(完整版)高考数学不等式解题方法技巧

q ）；
4 3
时，
1+
log
x
3
＞
2log
x
2
；当
1 x 4 时， 1+ log x 3 ＜ 2log x 2 ；当 x 4 时， 1+ log x 3 ＝ 2log x 2 ）
3
3
3. 利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到： “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小
”这 17 字方
针。 【例】（ 1 ） 下列命题中正确的是
（ 3） 已知 a,b, x, y
R ，且 1
1 ,x
y ，求证：
x
y；
ab
xa yb
(4) 若 a、 b、 c 是不全相等的正数，求证： lg a b lg b c lg c a lg a lg b lg c ；
2
2
2
（ 5） 已知 a,b, c R ，求证： a 2b 2 b2c2 c2a 2 abc (a b c) ；
（ 3） 设函数 f ( x) 、 g(x) 的定义域都是 R，且 f ( x) 0 的解集为 { x |1 x 2} ， g (x) 0 的解集为 ，则不
等式 f ( x)gg( x) 0 的解集为 ______（答： ( ,1) U [2, ) ）；
cb
a
1 ，则 a 0, b 0 。其中正确的
b
（ 2） 已知 1 x y 1 ， 1 x y 3 ，则 3x y 的取值范围是 ______（答： 1 3x y 7 ）；
（ 3） 已知 a b c ，且 a b c 0, 则 c 的取值范围是 ______（答： a
2, 1 ） 2
2. 不等式大小比较的常用方法 ：
b, 则 ac 2
bc 2 ； ② 若 ac 2
bc2 a 2 ab b2
；
④
11 若a b 0, 则
；
⑤
b 若 a b 0, 则
a
；
ab
ab
⑥ 若a b 0,则 a b ；⑦ 若 c a b 0,则 a ca
命题是 ______（答：②③⑥⑦⑧） ；
b
1
；⑧ 若 a b,
（ 3） 正数 x, y 满足 x 2 y 1，则 1
1 的最小值为 ______（答： 3 2 2 ）；
xy
4. 常用不等式 有：（ 1） a 2 b 2 2
ab 2
ab 1 2 1 (根据目标不等式左右的运算结构选用
)；
ab
（ 2） a、 b、 c R ， a2 b 2 c2 ab bc ca （当且仅当 a b c 时，取等号） ；
，但不能相乘：若
ab
a b 0, c d 0 ，则 ac bd （若 a b 0,0 c d ，则
）；
cd
（ 3）左右同正不等式： 两边可以同时乘方或开方 ：若 a b 0 ，则 an bn 或 n a n b ；（4）若 ab 0 ，a b ，
则1
1 ；若 ab
0，a
b ，则 1
1
。
ab
ab
【 例 】（ 1 ） 对 于 实 数 a, b, c 中 ， 给 出 下 列 命 题 ： ① 若 a
（ 1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（ 2）作商（常用于分数指数幂的代数
式）；（ 3）分析法；（ 4）平方法；（ 5）分子（或分母）有理化； （ 6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ；
(8) 图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
【例】（ 1）设 a
常用的放缩技巧有： 1 1
1
1
1
11
n n 1 n( n 1) n2 n(n 1) n 1 n
k1 k
1
1
k 1 k 2k
1 k1 k
【例】（ 1）已知 a b c ，求证： a 2b b 2c c 2a ab 2 bc 2 ca 2 ；
k k1
(2) 已知 a, b, c R ，求证： a 2b 2 b 2c2 c2a 2 abc(a b c) ；
（ 3）若 a b 0, m 0 ，则 b b m （糖水的浓度问题） 。 a am
【例】 如果正数 a 、 b 满足 ab a b 3，则 ab 的取值范围是 _________（答： 9, ）
5、证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法 (比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配 方、通分等手段变形判断符号或与 1 的大小，然后作出结论。 ).
(6) 若 n N * ，求证： ( n 1)2 1 (n 1) n2 1 n ；
(7) 已知 | a | | b |，求证： | a | | b | | a | | b | ； |a b| |a b|
11 （ 8） 求证： 1 22 32 L
1 n2 2 。
6. 简单的一元高次不等式的解法 ：标根法：其步骤是： （ 1）分解成若干个一次因式的积， 并使每一个因式中最
不等式 应试技巧总结
1、不等式的性质 ： （ 1 ） 同向不等式可以相加；异向不等式可以相减
：若 a b,c d ，则 a c b d （若 a b,c d ，则
a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
（ 2 ） 左右同正不等式：同向的不等式可以相乘
，但不能相除； 异向不等式可以相除
0且 a
1, t
0 ，比较
1 2
log
a
t和
log
a
t
1 的大小（答：当 2
a
1
时，1 2
log
a
t
t1
log a
（t 2
1
时取等号）；当 0
a
1时，
1 2
log
a
t
log
a
t
1
（
2
t
1时取等号））；
（ 2） 设 a 2 ， p a
1
，q
2
a2
4a
2
，试比较
p, q 的大小（答：
p
a2
（ 3） 比较 1+ log x 3 与 2 log x 2( x 0且 x 1) 的大小（答：当 0 x 1或 x
1 A 、 y x 的最小值是 2
x
x2 3
B、 y
的最小值是 2 C、
x2 2
4 y 2 3x ( x 0) 的最大值是 2 4 3
x
4 D、 y 2 3x (x 0) 的最小值是 2 4 3 （答： C）；
x
（ 2） 若 x 2 y 1 ，则 2x 4 y 的最小值是 ______ （答： 2 2 ）；
高次项的系数为正 ；（ 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意
奇
穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现 f (x) 的符号变化规律，写出不等式的解集。
【例】（ 1）解不等式 ( x 1)( x 2) 2 0。（答： { x | x 1 或 x 2} ）；
（ 2） 不等式 ( x 2) x2 2x 3 0 的解集是 ____（答： { x | x 3 或 x 1} ）；