高三物理总复习专题讲座(圆周运动

高三物理总复习专题讲座（圆周运动、万有引力）

一、基本概念

1、曲线运动

物体做曲线运动的条件:一定受到与速度方向不在同一条直线上的合外力的作用。

（1）作曲线运动质点的速度方向是时刻改变的，质点在某一位置速度的方向就在曲线上该点的切线方向上。

（2）曲线运动一定是具有加速度的变速运动，有时，它的加速度只改变速度方向(如匀速圆周运动)，有时，它的加速度能同时改变速度的方向和大小(如平抛运动等)．

（3）如果合外力方向与速度方向在同一条直线上，那么合外力所产生的加速度就只能改变速度大小，不能时刻改变速度的方向了．

（4）做曲线运动的物体的速度大小可能是不变的，如匀速圆周运动等．做曲线运动的物体加速度的大小、方向也可能是不变的，如抛体运动等．速度的大小和方向、加速度的大小和方向都变化的曲线运动也是屡见不鲜的。

2、匀速圆周运动

质点沿圆周运动，且在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动． 描述匀速圆周运动快慢的物理量

T r t s v π2==； T t π?ω2==； f

T 1=； v=ωr ； 转数（转/秒）n=f 同一转动物体上，角速度相等；同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等。

（1）线速度可以反映匀速圆周运动的快慢．它的大小用单位时间内通过的弧长来定义，即：v=s/t

线速度大，表示单位时间通过的弧长长，运动得就快．这里的s 不是位移，而是弧长．这与匀速直线运动速度的定义式是不同的。

线速度也是矢量．圆周上某一点线速度的方向，就在该点的切线方向上．由匀速圆周运动的定义可知，匀速圆周运动线速度的大小是不变的，但它的方向时刻改变，所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。

（2）角速度也可反映匀速圆周运动的快慢．角速度是用半径转过的角度φ与所用时间t 的比值来定义的，即：ω=φ/t(这里的角度只能以弧度为单位)．

角速度大，表示在单位时间内半径转过的角度大，运动得也就快．在某一确定的匀速圆周运动中，角速度是恒定不变的．角速度的单位是rad ／s ．

（3）周期也可描述匀速圆周运动的快慢．做匀速圆周运动物体运动一周所需的时间叫周期．周期的符号是T ，单位是s 。周期长，表示运动得慢；周期短，表示运动得快．

（4）有时也用转数n 来表示匀速圆周运动的快慢．转数就是每秒钟转过的圈数，它的单位是转／秒．ω=2πn ．

设质点沿圆周运动了一周，我们可根据这些物理量的定义式推导出它们之间有如下关系：v=2πr/T ，ω=2π/T ，v =ωr ，T=1/f ，T=1/n

3、向心加速度、向心力

r f r T

r r v a 222

22)2(4ππω==== r f m r T

m r m r v m ma F 222

22)2(4ππω=====

向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，产生向心加速度的力叫向心力。向心力和向心加速度都时刻在改变（圆周运动一定是非匀变速运动）。

ω相同时，a 与r 成正比；v 相同时，a 与r 成反比；r 相同时，a 与ω2成正比，与v

2成反比。

[例] 机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动，分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为：

A ．1 min

B ．

6059min C ．5960 D ．60

61min [解答]分针的角速度1800

360021ππω==rad/s 秒针的角速度306022ππω== rad/s 设经时间t 两针第二次重合，则ω2t-ω2t ＝2π 得：59

60593600==t ∴选答案C （1）匀速圆周运动既然是变速运动，那么做匀速圆周运动的物体必然有加速度．我们已经知道，与速度同向的加速度能使速度增大，与速度反向的加速度能使速度减小．但匀速圆周运动的速率既不增大也不减小，这说明它不具有与速度同向或反向的加速度，这个加速度也就只能时刻与速度相垂直，它所起的作用也仅是改变线速度的方向．与线速度相垂直也必与圆周切线相垂直，也必过圆心。所以，匀速圆周运动的加速度又被称为向心加速度，因为它的方向始终指向圆心．向心加速度也是矢量。

因为v 、ω的大小均不变，所以向心加速度的大小也就不变，但由于a 的方向始终垂直于速度在旋转变化，所以向心加速度不是恒量而是变量．匀速圆周运动不是匀加速运动而是变加速运动．

（2）向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。（向心力永远不做功）

显然，向心力的大小也是不变的，但其方向同样也与向心加速度的方向一样指向圆心且不断旋转变化着．所以向心力是变力，而不是恒力．

向心力这个名称是根据力的效果命名的，它是物体受的某一个力或某几个力的合力产生的一种效果．并不是说做圆周运动的物体又受到了另外一个新的特殊的力．

在匀速圆周运动中，向心力是由物体受到的合外力来担任的．也就是说，做匀速圆周运动的物体所受到的合外力的大小是不变的，方向始终与鸿度墨直并指向圆心．它只能改变速度的方向，不能改变速度的大小．求解匀速圆周运动的动力学基础仍是牛顿第二定律，这就提醒我们在处理匀速圆周运动问题时，同样也离不开分析物体的受力．

4、万有引力定律

万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的，它是自然科学最伟大的成果之一，宇宙间一切物体都是相互吸引的．任何两个物体间引力的大小跟它们质量的乘积成正

比，跟它们距离的平方成反比．这就是万有引力定律，用公式来表示为：F=Gm 1m 2/r 2

式中G 为引力常量，G 的单位从上述公式中可推导出是N ·m 2／kg 2，G 的数值为6.67×

10-11．这个数值等于两个质量1kg 的物体相距1m 时相互之间万有引力的牛顿数．它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的.

普通两个物体之间的万有引力是微不足道的，我们一般不予考虑．但在天体系统中，由于天体质量很大，所以它们之间的万有引力十分强大，天体之间的万有引力是这些天体做什么运动、怎样运动的直接的、决定性的因素．月亮绕地球运转，地球绕太阳公转，月亮、地球在运动过程中所需要的向心力就是由万有引力来提供的。

[练习一]

（1）以下说法是否正确

● 因为 n πω2= (n 为转数)，所以角速度与转数成正比．

● 向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢

● 向心加速度描述的是质点在圆周运动中，向心力变化的快慢

（2）如图所示，为A 、B 两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像．其中A 为双曲线的一个分支．由图可知：

A ．A 物体运动的线速度大小不变

B ．A 物体运动的角速度大小不变

C ．B 物体运动的角速度大小不变

D ．B 物体运动的线速度大小不变

答案：AC

（3）如图所示，物体在恒力F 作用下沿曲线从A 运动到B ，这

时突然使它所受力反向，大小不变，即由F 变为-F ，关于此后物体

的运动情况，下列说法正确的是：

A ．物体不可能沿曲线Ba 运动；

B ．物体不可能沿直线

Bb 运动；

C ．物体不可能沿曲线Bc 运动；

D ．物体不可能沿原曲线

B 返回A 。

（4）物体运动的速度方向、加速度方向与作用在物体上合外力方向的关系是：

A ．速度方向、加速度方向、合力方向三者总是相同的；

B ．速度方向可与加速度方向成任何夹角，但加速度方向总是与合力方向相同；

C ．速度方向总是和合外力方向相同，加速度方向可能和合外力相同，也可能不同；

D ．速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹角．

（5）如图所示，在匀强电场内将一质量为m 、电量为q 的

摆球拉至与悬点O 同一水平面处，由静止释放，则在开始的一

小段时间内摆球将作：

A ．匀速直线运动；

B ．匀加速直线运动；

C ．匀减速直线运动；

D ．变速圆周运动． 二、向心力应用问题

1、向心力的来源

向心力是合外力在指向圆心方向的分力，它不是某种性质力的名称，而是根据力的作用效果来命名的。向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由某一个力的分力提供。

如果合外力始终指向圆心且大小不变，则物体作匀速圆周运动。

2、向心力公式的应用

应用方法：

● 以指向圆心方向为正方向。

● 将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向。

● 求出指向圆心的各个分力的合力，即为向心力。

● 据牛顿第二定律列方程F 向=ma 向

[例]在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯

时，司机左侧的路面比右侧要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。

设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车轮与路面之间的横向(即垂直于

前进方向)摩擦力等于零，车速v 应多大？

[解答]

如图所示，为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况。重力与路面的弹力的

合力提供向心力，由平行四边形定则及牛顿第二定律得：

F 合/G=tg θ F 合=mv 2/R ∴θgRtg v =

[练习二]

（1）关于向心力，下列说法中正确的是：

A ．物体受到向心力作用才可能做圆周运动

B ．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的

C ．向心力可能是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可能是其中某一种力或某一种力的分力

D ．向心力只改变物体运动的方向，不可能改变物体运动的快慢

（2）放置在地面上的物体，由于地球自转

A ．都具有向心加速度

B ．向心加速度大小随纬度增加而减小

C ．向心加速度方向都指向地球中心

D ．产生此向心加速度的力都是由地球对物体的引力提供的

[解答]物体做匀速圆周运动，随着纬度的增加，半径减小，由a=ω2R

可知，a 减小，向心力由引力与地球的弹力的合力提供，答案：AB 。

（3）如图所示，小球用长为L 的细绳悬于O 点，使之在竖直平面内

做圆周运动，小球通过最低点时速率为v ，则小球在最低点时细绳的张力

大小为＿＿＿＿。(小球质量为m)

（4）如图，质量为m 的滑块滑到弧形底端时速率为v ，已知圆弧形

轨道的半径为R ，则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为＿＿

＿＿。

（5）如图示，质量为m 的小球用细绳悬于O 点，绳长为L ，在竖直

平面内做圆周运动，到达最高点时速度为v ，则此时绳子的张力为＿＿＿．

三、求解匀速圆周运动的思路和步骤

匀速圆周运动的求解应在动力学问题的框架范围内．它的核心仍是Σ

F=ma ．

(1)确定研究对象，分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤．

(2)以指向圆心的方向为正方向，来确定各个力的正、负号。建立起牛顿第二定律的方

程，并结合运用a=v 2/R=ω2R 等有关知识求解．

[例]如图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板上小孔O 的轻绳相连，用手捡着绳子另一端，使P 在水平板内绕O 作半径为a 角速度

为ω的匀速圆周运动.求：(1)此时拉绳的力多大；(2)

若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使P 绕O 作半

径为b 的匀速圆周运动．从放松到拉直这段过程经过了

多长时间?(3)P 作半径为b 的匀速圆周运动时，绳子拉

力又为多大? [解答]（1）手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆

周运动向心力的大小是相等的，故有F=m ω2a

(2)松手后，绳子拉力消失．小球将从刚松手的位置，沿圆周的切线方向，在光滑的水平面上作匀速直线运动．当绳在水平板上长为b 时，绳又被拉紧．在这一段匀速直线运动的过程中，球运动的距离为22a b -(如图b 所示)，故

t=s/v=22a b -/（a ω）

(3)将刚拉紧绳时球的速度a ω1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。在绳被拉紧的短暂过程中，球损失了沿线的分速度，保留着垂直于绳的分速度作匀速圆周运动．被保留的速度的

大小为：v ＇=va/b= a 2ω/b

所以绳子后来的拉力F ＇为：Ｆ＇＝ｍｖ＇２／Ｒ＇＝ｍω２ａ４／ｂ

３ 四、竖直面上圆周运动 最高点：恰能通过最高点的临界速度gR v =

最低点：最大速度、最大拉（压）力

联系最高点和最低点：机械能守恒定律

[例]如图，轻杆长Ｌ，质量可忽略不计，杆的一端连接着一质量为ｍ的小球，另一端装在固定转轴上．设小球在竖直平面内作圆周运动．(1)当它在圆周的最低点，速率为ｖ时，求其对杆作用力的大小和方向；(2)当它在圆周最高点，速率为

ｖ时，求其对杆作用力的大小和方向．

[解答]小球在竖直平面内作的圆周运动并不是匀速圆周运

动。但在最低点和最高点这两个特殊位置，我们仍可用求解匀速

圆周运动的方法和公式求解，因为在这两个位置。小球受的外力

都在圆周半径方向上，它们的合力就是向心力．

在最低点：此位置杆对球作用力Ｎ的方向只可能向上，并且

Ｎ＞ｍｇ，故有：

Ｎ－ｍｇ＝ｍｖ２／Ｒ，Ｎ＝ｍｇ＋ｍｖ２/L ．

在最高点：此位置杆对球作用力的方向尚不能确定，我们可暂时假设N 与mg 同向，

即杆对球有向下拉力作用．则有ｍｇ+Ｎ=ｍｖ２／Ｌ,Ｎ＝ｍｖ２／Ｌ－ｍｇ

如果Ｎ确与ｍｇ同向，方向指向圆心，则Ｎ＞0，即

ｍｖ２／Ｌ－ｍｇ＞０，Lg v > 若Lg v =，则由Ｎ的表达式可得Ｎ＝0，即此时杆对球无作用力，重力唯一地起着向心力的作用； 若Lg v <，

可得Ｎ＜0，则说明杆对球有向上托力作用，这个力的方向与正方向相反，背离圆心．

根据上述分析，我们可以得到这样的结论：在最低点，不管小球以多大的速度运动，杆对球的拉力都是向上的．但在最高点，杆对球作用力的大小和方向取决于v 的大小．Lg 是一个临界值．当Lg v >时，因速度大，所需的向心力就大，ｍｇ不能满足向心力的需要，需要杆向下的拉力来补充；当Lg v <时，因速度小，所需的向心力也小，ｍｇ超过了向心力的需要，故杆产生了向上的托力来抵消ｍｇ的一部分作用；若Lg v =

，这说明重力ｍｇ恰能满足向心力的需要，故此时杆对球没有作用力．

如果此题小球不是固定在轻杆的下端，而是系在细线下端，

让它在竖直平面内做圆周运

动．则小球能运动到圆周最高点的最小速度应为Lg ，若Lg v <，如前所述，重力己超过了向心力的需要，而细绳在最高点又不可能象轻杆那样对球有向上的托力，所以此时小球不可能到达圆周最高点，它到达最高点前就已离开圆周了。

五、万有引力定律

这里列出的五个式子中，左边两个代表万有引力（重力），它们是天体运动向心力的来源；右边三个式子代表向心力；依据万有引力（重力）作为天体运动的向心力的思路，可按照题设已知条件和未知量在此五式中选择两个组成方

程，通过求解方程得到所需要的结果。 式中r 为轨道半径，r=R+h ；g ’为高度为h 的轨道上的重力加速度，g h R R g 2

2

)(+=' [例]求第一宇宙速度，（1）已知M 、R ；（2）已知g 、R [解答]由R v m R

Mm G 22=，得R GM v = (1) 由R

v m mg 2

=，可得gR v = (2) 将(1)、(2)两式中的R 都用地球半径、M 用地球质量、g 用地面附近重力加速度数值9.8m/s 2代入，均可得到第一宇宙速度v 1=7.9×103m/s ．

[例]试证明天空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的平方根成反比。

[解答]由 R T m R Mm G 20224π=和ρπ334R M =，解得：ρ

πG T 3= 六、天体和卫星的运动

我们把月亮绕地球的运转、地球绕太阳的公转以及人造地球卫星的运动都近似地处理成匀速圆周运动的问题．研究这一类问题的基础是万有引力定律、牛顿第二定律以及有关匀速圆周运动线速度、角速度、周期以及向心加速度的一些公式．天体、卫星所需要的向心力就是它们受到的万有引力．

1、三个宇宙速度

第一宇宙速度(环绕速度)是人造地球卫星在地面附近环绕地球运转的必须具有的速度，

第一宇宙速度v 1=7.9×103m/s ．

第二宇宙速度(脱离速度)是卫星挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运转行星的最小速

度．v 2=11.2×103m ／s ．

第三宇宙速度(逃逸速度)是卫星挣脱太阳的束缚，飞出太阳系运动的最小速度．V 3=16.7×103m ／s ．

2、在不同轨道上运动的卫星的讨论

以第一宇宙速度运动的卫星是沿地面附近运行的，其轨道半径被认为是地球半径．还有许多卫星(如气象卫星、通讯卫星等)在地面上方很高处运行，其轨道半径远比地球半径大，这些卫星的有关物理量如何随轨道半径的变化而变化呢?我们可根据万有引力定律和牛顿运动定律加以讨论．

2r Mm G )(g m mg 'r v m 2

r m 2ωr

T m 2

2

4π

(1)卫星的运行速度： 由r v m r

Mm G 22=，可得r GM v =． 上式的r 是卫星的轨道半径，它应等于地球半径R 与卫星离地面的高度h 之和．从此式可看出，由于引力常量G 和地球质量M 一定，所以卫星离地面越远，轨道半径越大，其运行的速度就越小．需要说明的是，这里的速度是卫星在远轨道上的运行速度，不是从地面把卫星送上天的发射速度．实际上把卫星发送到较远的轨道上，耗费的能量要大，从地面发射的速度也要大．

(2)卫星运行的角速度： 由r m r Mm G 22ω=，可得3r

GM =ω， 由此式可看出，卫星离地越远，r 越大，ω就越小．

(3)卫星运行的周期：

r T m r Mm G 2224π=，GM

r T 324π=， 同样可以看出，r 越大，T 就越大．若卫星的周期与地球自转周期T 0相同，则此卫星叫同步卫星．同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合．其离地面高度由

)(4)(2022h R T m h R Mm G +=+π，可求得：R GMT h -=32204π

(4)卫星的加速度：

卫星的加速度是由地球的万有引力产生的，它就是卫星做匀速圆周运动的向心加速

度．a=F 万/m=GM/R 2 (1)

卫星的加速度与地面上物体的重力加速度本质上是一致的，它们都是由地球万有引力产

生的．不过卫星的重力加速度g ＇的数值远比地面附近的重力加速度g(9.8m ／s 2)的数值小．由

平方反比关系可得：

g h R R g 22

)

(+=' (2) (1)、(2)两式中的加速度是同一个加速度．所不同的仅是考虑问题的角度不同罢了。

(5)完全失重和卫星的重量

当卫星在轨道上运行时，舱内的宇航员及其它物体都处于完全失重状态．这里所指的完全失重状态并非指人和物体不受地球引力作用，仅是反映了人和物对支持物(地板)没有压力，用测力计去称他们的重力，读数为零。毫无疑问，人和物仍要受到地球万有引力(重力)的作用．不过比其在地面附近所受的重力要小．

3、双星的运动

两颗离得较近的天体称为双星．双星都是以它们连线上的某点为公共圆心，以相同的角速度做匀速圆周运动．这时万有引力作为向心力起着只改变它们的速度方向，不改变速度大小的作用．也只有这样，它们才能处于稳定的状态，不至于因巨大的吸引作用而导致碰撞、毁灭．

求解双星问题有两点值得注意：①它们做匀速圆周运动的向心力是相等的；②它们运行

的周期是相同的．因为只有周期相同，它们之间的距离才可能保持不变．它们才可能稳定运行的状态之中．

[例]质量分别为m 1和m 2、相距为L 的双星，绕其连线上的O 点匀速旋转．求它们各自的轨道半径和周期．

[解答]由万有引力定律和牛顿第二定律可得：

对m 1：122

12214R T

m L m m G π= (1) 对m 2：)

(4122222

1R L T m L m m

G -=π (2) 将(1)、(2)化简后再相除，便可得： 2

121m m L

m R +=

2

112m m L

m R +=

再将R 1数值代人(1)可得：

)(2213

m m G L T +=π