高等数学(下册)第9章第1讲多元函数的基本概念
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数是数学中一种重要的概念，它是在多个变量之间写成的函数，能表示多变量间的关系。
为了便于描述，这里使用z来表示变量的总体，用x, y, u等来索引。
例如，多元函数可以使用表达式
z=f（x，y，u）来表示，这里z是函数的输出，x, y和u是函数的输入。
通过多元函数，可以将多变量之间的关系表示出来，从而更加清楚地理解问题。
在数学中，多元函数的应用比较广泛，可以用来描述物理学中的各种力，比如重力，电力等，也可以用来描述量子力学中的任意力。
此外，还可以用多元函数来描述数学计算机科学中的几何图形，从而研究几何图象的形状及相关的物理量。
总之，多元函数可以为人们提供更丰富的信息，以便更好地理解事物，解决实际问题。
多元函数也可以用来计算极限值，也就是极限的函数值的限制，这可以帮助我们在实际应用中研究函数的极限值。
极限值的计算可以帮助我们找到函数的极值点，从而获得函数的最大值和最小值，从而更好地实现函数的优化。
总之，多元函数是数学中重要的概念，它可以用来描述物理学中的各种力，也可以用来描述数学计算机科学中的几何图形，还可以用来计算函数的极限值，从而更好地解决实际问题。
- 1 -。
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
29
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
1
一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
高数一 9-1 多元函数的基本概念
内点
如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域 U (P, ) 内总 有E中的点 则称P是E的聚点
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连通性 如果点集E内任何两点都可用折线连结起来 且该折线上 的点都属于E 则称E为连通集
D是连通的
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铃
点与点集之间的关系 •内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 •外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得U(P)E 则称P点
•边界点 如果点P的任一邻域内既有属 于E的点 也有不属于E的点 则称P点为 E的边界点
y
x y 2
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铃
2.n维空间 我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集 合称为n维空间, 记为Rn 即 Rn{(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n} xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量
多元函数的基本概念
一、平面点集 n维空间 二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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铃
一、平面点集 n维空间
1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 点P0的 邻域记为U(P0 ) 它是如下点集
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y
O
1
2 x
铃
有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
9.1 多元函数的基本概念
(3) 或找一条路径，若此时极限不存在，则可说明原极限 不存在.
2. 【特别注意】
即使令P ( x,y )沿任何直线 y y0 k ( x x0 )趋于P0 ( x0 , y0 )时 极限值与 k值无关(即都相等 )， 此时也不能断言原极限 存在。 需特别注意.
设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 z f ( x , y ) ，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x , y , z )，当 x、y 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D}，这个点集称 为二元函数的图形.
U ( P0 , ) { P | PP0 | } {( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 }.
y
P0
开圆盘
O
x
{ P 0 | PP0 | }
(3)【去心邻域】 U ( P0 , )
5/31
(4)【点与点集之间的关系】
(0, 0,1)
17/31
【课本例5】 求 lim sin( xy ) ( x , y ) ( 0 , 2 )
x
【解Ⅰ】 原式
sin( xy ) lim [ y] ( x , y ) ( 0 , 2 ) xy
lim
sin( xy ) lim y xy 0 y2 xy
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一、多元函数的概念
前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n 维空间中去，例如，
P0 Rn ， 是某一正数，则点P0 的 邻域为 U (P0 , ) {P | PP0 | , P R n}.
U (P0 , ) P P0 P ，
亦即
U (P0 , ) (x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 .
3
一、多元函数的概念
在几何上，U (P0, ) 表示以P0 (x0, y0 ) 为中心， 为半径的圆的内
部（不含圆周），如图9.1 所示.
y P0
O
x
图 9.1 4
点集E4 {(x, y) | x y 0}是闭区域，如图9.7 所示.
y
y
O
x
O
x
图 9.6
图 9.7
9
一、多元函数的概念
⑦有界区域：如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内，即存 在正数r，使E U (0, r)，则称E 为有界区域；否则，称E 为无界区域.
例如，E1,E2是有界区域，E3,E4是无界区域． ⑧聚点：记E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点．如果 点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ，则称P 为E 的聚点． 显然，E 的内点一定是E 的聚点，此外，E 的边界点也可能是E 的聚点．
高等数学（下册）
第九章 多元函数微分学及其应用
第一讲 多元函数的基本概念
本讲内容
01 多元函数的概念 02 二元函数的极限 03 二元函数的连续性
一、多元函数的概念
1.区域
(1)邻域
设P0 (x0 , y0 )是xOy 平面上的一定点， 是某一正数，与点P0 (x0 , y0 )
的距离小于 的点P(x, y) 的全体，称为点P0 (x0 , y0 ) 的 邻域 ，记为 U (P0 , ) ，即
的邻域，用U (P0 ) 表示点P0 (x0 , y0 ) 的去心邻域.
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一、多元函数的概念
(2)区域 设E是xOy 平面上的一个点集，P 是xOy 平面上的一点，则P 与
E 的关系有如下情形： ①内点：如果存在P的某个邻域U (P) ，使得U (P) E，则称点
P为E 的内点，如图9.2所示. ②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
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一、多元函数的概念
例如, 点集E1 (x, y) 1 x2 y2 4 是开区域，如图9.4 所示.
点集E2 (x, y) 1 x2 y2 4 是闭区域，如图9.5 所示.
y
y
O1
2x
O1
2x
图 9.4
图 9.5
8
一、多元函数的概念
又如，点集E3 x, y | x y 0是开区域，如图9.6 所示.
一、多元函数的概念
上述邻域U (P0 , ) 去掉中心P0 (x0 , y0 ) 后，称为P0 (x0, y0 ) 的去 心邻域，记作U (P0, )，即
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 .
如果不需要强调邻域的半径 ，则用U (P0 ) 表示点P0 (x0, y0 )
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边 界，如图9.3所示．
P
P
E
E
图 9.2
图 9.3
6
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. ④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
完全含于E 的折线连接起来，则称E 是连通集. ⑤开区域：连通的开集称为开区域，也称区域． ⑥闭区域：开区域连同它的边界称为闭区域.
取定(x, y) D，对应的f (x, y) 叫做(x, y) 所对应的函数值．全体函数 值的集合，即
f (D) {(x, y) | z f (x, y), (x, y) D} 称为函数的值域，常记为f (D).
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一、多元函数的概念
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数. 一般地，如果把定义9.1 中的平面点集D 换成n 维空间的点 集D，可类似地定义n元函数 y (x1, x2, , xn ) 或 y f (P)，这里 P(x1, x2 , , xn ) D. 当n 1时，n元函数就是一元函数；当n 2 时，n 元函数就 是二元函数；当n 3 时，n 元函数就是三元函数. 二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与 一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．
Rn {(x1, x2 , , xn ) | xi R, i 1, 2, , n}. n 元有序实数组(x1, x2, , xn ) 称为n 维空间中的一个点，数xi 称 为该点的第i 个坐标．
类似地规定，n 维空间中任意两点P x1, x2, , xn 与Q y1, y2, , yn
再如，点集E6
{(1,1), (1 2
,
1), (1 23
,
1),, ( 1 3n
,
1),}，原点(0, 0)是它的 n
聚点，E6 中的每一个点都不是聚点．
以上平面区域的概念可以直接推广到n 维空间中去.
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一、多元函数的概念
2.n 维空间
一般地，由n 元有序实数组(x1, x2, , xn ) 的全体组成的集合称为 n维空间，记作Rn．即
以邻域为基础，还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等一系 列概念．
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一、多元函数的概念
3.多元函数的概念
定义 9.1 设D 是 R2 中的一个平面点集，如果对于每个点P(x, y) D， 变量z 按照一定对应法则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称z 是x ， y 的二元函数，记作
z f (x, y), (x, y) D，或 z f (P), P D. 其中，x,y 为自变量，z 为因变量，点集D 叫做函数的定义域0 x2 y2 1 ，那么点(0, 0) 既是E5 的边界
点又是E5 的聚点，但E5 的这个聚点不属于E5 ；
又如，圆周x2 y2 1 上的每个点既是E5 的边界点又是E5 的聚点，
而这些聚点都属于E5 ．
由此可见，点集E 的聚点可以属于E ，也可以不属于E ．