高一新生入学分班考试--数学
湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题 答案和解析
湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题答案和解析湖南省长郡中学高一入学分班考试数学试题一、单选题1.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a\end{cases}$的解x为非正数，y为非负数，则a的取值范围是（）。
A。
$-2<a\leq3$ B。
$-2\leq a<3$ C。
$-2<a<3$ D。
$a\leq-2$2.已知$a^2+b^2=6ab$，且$a>b>0$，则$\dfrac{a+b}{a-b}$的值为（）。
A。
2 B。
$\pm2$ C。
$2\sqrt{2}$ D。
$\pm2\sqrt{2}$3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）。
A。
$\dfrac{1}{3}$ B。
$\dfrac{2}{3}$ C。
$\dfrac{1}{9}$ D。
$\dfrac{1}{6}$4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式$x-y$，因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$，若取$x=9$，$y=9$时，则各个因式的值是：$x-y=0$，$xy=81$，$x^2+y^2=162$，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式$x-xy$，取$x=20$，$y=10$时，用上述方法产生的密码不可能是（）。
A。
B。
C。
D。
5.如果四个互不相同的正整数$m,n,p,q$，满足$(5-m)(5-n)(5-p)(5-q)=4$，那么$m+n+p+q=$（）。
A。
24 B。
21 C。
20 D。
226.若$x_1,x_2$（$x_1<x_2$）是方程$(x-a)(x-b)=1$（$a<b$）的两个根，则实数$x_1,x_2,a,b$的大小关系为（）。
2024年秋季新高一入学分班考试模拟卷数学答案(广东版)
2024年秋季高一入学分班考试模拟卷（广东专用）（02） 数 学答案及评分标准一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DACBDAABAA二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分）11．7 12．4 13． 30 25 14．(3,4]15．0或1或12 16．1− 18．120212 三、解答题 19．（10分）【详解】（1）由交集的定义可知，{}5A B = ；由并集的定义可知，{}2,3,4,5,7A B ∪=； （2）由补集定义可知，{}2,3,6U A = ，(){}2,3U A B ∩=. 20．（10分）【详解】22332428x x x x x x ++−−− ()22324(2)(2)24xx x x x x x x ++=−−−++3122x x =−−− 22x =−， 当3x =时，原式2232==−. 21．（10分）【详解】（1）解：若命题p 为真命题，即命{}620x x x ∃∈≤≤∣，2x a <，所以62a <，所以3a >， 若命题q 为真命题，即R x ∀∈，220x x a +−>，所以2240a ∆=+<，解得1a <−， 因为命题p 和命题q ¬有且只有一个为假命题，当命题p 为假，命题q ¬为真时31a a ≤≥− ，解得13a −≤≤；当命题p 为真，命题q ¬为假时31a a > <− ，所以a ∈∅； 所以[]1,3a ∈−；（2）解：若命题p 和命题q 都为假命题，则31a a ≤ ≥−，即13a −≤≤；因为命题p 和命题q 至少有一个为真命题，所以3a >或1a <−，即()(),13,a ∞∞∈−−∪+； 22．（10分）【详解】设甲地销售了x ()110,N x x ≤≤∈辆，则乙地销售了()10x −辆，总利润设为y 万元， 故()44341040y x x x x x=−+−=−++，根据基本不等式，44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，故44040436y x x=−++≤−=故最大利润为36（万元）. 23．（12分）【详解】（1）当2x =−时，()222211y =−−+×−+=，所以m =1， 故答案为：1；（2）根据表格数据，描点画图如下：（3）根据图象可知，函数具有如下性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一）（4）①由图象可知：函数图象与x 轴有两个交点， 所以方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根， 故答案为：2；②方程﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时， 即表示y ＝a 与图象有4个交点，故由图象可知，a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为：1＜a ＜2． 24．（12分）【详解】（1）连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ， 因为粒子注入和引出路径都与圆O 相切， 所以∠EAO =90°-905337α=°−°=°， 因为OE ⊥AB ，OE 所在的是直径，AB 为弦， 所以AE =BE =18km 2AB =，则tan ∠EAO =8OE OEAE =， 所以38tan 37864OE =°≈×=km ，所以AO 10≈=km ， 所以圆O 的直径为2×10=20 km ；（2） CD的长l =90105km 180ππ×=， 因为 3.2π<，所以55 3.2=16π<×， 则AB 的长度更长． 25．（16分）【详解】（1）260x x −−=①，所以(2)(3)0x x +−=， 所以12x =−，23x =，215x x −=，故①不是“邻根方程”；2210x −+=②，所以21142x x =⇒=± ，所以122111122x x x x −−，，，故②是 “邻根方程”； （2）因为方程2(1)0x m x m −−−=（m 是常数）是“邻根方程”， 所以方程必有两不相等实根，即22(1)4(1)0m m m ∆=−+=+>，记12x x <，由求根公式有：12x x =所以12111x x m −===⇒+=，解得：0m =或2m =−；（3）因为方程210ax bx ++=是“邻根方程”， 记12x x <，所以122214x x b a a −=⇒=+，所以22281(4)126t a a a a b =−+=−=−+−， 所以当4a =时，t 的最大值为16. 26．（16分）【详解】（1）ACE △为等腰三角形，理由如下：对于直线13:34=+l y x ， 令0x =，可得3y =，令0y =，可得4x =−，即()()4,0,0,3A B −； 将点()2,0C ，()0,6D 代入直线2:l y kx b =+， 可得206k b b +== ，解得36k b =− = ，则直线2:36l y x =−+， 联立方程33436y x y x =+=−+ ，解得45185x y= =，即418,55E ，可得6,6AE CE AC ==，即AEAC CE =≠，所以ACE △为等腰三角形. （2）①当P 、Q 在CE 上时，如图1，此时OPC OPQ ≅ ，则2OQOC ==，设(3),6Q m m −+， 又因为(2,0)C ，则()222362m m +−+=，解得85m =或2m =（舍去）， 所以86,55Q；②P 在CE 上，Q 在AE 上时，如图2，此时OPC POQ ≅ ，则,2POC OPQ PQ OC ==∠=∠，可知PQ OC ∥， 设3,34Q n n + ，则32,34P n n ++，代入36y x =−+得()333264n n +=−++，解得45n =−， 所以412,55Q−；③P 在AE 上，Q 在CE 上时，如图3，此时OPC OPQ ≅ ，则2OQOC ==，可知(2,0)Q −； ④P 在AC 上，Q 与点E 重合时，如图4，此时OPC POQ ≅ ，则2,PQOC POC OPQ ∠∠===， 可得AOD APO =∠∠，AP PQ AO OC AC AE +=+==， 所以Q 与点E 重合，即418,55Q；综上所述：点Q 在坐标为86,55 ，412,55 − ，(2,0)−，418,55.。
四川成都第十七中学2024-2025学年高一新生入学分班质量检测数学试题
四川成都第十七中学2024-2025学年高一新生入学分班质量检测数学试题一、单选题1．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的图象22(1)my m x -=+是双曲线，则m 的值是（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2 3．直线y kx =过点(,)A m n ，(3,4)B m n -+，则k 的值是（ ）A ．43B ．43-C ．34D ．34- 4．若直线y ax b =+的图象经过点(1,5)，则关于x 的方程5ax b +=的解为（ ） A ．5x =- B ．5x = C ．1x = D ．1x =- 5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．222()2x y x xy y +=++B ．2225()5xy x y -=-⋅C ．21212x x x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭ D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-6．如表是某公司员工月收入的资料.能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）A ．平均数和众数B ．平均数和中位数C ．中位数和众数D ．平均数和方差7．在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于21k x k x b <+的不等式的解为（ ）.A ．1x >-B ．2x <-C ．1x <-D ．无法确定8．若x y <，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．33x y -<-B ．55x y ->-C ．22x y >D ．66x y ->-二、填空题9．已知3a b +=，2ab =，求代数式32232a b a b ab ++的值.10．如图是一次函数y kx b =+的图象，当0y <时，x 的取值范围是.11．若不等式组11x x m <⎧⎨>-⎩恰有两个整数解，则m 的取值范围是. 12．不等式组21512x x x x -≤⎧⎪⎨+->-⎪⎩的解是. 13．既是矩形又是菱形四边形是.三、解答题14．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光F ，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年的随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图A 和图B ，请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次随机抽样的学生数是多少？A 中m 值是多少？(2)本次调查获取的样本数据的众数和中位数各是多少？(3)根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 15．如图矩形ABCD 中，12AB =，8BC =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，点P 、Q 从A 、C 同时出发，在边AD 、CB 上以每秒1个单位向D 、B 运动，运动时间为t （08t <<）.(1)如图1，连接PE 、EQ 、QF 、PF ，求证：无论t 在08t <<内取任何值，四边形PEQF 总为平行四边形；(2)如图2，连接PQ 交CF 于G ，若4PG QG =，求t 的值；(3)在运动过程中，是否存在某时刻使得PQ CE ⊥于G ?若存在，请求出t 的值：若不存在，请说明理由16．如图，在“飞镖形”ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)若AC BD =，那么四边形EFGH 是什么四边形？17．解分式方程：214111x x x ++=--. 18．某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？四、填空题19．已知一组数据1，2，0，1-，x ，1的平均数是1，则这组数据的中位数为.20．如图，在平面直角坐标系中，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在第二象限，若==BC OC OA ，则点C 的坐标为.21．如图，字母A 所代表的正方形面积为.22．如图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE DF =，AE 、BF 相交于点O ，下面四个结论：（1）AE BF =，（2）AE BF ⊥，（3）AO OE =，（4）AOB DEOF S S =四边形△，其中正确结论的序号是.23．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上的点.若ABEDE=，则BE的V的面积为4.5，1长为.五、解答题24．在菱形ABCD中，60∠=︒，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一ABC=，连接BE、EF.点，且CF AE(1)如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE EF=.(2)如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.25．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到某超市购物，学校与超市的路程是4千米.小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达超市.图中折线O A B C---和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在超市购物的时间为______分钟，小聪返回学校的速度为______千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？26．甲、乙两名同学进入八年级后，某科6次考试成绩如图所示：(1)请根据统计图填写下表：(2)请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析，你认为反映出什么问题？①从平均数和方差相结合分析；②从折线图上两名同学分数的走势上分析.。
高一新生分班考试数学试卷含答案
CB高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2a a （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ） A ．43 B ．35 C ．34 D ．454．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ） A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1A ．21 B ．165 6．如图，矩形纸片ABCD 点F EF =3，则AB A . 6 B .4 D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P B CP ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3二、 填空题（每题5分，共50分）9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+ 的值等于10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1+<<k x k ，k11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF 12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数值可记为(1)1f =）。
2024年秋季高一入学分班考试数学试题与答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：1502024年秋季高一入学分班考试数学试题分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅22x =−，则x 的值可以是（ ）A ．2−B ．1−C ．1D ．23．“2x =”是“24x =”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知二次函数2y ax bx c ++的图象的顶点坐标为(2,1)−，与y 轴的交点为(0,11)，则（ ）A ．3,12,11a b c ==−=B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==−= D ．1,4,11a b c ==−= 5．把2212x xy y −++分解因式的结果是（ ） A ．()()()112x x y x y +−++ B ．()()11x y x y ++−− C ．()()11x y x y −+−−D ．()()11x y x y +++−6．已知命题p ：1x ∃>，210x ，则p ¬是（ ） A ．1x ∀>，210x B ．1x ∀>，210x +≤ C ．1x ∃>，210x +≤ D ．1x ∃≤，210x +≤7．函数y =） A ．[]3,3−B ．()3,1(1,3)−∪C ．()3,3−D ．()(),33,−∞−+∞8．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a −+=，2850b b −+=，则代数式1111b a a b −−+−−的值为（ ） A ．-20B ．2C ．2或-20D ．2或20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数()y f x =的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，2210x x ++≥ B ．x ∃∈N ，2x 为偶数 C ．所有菱形的四条边都相等 D ．π是无理数11．下列结论中，错误的结论有（ ）A ．()43y x x =−取得最大值时x 的值为1 B ．若1x <−，则11x x ++的最大值为－2C ．函数()f x =的最小值为2D ．若0a >，0b >，且2a b +=，那么12a b+的最小值为3+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若多项式3x x m ++含有因式22x x −+，则m 的值是 ．13．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示） ． 14．对于每个x ，函数y 是16y x =−+，22246y x x =−++这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）解下列不等式：(1)2320x x −+−≥； (2)134x x −+−≥； (3)11.21x x −≤+16．（15分）设全集R U =，集合{}|15Ax x =≤≤，集合{|122}B x a x a =−−≤≤−．(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； (2)若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数a 的取值范围．17．（15分）已知集合{}{}210,20A x ax B x x x b =−==−+=.(1)若{}3A B ∩=，求实数,a b 的值及集合,A B ； (2)若A ≠∅且A B B ∪=，求实数a 和b 满足的关系式.18．（17分）已知22y x ax a =−+.(1)设0a >，若关于x 的不等式23y a a <+的解集为{},12|A Bx x =−≤≤，且x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，求a 的取值范围；(2)方程0y =有两个实数根12,x x ， ①若12,x x 均大于0，试求a 的取值范围；②若22121263x x x x +=−，求实数a 的值．19．（17分）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的14．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过20立方米，则水价为每立方米3元；第二档，若每户每月用水超过20立方米，但不超过30立方米，则超过部分水价为每立方米4元；第三档，若每户每月用水超过30立方米，则超过部分水价为每立方米7元，同时征收其全月水费20%的用水调节税．设某户某月用水x立方米，水费为y元．(1)试求y关于x的函数；(2)若该用户当月水费为80元，试求该年度的用水量；(3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户用水b立方米，若,a b之间符合函数关系：247530=−+−．则当b a a两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共402024年秋季高一入学分班考试数学答案分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8 CDBADBCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 BDACABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13．1|12x x <<6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）【解析】（1）2320x x −+−≥可化为2320,(1)(2)0x x x x −+≤∴−−≤， 所以解为1 2.x ≤≤（3分）（2）当1x <时，不等式可化为134x x −+−+≥，此时不等式解为0x ≤； 当13x ≤≤时，不等式可化为134x x −−+≥，此时不等式无解； 当3x >时，不等式可化为134x x −+−≥，此时不等式解为4x ≥； 综上：原不等式的解为0x ≤或4x ≥.（9分） （3）原不等式可化为211021x x x +−+≥+，（11分）与()()2120210x x x ++≥+≠同解， 所以不等式的解为：2x ≤−或12x >−.（13分）16．（15分）【解析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A B ，（2分）又{}|15Ax x =≤≤，{|122}B x a x a =−−≤≤−，因此12125a a −−< −≥ 或12125a a −−≤ −> ，解得7a ≥，所以实数a 的取值范围为7a ≥.（7分）（2）命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，则有B A ⊆，（9分） 当B =∅时，122a a −−>−，解得13a <，符合题意，因此13a <；（11分）当B ≠∅时，而{}|15{|122}A x x B x a x a =≤≤=−−≤≤−，， 则11225a a ≤−−≤−≤，无解，（14分） 所以实数a 的取值范围13a <.（15分）17．（15分）【解析】（1）若{}3∩=A B ， 则{}{}2310,320x ax x x x b ∈−=∈−+=，（2分） 所以310,960a b −=−+=，解得1,33a b ==−，（4分） 所以{}{}{}{}2110103,2301,33A x ax x x B x xx =−==−===−−==−，综上：1,33a b ==−，{}{}3,1,3A B ==−；（7分）（2）若A ≠∅，则0a ≠，此时{}110A x ax a=−==，（9分） 又A B B ∪=，所以A B ⊆， 即{}2120x x x b a ∈−+=，（12分）所以2120440b a ab −+= ∆=−≥ ， 所以实数a 和b 满足的关系式为212b a a=−+.（15分）18．（17分）【解析】（1）由23y a a <+，得2223x ax a a a −+<+， 即22230x ax a −−<，即()()30x a x a −+<， 又0a >，∴3a x a −<<，即{}|3A x a x a =−<<，（3分）∵x A ∈的充分不必要条件是x B ∈，∴B 是A 的真子集，则0132a a a >−<− > ，解得0123a a a> > >，则1a >， 即实数a 的取值范围是1a >.（6分） （2）方程为220y x ax a =−+=， ①若12,x x 均大于0则满足21212440200a a x x a x x a ∆=−≥ +=> => ，解得10a a a a ≥≤> > 或， 故1a ≥，即a 的取值范围为1a ≥.（10分）②若22121263x x x x +=−，则()2121212263x x x x x x +−=−， 则()21212830x x x x +−+=，即24830a a −+=，（13分） 即()()21230a a −−=，解得12a =或32a =， 由0∆≥，得1a ≥或0a ≤. 所以32a =，即实数a 的值是32.（17分）19．（17分）【解析】（1）因为某户该月用水x 立方米， 按收费标准可知， 当020x <≤时，3y x =；当2030x <≤时，()203420420y x x ×+−−；当30x >时，[2034(3020)7(30)] 1.28.4132y x x =×+×−+−×=−．（5分）所以3,020420,20308.4132,30x x y x x x x <≤=−<≤ −>（6分）（2）由题可得，当该用户水费为80元时，处于第二档，所以42080x −=， 解得25x =． 所以该月的用水量为25立方米．（10分） （3）因为247530b a a =−+−，所以()2248530244646a b a a a +=−+−=−−+≤．（13分）当24a =时，()46max a b +=，此时22b =．（15分）所以此时两户一共需要支付的水费是4242042220144y =×−+×−=元．（17分）。
2024年秋季高一新生入学分班考试数学模拟卷-解析版
2024年秋季高一新生入学分班考试数学模拟卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算过程正确的是（）A ．()2211a a +=+B ．()21x x x x +÷=+C=D ．()()22444a b a b a b -+=-2．如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位：千米/小时）情况，则下列关于车速描述错误的是（）A ．平均数是23B ．中位数是25C ．众数是30D ．方差是129【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、这组数据的平均数是（10×3+20×2+30×4+40×1）÷（3+2+4+1）=23，故本选项正确；B 、共有10辆车，则中位数是第5和6个数的平均数，则中位数是（20+30）÷2=25，故本3．一副三角板如图所示摆放，若直线a b ，则1∠的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒【答案】B 【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案．【详解】过点B 作MN a ∥，∵a b ，∴MN a b ∥∥，∴1NBA ∠=∠，NBE CEB ∠=∠，∵BEC 是等腰直角三角形，∴45BEC ∠=︒，∴45NBE ∠=︒，∵ABF △直角三角形，60ABF ∠=︒，∴14560ABF ABN NBE ∠=∠+∠=∠+︒=︒，∴115∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理．4．下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图像，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（）A ．甲和乙B ．甲和丙C ．丙和甲D ．丙和乙【答案】B 【分析】直接观察图像即可判断谁先到达终点，直线倾斜度越大即直线越陡，则速度越快.【详解】观察图像可知甲最先到达终点，丙最后到达终点，表示乙的直线倾斜度最小，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快.故选B.【点睛】本题主要考查了根据一次函数图像解决实际问题，在路程与时间的关系图中，比例系数k 表示速度，k 越大，直线越陡，则表示速度越快，掌握以上知识是解题的关键.5．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC 、BD ，CE 平分ACD ∠交BD 于点E ，则DE 长（）A ．12B ．12C 1D ．12【答案】C四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，CE 平分ACD ∠交BD EO EF ∴=，正方形ABCD 的边长为2AC ∴=，1222CO AC ∴==，∵22,CF CE EF CO =-22CF CO ∴==，1EF DF DC CF ∴==-=222DE EF DF ∴=+=故选：C ．6．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，且OA OC =，M是抛物线的顶点，三角形AMB 的面积等于1，则以下结论：①2404b ac a-<；②10ac b -+=；③()3228b a -=；④c OA OB a ⋅=-，其中正确的结论是（）A．②④B．①②④C．①③④D．①②③④7．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm，当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【答案】A=，O离地面的距离为h，【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边OA a=，短边OB b由相似的性质得到OA、OB和OH之间的关系并求解，即可解题．=，O离地面的距离为h，【详解】解：设长边OA a=，短边OB b根据相似得：8．已知函数2(0)(0)x x y x x ⎧≤=⎨>⎩，若,a x b m y n ≤≤≤≤则下列说法正确的是（）A ．当1n m -=时，b a -有最小值B ．当1n m -=时，b a -无最大值C ．当1b a -=时，n m -有最小值D ．当1b a -=时，n m -有最大值由图可知：当0x ≤时，y 随x 的增大而减小，当当0a b ≤≤时，22,m b n a ==，当1n m -=时，即：221a b -=，∴()()1a b a b -+=，∴1b a a b-=-+，当a b +的值越小，小值，当0a b <≤时，,m a n b ==，当1n m -=时，1b a -=，当0a b <<时，0m =，1n m -=时，1n =，当1a =-，综上：当1n m -=时，b a -有最大值，无最小值，故选项A ，B 错误；当0a b ≤≤时，22,m b n a ==，当1b a -=时，即：()()()22n m a b a b a b a b -=-=+-=-+，∴当a b +越小时，n m -的值越大，即n m -没有最大值，当0a b <≤时，,m a n b ==，当1b a -=时，1-=-=n m b a ；当0a b <<时，0m =，当1b a -=时，x a =和x b =的函数值相同时，n m -的值最小，综上：当1b a -=，n m -有最小值，无最大值；故选项C 正确，D 错误．故选C ．9．在同一坐标系中，若直线2y x =-+与直线4y kx =-的交点在第一象限，则下列关于k 的判断正确的是（）A ．10k -<<B ．12k -<<C ．0k >D ．2k >故选：D ．10．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB AD =，对角线AC 、BD 相交于点E ，GH 是直径，GH AC ⊥于点F ,AF AB =．若AE a =，则BC CD ⋅的值是（）A ．26a B ．29a C ．212a D ．218a二、填空题11．2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为．12．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1，2，3，4，若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作,a b ，把,a b 作为点A 的横、纵坐标．则点(),A a b 在函数2y x =的图象上的概率为．由图可知，连续自由转动转盘两次，指针指向的数字的所有等可能的结果共有使得点(),A a b 在函数2y x =的图象上的结果有2则点(),A a b 在函数2y x =的图象上的概率为P =故答案为：18．【点睛】本题考查了一次函数的应用、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．13．如果2310x x -+=，则2212x x +-的值是【答案】5【分析】将二次根式的被开方数和一元二次方程同时进行化简，然后再将二次根式进行化简.【详解】解：方程x 2-3x+1=0中，当x=0时，方程左边为将方程两边同除以x ，则有：x-3+1x =0，即13x x+=，∴原式=22211244x x x x ⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭=234-故答案为：5．14．如图，在菱形纸片ABCD 中，1AB =，=60B ∠︒，将菱形纸片沿折痕EF 翻折，使点D 落在AB 的中点G 处，则DE 的长为．G 是AB 中点，12AG ∴=， 四边形ABCD 是菱形，AB 1AD AB ∴==，1AE x ∴=-，∵=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒，∴=60MAE ∠︒9030MEA MAE ∠=︒-∠=︒ ，三、解答题15．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，ADC △与ABC 关于直线AC 对称，AD 交O 于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线．(2)连接CE ，若1cos 3D =，6AB =，求CE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）如图所示，连接OC ，连接AO 并延长交BC 于F ，根据等边对等角得到A ABC CB =∠∠，再证明AF BC ⊥，得到90ACF CAF ∠+∠=︒，由OA OC =，得到OAC OCA ∠=∠，由轴对称的性质可得ACB ACD ∠=∠，即可证明90ACD OCA ∠+∠=︒，从而证明CD 是O 的切线；（2）由轴对称的性质得B D ∠=∠，CD BC =，再由圆内接四边形对角互补推出，CED D ∠=∠，得到CE CD BC ==，解Rt ABF ，求出2BF =，则24BC BF ==，即可得到4CE BF ==．（2）解：由轴对称的性质得B D ∠=∠，CD ∵四边形ABCE 是圆内接四边形，∴180B AEC AEC CED +=︒=+∠∠∠∠，∴CED D ∠=∠，∴CE CD BC ==，∵1cos 3D =，∴1cos cos 3B D ==，在Rt ABF 中，cos 2BF AB B =⋅=，∴24BC BF ==，∴4CE BF ==．【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数，轴对称的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．(1)直接写出日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元?【答案】(1)21404058825871x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（）（）；(2)3人．(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；（3）分两种情况解答：①当4058x ≤<时；②当5871x ≤≤时，依据：总利润=单件利润×销售量-工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．【详解】（1）解：（1）当4058x ≤<时，设y 与x 的函数解析式为11y k x b =+，由图象可得：111160402458k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：112140k b =-⎧⎨=⎩．∴2140y x =-+；当5871x ≤≤时，设y 与x 的函数解析式为22y k x b =+，由图象得：222224581171k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：22182k b =-⎧⎨=⎩．∴82y x =-+．综上所述：y =2140(4058)82(5871)x x x x -+≤≤⎧⎨-+≤⎩＜．（2）设人数为a ，当48x =时，24814044y =-⨯+=，则(4840)4410682a -⨯=+，解得：3a =．答：该店员工人数为3．（3）设每件服装的价格为x 元时，每天获得的利润为w 元．当4058x ≤<时(40)(2140)822106w x x =--+-⨯-222205870x x =-+-22(55)180x =--+当55x =时，w 最大值180=．当5871x ≤≤时(40)(82)822106w x x =--+-⨯-21223550x x =-+-2(61)171x =--+当61x =时，w 最大值＝171．∵180171>∴w 最大值180=答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【点睛】本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．17．已知二次函数243y ax ax a =-+（0a ＞），记该函数在m x n ≤≤上的最大值为M ，最小值为N ．已知3M N -=．(1)当04x ≤≤时，求a 的值．(2)当12a =，1n m =+时，求m 的值．(3)已知2m t =+，21n t =+（t 为整数），若M N为整数，求a 的值．18．【问题背景】如图1，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，AD 上，且1BM MC m =，连接BN ，点P 在BN 上，连接PM 并延长至点Q ，使1PM MQ m=，连接CQ ．【尝试初探】求证：CQ BN ∥；【深入探究】若AN BM AB ==，2m =，点P 为BN 中点，连接NC ，NQ ，求证：NC NQ =；【拓展延伸】如图2，在正方形ABCD 中，点P 为对角线BD 上一点，连接PC 并延长至点Q ，使1(1)PC n QC n =>，连接DQ ，若22222(1)n BP DQ n AB +=+，求BP BD 的值（用含n 的代数式表示）（3）过Q 作QM BD 交BC 的延长线于在正方形ABCD 中，QM BD ，∴~ CBP CMQ ，45∠=∠=︒DBC CMQ 1BP BC PC19．如图①，线段AB ，CD 交于点O ，连接AC 和BD ，若A ∠与B ∠，C ∠与D ∠中有一组内错角成两倍关系，则称AOC 与BOD 为青蓝三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为青蓝角．(1)如图②，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知AB BD ⊥，COD △为等边三角形．求证：AOB 和COD △为青蓝三角形．(2)如图③，已知边长为2的正方形ABCD ，点P 为边CD 上一动点（不与点C ，D 重合），连接AP 和BP ，对角线AC 和BP 交于点O ，当AOP 和BOC 为青蓝三角形时，求DAP ∠的正切值．(3)如图④，四边形ABCD 内接于O ，BCP 和ADP △是青蓝三角形，且ADP Ð为青蓝角，延长AD ，BC 交于点E ．①若8AB =，5CD =，求O 的半径；②记BCD △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，12S y S =，cos E x =，当3BE BC =时，求y 关于x 的函数表达式．则PD PH =，设PD PH m ==，则 45DCA ∠=︒，PH ∴PHC V 是等腰直角三角形，∴2PC PH =，∴22m m -=，解得()221m =-，∴tan DP DAP AD ∠==②若2APO CBO ∠=∠则BPI CBO ∠=∠，∴2APO BPI ∠=∠，则API APO ∠=∠-∠ DAP API ∠=∠，∠∴DAP CBP ∠=∠，又 ADP BCP ∠=∠=∴(AAS DAP CBP ≌ADP Ð和BCP ∠都是 AB 所对的圆周角，∴ADP ÐBCP =∠，又 ADP Ð为青蓝角，∴2ADP CBP ∠=∠，∴ 2AB CD =，OM AB ⊥，∴ 2AB AM=，∴ AM CD=，∴5AM CD ==，OM AB ⊥，8AB =，∴4AN BN ==，∴223MN AM AN =-=，设O 的半径为r ，在Rt ANO 中，222OA AN ON =+，∴()22243r r =+-，解得256r =，∴O 的半径为256； 2ADP CBP ∠=∠，ADP ∠=∠。
浙江杭州学军中学2024年新高一分班考试数学试题(原卷版)
学军中学新高一分班考 数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分.1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A 28，28，1 B. 28，27.5，3 C. 28，28，3 D. 28，27.5，1 3. 已知方程组32342321x y a x y a −=−−=− 的解满足x y >，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a < C. 5a > D. 5a < 4. 如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使BBBB =2BBDD ，连接AC ，5tan 3B =，则tan CAD ∠的值是（ ）AB. C. 13 D. 15 5. 如图，在Rt ABC △中，,,90AC BC ACB ∠=°，四边形,DEFG GHIJ 均为正方形，点E 在AC 上，点I 在BC 上，J 为边DG 的中点，则GH 的长为（ ）..A. 1921B. 1C. 6077D. 1002596. 如图，正方形OABC 的一个顶点O 是平面直角坐标系的原点，顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，P 为边OC 上的一个动点，且BP PQ ⊥ ，BP PQ = ，当点P 从点C 运动到点O 时，可知点Q 始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线 7. 如图，以点()5,0M −为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，P 是☉M 上异于A ，B 的一动点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点C ，D ，以CD 为直径的☉N 与x 轴交于点E ，F 则EF 的长为（ ）A. B. C. 6 D. 随P 点位置而变化 8. 已知二次函数图象的对称轴为1x =，且过点(3,0)A 与()0,1.5B ，则下列说法中正确的是（ ）① 当01x ≤≤时，函数有最大值2；② 当01x ≤≤时，函数有最小值2−； ③ P 是第一象限内抛物线上的一个动点，则PAB 面积的最大值为32； ④ 对于非零实数m ，当11x m >+时，y 都随着x 的增大而减小.A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ②③④二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分9. 已知a 是实数，且满足(30a −=，则代数式2241a a −+的值是_______________. 10. 已知函数3(1)()=+−y k x x k ，下列说法：①方程3(1)()3k x x k+−=−必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当3k >时，抛物线顶点在第三象限；④若0k <，则当1x <−时，y 随着x 的增大而增大，其中正确的序号是_______________.11. 如图，COD 是AOB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点C 恰好落在AB 上，且∠AOD 的度数为90°，则∠B 的度数是_______.12. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC 相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______.13. 如图，边长为2的等边ABC 的顶点A 、B 分别在MON ∠的两边上滑动，当45MON ∠=°时，点O 与点C 的最大距离是________.14. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 为边CD 的中点，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连结OF ，则OF 的长为______.15. 如图，矩形ABCD 为☉O的内接矩形，3AB BC =，点E 为弧BC 上一动点，把弓形沿AE 折叠，使点O 恰好落在弧AE 上，则图中阴影部分的面积为________.16. 已知A 是双曲线2y x=在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限，已知点C 的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________.三、解答题：本大题有5个小题，共56分.17. 如图，已知∠A ，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）：（1）选取适当边长，在所给的∠A 图形上画一个含∠A 的直角三角形ABC ，并标上字母，其中点C 为直角顶点，点B 为另一锐角顶点；（2）以AC 为一边作等边△ACD ；（3）若设∠A =30°，BC 边长为a ，则BD 的长为__________________.18. 如图，PB 为O 的切线，B 为切点，过B 做OP 的垂线BA ，垂足为C ，交O 于点A ，连接P A 、AO ，并延长AO 交O 于点E ，与PB 的延长线交于点D.的（1）求证：P A 是O 切线；（2）若23OC AC =，且OC =4，求P A 的长和tan D 的值. 19. 已知：如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC =12cm ，BD =16cm.点P 从点B 出发，方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，直线EF 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EF ⊥BD ，且与AD ，BD ，CD 分别交于点E ，Q ，F ；当直线EF 停止运动时，点P 也停止运动.连接PF ，设运动时间为t （s ）（08t <<）.解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形APFD 是平行四边形？（2）设四边形APFE 的面积为y （2cm ），求出y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使S 四边形APFE ：S 菱形ABCD =17：40？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.20. 为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱利润y 1（百元）与销售数量x （箱）的关系为()()115,0201017.5,206040x x y x x +<< = −+≤< ，在乡镇销售平均每箱的利润2y （百元）与销售数量t （箱）的关系为()()26,03018,306015t y t t << = −+≤<（1）t 与x 的关系是：将2y 转化为以x 为自变量的函数，则2y 等于？（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W （百元）当在城市销售量x （箱）的范围是020x <<时，求W 与x 的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润）的的（3）经测算，在20x 30<≤的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x 的值.21. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,2−，点B 的坐标为（6,6），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E .（1）求点E 的坐标；求抛物线的函数解析式；（2）点F 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线EF 与抛物线交于M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求△BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（3）连结AN ，当△BON 面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP 与△OAN 相似（点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应）的点P 的坐标.。
新高一分班考试.数学.第四讲.平面几何之三角形五星及圆幂定理
三角形五心及圆幂定理板块一 三角形五心平面上的三条或者三条以上直线恰巧相交于一点，该交点常称为巧合点．三角形中的一些线段或直线相交得到的巧合点，常称为三角形的巧合点．三角形中有许多巧合点，在这里，我们只讨论几个特殊的巧合点．一、重心定义：三角形的三条中线相交于一点（可由塞瓦定理证明）．三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心．三角形的重心在三角形的内部．性质：（1）三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍．若G 为ABC △的重心，则AG BG CG GD GE GF==2=． （2）G 为ABC △的重心，则13ABG BCG ACG ABC S S S S ===△△△△．反之，设G 是ABC △中的一点，且13ABG BCG ABC S S S ==△△△，则G 为ABC △的重心．（3）G 为ABC △的重心，若222AG BG CG +=，则AD BE ⊥； 反之，若AD BE ⊥，则222AG BG CG +=．（4）G 为ABC △的重心，过G 作DE BC ∥，PF AC ∥，KH AB ∥，则知识点睛①23DE FP KHBC CA AB===；②2DE FP KHBC CA AB++=．（5）G为边长为a的等边三角形ABC的重心，则GA GB GC===．二、外心定义：三角形三边的三条中垂线恰巧相交于一点，这个点到三角形的三个顶点距离相等．三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心．三角形的外心，就是三角形的外接圆的圆心．锐角三角形的外心在三角形内，钝角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心就是斜边的中点．性质：（1）三角形的外心到三角形顶点的距离相等，且在各边的中垂线上．（2）设O为ABC△的外心，则2BOC A∠=∠，2AOC B∠=∠，2AOB C∠=∠．三、内心定义：三角形的三条内角平分线恰巧相交于一点，这一点到三角形的三条边的距离相等．三角形的三条内角平分线的交点，叫做三角形的内心．三角形的内心，就是三角形的内切圆的圆心．三角形的内心都位于三角形内．性质：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等．（2）设I为ABC△的内心，则1902BIC A∠=︒+∠，1902AIC B∠=︒+∠，1902AIB C∠=︒+∠．注：若AD是ABC△的角平分线，I是AD上一点，且1902BIC A∠=︒+∠，则I必为ABC△之内心．（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其内心的距离相等；反之，若ABC△的A∠的平分线与外接圆交于D，I上AD上的点，且DI DB=，则I为ABC△的内心．四、垂心定义：三角形的三条高线恰巧相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心．锐角三角形的垂心在三角形内，钝角三角形的垂心在三角形外，直角三角形的垂心就是直角顶点．性质：（1）三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边．（2）三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组（即这四点中以任意三点为三角形的顶点，则另一点为这个三角形的垂心），或者这四点中任两点的连线垂直于另两点的连线． （3）设H 为ABC △的垂心，则2222AB AC HB HC -=-，2222BA BC HA HC ==-，2222CA CB HA HB -=-．（4）设H 为ABC △的垂心，则180BHC B C A ∠=∠+∠=︒-∠，180CHA C A B ∠=∠+∠=︒-∠， 180AHB A B C ∠=∠+∠=︒-∠．（5）设H 为ABC △的垂心，则点H 关于该三边的对称点均在ABC △的外接圆上．事实上，如图，连AH 并延长交BC 于D ，交外接圆于1D ， 连HC ，CD '，则HCD HAB BCD '∠=∠=∠， 从而Rt Rt HCD D CD '△≌△，故H D D D '=． 同理可证得其余情形．在上述证明中，若连BH 、BD '，则BCH BCD '△≌△，从而知BHC △的外接圆与BCD '△的外接圆（就是ABC △的外接圆）相等．故有性质⑹． （6）设H 为ABC △的垂心，则ABC △、BCH △，ACH △、ABH △的外接圆是等圆． （7）设AD 、BF 、CF 为ABC △的三条高，垂心为H ，则图中有三组（每组4个）相似三角形，且AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅．五、旁心定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角和外角平分线的交点．显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心．性质：鉴于三角形旁心的位置关系（都在形外）和数量关系（存在三个），决定了它具有许多有用的几何性质．本讲仅给出如下三条．（1）旁心与内心的关系密切．若三角形中同时出现内心、旁心，就构成了三组三点共线、三组四点共圆．如图，I 为ABC △的内心，A I 、B I 、C I 是ABC △的三个旁心．显然，A 、I 、A I ，B 、I 、B I ，C 、I 、C I ，分别三点共线；同时，A I 、C 、I 、B 、，B I 、A 、I 、C 、，C I 、B 、I 、A 分别四点共圆．且A II ，B II ，C II 分别是上述三个圆的直径．IBAHD'DCBA注意，A II ，B II ，C II 的中点D 、E 、F （即三个圆的圆心）都在ABC △的外接圆上．这一点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用．（2）旁心与半周长()p 形影不离如图，A I 是ABC △的一个旁心． 作A I E AB ⊥于点E ，A I F AC ⊥于点F ，A I D BC ⊥于点D ． 易得BE BD =，CF CD =，AE AF =，AE AF +()()AB BD AC CD =+++AB BC AC =++故ABC AE AF p ==△．（3）旁心与三角形的三个顶点构成三组三点共线． 如图，A I 、B I 、C I 分别是ABC △的三个旁心．由于B AI 、C AI 是对顶角的平分线亦为反向延长线，故B I 、A 、C I 三点共线．同样地，C I 、B 、A I ，A I 、C 、B I 分别三点共线．如图，由熟知的内心张角公式1902BIC BAC ∠=︒+∠又因为A I 、C 、I 、B 四点共圆，故1902A BI C BAC ∠=︒-∠同理，1902B A CBA α∠=︒-∠，1902C AI B ACB ∠=︒-∠．以旁心为顶点的A B C I I I △必是一个锐角三角形．I A FEDCBAI AI BI CCB A【例1】 在ABC △中，3BC =，4AC =，AE 和BD 分别是BC 和AC 边上的中线，且AE BD ⊥．则AB 的长为（ ）． AB． C． DE ．不能确定【变式】 ⑴ 已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，10AB =，9AC =，12D E =，求平行四边形ABCD 的面积．⑵ 如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连接AF 、CD ．设AF 、CE 交于点G ，则AGCDABCDS S =________．【例2】 如图，锐角ABC △的外心为O ，直线BO 和CO 分别与边AC 、AB 交于B '、C '，直线B C ''交ABC △的外接圆于点P 、Q ，且AP AQ =． 求证：ABC △是等腰三角形．EACDGBDGCFBE A DGCFBE A C′B′OQ P CB AABCPQ OB′C′例题精讲【例3】 如图，ABC △的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC △的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证： ⑴ AI BD =； ⑵ 12OI AE =．【例4】 设ABC △的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，求证：BF CD =．IH OEDCBABGACDEOH IF DC BF DCBH GI 1ABCDFE【例5】 证明：三角形的外心、垂心、垂心三个巧合点在一条直线上（常称为欧拉线），且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍．【例6】 AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高（AB AC ），1I 、2I 分别是ABD △、ACD △的内心，12AI I △的外接圆O分别交AB 、AC 于点E 、F ，直线EF 、BC 交于点M ． 证明：1I 、2I 分别是ODM △的内心与旁心．I 2I 1MOF EDCBA板块二 圆幂定理 一、圆周的幂的性质（1）过点A 任作一条直线，与圆交于两点，AM 和AN 的乘积称为点A 关于该圆的圆幂。
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A第6题图D（N ）(cm)A（N ）(cm)B（N ）(cm)C（N ）(cm)y x(1,1) y x0 y xyxy=2x 1 y=x 2-13y x=3xA BC D初中数学水平测试题一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列运算正确的是（ ）。
A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2C 、a 3+a 3=2a 6D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是 （ ）7． 下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是 （ ）8．已知四边形1S 的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结1各边中点得四边形2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2006S 为（ ）A ．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形；A B DC.既是菱形又是矩形；D.既非矩形又非菱形.9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. 若10,αβ=︒则的度数是 A ．40︒ B ． 50︒ C ． 60︒ D ．不能确定10．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。
正视图 左视图 俯视图 A ． 11 B ．15 C ．18 D ．22二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．函数21--=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为_____。
13．如图 ，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，OA ＝2，则AC 的长为_________。
14．同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有__________种。
15. 对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+， 计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= .三. 解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）BDCαβ AABD C图4O.16．（1）解不等式组：()245132216x x x x --⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，并把解集在数轴上表示出来.（2）先化简，再求值：已知12+=x ，求xx x x x x x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值．17. （本小题满分10分）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作圆，交AB 于D ，交BC 于E ， （1） 求证：EC=ED（2） 已知：AB=5，BC=6，求CD 长。
18．（本小题满分12分）已知关于ｘ的方程x 2-(2k+1)x+4(k- 12)=0.⑴ 求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC 的一边长a=4,另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC 的周长.19．（本小题满分14分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。
⑴求 销售价格y （元/件）与周次x 之间的函数关系式；⑵若这种时装每件进价Z （元/件）与周次x 次之间的关系为Z ＝()128125.02+--x （1≤x ≤16），且x 为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？2 4 6 8 10 12 14 16 2030周次价格1 11 020.（本小题满分14分）已知抛物线2213188y x mx m m =++-与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，与y 轴交于点C （0，b ），O 为原点. （1）求m 的取值范围；（2）若118m >且OA+OB=3OC ，求抛物线的解析式及A 、B 、C 的坐标. （3）在（2）的情形下，点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发以相同的速度沿AB 、OC 向B 、C 运动，联结PQ 与BC 交于M ，设AP=k ，问是否存在k ，使以P 、B 、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在，求所有的k 值，若不存在说明理由. 21．（本小题满分14分）若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，------ ，规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一行1，再在第k 个1与第k+1个1之间插入k 个2（k=1,2,3,---）.试问：（1）第2006个数是1还是2？（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？ （3）前2006个数两两乘积的和是多少？x-5-4-3-2-15432O1A B D参考答案题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCAADCDBBC二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．函数21--=x x y 中，自变量x 的取值范围是 12x x ≥≠且 ． 12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD AB D ⊥于，AC ＝10， CD ＝6，则sinB 的值为__45___。
13．如图 ，在⊙O 中，∠ACB ＝∠D ＝60°，OA ＝2，则AC 的长为______3。
14．同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡， 则4张贺年卡不同的拿法有______________9__________________种。
15. 对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= 2006 . 三. 解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题满分16分）（1）解不等式组：()245132216x x x x --⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩，并把解集在数轴上表示出来.解：()2451(1)32216(2)x x x x --⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩由（1）得：x>-1由（2）得：4x ≤ 所以原不等式组的解集为：14x -<≤ABD C图4O .ABC OD E（2）先化简，再求值：已知12+=x ，求xx x x x x x 112122÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的值．解：当12+=x 时，222222211211()(1)(1)1(1)1(1)12x x x x x x xx x x x x x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭+=-•----=•--=-=-17. （本小题满分10分）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作圆，交AB 于D ，交BC 于E ， （3） 求证：EC=ED（4） 已知：AB=5，BC=6，求CD 长。
（1） 证明：AC AE BC ∴⊥∴∠∠∴为直径，，AB=AC ， BAE=CAE EC=ED（2）解：由AB=5，BC=6得：BE=3，AE=490AC CDA AEB B B ∴∠=∠=︒∠=∠为直径，，624545BC CDBDC BEA AB AE CD CD ∴∆∆∴==∴=即： 18．（本小题满分12分）已知关于ｘ的方程x 2-(2k+1)x+4(k- 12)=0.⑴ 求证:无论k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC 的一边长a=4,另两边的长b 、c 恰246810 12 14 1620 30周次价格1 110 好是这个方程的两个根,求三角形ABC 的周长. 解：（1）2221(21)16()24129(23)0k k k k k ∆=+--=-+=-恒大于等于 所以：无论k 取何值,这个方程总有实数根。
-------5分 （2）三角形ABC 为等腰三角形，可能有两种情况：1）b 或c 中至少有一个等于a= 4，即：方程x 2-(2k+1)x+4(k- 12)=0有一根为4，可得k=52,方程为x 2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC 周长为10；------9分 2）b=c 时， 21(21)16()02k k ∆=+--=得k=32,方程为x 2- 4x+4=0.得b=c=2, 此时ABC 不能构成三角形；综上，三角形ABC 周长为10。
--------------------12分19．（本小题满分14分）在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。