趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”
漂亮的雪花曲线.ppt
（1）把第k次观测到的岛的面积记为Sk，
则数列s n 有无极限？如果我们把这个
极限叫岛的面积，面积是多少？
（2）把第k次观测到的岛的海岸线长
记为Lk，则数列Ln 有无极限？
如果把此极限当作此岛的海岸线 长，它是多少？
（3）以上结果说明什么问题？
Sierpinski三角形
ห้องสมุดไป่ตู้
探究Sierpinski三角形的变化规律
研究性学习
“漂亮的雪花曲 线”
想想怎样做出漂亮的雪花？
分形
在数学上，把这种部分与整体以某种 形式相似的形，称为分形。 分形最明显的特征就是自相似性。
分在 形生 具成 有自 独然 特真 的实 优的 势景
物
中
，
.
（1）
（2）
（3）
（4）
例 人们 想像，太空飞船飞回地球，
第一次观测时发现地球上有一个正方 形的岛屿（边长为1）；第二次观测 时，发现它并非正方形，而是每边中 央1/3处向外有正三角形海岬，第三 次观测时，发现原先每一小边的中央 1/3处都有一向外突出的正三角形海 岬（见图），想像把这个过程无限继 续下去，就得到一个小岛。
课堂总结
宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，化工之巧， 地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学.
——— 华罗庚
作业
1. 以小组为单位，继续探究Sierpinski 三角形面积和周长的变化规律，试说 明理由。
2.进一步查找分形几何的相关资料， 如分形的起源、分形的特征等。
再 见 ！
雪花中的数学问题
雪花中的数学问题雪花中的数学问题主要是与雪花曲线（也称为科赫曲线）有关。
雪花曲线是由一组连续的三角形构成，每个三角形都以一个点为中心，向外延伸出三个分支，每个分支又继续向外延伸出三个分支，如此不断重复。
这种曲线的形状类似于雪花，因此得名。
在雪花曲线中，有一个重要的数学概念叫做“迭代函数系统”（Iterated Function Systems，简称IFS）。
迭代函数系统是由一组函数构成，每个函数都会将输入的图像变换成另一幅图像。
在雪花曲线的生成过程中，每个三角形都可以看作是一个迭代函数，通过不断应用这些函数，最终生成了雪花曲线的形状。
此外，雪花曲线还与分形几何有关。
分形几何是一种研究形状和结构的数学分支，它的特点是可以通过不断迭代来生成复杂的形状。
雪花曲线是一种典型的分形几何图形，其形状和结构可以通过迭代函数系统和分形几何的理论来描述和分析。
除了在自然界中发现的美丽分形结构，雪花曲线还与计算机图形学和数据压缩等领域有着紧密的联系。
在计算机图形学中，雪花曲线可以作为一种生成复杂形状和图案的有效方法。
而在数据压缩领域，雪花曲线因其独特的形状和结构也被用作一种高效的数据压缩算法。
此外，雪花曲线还被应用于图像处理和模式识别等领域。
通过利用雪花曲线的特性和算法，可以实现对图像的高效处理和识别。
例如，在图像处理中，可以使用雪花曲线来分割图像中的不同区域，从而实现图像的分割和识别。
总之，雪花曲线作为一种独特的数学概念和分形几何图形，不仅在自然界中有着广泛的应用，还在计算机科学、数据压缩、图像处理和模式识别等领域发挥着重要的作用。
通过深入研究和探索雪花曲线背后的数学原理和算法，我们可以不断发现新的应用场景并推动相关领域的发展。
科赫曲线-雪花曲线
科赫曲线-雪花曲线
科赫曲线
科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
和皮亚诺类似：
1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的
2、总长度趋向无穷大
3、曲线上任意两点距离无穷大
4、面积是有限的
5、产生一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界，包围着有限的面积。
（保守派数学大师们晕倒撞墙去吧）
Kohn曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。
第24题 雪花曲线
第24题雪花曲线设有一个每边长为a的三角形，按如下规则可以作成一个新的图形：第一次将每边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个正三角形，第二次在四多边形K1中，再将12边中的每一边三等分，以中间的一段为边，向形外接上去一个更小的正三角形，得到四多边形K2；不断重复，产生一凹多边形序列，如图24—1，其中每一凹多边形记作K n(n=1，2，3，…)。
它们的边界变得越来越细微曲折，它使人想起一种理想的雪花。
我们称凹多边形Kn的边界曲线为雪花曲线。
现在问：四多边形K n的周长是多少？凹多边形的面积是多少？分析：在四多边形序列中，前后两条边界曲线之间的基本关系可由图24—2表示。
欲求凹多边形的面积，关键在于寻找其中的规律性，计算每次增加了多少个小三角形，以及每个小三角形的面积是多少。
解：设第n条曲线的长为L n，所围的面积为A n。
初始三角形的周或通项公式：对于面积的计算，我们先列表24—1。
由表24—1分析可知：每次增加的三角形个数是相邻前一次图形的边数，而增加的小正三角形，由于与相邻前一次所得的正三角形相似，面积可以从如下两个角度求得：(1)每次增加的面积是增加的三角形个数与增加的每个小三角形面积之乘积，可得递推关系式：(2)从图形K2开始，每次增加的小三角形个数是相邻前一次所得三角形个数的4倍，且增加的每个三角形面积是相邻前一次所得的一个回顾：(1)如何从递推关系式推出通项公式呢？……上述n个等式相加得通项公式：也可用数学归纳法加以证明。
(2)只要观察思考一下，就会发现雪花曲线具有某些有趣的性质。
首先，它是一条连续的封闭曲线，永远不自我相交，因为每边上新加的三角形都足够小，以致彼此碰不上。
曲线序列中的向于无限长。
然而，虽然每条曲线都比它相邻前一条曲线所围的面积都增加一点，但总面积仍是有限的，事实上比初始的三角形面积大不了许多。
如果画一个初始三角形的外接圆，雪花曲线永远也不会超出这个圆之外。
如何反映曲线序列中，曲线的长度和曲线所围面积的变化趋势呢？亦即不断重复上述规则，直至无穷，这样的曲线长度L和所围的面积A结果怎样？如果你具备一点数列极限的基本知识，就可以知道：注：n趋向无穷大的雪花曲线，早就引起了人们的注意，它是瑞典数学家科克(Koch Heige Von)首次在1904年发明的，因此也称它为科克曲线。
雪花曲线的有趣故事
雪花曲线的有趣故事在自然界中，有一种美妙而神奇的现象叫做“雪花曲线”。
这个现象是指雪花的形状会随着温度的变化而改变，从而形成不同的曲线形状。
这个有趣的现象背后隐藏着一段引人入胜的故事。
故事发生在一个寒冷的冬天。
一个年轻的科学家叫做阿尔弗雷德，对雪花的形状变化产生了浓厚的兴趣。
他花了很多时间观察和研究不同温度下雪花的形态。
他发现，当温度越低，雪花的形状就越接近于曲线。
阿尔弗雷德意识到，这种雪花曲线可能是由于水分子在结冰时的特殊排列所致。
他开始进行实验，使用显微镜观察结冰过程中水分子的排列情况。
他发现，水分子在接近冰点的温度下会形成六边形的晶体结构，而在低于冰点的极端寒冷温度下，水分子会形成一种特殊的螺旋排列。
阿尔弗雷德非常激动，他开始将这些发现应用于他的研究当中。
他设计了一个实验装置，通过控制温度的变化来观察雪花的形态。
他发现，当温度处于特定的范围时，雪花的形状会呈现出美丽的曲线，就像被一个无形的艺术家塑造一样。
阿尔弗雷德的研究引起了科学界的广泛关注。
他的成果被认为是对自然界中奇妙现象的重要突破。
人们开始将他的研究应用于气象学和物理学中，以更好地理解和预测天气变化和自然界的规律。
除了科学意义之外，雪花曲线也给人们带来了美学上的享受。
人们开始欣赏雪花的形状和曲线，并将其应用于艺术创作中。
许多艺术家受到雪花曲线的启发，创作出了许多美丽的艺术作品。
雪花曲线的故事告诉我们，自然界中充满了无限的奇迹和美妙。
人类的探索精神和好奇心使得我们能够发现这些奇迹，并将其应用于实践中。
我们应该保持对自然界的敬畏之心，继续探索和研究其中的奥秘，为人类的发展和进步做出贡献。
总之，雪花曲线是一个令人着迷的现象，它不仅让我们对自然界的多样性有了更深的理解，也带给我们美学和艺术上的享受。
这个有趣的故事告诉我们，科学和艺术可以相互交融，创造出更加美好的世界。
科赫曲线
科赫曲线
简介
科赫曲线(Koch curve )是一种像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线。
1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种不论由直段还是由曲段组成的始终保持连通的线，因此将这种曲线成为科赫曲线。
定义
设想一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷。
外界的变得原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花。
画法
1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；
2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；
3、重复上述两步，画出更小的三角形。
4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。
特性
1、它是一条连续的回线，永远不会自我相交。
2、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的。
3、曲线是无限长的，即在有限空间里的无限长度。
4、曲线上任意两点距离无穷大。
5、每次变化面积都会增加，但是总面积是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。
思考
科赫曲线中产生一个匪夷所思的悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。
这让保守派数学大师们都很难相信。
科赫曲线是比较典型的分形图形，它具有严格的自相似特性。
提问:在有限面积里面,无穷的去选择无穷小的点来组成的"封闭"曲线.会包围着无穷大的面积吗?。
雪花曲线
当我们的老管家在他的一亩六分地上享 受夕阳红的时候，我们再看一眼这个奇 妙的雪花吧。你有没有发现，其实它可 以是任意的大小？如果开始我们规定六 角形的面积是1公顷而不是1亩，那雪花 的面积就是1.6公顷。或者如果把三角形 缩小成1平方米，那就会得到1.6平方米 的雪花。可是，不管面积大还是小，周 长永远趋于无穷。奇怪不奇怪？
啊哈，原来是一个等比数列！等比就是 不停地乘上一个相同的比值。他记起高 中老师教过怎么算等比数列的和。对于 形如 的式子，如果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr小于1的话，即使这个数列无限延伸下 去，它的和也是有限的。根据求和公式 ，得出面积是原面积的八分之五。
管家傻眼儿了，费了这么半天劲，原来 才一亩二分地啊！是不是搞错了？地主 肯定耍花招了，这么下去周长肯定不是 无穷大。管家重新检查了一下周长：每 次抹去各条边的三分之一，换成两条相 同长度的线段，那么就变成了原先的三 分之四。每条边增长相同的比例，总周 长就也增长到原先的三分之四。
起始的三角形3条边，那么第一步得到的新 图形就有3x4=12条边，第二步得到的图形 就有3x4x4=48条边，接下去就是3x4x4x4条 边。。。。所以，从三角形开始，第一次 增加了3个三角形，第二次增加了3x4=12个 ，第三次3x4x4=48个，接下去是3x4x4x4个 。。。
太好了，最后就是算出每次 增加的三角形的面积，把它 们加起来就能算出总面积。 这很容易，因为新三角形的 边长都是老三角形的三分之 一，所以新三角形的面积是 老三角形的九分之一。老管 家一系列推算的心理活动全 在这儿。经过一番心算，他 终于得出了面积的计算公式 。想想是什么呢？
实验一
如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘 成“莫比乌斯带”，再沿线剪开，把这个圈一分 为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后 竟是一个大圈儿。 实验二 如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再 粘成“莫比乌斯带”，用剪刀沿画线剪开，剪刀 绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后 的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都 不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验 就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不是一分为 二，而是一大一小的相扣环。
奇妙的雪花曲线
奇妙的雪花曲线教学目标:(知识目标)1 通过对雪花曲线周长、面积等问题的探究让学生了解数学知识的形成过程;2 使学生了解分形几何的有关内容。
(能力目标)1 通过系列的探究性活动，使学生了解提出和解决数学问题的方法;2 通过对雪花曲线等图形的探究提高学生应用数学的能力。
(情感目标)1 让学生感受数学来源于实践，又服务于实践的辨证唯物主义观点2 通过生活中的具体实例，培养学生对数学美的认识以及对大自然的热爱。
教学重点:探究雪花曲线的周长及其所围面积;教学难点:雪花曲线所围面积的计算方法的寻求;教学方法:引导探究式教学媒体:计算机教学过程设计:1一、问题背景:播放雪景的图片，提问雪花的形状如何,激发学生兴趣。
二、研究问题:如果把雪花想象成如图所示的正六角形，提问学生能否从一个等边三角形出发作出这样的图形。
接着进一步指出，雪花的形状其实非常复杂，右图是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线，提问学生能否仍然从等边三角形出发作出这样的一条雪花曲线,由学生讨论得出:在等边三角形每条边的中央分别向外作等边三角形，边长是原三角形边长的三分之一，就得到了一个六角形。
依照此法，无限制的进行下去，就可以得到漂亮的雪花曲线了。
雪花曲线除了具有漂亮的外形，还蕴涵了哪些数学规律，这就是我们这节课要研究的内容(板书课题)2问题1:对雪花曲线作进一步思考，在雪花曲线的每一次生长中，相对于原三角形都发生了哪些变化,导学生发现它的边长、边数、周长和面积等都发生了变化。
问题2:逐步生长，探究周长的变化规律引导学生发现等边三角形的每一边在生长过程中所发生的变化都是相同的，因此可以只研究其中一条边的变化规律，从而找到解决问题的最优化策略。
让学生自主发现、互相讨论，共同寻找到规律:3得到周长的计算公式后可以提问学生:当n越来越大时，雪花曲线的周长会有什么变化,当原图中三角形的边长为1cm时，显然三角形的周长是3cm，n=33呢,n=82呢, 我们不妨用计算机计算出这样一组数据:n=33时，周长为39819.84cm，约为398米;10 n=82时，周长约为5.27×10cm。
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如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。
那么，什么是“雪花曲线”呢？
“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。
第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。
为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。
第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。
第五步、第六步……照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。
现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。
从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。
所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。
观察发现：
规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；
规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。
一、“雪花曲线”的面积：
为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。
第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是3×1/9。
第二步以后，边数变成3×4，向外作了3×4个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是3×4×(1/9)2。
第三步以后，边数变成3×42，向外作了3×42个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是3×42×(1/9)3。
第四步以后，边数变成3×43，向外作了3×43个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是3×43×(1/9)4。
依次类推，第n步以后，边数变成3×4n-1，向外作了3×4n-1个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)n，增加的面积是3×4n-1×(1/9)n。
于是，“雪花曲线”的面积
＝1＋3×1/9＋3×4×(1/9)2＋3×42×(1/9)3＋3×43×(1/9)4＋ (3)
S
雪
4n-1×(1/9)n＋…
化简，由第3项开始，从每项的最后一个因数中，拿出1个1/9，与前面的3乘在一起，于是：
＝1＋3×1/9＋(3×1/9)×(4×1/9)＋(3×1/9)×(4×1/9)2＋(3×1/9) S
雪
×(4×1/9)3＋…＋(3×1/9)×(4×1/9)n-1＋…
＝1＋1/3＋1/3×4/9＋1/3×(4/9)2＋1/3×(4/9)3＋…＋1/3×(4/9)n-1＋…
＝1＋1/3[1＋4/9＋(4/9)2＋(4/9)3＋…＋(4/9)n-1]＋…
中括号里面是一个首项为1，公比为4/9的无穷等比数列。
根据等比数列的求和公式，首项为a，公比为q时，等比数列前n项的和
＝a(1－q n)/(1－q)。
S
n
对于q＜1的无穷等比数列来说，q n趋于0，
S＝a/(1－q)。
这里，a＝1，q＝4/9＜1，所以，中括号里面的和等于1/(1－4/9)＝9/5。
于是，“雪花曲线”的面积是
＝1＋1/3×9/5＝1＋3/5＝8/5。
S
雪
即，“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。
二、“雪花曲线”的周长：
因为，周长＝边长×边数，而每次变化后，边长是原来的1/3，边数是原来的4倍，所以，周长是原来的1/3×4＝4/3。
也就是说，每次变化后，边长都比原来增加1/3。
随着变化的持续进行，周长会变得越来越大，以至无穷。
这就是“雪花曲线”的非同寻常之处：
它的面积是有限的；
它的周长却是无限的。
是不是“不可思议”？！。