高等数学单元测试题

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高等数学测试题(一)极限、连续部分(答案)

一、选择题(每小题4分,共20分) 1、 当0x →+时,(A )无穷小量。

A 1sin x x

B 1

x e C ln x D 1

sin x x

2、点1x =是函数31

1()1131x x f x x x x -<⎧⎪

==⎨⎪->⎩

的(C )。

A 连续点

B 第一类非可去间断点

C 可去间断点

D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的(D )。

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 无关条件

4、已知极限22

lim()0x x ax x

→∞++=,则常数a 等于(A )。

A -1

B 0

C 1

D 2

5、极限2

01

lim cos 1

x x e x →--等于(D )。

A ∞

B 2

C 0

D -2

二、填空题(每小题4分,共20分) 1、21lim(1)x x x

→∞

-=2

e -

2、 当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常

数A=3

3、 已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数2

1()2

x f x -=,

则函数值(0)f =0

4、 111

lim[

]1223

(1)

n n n →∞++

+

••+=1

5、 若lim ()x f x π

→存在,且sin ()2lim ()x x

f x f x x ππ

→=

+-,则lim ()x f x π→=1

二、解答题

1、(7分)计算极限 222111

lim(1)(1)(1)23n n

→∞-

-- 解:原式=132411111

lim()()()lim 223322

n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•=

2、(7分)计算极限 3

0tan sin lim x x x

x →-

解:原式=2

322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2

x x x x x x

x x x x x x x →→→--===

3、(7分)计算极限 1

23lim()21

x x x x +→∞++

解:原式= 11

122

11

22

21lim(1)lim(1)1212

11lim(1)lim(1)11

22

x x x x x x x x

x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++

=+•+=++ 4、(7分)计算极限 0

1

x e →-解:原式=201

sin 12lim 2

x x x

x →=

5、(7分)设3214

lim 1

x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值

解:因为1

lim(1)0x x →-+=,所以 3

2

1

lim(4)0x x ax x →---+=,

因此 4a = 并将其代入原式

321144(1)(1)(4)

lim lim 1011

x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

6、(8分)设3()32,()(1)n

x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得

()()x x αβ

解:

32221()32(1)(2)

(1)(2)3

lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x c

α→=-+=-+-+=∴==- 此时,()()x x αβ

7、(7分)试确定常数a ,使得函数21sin 0()0

x x f x x

a x

x ⎧

>⎪

=⎨⎪+≤⎩

在(,)-∞+∞连续

解:当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续。

002

1

lim ()lim sin 0

lim ()lim()x x x x f x x x f x a x a +

-

→→→→===+= 所以 当0a =时,()f x 在0x =连续

因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞连续。

8、(10分)设函数()f x 在开区间(,)a b 连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 至少存在一点c ,使得

11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>

证明:因为()f x 在(,)a b 连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m ,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以

12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以

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