2018届高三数学(文理通用)不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版【简介】不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容.从能力要求上看，主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，分析问题和解决问题的能力.（1）考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题;（2）考查了不等式的证明，会用综合法，分析法等证明不等式，往往难度不大，加以适当的训练是完全可以掌握的.【3年高考试题比较】不等式选讲内容，在高考题中以选作的形式出现，难度一般不大，比较这三年的高考题，出现频率较高的有：解绝对值不等式，作含绝对值的函数图像，含参的绝对值恒成立有解问题，不等式证明，一般以分析法证明为主.【必备基础知识融合】1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.3.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法. (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法. (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.4.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立.③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2.④柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.【解题方法规律技巧】典例1：(1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值. (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值.【规律方法】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.典例2：设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥ 3.(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c).【规律方法】当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.典例3：已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ×ab＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【规律方法】(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.典例4：已知x ，y ，z 均为实数.(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.【规律方法】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.典例5：已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解析】试题分析：试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即. 所以，所求实数的范围为.【规律方法】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.典例6：（1）解关于的不等式（2）关于的不等式有解，求实数的范围。

【答案】（1）（2）【规律方法】1．含参数的绝对值不等式的恒成立，有解问题是高考的热点内容之一，此类问题常与二次函数、对数函数、三角函数结合命题，需要有一定的综合知识的能力．2．解答此类问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法．典例7：已知函数．（1）解不等式（2）若且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即．典例8.已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对，都存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意解不等式即可得到解集．（Ⅱ）将问题转化为函数函数的值域是函数的值域的子集处理即可．试题解析：（Ⅰ）依题意得，即，∴，解得．∴不等式的解集为．（Ⅱ）由题意得函数的值域为，设函数的值域为．由题意得．①当时，，此时，不合题意；②当时，，此时，由得，解得；③当时，，此时，由得，解得得．综上或．所以实数的取值范围为．典例9：已知函数()21f x x a x =-+-（a R ∈）． （1）当1a =时，求()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.上述不等式可化为或或1{1212x x x ≥-+-≤,解得或11{ 22x x <<≤或1{ 43x x ≥≤,∴102x ≤≤或或413x ≤≤， ∴原不等式的解集为.典例10.设函数()()2f x x a x a a a R =+---∈ （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x ≤的解集；（Ⅱ）若对任意11,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()f x b ≤的解集为R ，求实数b 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (],1-∞；（Ⅱ）1b ≥.【解析】试题分析：⑴当1a =时，利用绝对值的意义求得不等式的解集；⑵利用绝对值不等式的性质进行化简()()()22f x x a x a a x a x a a =+---≤+---，计算出()max f x b ≤即可求出结果解析：（Ⅰ）当1a =时， 121x x +--≤∴1{121x x x <---+-≤， 或12{ 121x x x -≤≤++-≤，或2{ 121x x x >+-+≤，(),1x ⇒∈-∞- 或[]1,1x ∈-或x φ∈综上知：解集为(],1x ∈-∞.（Ⅱ）不等式()f x b ≤的解集为R ()max f x b ⇔≤()()()2222f x x a x a a x a x a a a a =+---≤+---=+所以()2max 2f x a a b =+≤对任意11,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立设()212,1,3g a a a a ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 1g a =，所以1b ≥.【易错易混温馨提醒】一、对绝对值三角不等式不熟练，最值的处理会比较麻烦. 易错1：已知函数的最大值为4.（1）求实数的值； （2）若求的最小值. 【答案】（1）；（2）4.二、绝对值里和绝对值外均有参数时，且讨论不好去绝对值时.易错2：已知函数()4f x x m m x =+-+. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()5f x ≤在[]1,4x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()4min f x =；（2）实数m 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （Ⅱ）由题意得45x m m x+-+≤在[]1,4x ∈上恒成立， 即45x m m x+-≤-在[]1,4x ∈上恒成立， 所以455m x m m x-≤+-≤-在[]1,4x ∈上恒成立， 即4255m x x-≤+≤在[]1,4x ∈上恒成立， 设()[]4,1,4g x x x x =+∈，则()g x 在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增， ∴()()min 24g x g ==，又()()15,45g g ==，254m ∴-≤，解得92m ≤， 所以实数m 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 三、系数不适合绝对值三角不等式时的拆分.易错3：已知函数，.（1）当，解不等式； （2）求证：. 【答案】（1）.（2）见解析. 四、三次代数式的因式分解.易错4：已知函数()211f x x x =-++（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若r M ∈，证明： 2313t t t+≥+.【答案】(1) {|11}x x -≤≤（2）见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可；（2）求出M ，根据m 的范围以及不等式的性质证明结论即可．试题解析：(1)依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=-<<≥ 于是得()1,3{ 33,x f x x ≤-≤=-≤或11{ 223,x x -<<-≤，或1,{ 233,x x ≥≤ 解得11x -≤≤，即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.。