梁弯曲

2、梁弯曲的正应力公式 （1）变形规律
(a) 横线（m-m,n-n）仍是直 线，只是发生相对转动，但 仍与纵线（a-a，b-b）正交。 (b) 纵线（a-a,b-b）弯曲 成曲线，且梁的一侧伸长， 另一侧缩短。 平面假设----梁变形后，其 横截面仍保持平面，并垂直 于变形后梁的轴线，只是绕 着梁上某一轴转过一个角度。
二、平面弯曲正应力与强度条件 1、梁弯曲的应力特点 （1）梁的横截面上同时存在 剪力和弯矩时，这种弯曲称 为横弯曲。横弯梁横截面上 将同时存在剪应力和正应力 。而且剪应力只与剪力有关， 正应力只与弯矩有关。 （2）纯弯曲—如图示平面弯 曲梁，CD段内各横截面上的剪 力为零，而弯矩为常数。
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F
y
0
得 得
FS1 qa F 0
M 1 qa a Fa 0 2
由 M1 0 得
FS1 13kN
M 1 18kN m
阵求得FS 1 为正值，表示 FS 1 的实际方向与假定的方向相同； M 1为负 值， 表示 M 1 的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力的符 号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。 （二）简易法求内力 求梁的内力还可用简便的方法来进行，称为简易法。 通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。 1．剪力的规律 计算剪力时，对截面左(或右)段梁建立投影方程，经过移项后可得
M M C左
或
M M C右
上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包 括力偶)对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁 段产生下凸弯曲变形时(即上部受压，下部受拉)，等式右方取正号；反之取负号， 此规律可记为“下凸弯矩正”。 用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。
梁的平面弯曲
3、纵向对称面— 通过梁的轴线和 横截面的对称轴 的平面。
4、平面弯曲：梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这 些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时， 梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线， 这种弯曲形式称为平面弯曲，如图所示。
平面弯曲的两种形式 横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲
E
Eຫໍສະໝຸດ y纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性 轴的垂直距离y成正比。
（3）应力计算公式
静力平衡： M MZ E
A

y dA
2
E

IZ
M .y IZ
截面惯性矩： I Z y 2 dA
A
梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还 有剪应力。对于细长梁l≥5h，剪应力对正应力和弯曲 变形的影响很小，可以忽略不计，应变和应力公式仍然 适用。但要求：对于横截面具有对称轴的梁，外力要作 用在对称平面内；对于横截面无对称轴的梁，外力要作 用在形心主轴平面内。
载荷简化
（1）分布载荷q(x) ――连续作用在一段长度
的载荷。
例如：自重、惯性力、液压等， 单位： N/m。
q(x)
a
d x
b
（2）集中力P
dx
（3）集中力偶 M
剪力和弯矩
例 弯矩。 一悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图8-9所示，求截面1-1上的剪力和
解: 对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如 图 （b)所示。 由
（1）变形规律（续） 考察梁上相距为dx的微段，其变形如图b所示。则 距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为（+y)d， 其纵向正应变为
( y )d d y d
纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度 线性分布。
（2）应力分布 以上分析表明：梁横截面上各点只受正应力作用， 再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点 处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律
2、剪力图和弯矩(bending moment)图 （1）剪力方程和弯矩方程---取梁的一端为坐标原点， 以梁的轴线为横坐标x ，表示横截面在梁轴线上的位 置；用截面法依据静力平衡条件求得剪力和弯矩随坐 标x变化的函数。 Q=f1(x),M=f2(x)
（2）剪力图和弯矩图—用图线表示梁的各截面上的 剪力和弯矩沿梁的轴线变化的情况。可以确定梁的 最大剪力和最大弯矩。
例:图示简支梁在Ｃ点受集中力偶m作用。试建立梁的 剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：(1)求支座反力 RA=RB=m/l (2)建立剪力与弯矩方程
Q1(x)=m/l，M1(x)=mx/l
Q2(x)=m/l，M2(x)=-m(l-x/l) (3)作剪力图和弯矩图 (4)求Qmax和Mmax
梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用
（1）变形规律（续）
中性层---根据平面假 设梁弯曲后，其纵向 层一部分产生伸长变 形，另一部分则产生 缩短变形，二者交界 处存在既不伸长也不 缩短的一层。 中性轴---中性层与横截面的交线。横截面上位于中性轴 两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的 应力为零。
（2）弯矩符号：使一微段梁发生向下凹的弯曲变形的 弯矩规定为正，反之为负
剪力与弯矩的符号规定：
因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反 的 。故对弯曲内力的符号做如下规定： 有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正， 反之为负；使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反 之为负。 口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正
8-7：图示悬臂梁受均布载荷作用，且q=40kN/m，梁的许 用应力[]=140MPa，试对以下三种形状比较所耗材料（1） h=2b的矩形，（2）圆形，（3）工字形。
矩形：A1=7152.1mm2 圆形：A2=10082.1mm2 工字形：A3=2610mm2
8-8： T形铸铁梁如图所示，已知许用拉应力[+]=40MPa， 许用压应力[-]=120MPa，IZ=10186cm，y1=9.64cm。试求 许可载荷Fmax。
梁的弯曲
一、梁弯曲时的内力—剪力与弯矩 二、平面弯曲正应力与强度条件 三、平面弯曲切应力与强度条件 四、提高梁的强度与刚度的措施
梁的弯曲概念
1、弯曲：杆件在通 过轴线的纵向平面内， 受到垂直于其轴线的 外力或外力偶的作用， 使杆件的轴线变成曲 线，这种变形称为弯 曲。 2、梁：通常以弯曲 为主要变形的构件 称为梁。
FB 25kN
又由
M
由①、②得
FA 35kN
(2)求截面1-1上的内力
在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图1 （b)，内力 FS1和 M 1 均先假设为正的方向，列平衡方程：
由
F
y
0 得
1
FA F1 FS1 0
由
M
0
得
FA 2 F1 1 M1 0
F1 FA F1 35 30 5kN
由①、②得
M 1 FA 2 F1 1 40kN.m
求得 FS1 和 M 1 均为正值，表示截面1-1上内力的实 际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩 都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向， 由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正 负。 如取1-1截面右段梁为研究对象，可得出同样的结果。
（1） 减小最大弯矩
(b) 改变支座的位置
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（2）提高抗弯截面系数
Fmax=44.2kN
8-9：当力F直接作用于简支梁的中点时，梁的最大正应力 超过许用应力的30%，为了消除这一现象，可以配置如图所 示的辅助梁CD。试求此辅助梁的跨度a。
a=3l/13
8-10：一铸铁梁的受力和截面尺寸如图所示， IZ=7.64×106mm2。铸铁材料的拉、压许用应力分别为 [+]=40MPa、 [-]=80MPa。试校核此是否安全。 解：(1)绘梁的内力图 (2)强度校核 M B ymax max IZ
梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算， 应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
由于所研究的是等截面的直梁，而且外力为作用在梁纵对称面内
的平面力系，因此，在梁的计算简图中，通常取梁的轴线来代替梁。 2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。
一、梁弯曲时的内力—剪力与弯矩
1、剪力Q和弯矩M---剪力是横截面切向分布内力的合力； 弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。
(1)用截面法，根 据静力平衡求内力 ∑FY=0: ∑MA=0: M=P1.a+Q.x =P1.a+(RA-P1).x Q=RA-P1
(2)内力符号规定 （1）剪力符号：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正， 反之为负
FS Fy左
或
FS Fy右
上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有 外力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向 转动趋势时，其投影取正号(图8-6a)；反之取负号(图8-6b)，此规律可记 为“顺转剪力正”。
2．求弯矩的规律 计算弯矩时，对截面左(或右)段梁建立力矩方程，经过移项后可得
(bending by transverse force)。
横截面上只有弯矩没有剪力。
例如：CD段。 称为纯弯曲(pure bending)。
4
静定梁的基本形式
简支梁：一端为固定铰 支座，而另一端为可动 铰支座的梁 悬臂梁：一端为固定端， 另一端为自由端的梁 外伸梁：简支梁的一端或两端 伸出支座之外的梁
C=108.6MPa
例6： 矩形截面外伸梁如图所示，已知q=10kN/m，l=4m， h=2b，[]=160MPa。试确定梁的截面尺寸。