2004级《高等数学》(I)期末考试试卷(A)(答案)

2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)
答案及评分标准
一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：
1．=-+--→45215lim 22x x x x 81.
2. =--⎰+→x
dt e x t x cos 1)1(lim 001. 3. 设⎪⎩
⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x x x x f 在0=x 处连续，则=b 1. 4. 曲线162
13123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y . 5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰
dx x xf )(C x x x +-sin cos .
6. ⎰-=+2
223sin )sin (cos ππtdt t t 32.
7. =⎰∞
+-022dx xe x 1.
8. 若向量与向量)2,1,2(-=平行，且满足18-=⋅，则=)4,2,4(--.
二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1. 求极限()x x x cos ln 1203sin 1lim +→.
解 ()()x x x x x e x 3s i n 1ln cos ln 1lim cos ln 120203sin 1lim +→→=+ (2分)
()
x x x x x x x x x cos ln )3(lim cos ln 3sin lim 3sin 1ln cos ln 1lim 202020→→→==+ （4分） ,18cos 18lim 0-==→x
x x （5分） ()18cos ln 1203sin 1lim -→=+∴e x x x （6分）
2. 求由参数方程⎩
⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx y d . ,cot sin cos t a
b t a t b dx dy -=-= （3分） t
a b t a t a b dx y d 32222sin sin csc -=-= （6分） 3. 设x x y cos =，求dy .
解 ,ln cos x x e y = （2分）
)cos ln sin (ln cos x
x x x e y x x +
-=' （5分） )cos ln sin (cos x
x x x x x +-= （6分） 4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dx dy . 解 方程两边对x 求导得
0='++'y x y y e y （4分）
)0(≠++-=∴y y
e x e x y dx dy （6分） 三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx x x . （或令t x =+1）
解 ⎰⎰-+-=++303
0)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分） 35)1(3
233023=++-=x （6分） 2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .
解 dx x x x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+100101
0221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分） dx x x ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++-=102111312ln （4分）
2ln 3121ln 312ln 1
0=-+-=x x （6分） 3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,
210,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dt t f . 解 ⎰⎰⎰-+=211
022
0)2()(dt t dt t dt t f （3分） 65)2(21312
1
2=--=t （6分） 4. 证明方程0111304=+--⎰x
dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.
解 ⎰+--=x dt t x x f 04
1113)(设， （1分） 则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t ，由零点定理， 至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分）
又0113)(4>+-
='x
x f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分） 综上所述，方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）
四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：
1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+
=在3
π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值. 解 x x a x f 3c o s c o s
)(+=' （1分） 201233cos 3cos )3(=⇒=-=+='a a a f 令ππ
π， (3分) 又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3
(<''π
f ， （5分） 3)3
(=∴πf 为极大值. （6分）
2．求抛物线22x y =与2
1x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212x y x y 得交点)2,1(-，)2,1( （2分）
34)1(2)21(210
22102=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分） 2)1(2)21(21
022102πππ=
-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）
3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线1
1122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程. 解 过点)1,2,1(0-M 且与直线1
1122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，
即 012=++-z y x ， （2分）
令
t z y x =-=-=-+1
1122，得t z t y t x -=+=--=,1,22， 代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)3
2,31,32(-M ， （4分） )3
5,35,35(0--=MM ， 取)1,1,1(--=s ， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 4
0==⎰n dx x u n n π
，证明：(1) 1+≥n n u u ；
(2) 当2>n 时，112-=
+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tan
tan 1π
∈≥+x x x n n ， （1分） 14014
0,tan tan ＋即n n n n u u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ （2分）
（2）=
+-2n n u u ⎰⎰-+40240tan tan ππ
dx x dx x n n dx x x dx x x n n n )tan 1(tan )tan (tan 2402240+=+=
⎰⎰--π
π （3分） x d x x d x x n n t a n t a n s e c t a n 402240
2⎰⎰--==π
π 402tan 11π
x n n --=11-=n （4分） （3）1,0+≥≥n n n u u u 且 ，
即{}n u 单调减少有下界，故{}n u 收敛， （5分）
设a u n n =∞
→lim ，则由112-=+-n u u n n 两边取极限得 0,02=∴=a a ，即0lim =∞→n n u （6分）
五、（本题满分4分）
设)(x f 在区间],[b a 上连续，在区间),(b a 内0)(<''x f ，证明对一切),(b a x ∈，都有
a
b a f b f a x a f x f -->--)()()()(. 证明 设a b a f b f a x a f x f x F -----=)()()()()(， 2
)())()(())(()(a x a f x f a x x f x F ----'='， （2分） 又设))()(())(()(a f x f a x x f x g ---'=，则0))(()(<-''='a x x f x g ，
于是)(x g 单调减少，则),(b a x ∈时，0)()(=<a g x g ，
从而0)(<'x F ，则)(x F 单调减少，故),(b a x ∈时，0)()(=>b g x F ，
即有
a b a f b f a x a f x f -->--)()()()( （4分）。