2014甘肃省高三一诊理科数学试题及答案
【甘肃兰州、张掖一诊】甘肃省兰州市、张掖市2014届高三第一次诊断考试数学(理)试题Word版含答案
（1）对于命题 p : x R,使得x2 x 1 0 ，则 p : x R ，均有 x2 x 1 0 ；
（2） m 3 是直线 (m 3)x my 2 0 与直线 mx 6 y 5 0 互相垂直的充要条件；
(3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为
D． 2 i
D． 3 3 6
D．b﹤c﹤a
其中正确的命题是 （ ）
A．①②
B．②③
7.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，
甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.
A.150
8．已知双曲线 x2 y2 1 a2 b2
C． x2 y2 1 9 16
(n
D.900
D.5
O An
y
D．①④
D． x2 y2 1 43
Dn Cn
（第 11 题图）
2, n N ) ，记矩形
）
Bn
x
12. 设 f (x) 的定义域为 D ，若 f (x) 满足下面两个条件则称 f (x) 为闭函数：① f (x) 是
1i
A． 2 i
B． ( 0 , 2 )
B．1 2i
C． ( 2 , 3 ) D． ( 2 , 3 )
C．1 2i
3.将函数 y sin(x )(x R) 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把图象上各
6
点的横坐标扩大到原来的 2 倍，则所得的图象的解析式为（ ）
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求）
2014年甘肃省兰州市、张掖市高考数学一模试卷(理科)
2014年甘肃省兰州市、张掖市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合P={x|x（x-3）＜0}，Q={x||x|＜2}，则P∩Q=（）A.（-2，0）B.（0，2）C.（2，3）D.（-2，3）【答案】B【解析】解：由集合P中的不等式解得：0＜x＜3，即P=（0，3）；由Q中的不等式解得：-2＜x＜2，即Q=（-2，2），则P∩Q=（0，2）．故选B求出P与Q中不等式的解集，找出两解集的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.i是虚数单位，复数=（）A.2+iB.1-2iC.1+2iD.2-i【答案】A【解析】解：复数===2+i．故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B．利用函数左加右减的原则，求出平移后的函数解析式，然后通过伸缩变换求出函数的解析式即可．本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．4.图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由图中数据，下部的正三棱柱的高是3，底面是一个正三角形，其边长为2，高为，故其体积为上部的球体直径为1，故其半径为，其体积为故组合体的体积是故选C由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱与一个球体组成，由图形中的数据求组合体的体积即可．本题考查由三视图还原实物图的能力，正确运用由体积公式求体积的能力，属于立体几何中的基本题型．5.设a=log32，b=log23，c=log5，则（）A.c＜b＜aB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.b＜c＜a【答案】C【解析】解：log32∈（0，1），log23＞1，＜，∴0＜a＜1，b＞1，c＜0，即c＜a＜b，故选：C．根据对数函数的图象和性质，分别计算a，b，c的取值范围，然后进行判断．本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（）种．A.150B.300C.600D.900【答案】C【解析】解：分两步，第一步，先选四名老师，又分两类第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52=10种不同选法第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64=15种不同选法∴不同的选法有10+15=25种第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24最后，两步方法数相乘，得，25×24=600故选C．先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去4个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘．本题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做．8.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F l，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，∴c==5，可得a2+b2=25…①又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=上，∴=…②，①②联解，得a=3且b=4，可得双曲线的方程故选：C根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．9.下列五个命题中正确命题的个数是（）（1）对于命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x+1＞0；（2）m=3是直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件；（3）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08；（4）若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为；（5）曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是S=∫（x-x2）dx．A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】解：命题P：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，的否定为￢P：∀x∈R，均有x2+x+1≥0；故（1）错误；直线（m+3）x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直的充要条件为m（m+3）-6m=m （m-3）=0，即m=0或m=3，故（2）错误；若回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08，故（3）正确；若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率等于单位圆外的面积与边长为2的正方形面积之比，即1-，故（4）错误；曲线y=x2与y=x所围成图形的面积是S=∫（x-x2）dx，故（5）正确；故正确的命题个数为2个．故选A写出原命题的否定命题，可以判断（1）；求出与两直线互相垂直等价的m值，可以判断（2）；根据回归直线必要样本中心点，可以求出a的估计值，进而判断（3）；根据几何概型计算公式，求出概率，可判断（4）；根据积分法求面积的方法，求出两条曲线围成的图形面积，可判断（5），进而得到答案．本题以命题的真假判断为载体，考查了全（特）称命题的判断，充要条件，几何概型，积分法求面积，回归直线求法等知识点，难度不大，属于基础题．10.执行如图所示的程序框图，那么输出的S为（）A.3B.C.D.-2【答案】C【解析】解：如图所示的程序框图是当型循环结构，进行循环体之前S=3，k=1第一次循环后：S=，k=2第二次循环后：S=，k=3第三次循环后：S=-2，k=4第四次循环后：S=3，k=5…则S的值以4为周期，呈周期性变化当k=2010时，S=，满足进行循环的条件第2010次循环后，S=，k=2011，不满足进行循环的条件故输出的S值为故选：C根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，其中分析出S值变化的周期性是解答的关键．11.如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A.208B.216C.212D.220【答案】B【解析】解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n-（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n-）+2（n+）=4n．∴a n+1-a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12.设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（）A.-1＜k≤B.≤k＜1C.k＞-1D.k＜1【答案】A【解析】解：方法一：因为：为，上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在，上有两个不等实根，即在，上有两个不等实根．∴问题可化为和y=x-k在，上有两个不同交点．对于临界直线m，应有-k≥，即k≤．对于临界直线n，，令=1，得切点P横坐标为0，∴P（0，-k），∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．综上，-1＜k≤．方法二：因为：为，上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴，即f（x）=x在，上有两个不等实根，即在，上有两个不等实根．化简方程，得x2-（2k+2）x+k2-1=0．令g（x）=x2-（2k+2）x+k2-1，则由根的分布可得＞＞，即＞＞，解得k＞-1．又，∴x≥k，∴k≤．综上，-1＜k≤，故选A．首先应根据条件将问题转化成：在，上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x-k在，上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在（+）5的展开式中的常数项为______ ．【答案】10【解析】解：（+）5的展开式的通项公式为T r+1=××令-=0，解得r=3，故展开式中的常数项为=10，故答案为10．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．14.已知x，y满足约束条件则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：根据约束条件画出可行域，如图：z=x2+y2+表示（0，0）到可行域的距离的平方，由图形可知，点O到直线3x+4y=4的距离最小，求出距离的平方就是所求最小值，d==．∴x2+y2的最小值为：．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示点（0，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（0，0）到直线3x+4y=4的距离即可．本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用几何意义求最值，属于中档题．15.如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为______ ．【答案】y2=3x．【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而，，由直线AB：y=k（x-），代入抛物线的方程可得，k2x2-（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，∴⇒，得y2=3x．故答案为：y2=3x．根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，，且，⇒，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．16.数列{a n}的首项为1，数列{b n}为等比数列且b n=，若b10b11=2，则a21= ______ ．【答案】1024【解析】解：由b n=，且a1=1，得．，a3=a2b2=b1b2．，a4=a3b3=b1b2b3．…a n=b1b2…b n-1．∴a21=b1b2 (20)∵数列{b n}为等比数列，∴a21=（b1b20）（b2b19）…（b10b11）=．故答案为：1024．由b n=，且a1=1，通过变形转化，把数列{a n}的项用数列{b n}中的项表示，然后利用等比数列的性质求解．本题考查了等比数列的性质，考查了数学转化思想方法，解答的关键是把数列{a n}的项用数列{b n}中的项表示，是中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，向量=（cos B，cos C），=（2a+c，b），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=，求a+c的范围．【答案】解：（1）∵=（cos B，cos C），=（2a+c，b），且⊥，∴cos B（2a+c）+bcos C=0，利用正弦定理化简得：cos B（2sin A+sin C）+sin B cos C=0，整理得：2cos B sin A+cos B sin C+sin B cos C=0，即2cos B sin A=-sin（B+C）=-sin A，∴cos B=-，∵0＜B＜180°，∴B=120；（2）∵b=，cos B=-，∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，即3=a2+c2+ac=（a+c）2-ac≥（a+c）2-（）2=（a+c）2，当且仅当a=c时取等号，∴（a+c）2≤4，即a+c≤2，又a+c＞b=，∴a+c∈（，2]．【解析】（1）由两向量的坐标，及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B的度数；（2）由b及cos B的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18.某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表．成绩分A（优秀）、B（良好）、C（及格）三种等级，设x、y 分别表示化学、物理成绩．例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人．已知x与y均为B等级的概率为0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求a，b的值；（Ⅲ）物理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，12≤b≤17，随机变量ξ=|a-b|，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）依题意，，得n=100；（Ⅱ）由，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（Ⅲ）由题意，知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，∴满足条件的（a，b）有：（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组．∵ξ=|a-b|，∴ξ的取值为1，3，5，7.，，，．故ξ的分布列为∴．【解析】（I）由题意x与y由所给的表格可以知道化学与物理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（II）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，化学成绩的优秀得人数为7+9+a，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（III）由题意知a+b=31，且a≥10，12≤b≤17，所以满足条件的（a，b）有（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），共6组，利用随机变量的定义及其分布列可以求出随机变量的分布列，再由期望定义即可求解．此题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列与期望的定义．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，-，），…（6分）=（1，1，0），=（0，0，a），=（，-，），取=（1，-1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=-a，z=-2，则=（a，-a，-2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…（10分）于是=（2，-2，-2），=（1，1，-2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）【解析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，-1，0），面EAC的法向量=（a，-a，-2），利用二面角P-A C-E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，-2，-2），=（1，1，-2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．20.设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且．（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．【答案】解：（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0）∵∴F2为AF1的中点∴a2=3，b2=2∴椭圆方程为…（5分）（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|==，此时|MN|=2a=2，四边形DMEN的面积．同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积．当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=所以，|x1-x2|=，所以|DE|=|x1-x2|=，同理|MN|=…（9分）所以四边形的面积=××=令u=，则S=4-因为u=≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以＜．综上可知，．故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为．…（13分）【解析】（1）由题意，|F1F2|=2c=2，A（a2，0），利用，可得F2为AF1的中点，从而可得椭圆方程；（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：＜＜．【答案】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=-2a-1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+ ），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+ ）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若＜，即＞时，由g'（x）＞0得x＞1或＜＜，由g'（x）＜0得＜＜，即函数g（x）在，，（1，+ ）上单调递增，在，单调递减；若＞，即＜＜时，由g'（x）＞0得＞或0＜x＜1，由g'（x）＜0得＜＜，即函数g（x）在（0，1），，上单调递增，在，单调递减；若，即时，在（0，+ ）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+ ）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+ ）单调递减；当＜＜时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在，单调递减；在，上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+ ）上单调递增，当＞时，函数g（x）在，上单调递增，在，单调递减；在（1，+ ）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证＜＜，即证＜＜，因x2-x1＞0，即证＜＜，令（t＞1），即证＜＜（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+ ）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即＞（t＞1）②综合①②得＜＜（t＞1），即＜＜．证法二：依题意得⇒，令h（x）=lnx-kx，则，由h'（x）=0得，当＞时，h'（x）＜0，当＜＜时，h'（x）＞0，∴h（x）在，单调递增，在，单调递减，又h（x1）=h（x2），∴＜＜，即＜＜．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+ ）单调递减，∴当x2＞x1时，＜ ⇒＜，即＜；同理，令，可证得＜．证法四：依题意得，＜＜＜＜＜＜令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+ ）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2-x1lnx1＜x2-x1令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2-x1＜x2lnx2-x2lnx1；所以命题得证．【解析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g （x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证＜＜（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx-kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x-x1lnx+x1lnx1-x1，及令m（x）=x-x2lnx+x2lnx2-x2，通过求导得到其单调性即可证明．熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．【答案】解：（1）由，得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴l：x+y-4=0，∵，（θ为参数），∴消去参数得，∴曲线C的普通方程为和直线l的直角坐标方程为x+y-4=0；（2）在C：上任取一点（cosθ，sinθ），则点P到直线l的距离为d==≤3，∴当sin（θ+）=-1时，d max=3，此时这个点的坐标为（，）．【解析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程；（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．属于中档题．24.（1）已知x、y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（2）若不等式|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明：由x3+y3-x2y-xy2=x2（x-y）+y2（y-x）=（x-y）（x2-y2）=（x-y）2（x+y）…（3分）又x、y都是正实数，∴（x-y）2≥0，x+y＞0，∴x3+y3-x2y-xy2＞0，∴x3+y3≥x2y+xy2；…（5分）（2）解：由题意，根据柯西不等式有（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3[3（x+y+z）+3]=3×6=18，∴++≤3…（3分）又|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，∴|a-1|，∴a+1或a，∴a的取值范围是（- ，]∪[1+3，+ ）．…（5分）【解析】（1）利用作差法，因式分解，即可得到结论；（2）根据柯西不等式证明++≤3，利用|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x，y，z恒成立，可得|a-1|，从而可求实数a的取值范围．本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．。
甘肃省嘉峪关一中2014届高三下学期适应性考试(一)数学(理)试卷Word版含答案
嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（一）数学（理）试题选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{|02},{|||1}A y y B x x =≤<=>，则R ()A B =ðA ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|12}x x << 2. 已知1ii 12ib a -=++（,R a b ∈），其中i 为虚数单位，则a b += A ．4- B ．4 C ．10- D ．10 3. 已知函数()sin f x x x =，则π()11f ，(1)f -，π3f -（）的大小关系 A ．ππ()(1)()311f f f ->->B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->- D ．ππ()()(1)311f f f ->>-4.某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） 2A Î，且4A Î（B A ，且4A Î （C ） 2A Î，且A （D A A Î5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =A ．2-B ．1-C ．0D ．16. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 A ．0 B ．1- C ．2- D ．3-俯视图侧(左)视图7. 将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4， 5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有 （ ） A ．192B ．144C ．288D ．2408. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则1a b-的取值范围是A ．(,3)-∞-B ．1(,0)3-C ．(3,)+∞D ．1(0,)39. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BD =，AC =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为B. 6πC. 5πD. 8π10. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x ，且0sin sin 2211<-x x x x ，则下列结论正确的是 ( )A ．3231x x < B ．021<+x x C ．21x x > D.21x x <11.设Ω为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω. 若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论：① ()x Ω；② ()()x y Ω+Ω的取值范围是[2,； ③ ()()x y Ω-Ω恒等于0.其中所有正确结论的序号是（ ) (A) ① （B ）②③ （C ）①② （D ）①②③12.设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC的面积，ABC PCA ABC PBC S S S S ∆∆∆∆==21,λλ,3ABCPAB S S∆∆=λ定义),,()(321λλλ=P f ，若G 是△ABC 的重心，),61,31,21()(=Q f 则A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合第Ⅱ卷（非选择题 共90分）填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.二项式（1+sinx ）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ．14. 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线与左支交于A 、B 两点，若02=⋅AF AB ，则双曲线的离心率是 .15．已知关于x 的方程),(01)1(2R b a b a x a x ∈=+++++的两根分别为1x 、2x ， 且1201x x <<<，则ab的取值范围是 .16.对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是1223a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件；④“01m <<”是“方程22(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，31=a ，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，11=b ，且422=S b ，41533=S b . (1).求n a 与n b ； (2).记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为n T ，且lim n →∞n T =T ，求使nb 3T≥成立的所有正整数n .18．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =． （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
甘肃省嘉峪关一中2014届高三下学期适应性考试(一)数学(理)试题含答案
嘉峪关市一中2014年高三适应性考试（一）数学（理）试题选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1。
若集合{|02},{|||1}A y y B x x =≤<=>，则R ()AB =A ．{|01}x x ≤≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|10}x x -<≤D ．{|12}x x << 2. 已知1i i 12ib a -=++（,R a b ∈）,其中i 为虚数单位，则a b +=A ．4-B ．4C ．10-D ．103。
已知函数()sin f x x x =，则π()11f ，(1)f -，π3f -（）的大小关系 A ．ππ()(1)()311f f f ->->B ．ππ(1)()()311f f f ->->C ．ππ()(1)()113f f f >->-D ．ππ()()(1)311f f f ->>-4。
某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则（ ) （A ） 2A ，且4A（B A ,且4A（C ） 2A ,且A（D A A5。
在平面直角坐标系中,O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实A ．2-B ．1-C ．0D ．1俯视图侧(左)视图6。
如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2,则输出y 的值是 A ．0 B ．1- C ．2- D ．3-7. 将A ，B,C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3,4, 5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内,则所有不同的放法有 ( ）A ．192B ．144C ．288D ．2408. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>， 则1a b-的取值范围是A ．(,3)-∞-B ．1(,0)3- C ．(3,)+∞ D ．1(0,)39。
2014年甘肃省高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5} 2．（5分）复数（i是虚数单位）化简的结果是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．34．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18﹣a5，则S8＝（）A．72B．68C．54D．906．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．97．（5分）设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a 8．（5分）已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣19．（5分）若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84B．84C．﹣36D．3610．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＝f（cosβ）D．以上情况均有可能12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（0，）∪（，+∞）C．（，1）∪（1，）D．（，）∪（，）二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数，则＝．14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c ﹣1），则c＝．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝100，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值．16．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠P AD＝90°，侧面P AD⊥底面ABCD．若P A＝AB＝BC＝AD．（Ⅰ）求证：CD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与＝（，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使•＜0，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝lg（|x+1|+|x﹣2|+a）．（Ⅰ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．2014年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z||x|＜5}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∩B等于（）A．（2，5）B．[2，5）C．{2，3，4}D．{3，4，5}【解答】解：A＝{x∈Z||x|＜5}＝{x∈Z|﹣5＜x＜5}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x﹣2≥0}，∴A∩B＝{2，3，4}，故选：C．2．（5分）复数（i是虚数单位）化简的结果是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：＝＝（）2＝（﹣i）2＝﹣1．故选：B．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为＝，解得x＝．故选：C．4．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）＝1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）＝＝．所以P（A）＝．故选：B．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4＝18﹣a5，则S8＝（）A．72B．68C．54D．90【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＝18﹣a5，∴a4+a5＝18，则S8＝4（a1+a8）＝4（a4+a5）＝72故选：A．6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．9【解答】解：由程序框图可看出：S＝1×23×25×…×22n+1＝23+5+…+（2n+1）＝＝，由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n2+2n＞6，解得n＝3，∴i＝2n+1＝7．故应输出i的值是7．故选：C．7．（5分）设a＝lge，b＝（lge）2，c＝lg，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵1＜e＜3＜，∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．∴a＞c＞b．故选：C．8．（5分）已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：设z＝•，则z＝3x+y，即y＝﹣3x+z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，2），此时z＝3x+y＝3×3+2＝11，故•的最大值为11，故选：B．9．（5分）若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84B．84C．﹣36D．36【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n＝512，则n＝9，T r+1＝（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r＝0，则r＝6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．10．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，则该双曲线离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±，即bx±ay＝0圆C：x2+y2﹣6x+5＝0化为标准方程（x﹣3）2+y2＝4∴C（3，0），半径为2∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切∴∴9b2＝4b2+4a2∴5b2＝4a2∵b2＝c2﹣a2∴5（c2﹣a2）＝4a2∴9a2＝5c2∴＝∴双曲线离心率等于故选：D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2（f（x）≠0），且在区间（2013，2014）上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα）、f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）＝f（cosβ）D．以上情况均有可能【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）＝﹣2，∴f（x）＝＝＝f（x+2），∴f（x）是周期为2的偶函数．∵函数f（x）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）＝cosβ＞0．则f（sinα）＜f（cosβ），故选：A．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），f（﹣x）＝f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，2014]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（，）∪（，）B．（0，）∪（，+∞）C．（，1）∪（1，）D．（，）∪（，）【解答】解：由f（2﹣x）＝f（2+x），得到函数f（x）关于x＝2对称，由f（﹣x）＝f（x）得函数f（x）是偶函数，且f（2﹣x）＝f（2+x）＝f（x﹣2），即f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4．当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，此时f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x﹣2，由g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）＝0得f（x）＝log a（x+1），（a＞0，a≠1）作出函数f（x）的图象如图：①若a＞1，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点A（2，2）时，两个图象有两个交点，此时g（2）＝log a3＝2，解得a＝，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点B（6，2）时，两个图象有四个交点，此时g（6）＝log a7＝2，解得a＝，此时要使两个函数有3个不同的零点，则，②若0＜a＜1，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点C（4，﹣1）时，两个图象有两个交点，此时g（4）＝log a5＝﹣1，解得a＝，当函数g（x）＝log a（x+1），经过点D（8，﹣1）时，两个图象有四个交点，此时g（6）＝log a9＝﹣1解得a＝，此时要使两个函数有3个不同的零点，则，综上：实数a的取值范围是（，）∪（，），故选：A．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数，则＝0．【解答】解：∵函数，∴＞0且x≠0，解得：﹣1＜x＜0 或0＜x＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x＜0 或0＜x＜1}，∴＝＝﹣f（x），∴函数是奇函数，∴＝＝0．故答案为：014．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）＝P（ξ＜c ﹣1），则c＝2．【解答】解：∵N（2，32）⇒，，∴，解得c＝2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝100，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值19．【解答】解：a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，…a n+1﹣a n＝2n，这n个式子相加，就有a n+1＝100+n（n+1），即a n＝n（n﹣1）+100＝n2﹣n+100，∴＝n+﹣1≥2﹣1＝19，当且仅当n＝，即n＝10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为16π．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴BC＝＝，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝AC＝1，∴球O的半径R＝＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵a（1+cos C）+c（1+cos A）＝3b，由正弦定理得，sin A（1+cos C）+sin C（1+cos A）＝3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）＝3sin B，∴sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理得，a+c＝2b，则a，b，c成等差数列；（2）∵∠B＝60°，b＝4，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B得4＝a2+c2﹣2ac cos60°，即（a+c）2﹣3ac ＝16，又a+c＝2b＝8，解得，ac＝16（或者解得a＝c＝4），＝ac sin B＝4．则S△ABC18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠P AD＝90°，侧面P AD⊥底面ABCD．若P A＝AB＝BC＝AD．（Ⅰ）求证：CD⊥PC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠P AD＝90°，∴P A⊥AD，又∵侧面P AD⊥底面ABCD，且侧面P AD∩底面ABCD＝AD，∴P A⊥底面ABCD，又∵∠BAD＝90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴＝0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面P AD，∴是平面P AD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x＝1，得到＝（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5＝0.3，所以高为＝0.06．频率直方图如下：第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝＝1000，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝＝0.65，第四组的频率为0.03×5＝0.15，第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30＝2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝220．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与＝（，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使•＜0，求实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C：＝1（a＞b＞0），则∵A（a，0）、B（0，b），∴＝（﹣a，b），∵与＝（，﹣1）共线，∴a＝b，∵焦距为2，∴c＝1，∴a2﹣b2＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），把直线方程y＝kx+m代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝16k2m2﹣4×（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0（*）∵•＜0，∴x1x2+y1y2＜0，∵y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，∴+＜0，∴m2＜，∴m2＜且满足（*）故实数m的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x在x＝0处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣xf′（x）＝﹣2x﹣1当x＝0时，f（x）取得极值，∴f′（0）＝0故，解得a＝1，经检验a＝1符合题意，则实数a的值为1；（Ⅱ）由a＝1知f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x由f（x）＝﹣x+b，得ln（x+1）﹣x2+x﹣b＝0令φ（x）＝ln（x+1）﹣x2+x﹣b，则f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x）＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．φ′（x）＝﹣2x+＝，当x∈[0，1]时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）＝﹣b≤0，φ（1）＝ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）＝ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）＝，令f′（x）＝0得，x＝0或x＝﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x＝0时，等号成立）对任意正整数n，取x＝＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln＝ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2＝P A•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∠ONP＝90°，∴∠ONB+∠BNP＝90°∵OB＝ON，∴∠OBN＝∠ONB因为OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO＝90°，故∠BNP＝∠BMO＝∠PMN，PM＝PN∴PM2＝PN2＝P A•PC（Ⅱ）∵OM＝2，BO＝2，BM＝4∵BM•MN＝CM•MA＝（2+2）（2﹣2）（2﹣2）＝8，∴MN＝2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程x2+y2＝4x．由直线l的参数方程：，（t是参数），消去t可得x﹣y﹣m＝0．（Ⅱ）由圆C的方程（x﹣2）2+y2＝4可得圆心C（2，0），半径r＝2．∴圆心C到直线l的距离d＝＝．∵，|AB|＝∴，化为|m﹣2|＝1，解得m＝1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝lg（|x+1|+|x﹣2|+a）．（Ⅰ）当a＝﹣5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5，在同一坐标系中作出函数y＝|x+1|+|x﹣2|与y＝5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x＜﹣2或x＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。
2014年甘肃省高三第一次诊断考试理科数学(解析版)
甘肃省2014年高考数学一模试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合{5}{20}A x Z x B x xA B =∈=≥⋂＜，﹣，则等于（ ） A ．25（，） B ．[25，） C ．{}234，， D ．{}345，，解析 A={x ∈Z||x|＜5}={x ∈Z|﹣5＜x ＜5}={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x ﹣2≥0}，∴A ∩B={2，3，4}，故选：C ．2．（5分）（2014•甘肃一模）复数21()1i i -+（i 是虚数单位）化简的结果是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 解析==（）2=（﹣i ）2=﹣1． 故选：B ．3．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．3 解析 由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．4．（5分）从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M x y （，），则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16解析 可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）==．所以P （A ）=．故选：B ．5．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a ﹣，则8S =（）A ．72B ．68C ．54D ．90解析 在等差数列{a n }中，∵a 4=18﹣a 5，∴a 4+a 5=18，则S 8=4（a 1+a 8）=4（a 4+a 5）=72故选：A6．（5分）阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9解析 由程序框图可看出：S=1×23×25×…×22n+1=23+5+…+（2n+1）==， 由判断框的条件可知：当满足≥100时，应跳出循环结构，此时n 2+2n ＞6，解得n=3，∴i=2n+1=7．故应输出i 的值是7．故选：C ．7．（5分）设lg lg 2a e b e c ===，（）， ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>解析 ∵1＜e ＜3＜， ∴0＜lge ＜1，∴lge ＞lge ＞（lge ）2．∴a ＞c ＞b ．故选：C ．8．（5分）（2014•甘肃一模）已知点P x y （，）满足线性约束条件21x x y ≤⎧⎪⎨⎪-⎩y ＋x ≥≤1，点31M O （，），为坐标原点，则OM OP ∙的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1- 解析 设z=•，则z=3x+y ，即y=﹣3x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，2），此时z=3x+y=3×3+2=11，故•的最大值为11，故选：B ．9．（5分）若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 解析 展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C 9r x 18﹣3r 令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B ．10．（5分）（2014•西藏一模）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的两条渐近线均和圆C ：22650x y x ++=﹣相切，则该双曲线离心率等于（ ）A BC ．32D 解析 双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±，即bx ±ay=0 圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0化为标准方程（x ﹣3）2+y 2=4∴C （3，0），半径为2∵双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2﹣6x+5=0相切∴∴9b 2=4b 2+4a 2∴5b 2=4a 2∵b 2=c 2﹣a 2∴5（c 2﹣a 2）=4a 2∴9a 2=5c 2∴=∴双曲线离心率等于故选：A ．11．（5分）定义在R 上的偶函数f x （）满足120f x f x f x +=≠（）（）﹣（（），且在区间20132014（，）上单调递增，已知αβ，是锐角三角形的两个内角，则sin cos f f αβ（）、（）的大小关系是（ ） A ．sin cos f f αβ（）<（） B ．sin cos f f αβ（）＞（）C ．sin cos f f αβ=（）（）D ．以上情况均有可能 解析 ∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）f （x ）=﹣2，∴f （x ）===f （x+2），∴f （x ）是周期为2的偶函数．∵函数f （x ）在区间（2013，2014）上单调递增，故函数在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减．∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sin α＞sin （﹣β）=cos β＞0． 则f （sin α）＜f （cos β），故选：A ．12．（5分）（2014•甘肃一模）设f x （）是定义在R 上的函数，x R ∀∈，都有22f x f x =+（﹣）（），f x f x =（﹣）（），且当[02]x ∈，时，22x f x =（）﹣，若函数log 10,1)g x f x a x a a =+≠（）（）﹣（）(＞在区间12014]（﹣，内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)(3,7)95B ．1(0,)(7,)9+∞C ．1(,1)(1,3)9D ．11(,)(3,7)73解析 由f （2﹣x ）=f （2+x ），得到函数f （x ）关于x=2对称，由f （﹣x ）=f （x ）得函数f （x ）是偶函数，且f （2﹣x ）=f （2+x ）=f （x ﹣2），即f （x+4）=f （x ），即函数的周期是4．当x ∈[﹣2，0]时，﹣x ∈[0，2]，此时f （x ）=f （﹣x ）=2﹣x ﹣2，由g （x ）=f （x ）﹣log a （x+1）=0得f （x ）=log a （x+1），（a ＞0，a ≠1）作出函数f （x ）的图象如图：①若a ＞1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点A （2，2）时，两个图象有两个交点，此时g （2）=log a 3=2，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点B （6，2）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 7=2，解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， ②若0＜a ＜1，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点C （4，﹣1）时，两个图象有两个交点， 此时g （4）=log a 5=﹣1，解得a=，当函数g （x ）=log a （x+1），经过点D （8，﹣1）时，两个图象有四个交点， 此时g （6）=log a 9=﹣1解得a=，此时要使两个函数有3个不同的零点，则， 综上：实数a 的取值范围是（，）∪（，）， 故选：A ．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知函数211()log ()1x f x x x -=++，则11()()20142014f f +-= ．解析 ∵函数， ∴＞0且x ≠0，解得：﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1．∴定义域为{x|﹣1＜x ＜0 或 0＜x ＜1}，∴==﹣f （x ），∴函数是奇函数，∴==0． 故答案为：0 14．（5分）设随机变量ξ服从正态分布29N （，），若(1)(1)P c P c ξξ+=＞＜﹣，则c = ． 解析 ∵N （2，32）⇒， ，∴，解得c=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{}n a 满足110012n n a a a n =+=，﹣，则n a n的最小值 ． 解析 a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=4，…a n+1﹣a n =2n ，这n 个式子相加，就有a n+1=100+n （n+1），即a n =n （n ﹣1）+100=n 2﹣n+100，∴=n+﹣1≥2﹣1=19， 当且仅当n=，即n=10时，取最小值19．故答案为：19．16．（5分）若三棱锥SABC ﹣的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =，12AB AC ==，，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为 ．解析 如图，三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，∵SA ⊥平面ABC ，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=AC=1， ∴球O 的半径R==2， ∴球O 的表面积S=4πR 2=16π．故答案为：16π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17．（12分）在ABC 中，三个内角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若1cos 1cos 3a C c A b +++=（）（）， （1）求证：a b c ，，成等差数列；（2）若604B b ∠=︒=，，求ABC 的面积．解析 （1）∵a （1+cosC ）+c （1+cosA ）=3b ，由正弦定理得，sinA （1+cosC ）+sinC （1+cosA ）=3sinB ，即sinA+sinC+sin （A+C ）=3sinB ，∴sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理得，a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列；（2）∵∠B=60°，b=4，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB 得4=a 2+c 2﹣2accos60°，即（a+c ）2﹣3ac=16， 又a+c=2b=8，解得，ac=16（或者解得a=c=4），则S △ABC =acsinB=4．18．（12分）如图，在四棱锥PABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，且90AD BC ABC PAD ∠=∠=︒，，侧面PAD ABCD ⊥底面．若12PA AB BC AD ===． （Ⅰ）求证：CD PC ⊥； （Ⅱ）求二面角APD C ﹣﹣的余弦值．解析（Ⅰ）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，又∵∠BAD=90°，∴AB、AD、AP两两垂直，分别以AB、AD、AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=2，则由题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），∴，，∴=0，∴CD⊥PC．（Ⅱ）解：∵AB、AD、AP两两垂直，∴AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的一个法向量，设平面PCD的法向量，∵，∴，取x=1，得到=（1，1，2），设二面角A﹣PD﹣C的大小为θ，由图形知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．19．（12分）某高中社团进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如下统计表和如图所示各年龄段人数频率分布直方图请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n a p ，，的值（2）从[4045，）岁和[4550，）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[4045，）岁得人数为X ，求X 的分布列和数学期望E X （）解析 （1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==所以随机变量X的分布列为∴数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=2﹣共线．20．（12分）如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且AB与n=1)（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，O 为坐标原点，总使0OP OQ ∙<，求实数m 的取值范围．解析 （Ⅰ）解：设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），则∵A （a ，0）、B （0，b ）， ∴=（﹣a ，b ）， ∵与=（，﹣1）共线，∴a=b ，∵焦距为2， ∴c=1， ∴a 2﹣b 2=1， ∴a 2=2，b 2=1， ∴椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），把直线方程y=kx+m 代入椭圆方程，消去y 可得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2﹣2=0， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=16k 2m 2﹣4×（2k 2+1）（2m 2﹣2）=16k 2﹣8m 2+8＞0（*） ∵•＜0，∴x 1x 2+y 1y 2＜0，∵y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=，∴+＜0，∴m 2＜，∴m 2＜且满足（*） 故实数m 的取值范围是（﹣，）．21．（12分）已知函数2ln f x x a x x =+（）（）﹣﹣在0x =处取得极值． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的方程52f x x b =+（）﹣在区间[]02，上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）证明：对任意的正整数n ，不等式23412ln(1)49n n n++++⋯++＞都成立． 解析 （Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+a ）﹣x 2﹣x f ′（x ）=﹣2x ﹣1当x=0时，f （x ）取得极值，∴f ′（0）=0 故，解得a=1，经检验a=1符合题意， 则实数a 的值为1；（Ⅱ）由a=1知f （x ）=ln （x+1）﹣x 2﹣x 由f （x ）=﹣x+b ，得ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b=0 令φ（x ）=ln （x+1）﹣x 2+x ﹣b ，则f （x ）=﹣x+b 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ（x ）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根． φ′（x ）=﹣2x+=，当x ∈[0，1]时，φ′（x ）＞0，于是φ（x ）在[0，1）上单调递增；当x∈（1，2]时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上单调递减，依题意有φ（0）=﹣b≤0，φ（1）=ln（1+1）﹣1+﹣b＞0，φ（2）=ln（1+2）﹣4+3﹣b≤0解得，ln3﹣1≤b＜ln2+，故实数b的取值范围为：[ln3﹣1，ln2+）；（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x的定义域为{x|x＞﹣1}，由（1）知f（x）=，令f′（x）=0得，x=0或x=﹣（舍去），∴当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最大值．∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）﹣x2﹣x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．四、请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．（选修4-1：几何证明选讲）22．（10分）如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：2•=；PM PA PC（Ⅱ）若O的半径为OA=，求MN的长．解析 （Ⅰ）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ， ∴∠ONP=90°， ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON ， ∴∠OBN=∠ONB 因为OB ⊥AC 于O ， ∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN ，PM=PN ∴PM 2=PN 2=PA •PC （Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4 ∵BM •MN=CM •MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：x m ty t=+⎧⎨=⎩，（t 是参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且|||AB ，试求实数m 的值． 解析 （Ⅰ）∵ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ． 由直线l 的参数方程：，（t 是参数），消去t 可得x ﹣y ﹣m=0．（Ⅱ）由圆C 的方程（x ﹣2）2+y 2=4可得圆心C （2，0），半径r=2． ∴圆心C 到直线l 的距离d==．∵，|AB|=∴，化为|m ﹣2|=1，解得m=1或3．选修4-5：不等式选讲24．已知函数()lg(12)f x x x a =+++﹣．（Ⅰ）当5a =﹣时，求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 （Ⅰ）当a=﹣5时，要使函数有意义，则|x+1|+|x ﹣2|﹣5＞0，即|x+1|+|x ﹣2|＞5， 在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x ﹣2|与y=5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x ＜﹣2或x ＞3，即函数f（x）的定义域为{x|x＜﹣2或x＞3}．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，|x+1|+|x﹣2|+a＞0恒成立，即|x+1|+|x﹣2|＞﹣a恒成立，由图象可知|x+1|+|x﹣2|≥3，即﹣a＜3，解得a＞﹣3．。
甘肃省高台县第一中学2014高三下学期一诊高三数学(理)试卷
甘肃省高台县第一中学2014高三下学期一诊高三数学（理）试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合{||21|3}A x x =+>，集合1{|}2x B x y x +==-，则()R A C B ⋂=（ ） A.(1,2) B.(1,2] C.(1,)+∞ D.[1,2]2．若复数z 满足错误！未找到引用源。
(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A.－4B.－45错误！未找到引用源。
C.4 D.453．若||2,||1==a b ，且a 与b 的夹角为60 ，当||x -a b 取得最小值时，实数x 的值为（ ） A.2 B.2- C.1 D.1- 4．直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )．A ．[0，π) B. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:m ），则该几何体的体积为（ ）A.373m B.392m C.372m D.394m6．在三棱锥A —BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 2、3、6A —BCD 的外接球的体积为（ ） A 6πB ．26πC ．36πD ．46π1 俯视图11 1正视图1侧视图7．执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（ ）A.7B.6C.5D.48．已知函数21,(0)()(1),(0)x x f x f x x -⎧⎪-≤=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 （ ）A 、(],0-∞B 、[)0,1 Ｃ、(),1-∞ D 、[)0,+∞。
9．如图，A ，F 分别是双曲线2222C 1 (0)x y a b a b-=：，＞的左顶点、右焦点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则C 的离心率是( ) A ．2 B ．3 C ．113+ D 117+ 则119S S ＝( ) 10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若65911a a =， A ．1 B ．－1 C ．2 D ．1211．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=( ) A ．0 B ．49 C ．49- D ．4 12.记实数n x x x ,,21中的最大数为{}n x x x 21,max ，最小值为{}n x x x 21,min 。
2014年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷(理科)
2014年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.下列命题错误的是（）A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.若命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则“￢p”为：∀x∈R，x2+x+1≠0C.若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题D.“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件【答案】C【解析】解：A“若p则q”形式的逆否命题形式为：“若非q则非p”；B特称命题的否定是全称命题；C只需两个命题中至少有一个为假，则“p且q”形式的命题即假，故C错；D易知命题正确．故选C．对于A 命题的逆否形式“若p则q”形式的逆否命题形式为：“若非q则非p”；对于B存在性命题”的否定一定是“全称命题”．对于C，P且q的命题为假要P和q同时为假，对于D 选项主要根据充要条件的定义即可本题考查了命题的否定，命题的真假判断与应用，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题2.设i为虚数单位，则复数等于（）A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i【答案】D【解析】解：==-4-3i，故选D．根据复数除法的代数运算化简可得．本题考查复数代数形式的除法运算，属基础题．3.已知，，，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A.-B.C.-D.【答案】A【解析】解：∵已知，，，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（-3λ-1，2λ）•（-1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=-．故选A．先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．4.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．5.已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（1，2）C.（1，1+）D.（2，1+）【答案】B【解析】解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得R t△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6.如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等【答案】D【解析】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A-BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，又知（xlnx）′=lnx+1，且S10=lnxdx，S20=17，则S30为（）A.33B.46C.48D.50【答案】C【解析】解：S10=lnxdx=（xlnx-x）=e-e-（-1）=1∵等差数列中，S10，S20-S10，S30-S20为等差数列，即1，17-1，S30-17为等差数列，∴32=1+S30-17∴S30=48故选C先利用微积分基本定理求定积分的值，得S10=1，再利用等差数列的性质，即S10，S20-S10，S30-S20为等差数列，即可列方程得所求值本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分的方法，等差数列的定义和性质运用，属基础题8.已知椭圆E：＞＞的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则E的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=-2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=-2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．9.若不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A.[，1]B.[，1]C.[，]D.[，2]【答案】B【解析】解：∵函数y==+，在t∈（0，2]上为减函数∴当t=2时，的最小值为1；又∵≤=，当且仅当t=3时等号成立∴函数y=在区间（0，2]上为增函数可得t=2时，的最大值为∵不等式≤a≤在t∈（0，2]上恒成立，∴（）max≤a≤（）min，即≤a≤1可得a的取值范围是[，1]由基本不等式，算出函数y=在区间（0，2]上为增函数，得到t=2时，的最大值为；根据二次函数的性质，算出t=2时的最小值为1．由此可得原不等式恒成立时，a的取值范围是[，1]．本题给出不等式恒成立，求参数a的取值范围．着重考查了基本不等式、函数的单调性、函数最值的求法和不等式恒成立的处理等知识，属于中档题．10.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A.1-B.1-C.D.【答案】B【解析】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1-，故选：B求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．11.关于x 的方程x 2+（a +1）x +a +b +1=0（a ≠0，a 、b ∈R ）的两实根为x 1，x 2，若0＜x 1＜1＜x 2＜2，则的取值范围是（ ）A. ，B.，C.，D.，【答案】 D【解析】解：设f （x ）=x 2+（a +1）x +a +b +1， 则方程f （x ）=0的两实根x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2＜2的充要条件是 ＞＜ ＞，作出点（a ，b ）满足的可行域为△ABC 的内部，其中点A （-2，1）、B （-3，2）、C （-4，5），的几何意义是△ABC 内部任一点（a ，b ）与原点O 连线的斜率，而，，作图， 易知，．故选D ．先利用二次方程根的分布得出关于a ，b 的约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z = ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线OP 过可行域内的点A 或点C 时，z 分别、取得最大或最小，从而得到的取值范围即可．本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高．12.已知函数， ＜，若关于x 的函数y =f 2（x ）-bf （x ）+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ） A.（2，+∞） B.[2，+∞） C. ，D. ，【答案】 D【解析】解：∵函数， ＜，，作出f （x ）的简图，如图所示：由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应．再结合题中函数y=f2（x）-bf（x）+1有8个不同的零点，可得关于k的方程k2-bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且0＜k1≤4，0＜k2≤4．∴应有＞＜＜＞，解得2＜b≤，故选：D．方程f2（x）-bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间（0，4]时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若（-）n展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为______ ．【答案】24【解析】解：根据（-）n展开式中所有二项式系数之和为16，可得2n=16，n=4，故展开式的通项公式为T r+1=••（-2）r•=（-2）r••x2-r，令2-r=0，r=2，故展开式的常数项为4×6=24，故答案为24．根据所有二项式系数之和为16，可得2n=16，n=4．再展开式的通项公式为T r+1=（-2）r••x2-r，令x的幂指数等于0，求得r的值，可得展开式的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.一束光线从点A（-1，1）发出，并经过x轴反射，到达圆（x-2）2+（y-3）2=1上一点的最短路程是______ ．【答案】4【解析】解：一束光线从点A（-1，1）发出，并经过x轴反射，其光线所在的直线方程过点A 关于X轴的对称点B，则B点到圆（x-2）2+（y-3）2=1圆心（2，3）的距离为=5，则B点到（x-2）2+（y-3）2=1上一点的最短路程为5-1=4，故答案为4．根据对称变换的原则，我们可以将本题转化为求从点A（-1，-1）发出，并经过x轴反射，到达圆（x-2）2+（y-3）2=1上一点的最短路程，利用两点之间距离公式，我们求出点到圆心的距离，减去半径即可得到答案．本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，其中根据对称变换的原则，将已知问题转化为求从点A（-1，-1）发出，并经过x轴反射，到达圆（x-2）2+（y-3）2=1上一点的最短路程，是解答本题的关键．15.如图：程序框图中，若输入n=6，m=4，那么输出的p=______ ．【答案】360【解析】解：该程序框图运行如下，输入n=6，m=4，k=1，p=1，p=1×（6-4+1）=3，1＜4？是，k=1+1=2，p=3×（6-4+2）=12，2＜4？是，k=2+1=3，p=12×（6-4+3）=60，3＜4？是，k=3+1=4，p=60×（6-4+4）=360，4＜4？否，输出360；结束．模拟程序运行过程，输入n，m的值，执行程序，求出满足条件的p的值即可．本题考查了程序框图的问题，可以通过模拟程序的运行过程，求出答案来．16.已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf （y）+yf（x）成立．数列{a n}满足a n=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式a n= ______ ．【答案】n2n【解析】解：由于a n=f（2n）则a n+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2n f（2）+2f（2n）∴a n+1=2a n+2×2n∴∴数列{}是以为首项公差为1的等差数列∴∴a n=n2n可根据a n=f（2n）再利用对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立令x=2n，y=2得到递推关系式a n+1=2a n+2×2n然后两边同除以2n+1可构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可解决问题了．此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，是函数与数列的综合题．解题的关键是分别赋予x=2n，y=2得到a n+1=2a n+2×2n然后构造出数列{}是以为首项公差为1的等差数列后就可求解．同时要对递推关系式a n+1=pa n+q n通过两边同除以q n+1构造出{}为等差数列进而求出a n的通项公式．三、解答题(本大题共6小题，共180.0分)17.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得∴a n=3+2（n-1）=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，∴b n====，所以T n==即数列{b n}的前项和．【解析】（1）设数列{a n}的首项a1及公差d，将a3，a5，a7，用a1及d来表示，列出方程组，可解出a1及d，再由通项公式及前n项公式求出a n及S n；（2）将a n代入所给表达式可求出b n的表达式，用裂项求和可求出T n．本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键．18.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=-=5-0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列为所以Eξ==．【解析】（1）由线性回归方程过点（，），得=-，而，易求，且=0.6，从而可得的值，把x=6代入回归方程可得6月份生产的甲胶囊产量数；（2）ξ=0，1，2，3，利用古典概型的概率计算公式可得P（ξ=0）、P（ξ=1）、P （ξ=2）、P（ξ=3），从而可得ξ的分布列，由期望公式可求ξ的期望；本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．19.已知函数f（x）=2cos2+cos（ωx）（其中ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值，并求函数f（x）的单调递减区间；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=-，c=3，△ABC 的面积为6，求a．【答案】解：（1）由已知得f（x）=1+cosωx+cosωx-sinωx=1+cosωx-sinωx=1-sin （ωx-），∵最小正周期为π，ω＞0，即=π，∴ω=2，∴f（x）=1-sin（2x-），令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的递减区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z；（2）由第一问及已知得到f（A）=1-sin（2A-）=-，即sin（2A-）=，∴2A-=或，即A=或，∵△ABC为锐角三角形，∴A=，∵c=3，S△ABC=6，∴bcsin A=×3b×=6，即b=8，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A=64+9-24=49，则a=7．【解析】（1）f（x）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后根据周期公式及已知周期确定出ω的值，再利用正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递减区间；（2）由（1）得出的解析式及已知f（A）=-，确定出A的度数，由c，sin A，以及已知面积，利用三角形面积公式求出b的值，再由b，c，cos A的值，利用余弦定理即可求出a的值．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的单调性，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为．【答案】解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1-EC-D 的平面角．设AE=x，则BE=2-x在R t△D1DH中，∵∠，∴DH=1．∵在R t△ADE中，DE=，∴在R t△DHE中，EH=x，在R t△DHC中CH=，在R t△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1-EC-D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，-1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，，，，，，，，设平面ACD1的法向量为，，，则也即，得，从而，，，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，，，∴，，，，，，，，，由令b=1，∴c=2，a=2-x，∴，，．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1-EC-D的大小为．【解析】解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据三棱锥=三棱锥既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，-1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，，，，，，，，设平面ACD1的法向量为，，，从而，，，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，，，可求得，，．，因为二面角D1-EC-D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1-EC-D的大小为．本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．21.已知椭圆C1的方程为+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足•＜6（其中O为原点），求k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为-=1，则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1．故C2的方程为-y2=1．（II）将y=kx+代入+y2=1得（1+4k2）x2+8kx+4=0由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1=-16（1+4k2）=16（4k2-1）＞0，即k2＞①将y=kx+代入-y2=1得（1-3k2）x2-6kx-9=0．由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得＞即k2≠且k2＜1．②设A（x A，y A）B（x B，y B），则x A+x B=，x A•x B=．由•＜6得x A x B+y A y B＜6，而x A x B+y A y B=x A x B+（kx A+）（kx B+）=（k2+1）x A x B+（x A+x B）+2=（k2+1）•+k•+2=．于是＜6，即＞0．解此不等式得k2＞或k2＜．③由①、②、③得＜k2＜或＜k2＜1．故k的取值范围为（-1，-）∪（-，-）∪（，）∪（，1）．【解析】（Ⅰ）设出双曲线的标准方程，然后结合椭圆的顶点与焦点易得双曲线的焦点与顶点，即求得双曲线的c与a，再由a2+b2=c2求得b2，则双曲线方程解决；（Ⅱ）把直线方程分别与椭圆方程、双曲线方程联立，不妨消y得x的方程，则它们均为一元二次方程且判别式大于零，由此得出k的取值范围；再结合一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x A+x B，x A x B，进而把＜转化为k的不等式，求出k的又一取值范围，最后求k的交集即可．本题考查双曲线的标准方程以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．22.已知函数f（x）=-x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解（1）f′（x）=-2x+=-2×（x＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=-1．（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1-．由（1）知，x=1是函数f（x）的极值点．又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点．∴g′（1）=1-a=0，解得a=1．经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意（3）∵f（）=--2，f（1）=-1，f（3）=-9+2ln3，∵-9+2ln3＜--2＜-1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴∀x1∈（，3），f（x1）min=f（3）=-9+2ln3，f（x1）max=f（1）=-1．由①知g（x）=x+，∴g′（x）=1-．故g（x）在[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，e）上为减函数，在（1，3]上为增函数．∵g（）=e+，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g （3）．∴∀x2∈[，e]，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．当k-1＞0，即k＞1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k-1≥[f（x1）-g（x2）]max⇔k≥[f（x1）-g（x2）]max+1．∵f（x1）-g（x2）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，∴k≥-3+1=-2，又∵k＞1，∴k＞1．当k-1＜0，即k＜1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k-1≤[f（x1）-g（x2）]min⇔k≤[f（x1）-g（x2）]min+1．∵f（x1）-g（x2）≥f（3）-g（3）=-9+2ln3-=-+2ln3，∴k≤-+2ln3．又∵k＜1，∴k≤-+2ln3．综上，所求的实数k的取值范围为（-∞，-+2ln3））∪（1，+∞）．【解析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（2）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（3）先求出x1∈[，3]时，f（x1）min=f（3）=-9+2ln3，f（x1）max=f（1）=-1；x2∈[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。