人教A版高中数学必修5：一元二次不等式及其解法 课时练习

课时作业16 一元二次不等式及其解法
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B 等于( )
A ．(－∞，－1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞) 解析：因为3x ＋2>0，所以x >－23
. 所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >－23. 又因为(x ＋1)(x －3)>0，所以x >3或x <－1.
所以B ＝{x |x <－1或x >3}．
所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x >－23∩{x |x <－1或x >3}＝{x |x >3} 答案：D 2．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )
A ．[－7,1]
B ．(－7,1)
C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：由7－6x －x 2>0，得x 2
＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B
3．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：由(x －1)2<3x ＋7，得x 2－5x －6<0，解不等式得－1<x <6，
∴集合A ＝{x |－1<x <6}，
∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5，共6个．
答案：C
4．若函数f (x )＝1
kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则常数k 的取值范围是( )
A ．(0,4)
B ．[0,4]
C ．[0,4)
D ．(0,4]
解析：∵函数f (x )＝
1kx 2＋kx ＋1的定义域为R ，∴kx 2＋kx ＋1>0对x ∈R 恒成立．当k >0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4；当k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立；当k <0时，不符合条件．故0≤k ＜4.选C.
答案：C
5．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，应有( )
A ．f (5)<f (2)<f (－1)
B ．f (2)<f (5)<f (－1)
C ．f (－1)<f (2)<f (5)
D ．f (2)<f (－1)<f (5)
解析：由不等式的解集为{x |x <－2或x >4}，得x ＝－2和x ＝4是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c
的图象与x 轴交点的横坐标，故f (x )的图象的对称轴为x ＝－2＋42
＝1，且其图象开口向上结合图象可得f (5)>f (－1)>f (2)．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．
解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1.
答案：{－1}
7．不等式x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a <0的解集为________．
解析：由题得[x －(a ＋1)](x －a )<0，
所以a <x <a ＋1.
答案：(a ，a ＋1)
8．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.
①当x ≥0时，不等式即为
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
－4x ＋6>3，x ≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >3或x <1，x ≥0，
即x >3或0≤x <1；
②当x <0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋6>3，x <0，
解得－3<x <0.
综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3,1)∪(3，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }．
(1)求a ，b 的值；
(2)解不等式ax 2－(a ＋b )x ＋b <0.
解析：(1)由题意得x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，且a >0，则
⎩⎪⎨⎪⎧
1＋b ＝3a ，1·b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2. (2)由a ＝1，b ＝2得不等式为x 2
－3x ＋2<0， 即(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. ∴不等式的解集为(1,2)． 10．解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0. 解析：方程x 2
＋(1－a )x －a ＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝a . ∵函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象是开口向上的抛物线，
∴当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}；
当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；
当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }． [能力提升](20分钟，40分)
11．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2
>0的解集是( )
A ．{x |x <5a 或x >－a }
B ．{x |x >5a 或x <－a }
C ．{x |－a <x <5a }
D ．{x |5a <x <－a }
解析：方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a,5a .∵2a ＋1<0，∴a <－12，∴－a >5a .结合函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x |x <5a 或x >－a }．故选A.
答案：A
12．不等式2x －3x －4≤14
的解集为________． 解析：不等式2x －3x －4≤14可化为2x －3x
－4≤2－2， 因为函数y ＝2x 为增函数，
所以x －3x
－4≤－2， 移项，通分整理得x 2－2x －3x
≤0， 此不等式等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≥0，x <0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≤0，x >0，
解得x ≤－1或0<x ≤3.所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪(0,3]．
答案：(－∞，－1]∪(0,3]
13．设f (x )＝(m ＋1)x 2
－mx ＋m －1.
(1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集； (2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3，求m 的值． 解析：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2
－x >0， 因此所求解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. (2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，
由题意知32
，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根， 因此⎩⎪⎨⎪⎧ 32＋3＝m m ＋132×3＝m m ＋1⇒m ＝－97
. 14．解关于x 的不等式kx 2
－2x ＋k <0(k ∈R )．
解析：①当k ＝0时，不等式的解为x >0.
②当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k
； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．
③当k <0时，若Δ＝4－4k 2
>0，
即－1<k <0时，不等式的解为
x <1＋1－k 2
k 或x >1－1－k
2
k ；
若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；
若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅；
0<k <1时，不等式的解集为
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1－1－k 2
k <x <1＋1－k 2
k ；
k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；
当－1<k <0时，不等式的解集为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k
2
k ；
k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；
k <－1时，不等式的解集为R .。