大物复习题汇总

【7-11】一条无限长直导线在一处弯折成半径为 R 的圆弧，
如图所示，若已知导线中电流强度为 I，试利用毕奥-萨伐
I
尔定律求:(1)当圆弧为半圆周时，圆心 O 处的磁感应强度 B;
(2)当圆弧为 1/4 圆周时，圆心 O 处的磁感应强度。
解:（1） B B左 B中 B右 因左右两边的半无限长的延迟线经
S
S
4R3 30
E R3 3r 20
当 r < R 时，同理有
S
E
E
• dS EdS
S
qr 4 0R3
cos
0
E
E dS E4 r2 q
S
qr 4 0R3
rˆ, (r
R)
r3 R3
q 4r 3 3
Ex3 静电场环路定理,电势能,电势
6-17 如图所示，A 点有电荷+q，B 点有电荷-q，AB=2l，OCD 是以 B 为中心、 l 为半径的半圆。
强 dE1
dE1i
且 dE1
dx 40 x2
，
La dx
L
EP1 Q dE1 i a
40 x2
i 40a(a L)
即
P1
点场强大小为
L 4 0 a(a
L)
，方向沿
AP1
方向。
6.5 一根玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其上电荷均匀分布，总电荷为 q，求半圆中心 O 点
的场强。
解：如图，以半圆圆心为原点、对称轴为 x 轴建立坐标系，在棒上取电荷元 dq。
q 4 0
3l
q 4 0l
q 6 0l
单位正电荷从 O 点移到 D 点，电场力做功为：
WOD
q(U O
UD)
1[0
(
q 6
0l
)]
q 6
0l
（2）单位正电荷从 D 点移到无穷远处，电场力做功为：
WD
q(U D
U)
1[(
q 6
0l
)
0]
q 6
0l
6-19. 在半径分别为 R1 和 R2 的两个同心球面上，分别均匀带电，电荷量各为 Q1 和 Q2，且 R1<R2。求下列区域内的电势分布：（1）r<R1；（2）R1<r<R2；（3） r>R2。 解：半径为 R 的均匀带电球面在空间产生的电势为：
dq dS q Rd q d
R
dq 与其对称电荷元 dq 在 O 点产生的场强沿 y 轴的分量抵消，
合场强沿 x 轴正向。关于 x 轴对称分布的任一对电荷元皆如此。
EO EOxi i qdEx
dE
dq 4 0 R 2
q 4 2 0R2
d
dEx
dE
cos
4
q 2 0 R2
cosd
故
E0
解： 球内外 E 的分布都具有球对称性， 所以在球内外做同心球面为高斯面 由高斯定理：
E • dS EdS cos
S
S
E cos0 dS E dS E4r2
S
S
q i
r R包围整个电荷 q
0
r R时q' 4r 3 3
当 r>R 时
E cos0 dS E dS E4r2
we
1 E2 2
Q2 32 2 r4
则球形电容器的电场能量为We
RB 1 E2dV 2 RA
RB Q2 4 r2dr Q2 ( 1 1 )
RA 32 2 r4
8 RA RB
又因为即 We
Q2 2C
EX6 直线电流和圆电流的磁场 磁场的高斯定理
过圆心，因而在圆心产生的磁感应强度为
0，
B
0
B中 =
0I 4R
（2）类似前面，得到向下和向左流向的电流通过圆心，因而在圆心产生
⑴r<R1 处：
E dS
q 0 E0
0 0
⑵R1< r<R2 处：
E dS 上 下 侧 侧E dS 2 rh E
qi h
0
0
E
2 0r
在图示情况，方向沿径向向外
⑶ r>R2 处：
E dS
qi 0 E 0
0 0
6-14、一半径为 R 的均匀带电球体，其电荷体密度 为一常数，求此带电球体内外的场强分布。
上电荷的面密度为 。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。
解： 外力做功等于电容器电场能的增加：
W
We2
We1
q2 2
(1 C0
1) C
将C
0 r S d
， C0
0S d
，q
S ，V
Sd 代入求得
W 2V ( r 1) 2 0 r
6.29 若球形电容器两同心金属球面半径分别为 RA 和 RB（RA<RB）,带电荷分别为+Q 和-Q，
（1） 将单位正电荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点，电场力做功多少？ （2） 将单位负电荷从 D 点沿 AB 延长线移到无穷远处，电场力做功多少？
解：（1）选择无穷远处为电势零点
O 点电势：UO
qA 4 0RA
qB 4 0RB
q 4 0l
q 4 0l
0
D
点电势：U D
qA 4 0RA '
qB 4 0RB '
i
2 2
q 4 2 0R2
cosd
2
q 2 0 R2
i
或
E0
2i
2 0
4
q 2 0 R2
cosd
q 2 2 0R2
i
EX2 静电场的高斯定理
6-13.两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2( R1< R2)，带有等值异号电荷，单位长度的电 荷量为 和-，求距离轴线 r 远处的场强，当⑴ r<R1 处，⑵ R1< r<R2 处，⑶ r>R2 处 解：作同轴半径为 r 高为 h 的封闭高斯面
r R r R
U1
Q 4 0R
U2
Q 4 0r
根据球面电势的叠加原理
(1)r
R1时
U Q1 Q2 4 0R1 4 0R2
因此
(2)R1
r
R2时
U Q1 Q2 4 0r 4 0R2
(3)r R2时
U Q1 Q2 4 0r
EX5 电容器,电场能量
6.29 平板电容器两板间的空间（体积为 V）被相对介电常数为 r 的均匀电介质填满。极板
两球面间充满介电常量为 的均匀电介质，设其电容量为 C，试证明次电容器电场的能量
为 We
Q2 2C
。
证明：在球形电容器两极板间作半径为 r 的同心高斯球面 S
由高斯定理
D dS D 4 r2 Q
(RA r RB )
得D Q 4 r 2
则E D Q 4 r2
则半径为
r
处的能量密度为
EX1 电场强度与场强叠加原理
6.4 如图所示，长为 L 的均匀带电细棒 AB。设电荷的线密度为 。求：（1）AB 棒延长线上 P1 点的场强（P1 点到 B 点的距离为 a）。 解：（1）如图，取 P1 点为原点、P1A 向为 x 轴正向建立坐标系。
在 AB 上距 P1 为 x 处取电荷元 dq=dx，其在 P1 产生的元场