初中数学二次函数易错题汇编及答案
中考数学二次函数易错题和常考题(含答案)
：二次函数易错题和常考题一．选择题（共11小题）1．函数y=与y=﹣kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） B与y 的部分对应值如下表： （1）ac ＜0； （2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小．（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．3．下列四个说法中正确的是（ ）①已知反比例函数y=，则当y≤时自变量x 的取值范围是x≥4； ②点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）在反比例函数y=﹣的图象上，若x 1＜x 2，则y 1＜y 2；③二次函数y=2x 2+8x+13（﹣3≤x≤0）的最大值为13，最小值为7 ④已知函数y=x 2+mx+1的图象当x≤时，y 随着x 的增大而减小，则m=﹣．25．如图，抛物线m ：y=ax 2+b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a ，b 应满足的关系式为（ ）：7．如图，点A （a ，b ）是抛物线上一动点，OB ⊥OA 交抛物线于点B （c ，d ）．当点A 在抛物线上运动的过程中（点A 不与坐标原点O 重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd ；③△AOB 的面积为定值；④直线AB 必过一定点．正确的有（ ） 8．由函数y=﹣x 2的图象平移得到函数y=﹣（x ﹣4）2+5的图象，则这个平移是（ ）9．若m 为实数，则函数y=（m ﹣2）x 2+mx+1的图象与坐标轴交点的个数为（ ）10．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，a+b+c ，a ﹣11．如图，抛物线y=x 2+m 与直线y=x 的交点A 、B 的横坐标分别是﹣1和2，则关于x 的不等式x 2+m+x ＜0的解集是（ ）二．填空题（共2小题）12．将抛物线y=x 2+2x+3所在的平面直角坐标系中的纵轴（即y 轴）向左平移1个单位，则原抛物线在新的坐标系下的函数关系式是 _________ ．13．二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为_________．答案：1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.C8.D 9.D 10.A 11.C 12. y=x2+213.（1/4，0）：。
初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)
二次函数习题讲解一、二次函数的相关概念1. 若函数的图象与轴只有一个交点, 那么的值为（）A. 0B. 0或2C. 2或－2D. 0, 2或－22．当或（）时, 代数式的值相等, 则时, 代数式的值为。
3．已知和时, 多项式的值相等, 且, 则当时, 多项式的值等于________。
二、二次函数的顶点问题1. 若抛物线的顶点在第一象限, 则的取值范围为________。
2．如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线所表示的函数解析式为, 则下列结论正确的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,三、二次函数的对称轴问题1. 已知二次函数, 当时, 的值随值的增大而减小, 则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2. 已知二次函数, 当时, 随的增大而增大, 则实数的取值范围是________。
3．已知二次函数, 当时, 随的增大而增大, 而的取值范围是（）A. B. C. D.四、二次函数的图象共存问题1. 在同一直角坐标系中, 函数和（是常数, 且）的图象可能是（）A B C D2. 二次函数的图象如图所示, 则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）A B C D五、二次函数的图象综合问题1. 已知二次函数 的图象如图所示, 对称轴为 。
下列结论中, 正确的是（ ）A. B. C. D.2．已知二次函数 的图象如图所示, 下列结论：① ；② ；③ ；④ 。
其中, 正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43．已知二次函数 的图象如图所示, 下列4个结论：①0abc <；②20a b +=；③420a b c ++>；④b a c <+；⑤()a b m am b +>+（m 为不等于1的任意实数）。
其中正确的结论有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知二次函数 的图象如图所示, 下列结论:①0abc <；②2b a <；③240b ac ->；④0a b c ++>。
(易错题精选)初中数学二次函数真题汇编及答案解析
（易错题精选）初中数学二次函数真题汇编及答案解析一、选择题1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2ba->0， 又∵a>0， ∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．2．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．3．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC--运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项． 【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm ． 下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ． 故选：B ． 【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.4．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数by x=在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0，∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0，∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．5．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】 ∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.6．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S （cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．7．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D 【解析】分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答． 详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]； A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的． 故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象.【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确； ②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误； ④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0，∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cmS ，则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论． 【详解】解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+， 可解得8AB =，6BC =，即6AD =，①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确； ②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S △APQ =118422AP AB t t =⨯=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．10．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ．11．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．12．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．【详解】根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C 与选项D不合题意；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，∴选项B符合题意，选项A不合题意．故选B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．14．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B 453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ．∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：DE=5． 设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ．∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，，即x 2x 2255-==，，解得：()52x 5BF ?x CM 2-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．15．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0， ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】 根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <， ∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．17．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．18．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ＝2ax +（a+c ）x+c 与一次函数y ＝ax+c 的大致图象．正确的（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．下列函数（1）y=x（2）y=2x﹣1 （3）y=1x（4）y=2﹣3x（5）y=x2﹣1中，是一次函数的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y=x是一次函数，符合题意；（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；（3）y=1x是反比例函数，不符合题意；（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B．【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．20．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经第几象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质可得a＜0，h＜0，k＞0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可．【详解】解：由函数图象可知，y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键．。
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa--；（3）2≤t＜94．【解析】【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=-2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a，∴抛物线顶点D 的坐标为（-12，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2，∴y=2x-2， 则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0，∴（x-1）（ax+2a-2）=0，解得x=1或x=2a-2， ∴N 点坐标为（2a-2，4a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ，∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为122a x a =-=-， ∴E （-12，-3）， ∵M （1，0），N （2a-2，4a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM =12|（ 2a -2）-1|•|-94a -（-3）|=274−3a −278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+12）2+94，由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩，-x2-x+2=-2x，解得：x1=2，x2=-1，∴G（-1，2），∵点G、H关于原点对称，∴H（1，-2），设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，-x2-x+2=-2x+t，x2-x-2+t=0，△=1-4（t-2）=0，t=94，当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y=-2x+t，t=2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．3．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴2点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．5．如图，在平面直角坐标系中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线24y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似；（3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线的解析式为228833y x x =-++；（2）t 的值为3011或5013； （3）t 的值为103或6017或258； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.【解析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8a a c c -+==，解得2{38a c =-=， ∴228833y x x =-++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ，①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴3011t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴5013t =； 综上所述，t 的值为3011或5013. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103t =； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=()31025t -，∴()61025t t -=，∴6017t =； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35t ，∴61025t t -=，∴258t =； 综上所述，t 的值为103或6017或258. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴2288833x x -++=-，解得2x =±∵x ﹥0，∴2x =+∴()28+-.综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(2F +，-8）.“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．6．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE=． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．7．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）． ∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5； （2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =2m ，PN =2（4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×2m ×2（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ 4AQ ，解得：AQ 公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）；②当△ABD ∽△DQA 时，BD AQ=1，即AQ ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．9．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
初中数学错题本二次函数30道易错题+详解
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣ x2 B．y=2（x﹣1）2+4 C．y= （x﹣1）（x+4） D．y=（x﹣2）2﹣x2
4．下列函数关系式中，是二次函数的是（ ）
A．y=x3﹣2x2﹣1 B．y=x2 C．
D．y=x+1
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5．下列函数
ห้องสมุดไป่ตู้
，y=3x2，
《二次函数》易错题集
选择题 1．如图，直角梯形 ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边 AB=5，高 AD=3，点 E 由 B 沿折线 BCD 向点 D 移动，EM⊥AB 于 M，EN⊥AD 于 N，设 BM=x，矩形 AMEN 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．①②③④ B．②③①④ C．③②④① D．④②①③ 10．已知一次函数 y=ax+c 与 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是 （）
A．
B．
C．
D
．
11．已知 h 关于 t 的函数关系式为 h= gt2，（g 为正常数，t 为时间），则函数图 象为（ ）
最新初中数学二次函数易错题汇编及答案
最新初中数学二次函数易错题汇编及答案一、选择题1．如图是二次函数yax2bx c 的图象，有下边四个结论：① abc 0 ；② ab c0 ；③2a3b0 ； ④c4b0 ，此中正确的结论是( )A ． ①②B ． ①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】 D【分析】【剖析】依据抛物线张口方向获得a 0 ，依据对称轴 xb0 获得 b0 ，依据抛物线与 y轴2a的交点在 x 轴下方获得 c 0 ，因此 abc0 ； x 1 时，由图像可知此时 y 0，因此a b c 0 ；由对称轴 xb 1，可得 2a 3b 0 ；当 x2 时，由图像可知此时2a3y0，即 4a 2b c0 ，将 2a3b 代入可得 c 4b 0 .【详解】①依据抛物线张口方向获得a 0 ，依据对称轴 xb 0 获得 b0 ，依据抛物线与y2a轴的交点在 x 轴下方获得 c 0 ，因此 abc0，故 ① 正确 .②x1时，由图像可知此时y0，即 ab c0，故② 正确 .b 1 3b 0 ，因此 2a3b 0 错误，故 ③ 错误；③ 由对称轴 x ，可得 2a2a3④ 当 x 2 时，由图像可知此时y 0 ，即 4a 2b c 0，将③ 中 2a3b 0 变形为2a 3b ，代入可得 c 4b 0，故④ 正确.故答案选 D.【点睛】本题考察了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形联合的思想解决问题。
2．抛物线y ＝x 2+bx+3 的对称轴为直线x ＝1．若对于x 的一元二次方程x 2 +bx+3﹣ t ＝0（t为实数）在﹣2＜ x ＜3 的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）A ． 12＜ t ≤3 【答案】 CB ．12＜t ＜4C ．12＜ t ≤4D ．12＜ t ＜ 3【分析】【剖析】依据给出的对称轴求出函数分析式为y＝－ x2- 2x＋ 3，将一元二次方程－ x2＋ bx＋ 3-t ＝ 0 的实数根看做是y＝－ x2- 2x＋ 3 与函数 y＝ t 的交点，再由﹣ 2＜ x＜3 确立 y 的取值范围即可求解 .【详解】解：∵ y＝－ x2＋ bx＋ 3 的对称轴为直线x＝－ 1，∴b＝- 2，∴y＝－ x2- 2x＋3 ，∴一元二次方程－x2＋ bx＋ 3-t ＝ 0 的实数根能够看做是y＝－ x2- 2x＋ 3 与函数 y＝ t 的交点，∵当 x＝ - 1 时， y＝ 4；当 x＝ 3 时， y＝－ 12，∴函数 y＝－ x2 - 2x＋ 3 在﹣ 2＜x＜ 3 的范围内－ 12＜ y≤4，∴－ 12＜ t ≤4，应选： C．【点睛】本题考察二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转变为二次函数与直线的交点问题是解题重点．3．对于二次函数y ax212a x a 0 ，以下说法正确的个数是（）2① 对于任何知足条件的 a ，该二次函数的图象都经过点2,1 和0,0 两点；② 若该函数图象的对称轴为直线x x0，则必有 0 x01；③当 x0时， y 随x的增大而增大；④若 P4, y1，Q 4m, y2m0 是函数图象上的两点，假如y1y2总建立，则1．a12A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】【剖析】依据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】对于 y ax212a x a02当 x2时，y4a12a) 1，则二次函数的图象都经过点2,1 2(2当 x 0 时， y 0 ，则二次函数的图象都经过点0,0则说法① 正确此二次函数的对称轴为12a1x22a14aQ a01114ax0 1 ，则说法②错误由二次函数的性质可知，抛物线的张口向下，当x11时，y随x的增大而增大；当4ax 1时， y 随 x 的增大而减小14a因11 014a则当 0x1x11时，y随x的增大而增大；当1时，y随x的增大而减小4a4a即说法③ 错误Q m04 m4由 y1y2总建立得，其对称轴 x11 4 4a解得 a 1，则说法④ 正确12综上，说法正确的个数是 2 个应选： B．【点睛】本题考察了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），娴熟掌握二次函数的图象与性质是解题重点．4．已知二次函数y＝ ax2+bx+c（ a≠0）的图象以下图，则以下结论：（1） 4a+2b+c＜ 0；（2）方程 ax2+bx+c＝ 0 两根都大于零；（3） y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象必定可是第二象限．此中正确的个数是（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 C【分析】【剖析】由图可知， x=2 时函数值小于0，故（ 1）正确，函数与故（ 2）正确，由图像知（ 3）错误，由图象张口向上，x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，a ＞0，与 y 轴交于正半轴， c＞ 0，对称轴x=﹣＝ 1，故b＜ 0， bc＜ 0，即可判断一次函数y＝ x+bc 的图象 .【详解】①由 x＝ 2 时， y＝ 4a+2b+c，由图象知： y＝ 4a+2b+c＜ 0，故正确；②方程 ax2+bx+c＝0 两根分别为1， 3，都大于0，故正确；③当 x＜ 2 时，由图象知：y 随 x 的增大而减小，故错误；④由图象张口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴，c＞0 ，x=﹣＝1＞0，∴ b＜0，∴b c＜ 0，∴一次函数 y＝ x+bc 的图象必定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有 3 个，应选：C．【点睛】本题主要考察二次函数的图像，解题的重点是熟知各系数所代表的含义.5122① abc＜ 0；．抛物线 y =ax +bx+c 与直线 y =mx+n 的图象以下图，以下判断中：② a+b+c＞ 0；③5 a-c=0；④当 x＜或 x＞6 时， y1＞ y2，此中正确的个数有（）A．1B． 2C． 3D． 4【答案】 C【分析】【剖析】【详解】解：依据函数的张口方向、对称轴以及函数与abc 0，则①正确；依据图形可得：当x=1 时函数值为零，则y 轴的交点可知：a+b+c=0，则②错误；a0， b0， c0，则依据函数对称轴可得：-b=3，则b=-6a，依据a+b+c=0 可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-2ac=0，则③正确；依据函数的交点以及函数图像的地点可得④正确.点睛：本题主要考察的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,假如函数张口向上，则 a 大于零，假如函数张口向下，则 a 小于零；假如函数的对称轴在y 轴左边，则b的符号与 a 同样，假如函数的对称轴在y 轴右边，则 b 的符号与 a 相反；假如函数与x 轴交于正半轴，则 c 大于零，假如函数与x 轴交于负半轴，则 c 小于零；对于出现a+b+c、 a-b+c、 4a+2b+c、 4a-2b+c 等状况时，我们需要找详细的值进行代入进而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界限，而后进行分状况议论.6．若平面直角坐标系内的点M 知足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．比如：P（1 ，0）、 Q（ 2，﹣ 2）都是“整点”．抛物线 y＝ mx2﹣ 4mx+4m﹣2（ m＞0）与 x 轴交于点 A、 B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围成的地区（包含界限）恰有七个整点，则m 的取值范围是（）A．1≤m＜ 1B．1＜m≤1C． 1＜ m≤2D． 1＜ m＜ 2 22【答案】 B【分析】【剖析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】∵y＝ mx2﹣4mx+4m﹣ 2＝ m（ x﹣ 2）2﹣ 2 且 m＞ 0，∴该抛物线张口向上，极点坐标为（2，﹣ 2），对称轴是直线x＝ 2．由此可知点（2， 0）、点（2，﹣ 1）、极点（2，﹣ 2）切合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣ 1）和（ 3，﹣ 1）时（如答案图1），这两个点切合题意．将（ 1，﹣ 1）代入 y＝ mx2﹣ 4mx+4m﹣ 2 获得﹣ 1＝ m﹣ 4m+4m﹣ 2．解得 m＝ 1．此时抛物线分析式为y＝ x2﹣ 4x+2．由 y＝ 0 得 x2﹣ 4x+2＝ 0．解得x12122 3.4．0.6， x22∴x 轴上的点（ 1， 0）、（ 2， 0）、（ 3， 0）切合题意．则当 m＝1 时，恰巧有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣ 1）、（ 2，﹣ 2）这 7 个整点切合题意．∴m≤1．【注： m 的值越大，抛物线的张口越小，m 的值越小，抛物线的张口越大】答案图 1（m＝ 1 时）答案图2（m＝时）②当该抛物线经过点（0， 0）和点（ 4， 0）时（如答案图2），这两个点切合题意．此时 x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也切合题意．将（ 0， 0）代入 y ＝ mx 24mx+4m 2 获得 0＝ 0 4m+0 2．解得 m ＝ 1．2此 抛物 分析式y ＝1x 2 2x ．2当 x ＝ 1 ，得 y1 12 13 1．∴点（ 1， 1）切合 意．2 2当 x ＝ 3 ，得 y1 92 33 1 .∴点（ 3， 1 ）切合 意．22上可知：当m ＝ 1，点（ 0， 0）、（ 1， 0）、（ 2， 0）、（ 3， 0）、（ 4， 0）、2（1， 1）、（ 3， 1）、（ 2， 2）、（ 2， 1）都切合 意，共有 9 个整点切合 意，∴m ＝ 1 不切合 ．2 ∴m ＞ 1．2合 ①②可得：当1＜ m ≤1 ， 函数的 象与x 所 成的地区（含 界）内有七个2整点，故 ： B ．【点睛】考 二次函数 象与系数的关系，抛物 与x 的交点，画出 象，数形 合是解 的关.7．一列自然数 0， 1，2 ，3， ⋯， 100．挨次将 列数中的每一个数平方后除以100，获得一列新数． 以下 正确的选项是（ ）A ．原数与 新数的差不行能等于零B ．原数与 新数的差，跟着原数的增大而增大C ．当原数与 新数的差等于21 ，原数等于 30D ．当原数取 50 ，原数与 新数的差最大 【答案】 D 【分析】 【剖析】出原数，表示出新数，利用解方程和函数性 即可求解． 【 解】 解： 原数m ， 新数1m 2 ，100新数与原数的差yy m1 m 21 m2 m ，100100易得，当 m ＝ 0 ， y ＝0， A∵1100m ﹣ b﹣1150， y 有最大 ．B ， D 正确．当 2a 2﹣100当 y ＝ 21 ， 1 m 2 m ＝ 21 100解得 m 1 ＝30， m 2 ＝ 70， C ．故答案 ： D ．【点睛】本 以 律研究 背景， 合考 二次函数性 和解一元二次方程，解 要注意将数字 律 化 数学符号．8．足球运 将足球沿与地面成必定角度的方向踢出，足球 行的路 是一条抛物 . 不考 空气阻力，足球距离地面的高度 h （ 位： m ）与足球被踢出后 的t （ 位：s ）之 的关系以下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 ⋯ h8141820201814⋯以下 ： ① 足球距离地面的最大高度20m ；② 足球 行路 的 称 是直9；t2③ 足球被踢出 9s 落地； ④ 足球被踢出 1.5s ，距离地面的高度是11m. 此中正确的个数是（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 4【答案】 B【分析】 【剖析】 【 解】解：由 意，抛物 的分析式y=ax （ x9），把（ 1， 8）代入可得a= 1，∴ y = t 2+9t= （ t 4.5） 2+20.25 ，∴足球距离地面的最大高度 20.25m ，故 ① ，∴抛物 的 称 t=4.5，故 ② 正确，∵t =9 ， y=0，∴足球被踢出9s 落地，故 ③ 正确，∵ t =1.5 ， y=11.25，故 ④ ，∴正确的有 ②③ ，故 B ．9．函数 yax b 和 y ax 2 bx c 在同向来角坐标系内的图象大概是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 C【分析】【剖析】依据 a 、 b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象地点，张口方向，分类议论，逐个清除．【详解】当 a ＞ 0 时，二次函数的图象张口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故 A 、 D 不正确；由 B 、 C 中二次函数的图象可知，对称轴x=- b＞ 0，且 a ＞ 0，则 b ＜ 0，2a但 B 中，一次函数 a ＞ 0，b ＞ 0，清除 B ．应选 C ．10． 已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数y m x3 x9及y n x2x 6图象，将二次函数y m x3 x9的图象按以下哪一种平移方式平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（）A ．向左平移2 个单位长度B ．向右平移2 个单位长度C ．向左平移 10 个单位长度D ．向右平移 10 个单位长度【答案】D【分析】【剖析】将二次函数分析式睁开，联合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离．【详解】解：∵ y ＝ m （ x ＋3）（ x ＋ 9）＝ mx 2＋ 12mx ＋ 27m ， y ＝ n （ x － 2）（ x － 6）＝ nx 2－8nx ＋12n ，∴二次函数 y ＝ m （x ＋ 3）（ x ＋ 9）的对称轴为直线 x ＝－ 6，二次函数 y ＝ n （ x － 2）（ x － 6）的对称轴为直线x ＝ 4，∵4－（－ 6）＝ 10，∴将二次函数 y ＝ m （ x ＋ 3）（ x ＋ 9）的图形向右平移 10 个单位长度，两图象的对称轴重叠．应选： D．【点睛】本题考察了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，依据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的重点．11．某二次函数图象的极点为2, 1，与x 轴交于P 、Q两点，且PQ 6 ．若此函数图象经过1,a、3,b、1,c、3,d四点，则 a 、b、c、d之值何者为正？（）A．a B．b C．c D．d【答案】D【分析】【剖析】依据题意能够获得该函数的对称轴，张口方向和与x 轴的交点坐标，进而能够判断a、 b、c、 d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的极点坐标为（2， -1），此函数图象与x 轴订交于P、 Q 两点，且PQ=6，∴该函数图象张口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3， 0）=（ -1， 0），和（ 2+3， 0） =（ 5， 0），∵此函数图象经过（1， a）、（ 3， b）、（ -1， c）、（ -3，d）四点，∴a＜ 0， b＜ 0， c=0， d＞0，应选：D．【点睛】本题考察抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．如图是二次函数y ax2bx c 的图象，其对称轴为x 1 .以下结论：① abc0 ；②2a b 0 ；③9a3b c0；④ 若3, y1 ,10, y2是抛物线上两点，则23y1y2.此中正确的结论有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】 B【分析】【剖析】由抛物线张口方向获得 a ＜0，依据对称轴获得 b=-2a ＞ 0，由抛物线与 y 轴的交点地点获得c ＞ 0，则可对 ① 进行判断；由 b=-2a 可对 ② 进行判断；利用抛物线的对称性可获得抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），则可判断当 x=3 时， y=0，于是可对 ③ 进行判断；经过二次函数的增减性可对 ④ 进行判断．【详解】解：∵抛物线张口向下，∴a ＜ 0，∵抛物线的对称轴为直线 xb 1 ，∴ b=-2a ＞ 0，2a∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，∴ c ＞ 0，∴ a bc ＜ 0，因此 ① 错误；∵b=-2a ，∴ 2a+b=0，因此 ② 正确；∵抛物线与 x 轴的一个交点为（∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（-1， 0），抛物线的对称轴为直线3， 0），x=1，∴当 x=3 时， y=0，∴ 9a 3b c 0 ，因此 ③ 错误；∵抛物线的对称轴为直线 x=1，且抛物线张口向下，∴当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大∵10 33 12点3, y 1到对称轴的距离比点10, y 2 对称轴的距离近，23∴ y 1 y 2，因此 ④ 正确．应选 B ．【点睛】本题考察了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0），二次项系数 a决定抛物线的张口方向和大小，当 a ＞ 0 时，抛物线向上张口；当a ＜ 0 时，抛物线向下开 口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点：当a与 b 同号时（即 ab ＞ 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜ 0），对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛 物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（ 0， c ）；抛物线与 x 轴交点个数由 △决定： △=b 2-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； △=b 2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； △=b 2-4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．13． 二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0）的图象如图，给出以下四个结论： ① 4ac ﹣ b 2＜0；② 4a+c ＜2b ；③ 3b+2c ＜ 0； ④m （ am+b ） +b ＜ a （ m ≠﹣1），此中正确结论的个数是（ ）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】 B【分析】【剖析】【详解】解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b2﹣ 4ac＞ 0，∴4ac﹣b 2＜ 0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和 x 轴的一个交点在点（0，0）和点（ 1， 0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3， 0）和（﹣ 2， 0）之间，∴把（﹣ 2， 0）代入抛物线得：y=4a﹣ 2b+c＞ 0，∴4a+c＞ 2b，∴②错误；∵把（ 1， 0）代入抛物线得：y=a+b+c＜ 0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b ，2c＜ 0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线 x=﹣ 1，∴y=a﹣ b+c 的值最大，即把（ m， 0）（ m≠0）代入得： y=am2+bm+c ＜a﹣ b+c，∴am 2+bm+b ＜a，即 m（ am+b） +b＜ a，∴④正确；即正确的有 3 个，应选 B．考点：二次函数图象与系数的关系14．如图，四边形ABCD是正方形，AB8 ，AC、BD交于点O，点P、 Q分别是AB、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC ，点Q 的运动路径是BD，两点的运动速度同样并且同时结束.若点P 的行程为x，△PBQ的面积为y，则y 对于x 的函数图象大概为（）A ．B ．C ．D ．【答案】 A【分析】 【剖析】分点 P 在 AB 和 BC 上两种状况画出 形，分 求出y 对于 x 的函数关系式，再 合其取 范 和 象的性 判断即可.【 解】解：当点 P 在 AB 上，即 0 x 8 ，如 1，由 意得： AP=BQ=x ，∠ ABD=45°，∴BP=8－ x ，点 Q 作 QF ⊥ AB 于点 F ， QF=2BQ2x ，22y1(8 x)2 x 2 x 2 2 2x ，此段抛物 的张口向下；224当点 P 在 BC 上，即 8x 8 2 ，如2，由 意得： BQ=x ， BP=x －8，∠ CBD=45°，点 Q 作 QE ⊥BC 于点 E ， QE=2BQ2x ，22y1( x 8)2 x 2 x 22 2x ，此段抛物 的张口向上 .224故 A. 【点睛】本 以正方形 依靠，考 了 点 的函数 象、正方形的性 、等腰直角三角形的性和二次函数的 象等知 ，分状况 、正确列出二次函数的关系式是解 的关.15． 抛物 y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐 x 、 坐 y 的 以下表所示： x ⋯ –2 –1 0 1 2 ⋯ y⋯4664⋯从上表可知，以下 法 的是A ．抛物 与x 的一个交点坐(–2，0)B ．抛物 与y 的交点坐(0， 6)C ．抛物线的对称轴是直线x=0D ．抛物线在对称轴左边部分是上涨的【答案】C【分析】【剖析】【详解】解：当 x=-2 时， y=0，∴抛物线过（ -2， 0），∴抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（-2，0），故 A 正确；当 x=0 时， y=6，∴抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， 6），故 B 正确；当 x=0 和 x=1 时， y=6，∴对称轴为x= 1，故 C 错误；2当 x ＜ 1时， y 随 x 的增大而增大，2∴抛物线在对称轴左边部分是上涨的，故 D 正确；应选 C ．16． 已知二次函数 y( x h)2 ( h 为常数 ),当自变量 x 的值知足 2 x 5 时 ,与其对应的函数值 y 的最大值为 -1,则 h 的值为 ( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】 B【分析】剖析：分 h ＜ 2、2≤h ≤5和 h ＞ 5 三种状况考虑：当 h ＜ 2 时，依据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h ≤5时，由此时函数的最大值为0 与题意不符，可得出该状况不存在；当h ＞ 5 时，依据二次函数的性质可得出对于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当 h ＜2 时，有 -（2-h ） 2=-1， 解得： h 1=1， h 2=3（舍去）；当 2≤h ≤5时， y=-（ x-h ） 2 的最大值为 0，不切合题意；当 h ＞5 时，有 -（5-h ） 2=-1， 解得： h 3=4（舍去）， h 4=6．综上所述： h 的值为 1 或 6．应选 B．点睛：本题考察了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、 2≤h≤5和 h＞ 5 三种情况求出 h 值是解题的重点．117．以下函数（ 1） y=x （2） y=2x﹣ 1 （ 3） y=x（4） y=2﹣ 3x （5） y=x2﹣ 1 中，是一次函数的有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】 B【分析】【剖析】分别利用一次函数、二次函数和反比率函数的定义剖析得出即可．【详解】解：（ 1） y=x 是一次函数，切合题意；（2） y=2x﹣1 是一次函数，切合题意；（3） y= 1是反比率函数，不切合题意；x（4） y=2﹣ 3x 是一次函数，切合题意；（5）y=x2﹣1 是二次函数，不切合题意；故是一次函数的有 3 个．应选：B．【点睛】本题考察一次函数、二次函数和反比率函数的定义，正确掌握有关定义是解题重点．18．已知二次函数y＝ a（ x﹣ h）2+k 的图象以下图，直线y＝ ax+hk 的图象经第几象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四【答案】 D【分析】【剖析】依据二次函数的图象和性质可得a＜ 0， h＜ 0， k＞ 0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可．【详解】解：由函数图象可知，y＝a（ x﹣ h）2+k 中的 a＜0， h＜ 0， k＞ 0，∴直线 y＝ ax+hk 中的 a＜ 0，hk＜0 ，∴直线 y＝ ax+hk 经过第二、三、四象限，应选： D．【点睛】本题考察了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的重点．19．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有以下结论：①；②；③.此中，正确结论的个数是（）A．B．C．D．【答案】 C【分析】【剖析】依据抛物线的张口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特点来判断a、 b、 c 的符号以及它们之间的数目关系，即可得出结论．【详解】解：依据图象可知a＞ 0， c＜ 0， b＞ 0，∴, 故③错误；∵.∴B（ -c， 0）∴抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（ -2， 0）和 B（-c， 0）两点，∴， ac2-bc+c=0∴， ac-b+1=0，∴，故② 正确；∴， b=ac+1∴,∴2b-c=2 ，故①正确；应选： C．【点睛】本题考察了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0），二次项系数a 决定抛物线的张口方向和大小：当a＞ 0 时，抛物线向上张口；当a＜ 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的地点：当a与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项 c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2=b2-4ac=0时，抛物线与x轴＞个交点；△有 1 个交点；△=b2-4ac＜ 0时，抛物线与x 轴没有交点．20．在同一坐标系中，二次函数y ax2bx 与一次函数y bx a 的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】 C【分析】【剖析】直线与抛物线联立解方程组，如有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；依据二次函数的对称轴在y 左边， a， b 同号，对称轴在y 轴右边 a， b 异号，以及当 a 大于 0 时张口向上，当 a 小于 0 时张口向下，来剖析二次函数；同时在假设二次函数图象正确的前提下，依据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右渐渐上涨，一次项系数为负，图象从左向右渐渐降落；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．这样剖析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】y ax2bx解：由方程组bx 得 ax2＝ - a，y a∵a≠0∴x2＝ - 1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，清除B．A：二次函数张口向上，说明a＞ 0，对称轴在y 轴右边，则b＜ 0；可是一次函数 b 为一次项系数，图象显示从左向右上涨，b＞ 0，二者矛盾，故 A 错；C：二次函数张口向上，说明a＞0，对称轴在y 轴右边，则b＜ 0； b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右降落， b ＜0，二者符合，故 C 正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故 D 错．应选C．【点睛】本题考察的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，一定明确二次函数的张口方向与 a 的正负的关系， a，b 的符号与对称轴的地点关系，并联合一次函数的有关性质进行剖析，本题中等难度偏上．。
中考数学 二次函数 培优 易错 难题练习(含答案)及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，322a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14 ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P （x ，x 2-4x ）,∵PA ⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．2．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．（1）求出抛物线C 1的解析式，并写出点G 的坐标；（2）如图2，将抛物线C 1向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线C 2，设C 2与x 轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k 的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（113+，0）、N1（13，﹣1）；M2（113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），代入所设解析式求解可得；（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1，∴OC=3OA，∴点C的坐标为（0，3），将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：203a a cc++=⎧⎨=⎩，解得：13ac=-⎧⎨=⎩，∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，所以点G的坐标为（1，4）；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，∵△A′B′G′为等边三角形，∴33，则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：24043m k k m⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1； （3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），∴PQ=OA=1，∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ，∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，∴∠MOQ=∠HQN ，∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=1132± 当113+HN=QM=﹣x 2131-M 113+，0）， ∴点N 113+131-1131）； 或（1132+﹣1312，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，同理可得△OQM≌△PNH，∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，解得：x=﹣1（舍）或x=4，当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；综上点M1（113+，0）、N1（13，﹣1）；M2（113+，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.3．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：BC ===在Rt CND ∆中，由勾股定理得：CD ==在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：BD ===.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBKFBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-. 直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC ＝PE ，∴x 2+（3+2x ﹣6）2＝（x ﹣1）2+（﹣2x +6）2，解得，x ＝2，则y ＝﹣2×2+6＝2，∴点P 的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．5．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
(易错题精选)初中数学二次函数全集汇编及答案
（易错题精选）初中数学二次函数全集汇编及答案一、选择题1．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：x…–2–1012…y…04664…从上表可知，下列说法错误的是A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C错误；当x＜12时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0【答案】A【解析】【分析】 【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b2a-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．4．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（ ）A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2【答案】B 【解析】 【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2． 由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意． 将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1． 此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m ＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时） 答案图2（ m ＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意． 此时x 轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意． 将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12． 此时抛物线解析式为y ＝12x 2﹣2x ． 当x ＝1时，得13121122y =⨯-⨯=-<-．∴点（1，﹣1）符合题意．当x ＝3时，得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点（3，﹣1）符合题意．综上可知：当m ＝12时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意， ∴m ＝12不符合题．∴m ＞12． 综合①②可得：当12＜m ≤1时，该函数的图象与x 轴所围成的区域（含边界）内有七个整点， 故选：B ． 【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.5．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D.本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
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初中数学二次函数易错题汇编及答案一、选择题1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.2．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ，设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．3．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】 找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时，(4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0．∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．5．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.6．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.7．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1-m ，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32 C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D【解析】分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]；A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．8．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②3④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c ，∴9a ﹣6a+c ＝0，∴3a+c ＝0，故②正确；③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．9．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cm S ，则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．【详解】解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+，可解得8AB =，6BC =，即6AD =，①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，S △APQ =211222AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确；②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S △APQ =118422AP AB t t =⨯=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．10．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0，∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．11．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b=-2a ，∴2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=3时，y=0，∴930a b c ++=，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大∵103132-<-<点13,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确． 故选B ．【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC →，点Q 的运动路径是BD ，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ，PBQ △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.【详解】解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A.【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.13．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.14．抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示： x… –2 –1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法错误的是A ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2，0)B ．抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)C ．抛物线的对称轴是直线x=0D ．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），故A 正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6），故B 正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C 错误； 当x ＜12时，y 随x 的增大而增大， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D 正确；故选C ．15．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．16．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M ′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质．17．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断．【详解】解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴302a -<应在y 轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a ＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴302a->在y 轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a ＞0，而由二次函数图像开口方向可知a ＜0，故此选项错误； 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．18．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数．【详解】若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限．故答案为：B．【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】a<试题解析：①由开口向下，可得0,c>，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得0b abc，再根据对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得0,0故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得240->，故②正确；b ac③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)（1）+（2）×2得，630a c +<，即20a c +<，又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B ．20．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-， 平移的最短距离为152=22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．。