证明不等式的四个基本技巧
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
不等式的证明技巧
不等式的证明技巧不等式是数学中常见的一种重要的数学关系。
证明一个不等式一般有以下几种常用的技巧：1.分析前提条件：首先，我们需要对不等式中的前提条件进行仔细的分析，了解这些条件约束下的数学性质。
在证明过程中，有时可以通过对前提条件的适当利用来简化证明过程，或者削弱不等式的限制，使得问题更容易处理。
2.求导和函数分析：对于一些关于函数的不等式，我们可以通过函数的导数来进行分析。
在求导的过程中，我们可以得到函数的最大值、最小值以及增减性质等重要的信息。
根据这些信息，我们可以判断函数的取值范围和不等式的成立条件。
3.数学归纳法：对于一些具有递推性质的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。
首先，我们可以验证当n=1时不等式的成立，然后假设对于一些n成立，即不等式成立，再通过证明当n+1时也成立来得出结论。
4.分割法：对于一些含有多个变量的不等式，我们可以通过分割法将问题转化为多个单变量的不等式进行分析。
通过分析这些单变量的不等式，可以帮助我们更好地理解原始不等式的性质和结论。
5.套用已知不等式：在证明过程中，我们可以尝试将一些已知的不等式进行变形运用。
通过套用已知的不等式，可以简化证明过程，加快解题速度。
尤其是一些经典的不等式如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等，它们已经被广泛研究和应用，具有较强的普适性。
6.代入与化简：有时我们可以通过代入一些特殊的数值或者特定的变量取值，使得不等式变得更简单。
这样可以进一步分析不等式的性质，加深对问题本质的理解，从而得出证明结论。
7.反证法：给定一个不等式，我们假设其不成立，然后通过一系列逻辑推导和推理来推导出矛盾的结论。
这时我们可以得出原不等式的成立。
总之，证明不等式需要深入理解数学性质和灵活的数学思维。
结合前述的证明技巧，可以帮助我们更好地解决不等式问题。
最重要的是，需要积极锻炼数学证明的能力，通过练习和实践才能够提高。
不等式证明的基本方法与策略总结
不等式证明的基本方法与策略总结不等式证明在数学研究、数学建模以及各种工程问题中都有重要的应用价值。
同时，不等式证明也是各种数学竞赛中的重头戏。
本文将总结不等式证明的基本方法与策略，以便读者更好地理解不等式证明的思路和套路。
一、基本方法1. 套路化：对于一些经典不等式如柯西不等式等，可以先了解它的证明方法，将其归纳总结出来，然后通过类比去证明其他不等式。
2. 变形：对于一个不等式，可以通过一些代数变形，将其转换为其他形式，更容易被证明出来。
如将两个不等式的左侧相乘，右侧相乘，再相减，得到新的不等式。
或者将一个不等式的左右两侧都平方，再相减，也可以得到新的不等式。
3. 等价转换：将不等式转化为等价形式，然后再利用已有的定理进行证明。
如将一个不等式的等号两侧同时加上一个数，就可以转化为另一个不等式，然后再进行证明。
4. 递推：递推是一种常用的证明方法，它可以将一个复杂的不等式转化为一个比较简单的不等式，然后通过多次递推证明出原不等式。
递推的关键在于找到一个递推式和一个初始条件。
二、基本策略1. 二分法：二分法是一种常用的证明策略，它将一个不等式的左右两侧分别处理，然后比较两侧的大小关系得到证明的结论。
2. 置换对称法：置换对称法指的是将一组变量按照一定的置换方式进行对称化，然后证明得到不等式后，再通过恢复变量之间的关系，得到原始不等式。
3. 大杀器策略：大杀器策略指的是使用一些已知的定理和公式来证明不等式。
如柯西不等式、阿贝尔不等式、托肯不等式等，这些定理都是不等式证明中比较重要的工具。
4. 分段讨论法：分段讨论法是一种常用的证明策略，适用于证明一些具有特定性质的不等式。
它将不等式的变量进行合理的分段，然后分别证明每个分段中的不等式。
三、小结总的来说，不等式证明的基本方法和策略都比较常用和灵活，在实际应用中需要根据具体问题进行灵活运用。
同时，在证明不等式之前，需要对不等式的基本定义和定理进行系统化的学习和掌握，才能更好地利用这些理论工具进行证明。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高考数学证明不等式的基本方法
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要点归纳
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要点归纳
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1.比较法证明不等式 作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据 是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件. 证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判 断结果的符号.
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2.综合法证明不等式 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理 的基本理论.证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个 重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先 考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不 等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中 “当且仅当……时，取等号”的题型研修
例 1 若 x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求证：b＋a cx2＋c＋b a
y2＋a＋c bz2≥2(xy＋yz＋zx).
证明 ∵b＋a cx2＋c＋b ay2＋a＋c bz2－2(xy＋yz＋zx)
＝bax2＋aby2－2xy＋bcy2＋bcz2－2yz＋acz2＋acx2－2zx＝
∴0＜ （n＋1）n22＋ ＋11＋ ＋（ n n＋1）＜1，即CCn＋n1＜1，
从而有 Cn＋1＜Cn.
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跟踪演练 2 若 a，b，m，n 都为正实数，且 m＋n＝1， 试证： ma＋nb≥m a＋n b. 证明 ∵a，b，m，n 均为正数，且 m＋n＝1， ∴( ma＋nb)2－(m a＋n b)2 ＝ma＋nb－m2a－n2b－2mn ab ＝m(1－m)a＋n(1－n)b－2mn ab ＝mn( a－ b)2≥0，又 ma＋nb＞0，m a＋n b＞0， ∴ ma＋nb≥m a＋n b.
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利用数学归纳法证明不等式的基本技巧
利用数学归纳法证明不等式的基本技巧利用数学归纳法证明不等式的基本技巧：1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．作差法：差与“0”比较。
为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．作商法：商与“1”相比较。
作商时，需要满足两者均为正数。
2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。
综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
4、放缩法：要证明不等式A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。
5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．6、常数代换法常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。
常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。
7、几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全
在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。
目前，关于证明不等式的方法可以分
为几类，下面将详细展开讨论：
一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。
二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的
不等式。
三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。
四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不
等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。
五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，
然后根据条件判断两个式子大小关系。
六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过
某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。
七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不
等式的正确性。
以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。
不等式证明基本方法
不等式证明基本方法一、数学归纳法数学归纳法是证明自然数性质的一种基本方法，对于与整数有关的不等式，我们也可以利用数学归纳法进行证明。
其基本思路是先证明当n=1时不等式成立，再假设当n=k时不等式成立，然后通过数学推理证明当n=k+1时不等式也成立。
二、反证法当我们尝试利用数学归纳法证明不等式时，有时可能会遇到困难，这时我们可以尝试使用反证法。
反证法的证明过程是：先假设不等式不成立，然后推导出与已知条件或已证明的定理矛盾的结论，从而证明原不等式的正确性。
三、插值法插值法也是一种常见的不等式证明方法。
其基本思路是在待证不等式的两边加入适当的不等式，并利用不等式的传递性和可加减性进行推导，最终得到待证不等式的真假结论。
四、绝对值法对于涉及绝对值的不等式，我们可以利用绝对值的性质进行证明。
例如，对于，a-b，>c这样的绝对值不等式，我们可以根据绝对值的定义将其拆分为两个不等式，再分别进行证明。
另外，利用绝对值不等式的性质，我们还可以进行变量替换等操作，将原不等式化简为更简单的形式进行证明。
五、特殊化方法特殊化方法是指将不等式中的一些变量或参数取特殊值，从而达到简化不等式的目的。
例如，对于含有幂函数的不等式，我们可以通过取特殊值使得幂函数变为常数或者线性函数，从而将原不等式化简为更简单的形式。
综上所述，不等式证明的基本方法包括数学归纳法、反证法、插值法、绝对值法和特殊化方法等。
在具体的证明过程中，我们需要根据待证不等式的特点选择合适的方法，并灵活运用各种数学工具和技巧，从而得到准确的证明结论。
基本不等式证明技巧设计
基本不等式证明技巧设计1. 引言基本不等式在数学证明中起着重要的作用，它是其他更复杂的不等式的基础。
本文将介绍一些基本的不等式证明技巧，帮助读者更好地应对不等式证明的挑战。
2. 技巧一：化简与换元在不等式证明中，经常可以通过化简和换元来简化问题。
首先，对不等式进行简化，将其转化为更简单的形式。
例如，可以利用基本的代数运算对不等式进行合并、拆分、约分等操作，使其更易于处理。
其次，尝试引入新的变量或换元，以降低不等式的复杂度。
常见的换元方法包括替换不等式中的变量为其它表达式，或将一个较为复杂的表达式替换为一个较为简单的表达式。
3. 技巧二：利用对称性和平均值不等式对称性是一种常见的不等式证明技巧。
在处理对称性方面，可以利用不等式两边的对称性来改变不等式的形式。
例如，对称性可以帮助我们将不等式进行镜像处理，从而得到新的不等式。
平均值不等式也是常用的技巧之一。
平均值不等式通过引入平均值，将原始不等式与平均值不等式进行比较。
常见的平均值不等式包括算术均值与几何均值不等式。
4. 技巧三：归纳法与反证法归纳法和反证法是两种常用的证明技巧。
针对特定类型的不等式，可以运用归纳法进行证明。
归纳法通过假设某个等式成立，并通过递推关系来证明其余情况下也成立。
反证法则是通过假设不等式不成立，并推导出矛盾的结论，从而证明不等式成立。
这两种技巧在不等式证明中都有广泛的应用。
5. 技巧四：凑巧法与替换法凑巧法与替换法是一种灵活的证明技巧。
在处理特定类型的不等式时，可以尝试运用凑巧法。
凑巧法通过巧妙地选择和调整不等式中的项，使得不等式的证明路径更加清晰。
替换法则是通过将不等式中的一部分进行替换，从而得到新的不等式进行证明。
凑巧法和替换法都需要灵活运用，根据不等式的特点和形式选择合适的策略。
6. 结论不等式证明是数学证明的重要部分，掌握一些基本的不等式证明技巧对于解决更复杂的数学问题至关重要。
本文介绍了化简与换元、利用对称性和平均值不等式、归纳法与反证法、凑巧法与替换法等几种常见的不等式证明技巧。
利用导数证明不等式的四种常用方法
利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。
举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。
我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。
通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。
即e^x＞1+x。
方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。
我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。
令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。
我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。
当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。
所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。
同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。
方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。
我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。
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证明不等式的四个基本技巧2.1三角换元若对含平方的根的表达式的积分，如⎰，⎰，⎰则可采用下列三角换元x t sin =，y t tan =，1z tcos =，选择合适换元可简化不等式。
【试题9】证明对正实数a b c ,,，有：222a 2b 2c 29ab bc ca ()()()()+++≥++ 21()-【解析】选A B C 02,,(,)π∈，采用三角换元a A =，b B =，c C =则利用恒等式2211tan cos θθ+=改写21()-为：2228A 1B 1C 118A B B C C A (tan )(tan )(tan )(tan tan tan tan tan tan )+++≥++即：22241A B C A B C A B C9A B CA B C sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos ++≥即：4A B C A B C A B C A B C 9cos cos cos (sin sin cos cos sin sin sin cos sin )≥++ ① 由三角恒等式A B C A B C A B C cos()cos()cos sin()sin ++=+-+A B A B C A B A B C (cos cos sin sin )cos (sin cos cos sin )sin =--+A B C A B C A B C A B C cos cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin =---即：A B C A B C A B C sin sin cos cos sin sin sin cos sin ++A B C A B C cos cos cos cos()=-++ ②将②代入①式得：4A B C A B C A B C 9cos cos cos [cos cos cos cos()]≥-++ 22()- 设A B C3θ++=，应用AM GM -不等式得：3A B C A B C 3cos cos cos cos cos cos ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭由于A B C 02,,(,)π∈，在x 02(,)π∈对余弦函数f x x ()cos =是上凸函数，故由琴生不等式得其函数的均值小于均值的函数。
即：A B C A B C33cos cos cos cos cos θ++++≤=于是：33A B C A B C 3cos cos cos cos cos cos cos θ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭③ 将③代入22()-式：33439cos (cos cos )θθθ≥- ④ 利用三角恒等式：3343cos cos cos θθθ=- 或 33333cos cos cos cos θθθθ-=-④式变为：333343339cos (cos cos )cos (cos cos )θθθθθθ≥-=- 于是：33424127cos (cos cos )cos (cos )θθθθθ≥-=- ⑤ 采用AM GM -不等式：122222231111223223cos cos cos cos [(cos )][(cos )]θθθθθθ⋅⋅-≤++-= ⑥ 即：222311223cos cos (cos )()θθθ⋅⋅-≤，即：424127cos (cos )θθ-≤ 本式当且仅当A B Ctan tan tan ===a b c 1===时，等号成立。
这就证明了⑤式成立。
【试题10】设a b c d ,,,为正实数，且满足：4444111111a1b1c1d+++=++++试证：abcd 3≥.【解析】采用三角换元，设2a A tan =，2b B tan =，2c C tan =，2d D tan =且A B C D 02,,,(,)π∈，则代数等式变换成三角等式：2222111111A1B1C1Dtan tan tan tan +++=++++即：2222A B C D 1cos cos cos cos +++=即：22222A 1A B C D sin cos cos cos cos =-=++ ① 应用AM GM -不等式得：22223B C D 3B C D cos cos cos (cos cos cos )++≥②由①②得：223A 3B C D sin (cos cos cos )≥ ③ 同理可得：223B 3C D A sin (cos cos cos )≥；223C3D A B sin (cos cos cos )≥；223D 3A B C sin (cos cos cos )≥.四式相乘得：222242222A B C D 3A B C D sin sin sin sin cos cos cos cos ≥ 即：22224A B C D 3tan tan tan tan ≥即：44444a b c d 3≥，即：abcd 3≥. 证毕。
【试题11】设x y z ,,为正实数，且x y z xyz ++=，32++≤ 【解析】采用三角换元，设x A tan =，y B tan =，z C tan =，且A B C 02,,(,)π∈则代数式变换成三角式：A B C A B C tan tan tan tan tan tan ++= ① 由于A B C 02,,(,)π∈，则①式满足三角形内角的条件，即：A B C π++= ②+=+A B C cos cos cos =++则待证式变为：3A B C 2cos cos cos ++≤.定理2.1：在任何锐角三角形ABC 中，恒有：3A B C 2cos cos cos ++≤ 23()- 证明：由于f x x ()cos =在02(,)π区间是向上凸函数，由琴生不等式知：函数的均值不大于均值的函数。
即：A B C A B C 13332cos cos cos cos cos π++++≤==即：3A B C 2cos cos cos ++≤. 证毕。
在证明定理1.5的注解中，已经解释了琴生不等式，即：对于向下凸出的函数，函数的均值不小于均值的函数。
那么，对于向上凸出的函数，函数的均值不大于均值的函数。
事实上，函数在x 2(,)ππ∈依然是凸函数，但是是向下凸出的函数。
也许有人认为23()-式并不是对所有角成立，可事实上23()-式对锐角、直角、钝角三角形都成立。
定理2.2：在任意三角形ABC 中，恒有：3A B C 2cos cos cos ++≤ 证明法一：由于C A B ()π=-+，所以：C A B A B A B cos cos()cos cos sin sin =-+=-+32A B C (cos cos cos )-++22221A A B B 2A B A B A B (sin cos )(sin cos )(cos cos cos cos sin sin )=++++-+-+ 22221A B 2A B A B 2A B 2A B (sin sin sin sin )(cos cos cos cos )(cos cos )=++-+++-+ 22A B 1A B 2A B (sin sin )(cos cos )(cos cos )=-+++-+22A B 1A B 0(sin sin )[(cos cos )]=-+-+≥即：32A B C 0(cos cos cos )-++≥ 即：3A B C 2cos cos cos ++≤. 证毕。
证明法二：设BC a =，CA b =，AB c =，用余弦定理重写不等式。
222222222b c a c a b a b c 32bc 2ca 2ab 2+-+-+-++≤ 去分母得：2222222223abc a b c a b c a b c a b c ()()()≥+-++-++- 等价于：abc b c a c a b a b c ()()()≥+-+-+- 与定理1.2中的14()-式相同。
在Ch.1，我们证明了R 2r ≥等效于代数不等式abc b c a c a b a b c ()()()≥+-+-+-。
在证明上述定理时，上式有等效于三角不等式3A B C 2cos cos cos ++≤。
有人会问：是否对任意三角形，A B C cos cos cos ++与R r之间，存在自然关系？这里R 与r 分布代表ABC ∆的外接圆半径与内切圆半径。
定理 2.3：设R 与r 分布代表ABC ∆的外接圆半径与内切圆半径，则恒有下列关系：rA B C 1Rcos cos cos ++=+24()- 证明：由余弦定理得：222b c a A 2bc cos +-=，222c a b B 2ca cos +-=， 222a b c C 2abcos +-=上面三式相加并通分得：222222222a b c a b c a b c a b c A B C 2abc()()()cos cos cos +-++-++-++=2232232231ab ac a bc ba b a c b c c 2abc()=+-++-++- ① 由三角形的面积公式得：1S a b c r pr 2()=++=，即：S r p = ②11a abc S bc A bc 222R 4R sin ==⋅=。
即：abcR 4S= ③ 及海伦公式：2S p p a p b p c ()()()=--- ④ 由②③④得：2r 4S 4111p a p b p c R pabc abc()()()+=+=+--- 112p 2a 2p 2b 2p 2c 2abc()()()=+--- 11b c a c a b a b c 2abc()()()=++-+-+-2212abc c a b a b c 2abc{[()]()}=+--+- 2212abc c a b c a b a b c 2abc[()()()]=++---+- 2232212abc ac bc c a b a b c a b 2abc[()()()]=++---++- 223222212abc ac bc c a b a b a c b c 2abc 2abc[()()]=++----++- 2233223221ac bc c a ab a b b a c b c 2abc[]=+--++-++ ⑤ 对比①⑤式得：rA B C 1Rcos cos cos ++=+. 证毕。
【练习4】(a)设p q r ,,为正实数，且222p q r 2pqr 1+++=，证明：存在这样一个锐角三角形ABC ，满足：p A cos =，q B cos =，r C cos =.(b)设p q r 0,,>，且222p q r 2pqr 1+++=，证明：当p A cos =，q B cos =，r C cos =，且A B C π++=时，A B C 02,,(,)π∈.【试题12】设a b c ,,为非负实数，且222a b c abc 4+++=，证明：0ab bc ca abc 2≤++-≤.【解析】注意到a b c 1,,>才能保证222a b c abc 4+++>，若a 1<，则ab bc ca abc bc abc 1a bc 0()++-≥-=-≥，我们现在证明ab bc ca abc 2++-≤.设：a 2p =，b 2q =，c 2r =，代入222a b c abc 4+++=得到：222p q r 2pqr 1+++= ①根据上面的练习题，我们设：a 2A cos =，b 2B cos =，c 2C cos =，当A B C 02,,(,)π∈，且A B C π++=时，我们需要证明：1A B B C C A 2A B C 2cos cos cos cos cos cos cos cos cos ++-≤② 我们可以假设A 3π≥，或12A 0cos -≥请注意：A B B C C A 2A B C cos cos cos cos cos cos cos cos cos ++-A B C B C 12A cos (cos cos )cos cos (cos )=++- ③由琴生不等式得：3A B C 2cos cos cos ++≤，即：3B C A 2cos cos cos +≤- ④ 并注意：2B C B C B C 1B C 1A cos cos cos()cos()cos()cos =-++<++=- ⑤ 将④⑤代入③得：A B B C C A 2A B C cos cos cos cos cos cos cos cos cos ++-31A A 1A 12A 22cos (cos )(cos )(cos )≤-+--2231A A 13A 2A 22cos cos (cos cos )=-+-+ 22313A A A A 222cos cos cos cos =-+-+12= 即：②式得到证明。