上海交通大学 线性代数第一、二章复习题 附答案
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数第3版习题全解
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =；(3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zz x zx++=++=++++ ()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5)x y x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
新版线性代数1-2章练习和参考答案
1 四、设 a, b, c 是互异的实数，证明： a a3
1 b b3
1 c = 0 的充要条件是 a + b + c = 0 。 c3
8
院(系) , 一、填空： 1.方程组 ⎨
班, 姓名 练习 2.4 行列式的应用
学号
⎧7 x + 8 y = 6 的解 x = ⎩3x − 5 y = 11
, y=
解或有无穷解.
3
院(系) ,
班, 练习 1.4
姓名
学号
矩阵的标准形
一、填空： 1.设一个 m × n 线性方程组的系数矩阵为 A ，它等价于 ⎜
⎛ Er ⎝0
0⎞ ⎟ ；其增广矩阵为 0 ⎠ m×n
⎛E B ，它等价于 ⎜ k ⎝ 0
成
0⎞ . 那么方程组有解的充分必要条件可以用 r 和 k 描述 ⎟ 0 ⎠m×( n +1)
；
；
当 n = 2 时， D =
；当 n ≥ 3 时， D =
1 −2 5. 4 −8 0 1 6.设有 x 1 1 1 7. 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 1 x 1 0 1 1
1 1 2 3 = 4 9 8 27 x 1 0 1 0 1 = 1 1
；
1 x = 0 ,则 x = 1 0
三、不计算行列式的值，证明行列式
能被 18 整除.
6
院(系) , 一、填空：
班, 姓名 练习 2.3 行列式的计算
学号
2 0 0 0 1 −1 1. 0 −4 0 5 2 −3
4 2 = 0 8
−1 1 1 x −1 −1 x +1 −1 1 ；2. = −1 1 x −1 1 −1 1 x +1 −1 1 0 中，元素 x 的代数余子式是 0 1
上海交通大学线性代数第一、二章复习题附答案
代数第一、二章复习 2005-10-316A 2B = 54、填空题1、设，则A 中元素a i2的代数余子式等于-11;Q A 121)12、设3A3、设 3n A333阶方阵At ，且 AB 0， 3-7a 1 4 •设 A = a ? a 3b 1 b 2 b s C1a 1 C2C3a 2 a 3b 1 b 2 b 3d 1d 2 d 3，且 A =4， B =1，则3a 1 3D C 1 2d 1a 1 bi C 1 2d 13a 2 3b 2 2d 2 32 a 2 b 2 C 2 2d2 3a 33b 3 C 3 2d 3a 3b 3 C 3 2d 3A 2B =a 1b 2d 1 a ? b 2 C 29 a 2 b 2 2d 2 a 3 ba 3b 3 2d 3 9 9[4 2 1] 54 ；a 1b 1 a 1b 2ab_ azd a 2b 2 a 2b n 0 , b )i 0, i 1, 2, ,n ,6.设A，其中a ianb a n b 2a nb n则r(A) = 15已知A 是秩为2的4阶矩阵，则A j7 、设A , B , C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式r(A )= oBD 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( -A) 1;3 B 3A 1 B ( 3)- A 1278、已知A 为三阶方阵，且 A 4 , A 2E 8 ,则A A 1 = __2__ ；o阶方阵，且行列式|A| a ，则|2A| _|2A| 25a、选择题*11 *12 *134*11 2*11 3*12 *13 1、如果D*21 *22 *23 1 ,则 D 14*21 2*213*22 *23*31*32*334*312*313*32*3311 1 11 10 39、设 A，则第1 1 1 0121 110、设A 为n 阶可逆矩阵 5B 是将矩阵，则AB1Pii。
11 •设A 为5阶方阵， 且A< =-4 4行各元素的代数余子式之和为A 中的第i 行与第j 行元素对调后的则行列式|AA 46a 11 a 12a 135*113*12 *1312如果D821 *22 *233，则 D 15*21 3*22 *23*31*32*335*313*32*33a 21 a 2214 .已知行列式A 12元素（2,321X 1 *22 X 2 b 1b 2的解必素(1,2)的 代数余子式1）的代数余子式A 21的值15 .已知A 为5 =-45 a 12811X1a 12X 213.如果线性方程组a 11(A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 242 •设A为4阶方阵，已知A 3，且，则A A 1= ____________ ；3、设A, B, C是n阶方阵，且ABC E, E为n阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是()(A) BCA E (B) ACB E (C) BAC E (D) CBA E14、当ad be时，a b=() e d(A)1 d e (B) 1 d e ad be b a ad be b a(C)1 d b (D) 1 d bbe ad e a ad be e a5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是()1 0 0 1 0 0 1 0 0(A) 0 0 1 (B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 1 0 1 0 1 0 0 40 0 10 1 01 0 1a11 a12 a13 a 11 3a31 a12 3a32 a13 3a 336 、若P a21 a22 a23 = a21 a 22 a23 则Pa31 a32 a33 a31 a32 a33( )1 0 0 1 0 3 0 0 3(A) 0 1 0 (B) 0 1 0 (C) 0 1 03 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0(D) 0 1 00 3 10 07、设A a 10 b 4 a 2 b s 0 b 2 a 3 0 bia 4 ，则 A =() (A) (C) 3i 323334b 2b 3)(a i a 4 bb 4)(B) a 1a 2a 3a 4 ①匕鸟①匕厶(a 2a 3 (@a 2 db 2)(a 3a 4 b 3b 4)8、设n 阶方阵A 满足A 2 2E ,其中E 是n 阶单位阵，则必有( 1 1 (C) A -A2 (D) (A) A 2A 1 (B) A 2E (D) 9、设 A 、 (A) (C) B 都是n 阶非零矩阵，且 必有一个等于零 一个小于n ，—个等于n 10 •设n 阶矩阵 ) AA 满足 A 2 AB 0, (B) (D) E 0，其中 则A 和B 的秩(都小于n 都等于0 E 为n 阶单位矩阵, 则必有 ( (A) (B) E (C) A A 1(D) 11 •设 ，且 1 a , b , c 均不为零，则A (A) (B) (C)12 .设(A)r(B) 2二、计算题1、 已知(D)12B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B)AB 0,r(B) r(A) 21 42, (C)则(r(B)(D)3 求(AB)T 。
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
交大版线性代数答案
交大版线性代数答案问题1题目：已知矩阵A = | 1 3 0 | | 2 -1 4 | | 0 1 2 |求矩阵 A 的零空间和列空间。
解答：我们首先求矩阵 A 的零空间。
设一个向量 x = | x1 | 为矩阵A 的零空间中的一个向量，则有 Ax = 0。
根据矩阵乘法可得：A * x = | 1 3 0 | * | x1 | = | x1 + 3x2 | | 2 -1 4 | | x2 | | 2x1 - x2 + 4x3 | | 0 1 2 | | x3 | | x2 + 2x3 |要使 Ax = 0，我们需要求解以下线性方程组：x1 + 3x2 = 0 2x1 - x2 + 4x3 = 0 x2 + 2x3 = 0将其化为增广矩阵，得：1 3 0 | 0 |2 -1 4 | 0 |0 1 2 | 0 |对增广矩阵进行初等行变换，得：1 0 -2/5 | 0 |0 1 -2/5 | 0 |0 0 0 | 0 |由此可得零空间的一组基为向量 x = | 2/5 |。
接下来我们求矩阵 A 的列空间。
列空间是由矩阵 A 的所有列的线性组合组成的集合。
由于矩阵 A 的列向量为线性无关的，所以矩阵 A 的列空间的维数为 3 - 1 = 2。
因此矩阵 A 的列空间为一个二维空间。
问题2题目：已知矩阵B = | 1 2 | | 1 -1 |求矩阵 B 的特征值和特征向量。
解答：为了求解矩阵 B 的特征值和特征向量，我们需要解决以下方程：det(B - λI) = 0其中，λ 是一个未知数，I 是单位矩阵。
根据矩阵减法得到：B - λI = | 1 2 | - λ | 1 0 | = | 1 - λ 2 | | 1 -1 | | 0 1 | | 1 -1-λ |计算行列式的结果为：det(B - λI) = (1 - λ)(-1-λ) - 2 = λ^2 - 2λ - 3 = 0将方程因式分解得：(λ - 3)(λ + 1) = 0解得λ = 3，λ = -1。
线性代数第3版习题全解上海交通大学--资料
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5) xy x y y x y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =； (3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zzxzx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x x x--= 2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x x x x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
上海交通大学版线性代数第一章答案
当 或 时有无穷多解
时
时
(2)当 时，无解；
当 时，有无穷多解，通解为
(3)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
(4)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
38.求解下列各题。
(1)已知 是三元非齐次线性方程组 的解， ，且
求方程组的通解。
(2)已知 是 的两个不同解， 是 的基础解系，求非齐次线性方程组 通解。
证：由17题， ，当 时， ，当 可逆时， ，从而 ， 可逆。
19.判断下列线性方程组是否有解：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：令系数矩阵为 ，系数矩阵 ，增广矩阵为
(1)因为 ，所以线性方程组有唯一解；
(2)因为 ，所以线性方程组无解；
(3)因为 ，所以线性方程组有无穷多个解；
(4)因为 ，所以线性方程组无解；
(1) ; (2) ;
(3) ,其中为 非零常数;
(4) ,其中
，
此处 为非零常数。
解：
(1)
；
(2)
(3)
同上小问的方法
；
(4) ；
其中
17.设A,B为n阶方阵，数 .证明： .
证：因为 ，
，
所以有
因此对于 ，
对于， ，有 ，则有 。
18.设A和B为n阶方阵，且E-AB可逆.证明：E-BA也可逆.
60.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有唯一解或无穷多组解？在有解时求出其解。
(1)
(2)
解：同上题用消去法
(1)当 ，无解
当 ，有无穷多解
(2)当 ，有唯一解
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代数第一、二章复习2005-10-31 一、填空题1、 设311174736-=A ，则A 中元素12a 的代数余子式等于-11；2、 设A 是3阶方阵，且，则*A=2113n A-⎛⎫= ⎪⎝⎭；3133393n A A A A ===⇔=Q3、 设3阶方阵123406103A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭0≠，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30342531t B ，且0=AB ，则t =_______-7____； 4．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，且A =4，B =1，则B A 2+= 54 B A 2+Θ=233332222111132********=+++d c b a d c b a d c b a 333322221111222d c b a d c b a d c b a +++ 3332221119c b a c b a c b a =1112223332929[421]542a b d a b d a b d +=+⨯=； 5已知A 是秩为2 的4阶矩阵，则)(*A r =__0_________；6.设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111，其中0≠i a ，n i b i ,,2,1,0Λ=≠，则)(A r =__1___________；7、设A ,B ,C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式1911130271()231(1)()33(3)27B D A CB A B A B A-----==-----=-=-=-Q 由于 ；8、 已知A 为三阶方阵,且4=A ,82=+E A , 则1-+A A =_____2____；9、 设1121011*********-=A ，则第4行各元素的代数余子式之和为___0________；10、设A 为n 阶可逆矩阵,B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵,则1-AB =__Pij____。
11．设A 为5阶方阵，且A ＝－4，则行列式64A A =12如果1112132122233132333a a a D a a a a a a ==，则1112131212223313233535353a a a D a a a a a a -=--= -45 13．如果111221222a a a a =，线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a bx a x a 的解必是14．已知行列式1340564x x中元素(1, 2)的代数余子式120854x A =-=，元素(2, 1)的代数余子式21A 的值= 。
15．已知5为A 阶方阵，且行列式a A =||，则|2|A = 5|2|2A a = 二、选择题1、如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---== ( ))(A 8 )(B 12- )(C 24 )(D 24-2．设A 为4阶方阵，已知3=A ，且，则1-*AA =______；3、设A ,B ,C 是n 阶方阵,且E ABC =,E 为n 阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是 ( )4、当bc ad ≠时，1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a = （ ）5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ ）6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅333231232221131211a a a a a a a a a P = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ，则P = （ ）7、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4433221100000000a b a b b a b a A ，则A =（ ）8、设n 阶方阵A 满足E A 22=，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ） 9、设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则A 和B 的秩（ B ） )(A 必有一个等于零 )(B 都小于n )(C 一个小于n ，一个等于n )(D 都等于010．设n 阶矩阵A 满足02=+E A ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有( )(A) A E = (B) A E -= (C) 1--=A A (D) 1=A11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=004030200A ，且a ，b ，c 均不为零，则1-A = （ ）12．设A 、B 是n 阶方阵，且0AB =，()2r A n =-，则 ( )(A) ()2r B = (B) ()2r B < (C) ()2r B ≤ (D) ()2r B >三、 计算题 1、 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102324171231102B A 求T AB )(。
解：法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1013173140102324171231102AB法二 2、 求行列式；（1）,3554243313221211--（2）xyyyyy x y y yy y x y yyy y xyyy y y x（3）mx x x x m x x x x m x n n n +++ΛΛΛΛΛΛΛ212121（4）nΛΛΛΛΛΛΛ111211113、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，已知X A E AX +=+2，求矩阵X 。
4．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110111101A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11121111231 解：由于5、设A 是n 阶矩阵，满足E AA T =，0<A ，求行列式E A +的值6、设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且21=A ，求*--A A 2)4(1。
7、如果可逆矩阵A 的各行元素之和为a ，计算1-A 的各行元素之和等于什么？解：8、设实矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 满足条件：（1）j i j i A a =，)3,2,1,(=j i ，其中j i A 是j i a 的代数余子式；（2）111-=a 求行列式A 。
9、设A ＝120021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, B ＝112053-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X 使其满足矩阵方程AX B =。
10.设A ，B 为5阶方阵，|A|＝－1，|B|＝－2，求=-12B A T 。
=*-B A 13解 15122--=B A B A T T =)21)(1(25--=16 11．利用初等变换求矩阵A 的秩（1）、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=14011313021512012211A 解： r(A)=3（2）、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=321131111111A解：（3）、 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3620130131120141A 解：12．已知1101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求19A 解 由于 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n A n ，因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1019119A 类似地，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1101n B B n ；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101na C a C n11．解线性方程组123413412313424343317733x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩解：将增广阵化为规范的阶梯阵：得同解方程组00β=X A 为⎪⎩⎪⎨⎧==-=+642343231x x x x x 移项添项即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+-=64234333231x x x x x x x 因此方程组通解为：是任意数）33(60430121x x X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=四．证明题1．设方阵A 满足40A =，试证明E A -可逆，且123)E A E A A A --=+++（2．设A 为可逆矩阵，E A A ||2=，证明：*=A A证明：由于A 为可逆矩阵，且E A A E A AA ==*2,||又由已知故*=AA A 2两边左乘1-A 得*=A A3、设n 阶方阵A ，B 满足 AB B A =+，求证（1）E A -可逆；（2）AB=BA4、设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：矩阵A 可逆证明 由于022=--E A A ，有E E A A E A A =-⇒=-)2(22故矩阵A 可逆，且E A A21-=-。
5、若A 为方阵，证明,,T T TA A AA A A +是对称阵。
证明T T T T T T A A A A A A +=+=+)()(,TA A +是对称阵。
T T T T T T AA A A AA ==)()(,T AA 是对称阵 A A A A A A T T T T T T ==)()(,A A T 是对称阵。