初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料(二)
初中数学竞赛辅导资料（二）（含答案）式子的整除甲内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2．根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)，则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。
显然当x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，3．一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。
4．在二次三项式中若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
乙例题例1己知x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。
x－3解法一：列竖式做除法（如右）x－2 x2－5x+m由余式m－6＝0得m=6x2－2x解法二：∵x2－5x+m 含有x－2 的因式－3x+m∴以x=2代入x2－5x+m 得－3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a (a为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x－2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法）例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b mb a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y （或y,z 或x,z ）互为相反数时，m 可取任何值 ，当m=－3时，x,y,z 不论取什么值，原式都能被x+y+z 整除。
初中数学竞赛辅导资料(22)
初中数学竞赛辅导资料（22）分式甲内容提要1． 除式含有字母的代数式叫做分式。
分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式BA 中，当B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。
分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
(2)若A 、B 及BA 都是整数，那么A 是B 的倍数，B 是A 的约数。
(3)一切有理数可用B A 来表示，其中A 是整数，B 是正整数，且A 、B 互质。
2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。
乙例题例1．x 取什么值时，分式xx x x 23222+--的值是零？是正数？是负数？ 解： xx x x 23222+--＝)2()3)(1+-+x x x x （ 以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；当x<－2, －1<x<0, x>3时，分式的值是正数（∵负因数的个数是偶数） 当－2<x<－1, 0<x<3时，分式的值是负数（∵负因数的个数是奇数）例2．m 取什么值时，分式172-+m m 的值是正整数？ 解：172-+m m ＝1922-+-m m ＝2＋19-m 当例3．计算14++x x ＋32--x x －12-+x x －34++x x 19-m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数 即m －1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。
答：（略）3解：用带余除法得，原式＝1＋13+x ＋1＋31-x －1－13-x －1－31+x ＝)1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋)3)(3()3()3(+---+x x x x ＝162-x －＋962-x ＝)9)(1(4822--x x 4．已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bcc ab a +-22 解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加得2（a+b+c ）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式得a=2k, b=k, c=3k∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ②bc c ab a +-22＝kk k k k k 3)3(2)2(22⨯⨯-＋＝61 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9, 0≤y ≤9 y x y x ++10＝1＋yx x +9 当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式y x x +9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式yx x +9的值最大。
初中数学竞赛辅导资料(66)
初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. ③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径). 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：① 同弧所对的圆周角相等.② 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. ③ 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④ 圆中成比例线段定理：相交弦定理4. 证明 型如ab+cd=m 2常用切割线定理 乙例题例1.已知：点O 是△ABC 的外心，BE ，CD 是高.求证：AO ⊥DE证明：延长AO 交△ABC 的外接圆于F ，连接BF. ∵O 是△ABC 的外心 ∴AF 是△ABC 外接圆的直径，∠ABF=Rt ∠.∵BE ，CD 是高，∠BDC=∠CEB=Rt ∠.∴B，C ，E ，D 四点共圆(∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt ∠， 即AO ⊥DE. 例2.正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内的一点，且∠OPB=45，PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. (1989年全国初中数学联赛题) 解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.＝42. ∴PB=42 (cm).例3.已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F.求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明：作BG ⊥AC 交AC 于G. ∵CE ⊥AB ， AF ⊥BC.∴A ，F ，B ，G 和B ，E ，C ，G 分别共圆.(对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.例4.已知：AD 是Rt △ABC 斜边的高，角平分线BE 交AD 于F.求证：AE 2=AB 2－BE ×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF.由射影定理AB 2=BD ×BC.故只要证AE ×AF ＝BD ×BC －BE ×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ，得F 、D 、C 、G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG.∴右边= BF ×BG .－ BE ×BF=BF(BG －BE)=BF ×EG 从而转为要证AE ×AF= BF ×BG . 即AFEGBF AE 只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB 切点A 和B ，在AB 上任取一点C ，经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ，交PB 于N. 求证：OM=ON.证明：连结OA ，OB .∵A ，B 是切点 ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB.又∵OC ⊥MN.∴A ，M ，C ，O 和B ，N ，O ，C 分别共圆.(辅助圆可以不画) 根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC ， ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB ， ∴∠OAC=∠OBC.∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON.丙练习661.已知：AD 是△ABC 的高，DE ，DF 分别是△ADB 和△ADC 的高 求证： B ，C ，F ，E 四点共圆2.已知：两条线段AB 和CD 相交于点P ，且PA ×PB=PC ×PD. 求证：A ，B ，C ，D 四点共圆.3.已知：⊙O 和⊙O ，相交于A ，B ，过点A 作一直线交⊙O 于C ，交⊙O ，于D ，分别过 点C 和点D 作⊙O 和⊙O ，的切线相交于点P .求证：P ，C ，B ，D 四点在同一个圆上.4.已知：E 是正方形ABCD 边BC 上的一点，过点E 作AE 的垂线和∠C 的外角平分线交于点F. 求证：AE=AF.5.已知：M 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的一点，过点M 画两组对边的垂线段分别交AB ，CD 于E ，F 交AD ，BC 于G ，H.求证：EG ∥FH.6.已知：△ABC 的三条高AD ，BE ，CF 交于点H. 求证：BH ×BE+CH ×CF=BC 2.7.已知：AB 是⊙O 的直径，C 是半圆上的一点，CD ⊥AB 于D ，G 是CD 上的一点，AG 的延长线交半圆于H. 求证：CD 2+AD 2=AG ×AH.8.已知：AD 是△ABC 的角平分线 . 求证：AD 2=AB ×AC.＝DB ×DC9.已知：凸五边形ABCDE 中.∠A=3α，BC=CD=DE ，∠C=∠D=180.＝2α. 求证：AC ，AD ，AE 三等分∠A. (1990年全国初中数学联赛题) 10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知：圆内接四边形ABCD 中，由AB 上一点M 作MP ⊥BC ，MQ ⊥CD ， MR ⊥DA ，PR 交MQ 于N.C求证：MABMNR PN . (1983年福建省初中数学联赛题)13.如图已知：∠ACE=∠CDE=Rt ∠，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过A ，C ，D 的圆交AB 于F.求证：点F 是△CDE 的内心（1995年全国初中数学联赛题）13。
关于初中数学竞赛的书籍
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初中数学竞赛是许多学生热衷的学科，以下是一些相关的书籍推荐：
1.《初中数学竞赛全解析》——这本书提供了各种数学竞赛题目的详细解析和解题思路，适合准备竞赛的学生查阅。
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初中奥数竞赛辅导教案
初中奥数竞赛辅导教案通过本节课的辅导，使学生掌握奥数竞赛的基本解题技巧和方法，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 数论：质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等。
2. 几何：平面几何中的点、线、面的关系，三角形、四边形的性质，圆的性质等。
3. 代数：一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等。
4. 组合数学：排列组合、计数原理、图论等。
5. 数学思维：逻辑推理、归纳总结、演绎推理等。
三、教学方法1. 实例讲解：通过具体的题目实例，讲解解题思路和方法，使学生掌握解题技巧。
2. 练习巩固：布置适量的练习题，让学生在课后进行巩固练习，提高解题能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和方法，互相学习，共同进步。
4. 竞赛模拟：定期举办模拟竞赛，检验学生的学习成果，提高学生的应试能力。
四、教学安排1. 数论：安排4课时，讲解质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与欧拉函数等基本概念和性质。
2. 几何：安排6课时，讲解平面几何中的点、线、面的关系，三角形、四边形的性质，圆的性质等。
3. 代数：安排8课时，讲解一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等基本概念和解法。
4. 组合数学：安排4课时，讲解排列组合、计数原理、图论等基本概念和方法。
5. 数学思维：安排4课时，讲解逻辑推理、归纳总结、演绎推理等方法。
五、教学评价1. 课后练习：检查学生的课后练习情况，了解学生对知识的掌握程度。
2. 模拟竞赛：定期举办模拟竞赛，评估学生的竞赛能力和水平。
3. 学生反馈：听取学生的反馈意见，了解教学方法的适用性和改进方向。
4. 教学总结：定期进行教学总结，调整教学计划和方法，提高教学质量。
通过以上教学安排和教学方法，相信能够有效地提高学生的奥数竞赛水平，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
初中数学竞赛辅导材料目录
初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。
祝学习愉快！。
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
初中数学竞赛辅导资料(初一用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0）所得的商A/B 是整数，那么叫做A 被B 整除。
0能被所有非零的整数整除。
能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56(能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x ，y解:x ，y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。
∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3)＝4,不能被11整除,只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63,均可,∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数:（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除,那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后，讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
第二篇 二元一次方程的整数解第一部分 基本方法1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax +by =c 中，若a ,b 的最大公约数能整除c ,则方程有整数解。
即如果（a ,b ）|c 则方程ax +by =c 有整数解显然a ,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x +5y =1, 5x －2y =7, 9x +3y =6都有整数解。
返过来也成立，方程9x +3y =10和 4x －2y =1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a ,b ）中的a ,b 实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法：若方程ax +by =c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。
k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x +11y =1的整数解解：x =5111y -=y y y y 2515101--=-- (1) , 设k k y (51=-是整数），则y =1－5k (2) , 把（2）代入（1）得x =k －2 (1－5k )=11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 51211（k 是整数） 方法二，公式法：设ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bk x x 00（x 0,y 0可用观察法） 1， 求二元一次方程的正整数解：① 出整数解的通解，再解x ,y 的不等式组，确定k 值② 用观察法直接写出。
第二部分 典例精析例1 求方程5x －9y =18整数解的能通解例2 求方程5x+6y=100的正整数解例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？第三部分典题精练1. 求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=42.求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=1103.一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4.兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）③4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111,④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.6.一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7. 用观察法写出方程3x +7y =1几组整数解：第三篇 二元一次方程组解的讨论第一部分 基本方法1. 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）第二部分 典例精析例1. 选择一组a ,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？例3. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？例4. （古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。
问桃，李，榄橄各买几粒？第三部分 典题精练1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x1． a 取什么值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--+=+229691322a a y x a a y x 的解是正数？2． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+ay x ay x 24352的解x 和y 都是正整数？3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x kky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？4．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？第四篇用交集解题第一部分基本方法1. 某种对象的全体组成一个集合。
组成集合的各个对象叫这个集合的元素。
例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
1．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集。
2． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组⎩⎨⎧<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3.0 2 34．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。
把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。
（如例2）第二部分 典例精析例1. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球③只会打排球？19xy能被33整除，求x和y的值例5.十进制中，六位数87第三部分典题精练1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。
2. 12的正约数集合A＝｛｝，30的正约数集合B＝｛｝12和30的公约数集合C＝｛｝，集合C是集合A和集合B的＿＿3. 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
4. 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？5. 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
6. 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？7. 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A 和B 进行表决，赞成A 的有52票，赞成B 的有60票，其中A 、B 都赞成的有36人，问对A 、B 都不赞成的有几人？8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。