ 【答案】B考点：集合的运算. 2.若sin 20α>，则（ ）A ．cos 0α>B ．tan 0α>C ．sin 0α>D ．cos 20α> 【答案】B 【解析】试题分析：因为sin 20α>,故0tan 0cos sin >⇒>ααα,故应选B. 考点：二倍角公式及运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ B ．若,m n αα⊥⊥，则//m n C ．若//,//m n αα，则//m n D ．若//,//m m αβ，则//αβ【答案】B 【解析】试题分析：由线面角定义及,m n αα⊥⊥可得n m //,容易验证其它答案都是错误的,故应选B.考点：空间直线与平面的位置关系及运用. 4.下列说法正确的是（ ）A ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．命题“已知,A B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >” 的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b<-”D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件 【答案】B考点：正弦定理及命题的真假的判定和运用.5.函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩， 则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116D ．1316【答案】C 【解析】 试题分析：因为21)67()67()678()641(,1634341)41()417(=-=-=-==⨯==f f f f f f ,故161121163)641()417(=+=+f f 2≥,故应选C. 考点：函数的周期性和奇偶性及运用.6.已知,x y满足不等式组1221x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y a=-+（a为常数）的最大值为2，则z的最小值为（）A．12B．12- C．76-D．7 6【答案】D【解析】考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的范围问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组1221x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,然后再依据题设条件目标函数结合图形可知当动直线2z x y a =-+经过点)31,34(P 时,取得最大值2,即23138=-+a ,解之得31-=a ,当动直线z a x y -+=2经过定点)21,1(P 时,z 取最小值为6731212min =--=z .7.已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得045OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为（ ）A ．6[0,]5 B ．8[0,]5 C ．8[1,]5D ．6[1,]5【答案】B考点：直线与圆的位置关系及运用.【易错点晴】本题以直线与圆的位置关系等有关知识为背景,考查的是直线与圆的位置关系的实际应用问题,同时检测运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.本题在求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题直线与已知圆相交,则圆心距不大于圆的半径可得245sin ||0≤OP ,即42020≤+y x ,又2400-=x y ,所以44168402020⨯≤+-+x x x ,即085020≤-x x ,解此不等式可得5800≤≤x . 8.设,k b 均为非零常数，给出如下三个条件： ①{}n a 与{}n ka b +均为等比数列；②{}n a 为等差数列，{}n ka b +为等比数列； ③{}n a 为等比数列，{}n ka b +为等差数列， 其中一定能推导出数列{}n a 为常数列的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D 【解析】试题分析：当{}n a 与{}n ka b +均为等比数列时,则))(()(112b ka b ka b ka n n n ++=++-,即)(2)(111122+-+-++=+n n n n n n a a kb a a k kba ka ,注意到112)(+-=n n n a a a ,故有)(211+-+=n n n a a kb kba ,也即112+-+=n n n a a a ,所以{}n a 既是等比数列也是等差数列, 故①是常数数列,因此①是正确的. 当{}n a 是等差数列,{}n ka b +为等比数列时,则))(()(112b ka b ka b ka n n n ++=++-,即)(2)(111122+-+-++=+n n n n n n a a kb a a k kba ka ,注意到112+-+=n n n a a a ,故有)(211+-+=n n n a a kb kba ,也即112+-=n n n a a a ,所以{}n a 既是等比数列也是等差数列, 故②是常数数列.当{}n a 是等比数列,{}n ka b +为等差数列时,则b ka ka b ka n n n 22211++=++-,即)(211+-+=n n n a a k ka ,即112+-+=n n n a a a ,注意到112)(+-=n n n a a a ,故③是常数数列,所以应选D.考点：等差数列等比数列的定义及性质的综合运用.【易错点晴】本题以等差数列和等比数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想和推理论证的能力,及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用等差数列和等比数列的定义,逐一验证和推算所给四个命题的正确性,最后通过推理和论证推知命题题①②③都是正确的.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共4小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，满分36分．）9.函数()f x =的值域是 . 的值是 . 【答案】[0,)+∞ 1考点：指数对数的知识及运用．10.若函数()sin())44f x a x x ππ=++-是偶函数，则实数a 的值为 ；单调增区间为 .【答案】3- [2,2]k k k Z πππ+∈ 【解析】试题分析:由题设可得)4()4(ππf f =-,即3-=a ;此时x x f cos 62)(-=,因此其单调递增区间是[2,2]k k k Z πππ+∈,应填3-，[2,2]k k k Z πππ+∈. 考点：三角函数的图象和性质的运用．11.一个几何体的三视图如图所示，（单位：cm ）则该几何体的体积是 3cm ；表面积是2cm .【答案】160332+考点：三视图的识读与几何体的体积的运用． 12.已知正数,x y 满足3x yxy x y-=+，则y 的最大值为 ，当且仅当 . 【答案】131x = 【解析】试题分析:由题设可得0)13(22=+-+y x y yx ,故04)13(222≥--=∆y y ,解之得310≤<y ,此时1=x ,故应填1,13x =. 考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．13.若函数()|ln |31||f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不具有单调性，则实数k 的取值范围为 . 【答案】213k -<≤-或4533k ≤≤考点：对数函数的图象和性质及运用． 14.在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ=， FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为 .【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.考点：向量的几何运算及待定系数法的运用．【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的关系为背景精心设置了一道求其中参数μλ,的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=μμλλ)1(32)1(43,然后运用待定系数法建立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,然后通过解方程组使得问题巧妙获解.15.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C ，…”②解：“设AB 的斜率为k ，…点222122(,)1212k kB k k-++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 .（用k 表示） 【答案】2324kk +考点：类比推理与直线椭圆等相关知识的综合运用．【易错点晴】合情推理中的类比推理和归纳推理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以椭圆为背景精心设置了一道求直线的斜率的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用直线与椭圆的位置关系,巧妙借助题设过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C 两条直线的斜率的数量关系之积为2,进行类比推理和巧妙代换,从而算得点)84,88(222++-k k k k C .然后运用斜率公式可得4233588842222+=++-+=k k k k k k k CD. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，|2BC AB AC =∙=. （1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值. 【答案】(1)16；(2)1030.（2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +∙≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号， 因为cos 2AB AC A ∙∙=，所以2cos A AB AC=∙，从而sin A ==.ABC ∆的面积11sin 22S AB AC A AB AC =∙∙=∙==， 当且仅当AB AC =时取“=”号.因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC ==故2cos10BCBAB===.考点：三角形的面积公式及余弦定理等有关知识的综合运用．17.（本题满分15分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知162,22a S==.（1）求nS，并求nS的最小值；（2）若从{}na中抽取一个公比为q的等比数列{}nka，其中11k=，且12nk k k<<<<，*nk N∈，当q取最小值时，求{}nk的通项公式.【答案】(1)2；(2)1322nnk-=⨯-.（2）因为数列{}na是正项递增等差数列，所以数列{}nka的公比1q>，若22k=，则由283a=，得2143aqa==，此时324322()39ka=⨯=，由322(2)93n=+，解得*103n N=∉，所以22k>，同理23k>；若24k=，则由44a=，得2q=，此时122nnka-=∙，另一方面，2(2)3nk na k=+，所以2(2)23nnk+=，即1322nnk-=⨯-，所以对任何正整数n，nka是数列{}na的第1322n-⨯-项，所以最小的公比2q=.所以1322nnk-=⨯-.考点：等差数列的通项及前n 项和不等式等有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点. （1）求证：11D E A D ⊥；（2）求直线1B C 与平面1DED 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)030. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设运用线面角的定义探求. 试题解析：（1）连结1AD ，因为11A ADD 是正方形，所以11AD A D ⊥， 又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A ， 所以1AE A D ⊥， 又1AD AE A =，1,AD AE ⊂平面1AD E ，所以1A D ⊥平面1AD E ， 而1D E ⊂平面1AD E ， 所以11D E A D ⊥.考点：线面位置关系的推证和线面角的求解和计算等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l （1）求抛物线E 的方程； （2）设直线12y x b =+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为,,,A B C D ，且,B D是与抛物线E 的交点，若直线,BF DF 的倾斜角互补，求||||AB CD +的值.【答案】(1)212y x =；(2)5536. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求. 试题解析：（1）过P 作1PP l ⊥于1P ，则1||||||||||PM PP PM PF MF +=+≥， 当,,P M F 共线时，1||||PM PP +取最小值||MF ==. 解得6p =或2p =.当6p =时，抛物线E 的方程为212y x =，此时，点M 与点F 在抛物线E 同侧，这与已知不符. ∴2p =，抛物线E 的方程为24y x =.（2）(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由2124y x b y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(416)40x b x b +-+=， 所以24164x x b +=-，2244x x b =，且由0∆>得2b <. 因为直线,BF DF 的倾斜角互补，所以0BF DF k k +=， ∵2424422424(1)(1)11(1)(1)BF DF y y y x y x k k x x x x -+-+=+=----， ∴2442(1)(1)0y x y x -+-=，即244211()(1)()(1)022x b x x b x +-++-=，24241()()202x x b x x b +--=，214()(164)202b b b b +---=，12b =，由2211229y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得252350x x +-=，所以1325x x +=-，2143||||))AB CD x x x x +=--24132())2255x x x x =+--=+=. 考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用题设中的条件建立方程求出抛物线的方程为212y x =.第二问再借助直线与抛物线的位置关系的弦长公式分别求出2143||||))AB CD x x x x +=--,进而求出其值为5536,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)0f =，对于任意x R ∈都有()f x x ≥，且11()()22f x f x -+=--，令()()|1|(0)g x f x x λλ=-->.（1）求函数()f x 的表达式；（2）函数()g x 在区间(0,1)上有两个零点，求λ的取值范围.【答案】(1)2()f x x x =+；(2)3λ>.（2）①当02λ<≤时，可知函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，又(0)10g =-<，(1)2|1|0g λ=-->，故函数()g x 在区间(0,1)上只有一个零点，②当2λ>时，则1112λ<<，而(0)10g =-<，2111()0g λλλ=+>，(1)2|1|g λ=--， （ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且22111(1)()()(1)1102224g λλλλλ----=+-∙+=-+≥，此时，函数()g x 在区间(0,1)上只有一个零点； （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且(1)2|1|0g λ=--<，此时，函数()g x 在区间(0,1)上有两个不同的零点，综上所述，当3λ>时，函数()g x 在区间(0,1)上有两个不同的零点. 考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式2()f x x x =+.然后再借助题设函数()g x 在区间(0,1)上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数λ的取值范围,从而使得问题获解.。
2017浙江省高中数学竞赛试卷(PDF版)
5 q 6. 设 S 是 (0, ) 中所有有理数的集合，对简分数 ∈ S , ( p, q) = 1 ，定义函数 8 p 2 q q +1 ，则 f ( x) = 在 S 中根的个数为 _____________. f( )= 3 p p
解答 由于 f ( x) =
2 2m − 1 5 1 m∈ ， ， 令 q = 2m − 1, p = 3m ， 则有 0 < < ， <m<8 3 3m 8 2
x 2 + 32 > x 2 + 8 x 2 = 3 x （ 0 < x < 2 ）.
x2 + 16 f k ( x) > x 2 + 1 6 x > 3x 。 3
当 n = k 时，设 f k ( x) > 3 x ，则 f k +1 ( x) =
由此可得 0 < x < 2 都不是 f n ( x) = 3 x 的解（对于所有的 n）. 因此，对每个 n ， f n ( x) = 3 x 的实数解为 x = 2 。 …………………………20 分
有三个根 x1 < x2 < x3 . 若 x3 − x2= 2( x2 − x1 ) ，则实数 a = 解答：设 g ( = x) 2 1 − x 2 ，定义域为 −1 ≤ x ≤ 1 ，
max ( f ( x), g ( x)) = 1 ( f ( x) + g ( x) + f ( x) − g ( x) ) . 2
−4k 。 3k 2 + 1
……………………5 分
于是有 y p + yq= k ( x p + xq ) − 4k= 因为 PQ 的中点为 N ，所以 N (
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2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3） 姓名_______
一、
填空题，每题8分
1.设1
sin cos 2
+=x x ，则33sin cos +=x x
2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i
3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a
4. 集合
[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数。
5.若关于x 的方程2=x x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设
O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112
,23
==A
M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于
7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于
二、 简答题
8.已知数列{}n a 满足211012
2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。
用数学归纳法证明：
223+=-n n a
9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并
求等号成立的充分必要条件。
10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n
2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案
三、
填空题，每题8分
1.设1
sin cos 2
+=
x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=
x x ，可得112s i n c o s 4+=x
x ，故3
sin cos 8
=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311
(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816
+-+=
+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016
1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故
201620161009(1)(1)2++-=i i
3.已知等差数列121000,, a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a 解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得
10.505=a
4. 集合
[][][]{}{}231,2,,100++∈ x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数。
解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤<x 时，()f x 的所有可
能
值
为
0,1,2,3.
由
此
()
f x 得值域{}6
,61,
62,6
3
=+++∈S k k
k k k Z ,
[][][]{}{}231,2,,100417167++∈=⨯-= x x x x R 个元素。
5.若关于x 的方程2=x
x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
解答：设2()-=x f x x e ，则2'()(2)-=-x
f x x x e
当0≤x 时，2()-=x
f x x e 单调递减，当
02≤≤x 时，2()-=x f x x e 单调递增，当2≥x 时，2()-=x f x x e 单调递减，(0)0=f ，
2(2)4-=f e ，当→+∞x 时()0→f x 因此，2()-==x f x x e a 有三个不同的实根当且仅
当2
04-<<a e
6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设
O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112
,23
==A
M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 解答：以A 为原点，1,,
AB AD AA 为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则有11112
(,,0),(0,,1),(1,1,),(1,0,1)
2223
O M N B 由此四面体1OMNB 的体积1111672
=⨯⨯=
V OB ON OM
7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个
焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于
解答：不妨设椭圆E 的方程为22
221(0)+=>>x y a b a b
，P
经过E 的两个焦点，222=+x cy c
222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于=
=
c e a 四、
简答题
8.已知数列{}n a 满足2
11012
2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。
用数学归纳法证明：
223+=-n n a
证明：2301123,523,==-==-a a 从而223+=-n n a 对0,1=n 成立。
当2≥n 时假设1123+-=-n n a ，223-=-n n a 由递推公式可得
2121221122392(23)3(23)94215292322(23)23
+++---------⨯-⨯+====---n n n n n n n n n n
n a a a a 由此，223+=-n n a 对一切0≥n 成立。
9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并
求等号成立的充分必要条件。
+≥两边平方。