哈密顿算子
哈密顿算子运算规则
哈密顿算子运算规则哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，用来描述系统的能量。
在量子力学中，哈密顿算子通常表示为H，它是一个算符，作用在量子态上得到能量的期望值。
哈密顿算子的一般形式为：H = T + V其中，T表示动能算子，它描述了粒子的运动状态；V表示势能算子，它描述了粒子所受到的势场。
哈密顿算子的运算规则是量子力学中的基本规则之一，它能够帮助我们计算系统的能量和态函数的演化。
下面是一些常见的哈密顿算子运算规则：1. 哈密顿算子的本征值问题：哈密顿算子H作用在量子态上得到一个能量的期望值E。
哈密顿算子的本征值问题是求解Hψ = Eψ的问题，其中ψ是哈密顿算子的本征态，E是对应的本征值。
2. 哈密顿算子的对易关系：对于两个哈密顿算子A和B，如果它们满足[A, B] = 0，即A和B的对易子为零，那么它们就可以同时测量得到确定的结果。
这个对易关系也被称为可观测量的对易关系。
3. 哈密顿算子的时间演化：根据薛定谔方程，量子系统的时间演化可以由哈密顿算子描述。
薛定谔方程的形式为iψ/t = Hψ，其中i 是虚数单位，是约化普朗克常数。
这个方程描述了量子系统的态函数在时间上的演化过程。
4. 哈密顿算子的矩阵表示：通常情况下，哈密顿算子是一个线性算符，可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵的元素是哈密顿算子在一组基下的矩阵元素。
通过对哈密顿算子进行矩阵对角化，我们可以得到系统的能级和能级间的跃迁。
总之，哈密顿算子是量子力学中的重要概念，它用来描述系统的能量和态函数的演化。
通过哈密顿算子的运算规则，我们可以解决量子系统的能级和态函数的问题，进而理解和预测量子系统的行为。
哈密顿算子的计算
哈密顿算子的计算哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量。
它是由物理学家威廉·罗维·哈密顿（William Rowan Hamilton）在19世纪提出的，并且在量子力学的发展中起到了关键的作用。
在量子力学中，哈密顿算子被表示为一个算符，通常用H来表示。
它的作用是对波函数进行操作，得到系统的能量本征值和相应的能量本征态。
哈密顿算子可以描述一个单粒子系统或多粒子系统的总能量，并且可以应用于各种不同的物理系统。
哈密顿算子的一般形式如下：H = T + V其中，T表示系统的动能，V表示系统的势能。
动能可以根据粒子的质量和动量来计算，而势能则与粒子所处的位置和相互作用有关。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能量本征值和能量本征态。
求解哈密顿算子的本征值问题通常需要使用量子力学中的求解方法，如波函数展开、变分法、微扰理论等。
通过这些方法，可以得到系统的能谱和相应的波函数，从而了解系统的能级结构和性质。
对于简单的系统，如一维无限深势阱，哈密顿算子的求解相对较简单。
在这种情况下，势能V为常数，哈密顿算子的形式为：H = - (h^2 / 2m) * d^2/dx^2 + V其中，h为普朗克常数，m为粒子的质量，d^2/dx^2表示对波函数进行两次偏导数。
通过求解这个本征值问题，可以得到系统的能量本征值和相应的波函数。
对于更复杂的系统，如多粒子系统或具有特殊势能的系统，哈密顿算子的求解就更加困难。
此时需要借助数值计算和近似方法来求解。
一种常用的方法是使用算符分解和离散化的技术，将哈密顿算子表示为一个矩阵形式，并通过对矩阵进行对角化来求解本征值问题。
除了用于求解能量本征值和能量本征态外，哈密顿算子还可以用于描述系统的演化。
根据薛定谔方程，波函数在时间上的演化由哈密顿算子决定。
通过对哈密顿算子进行时间演化，可以预测系统在不同时间点上的状态和性质。
哈密顿算子是量子力学中一个重要的概念，用于描述系统的总能量和演化。
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈密顿算子
(ax i ay j az k ) 3a a 3a 2a
所以
(a r ) dl 2 a dS
l S
证毕
例4 验证 Green 第一公式
S
(u v) dS (v u vu )dV
与第二公式
S
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
数性微分算子作用于矢性函数 B(M ) 上
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
注意： A 与 A 不同
常见公式（ u , v 是数性函数，A, B 是矢性函数）
1. (Cu) Cu
(ur ) r 3
解 由公式10知
(ur ) u r u r
u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk )
(ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz
证明：由 Gauss 公式
A dS ( A)dV
S
取 A u v ，用公式10
S
(u v) dS (u v)dV (v u uv)dV
同理
S
(v u ) dS (v u vu )dV
两式相减
和旋度可用 算子表示：
gradu u
divA A rot A A
数性微分算子
A ( Ax i Ay j Az k ) (i j k ) x y z Ax Ay Az x y z
第九讲 第三章哈密顿算子
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
哈密顿算子
+
Ay
∂Bv ∂y
+
Az
∂Bv ∂z
z1.哈密顿算子
z ∇ 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个
算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此
与矢量的运算法则略有不同。
z矢量的点积可以交换，但 ∇ 算子和场的点积不
能交换。
v A
•
Bv
=
Bv
•
v A
v A
•
∇
≠
∇
•
v A
z矢量的叉积可以反交换，但 ∇ 算子和场的叉积
3）
v rotuA
=
v urotA
+
gradu
×
Av（
u
为数性函数）
∇
×
v uA
=
u∇
×
v A
+
∇u
×
v A
（11）
z旋度运算公式
4）
div
(
v A
×
Bv )
=
Bv
•
rot
v A
−
v A
•
rot
Bv
∇
•
(
v A
×
Bv )
=
Bv
•
∇
×
v A
−
v A
•
∇
×
Bv
（13）
5） rot ( gradu ) = 0
∇ × (∇u) = 0 （16）
6）
div
(rot
v A)
=
0
∇
•
(∇
×
v A)
=
0
（17）
z2.基本运算公式的算子表示
哈密顿算子在物理中的应用
哈密顿算子在物理中的应用哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
本文将介绍哈密顿算子的定义和性质，并探讨其在物理中的应用。
一、哈密顿算子的定义和性质哈密顿算子是量子力学中的一个算符，通常用H表示。
它的定义如下：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。
动能算符描述了粒子的运动状态，势能算符描述了粒子所处的势能场。
哈密顿算子的本征值和本征函数分别表示了系统的能量和相应的态。
哈密顿算子具有以下性质：1. 哈密顿算子是厄米算子，即H† = H。
这意味着它的本征值是实数，本征函数之间是正交的。
2. 哈密顿算子是线性算子，即对于任意的常数a和b，有aH + bH = (a + b)H。
3. 哈密顿算子是可观测量的算符，即它的本征值可以通过实验进行测量。
二、哈密顿算子在量子力学中的应用1. 薛定谔方程哈密顿算子在薛定谔方程中起着重要的作用。
薛定谔方程描述了量子力学中粒子的运动状态，它的一般形式为：Hψ = Eψ其中，ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能级和相应的波函数。
2. 能级结构哈密顿算子的本征值表示了系统的能级，而本征函数表示了相应的态。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能级结构。
这在原子物理学和固体物理学中有着重要的应用。
3. 动力学演化哈密顿算子还可以用来描述系统的动力学演化。
根据薛定谔方程，系统的波函数随时间的演化可以通过哈密顿算子进行描述。
这在量子力学中有着重要的应用，例如描述粒子在势能场中的运动。
4. 算符的期望值哈密顿算子还可以用来计算算符的期望值。
对于任意的算符A，其在态ψ下的期望值可以表示为：< A > = < ψ | A | ψ >其中，| ψ > 表示态ψ，< ψ | 表示其共轭转置。
通过计算算符的期望值，可以得到系统的物理量的平均值。
三、结论哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
▽哈密顿算子的各种公式
▽哈密顿算子的各种公式
摘要：
一、引言
二、哈密顿算子的概念与性质
三、哈密顿算子的基本公式
四、哈密顿算子的应用领域
五、总结
正文：
【引言】
哈密顿算子是量子力学中非常重要的一个概念，它不仅能描述粒子的动能，还能描述势能，因此在物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍哈密顿算子的各种公式，并探讨其在量子力学中的作用。
【哈密顿算子的概念与性质】
哈密顿算子是一个厄米算子，它有四个基本性质：加法性、齐次性、可积性和正则性。
加法性是指哈密顿算子可以将不同的物理量相加得到一个新的哈密顿算子；齐次性是指哈密顿算子满足哈密顿方程；可积性是指哈密顿算子的本征函数可以构成正交函数系；正则性是指哈密顿算子的本征值是实数。
【哈密顿算子的基本公式】
哈密顿算子的基本公式为：H = T + V，其中T是动能算子，V是势能算子。
在具体问题中，T和V的公式会根据问题的具体情况而变化。
例如，在自由粒子问题中，T = (1/2)m(d/dx)^2，V = 0；在势垒透射问题中，T =
(1/2)m(d/dx)^2，V = V(x)。
【哈密顿算子的应用领域】
哈密顿算子在量子力学中有广泛的应用，例如在粒子在势垒中的透射问题、原子物理中的电子能级问题、分子物理中的分子轨道问题等。
在这些问题中，哈密顿算子是描述物理系统的动力学行为的基本工具。
【总结】
哈密顿算子是量子力学中的重要概念，它不仅可以描述粒子的动能，还可以描述势能。
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(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
r j
u z
r k
uvvu
算子
r i
r j
r k
证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法
则，有 g(A B ) g(A Bc ) g(Ac B )
由矢量混合积的轮换性：
ar g(br
cr
)
cr
g(ar
r b
)
r b
g(cr
ar )
将上式两端中的常矢都轮换到▽的前面，同 时使得变矢都留在▽的后面
所以
g(A B ) g(A Bc ) g(Ac B ) g(A Bc ) g(B Ac ) Bc g( A) Ac g( B ) B g( A) A g( B ).
u
v
(24) f (r) f (r) rr f (r)rr 0, r
(25)
[
f
(r
)rr
]
r 0,
(26)
(r
3rr
)
r 0
(r
0),
（27）奥氏公式
Ò A gdS gAdV,
S
（28）斯托克斯公式
l A gdl ( A) gdS. S
例1 证明 (uv) u v v u.
例8 验证格林第一公式
Ò (u v) gdS ( vg u uv)dV
S
与格林第二公式
Ò (u v v u) gdS (uv vu)dV.
S
证 在奥氏公式Ò AgdS gAdV
S
A u v, 并应用公式（10）有
中，取
Ò (u v)gdS g(u v)dV
S
x
j
y
k
z
g(
Axi
Ay
j
Azk )
Ax Ay Az x y z
div A,
rrr i jk
A x y z
Ax Ay Az
( Az
Ay
r )i
(Ax
Az
r )j
(Ay
Az
r )k
y z
z x
x y
rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进
证 根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法则，有
(uv) (ucv) (uvc ).
在上式右端，我们根据乘积的微分法则把暂时看 成常数的量，附以下标c，待运算结束后，再将 其除去。依此，根据公式（1）就得到
(uv) ucv vc u uv v u
例2 证明 g(uA) u gA + u gA
x y z
子, ,
x y z
实际上是三个数性微分算
的线性组合，而这些数性微分算子是服从
乘积的微分法则的，就是当他们作用在两个函数的
乘积时，每次只对其中一个因子运算，而把另一个
因子看作 常数。因此作为这些数性微分算子的线性 组合的 ，在其微分性质中，自然也服从乘积的微
分法则。
明确这一点，就可以将例1简化成下面的方法来 证明。
在 ▽算子的运算中，常常用到三个矢量的
混合积公式
ar
r g(b
cr
)
cr
g(ar
r b
)
r b
g(cr
ar )
及二重矢量积公式
ar
r (b
cr
)
(ar
gcr
r )b
(ar gbr
)cr
,
这些公式都有几种写法，因此在应用这些公式 时，就要利用它的这个特点，设法将其中的常 矢都移到▽的前面，同时使得变矢都留在▽ 的后面。
证：根据 算子的微分性质，并按乘积的微分
法
则，有 g(uA) gucA+ guAc
由公式（2），（7）分别有
g(ucA) uc gA u gA.
guAc u gAc ugA
所以
g(uA) u gA + u gA
例3 证明 g(A B) B g( A) A g( B)
(18) ( A)= ( gA) A
r
r
r
（其中 A Axi Ay j Azk）
在下面的公式中
rr
r xi
r yj
r zk ,
r
rr
,
(19) r rr rr 0,
r
(20) grr 3,
(21)
rr
r 0,
(22) f (u) f (u) u,
(23) f (u, v) f u f v,
现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u （c为常数）， (2) g（cA）= c gA （c为常数）， (3) （cA）= c A （c为常数），
(4)（u v）= u v (5) g（A B）= gA gB (6) （A B）= A B (7) g（uc）= ugc （c为常矢）， (8) （uc）= u c （c为常矢）， (9)（uv）= u v v u (10) g(uA) u gA ugA (11) (uA) u A u A (12) (A gB）= A ( B ) (A g) B + B ( A)
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
r i
r j
r k
x y z
称为哈密顿算子或 算子。
算子本身并无意义，而是一种微分运算
符
号，同时又被看作是矢量。
其运算规则如下：
u
r i
x
r j
y
r k
z
u
u x
r i
u y
r j
u z
r k
grad u,
r r r r r r
A i
(u g v uv)dV.
同理
Ò (v u)gdS (v g u vu)dV ,
S
将此两式相减，即得格林第二公式。