第二章 问题归约法
问题规约法
算符集合：
f1=goto(U)
(a,0,b,0)
f2=pushbox(V) (b,0,b,0)
f3=climbbox (V,0,V,0)
f4=grasp
(c,1,c,0)
goto(U) pushbox(V) climbbox grasp
(U,0,b,0) (V,0,V,0) (V,1,V,0) (c,1,c,1)
搜索过程：
起始节点(根)对应于初始问题描述 后继节点（后裔）用归约算符求得（启发信息）
每个后裔设置一个来自父辈节点的指针（用来 表示可解或不可解节点走向，并指明一个从根 到终叶的解图）
不断扩展节点和设置指针，直至起始节点能被 标为可解或不可解节点为止
搜索策略（搜索过程控制） 宽度优先搜索 深度优先搜索：扩展深度界限内的节点 与或树有序搜索 搜索费用（搜索效率评估） 总和费用：解树上所有弧线费用之和 最大费用：解树中最大路径费用之和 单位弧线：费用为1的弧线(单位弧线构成的
(1
sin 4 c os2
y y)5/ 2
d
sin
y
dczsions45
y y
cozs2yddzy
z
1 2
1
dz
w arctgz
z4
1 z2
dz
z4 1
1 z2
1ddz z
(z2
1
1
1 z
2
dw
)dz
初始问题：求解不定积分
x4
(1 x2 )5/2 dx
可解解点： 终叶节点 含有 “或” 节点的非终叶节点，其所有后继
节点至少有一个可解 含有“与” 节点的非终叶节点，其所有后继
用问题归约法求解物体系统平衡问题
用问题归约法求解物体系统平衡问题作者：许英姿沈玉凤来源：《大学教育》 2017年第4期一、问题的提出规约法是人工智能所描述的知识表示的方法之一。
[1]所谓问题规约法就是已知一个问题的描述，通过一系列的变换，将此问题最终变为一系列子问题的综合，这些问题的解可以直接得到，从而解决了初始问题。
问题规约法的实质就是从目标（要解决的问题）出发，逆向推理，建立子问题，以及子问题的子问题，直至最后将初始问题规约为一个本原问题的集合。
物体系统平衡问题，是理论力学课程中静力学问题的重点内容[2-4]，主要是应用物体的平衡方程，求解在主动力作用下，物体系统平衡时的约束力的问题。
尽管学生在求解单个物体平衡问题时都有一定的物理基础，但绝大部分同学感到对于由三个以上构件组成的物体系统的平衡问题求约束力时，存在着一定的难度。
根据这一情况，我们根据教育学的原理，将复杂问题简单化，提出了用问题归约法求解物体系统平衡问题，将初始问题最终变为一系列子问题的组合，找出解决物体系统平衡问题的最优化的方法。
二、应用（一）总结要想灵活地应用平衡方程求解物体系统的平衡问题，最主要的是要理解若物体系统平衡则组成物体系统的每一个物体都处于平衡状态，因此对于每一个受平面任意力系作用的物体，均可以写出三个平衡方程，如系统申有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用时，则平衡方程数目相应减少。
当系统中未知量数目等于独立的平衡方程的数目时，则所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题，当未知量的数目超过平衡方程的数目，此时为超静定问题。
用问题规约法解决的是静定的物体系统求解约束力的问题。
（二）问题规约法应用分析求解问题的关键是选择合适的研究对象，研究对象的选取一般是从所计算的约束力出发，逆向推理，建立子问题，以及子问题的子问题，最后找到解决问题的思路。
当找到解决问题的思路时，坐标系的建立和矩心的位置选取，对解决问题至关重要，原则是平衡方程中尽量仅包含一个未知量。
问题归约法
2
3
(122) A
C
B
图 2(a) 移动圆盘 A 和 B 至柱子 2 2. 移动圆盘 C 至柱子 3 的单圆盘问题,如图 2(b)所示.
1
2
3
(122) A
C
B
(322)
1
2
A B
3 C
图 2(b) 移动圆盘 C 至柱子 3 3. 移动圆盘 A 和 B 至柱子 3 的双圆盘问题,如图 2(c)所示.
问题规约法的实质：
从目标（要解决的问题）出发逆向推理，建立子问题以及子问题的子问题，直至最后把初始问题归约为
一个平凡的本原问题集合。 最小的问题或具有明显解答的问题被称为本原问题。
dx 就是一个本原问题，其答案是显而易见的，即 ∫dx=x。
一般地，本原问题是原始问题的子孙问题。因此，问题规约的过程就是在问题空间中不断搜索问题的子 问题和子问题的子问题的过程，直至将原始问题分解为本原问题集合。本原问题的解可以直接得到或通过一 个"黑箱"操作得到。 （2）问题归约表示可由下列 3 部分组成:
一个初始问题描述; 将问题变换为子问题的操作集; 一系列本原问题描述. 问题的归约描述
初始问题集合：初始状态集合 S 算符集合：将问题分解为若干子问题的变换集合 F 本原问题集合：目标状态集合 G 三元组合：（S , F, G） （3）问题规约法与状态空间法
问题归约与前面状态空间描述不同的是,主要其在问题空间中展开对问题的描述和求解。 状态空间法只是研究对问题所陈述的事实\状态如何表示,以及如何搜索状态空间求解;而问题归约法则是 对问题求解中如何将问题逐步分解为一系列子问题\本原问题的集合。 对实际问题求解,可将这两种方法有机结合,如后面讨论到的与或图表示与搜索。 1 与或图的概念 用一个类似图的结构来表示把问题归约为后继问题的替换集合，画出归约问题图。 例：有一个问题 A，它可以通过三种途径来求解： （1）、求解问题 B 和 C （2）、求解问题 D、E 和 F （3）、求解问题 H 这一问题归约为子问题的替换集合关系可由图 4 所示的结构来表示.
第2章(知识表示方法3-谓词逻辑)
命题变元：用符号P、Q等表示的不具有固定、具
体含义的命题。它可以表示具有“真”、“假”含
义的各种命题。
命题变元可以利用联结词构成所谓的合适公式。
2013-3-10
合适公式的定义 ①若P为原子命题，则P为合适公式，称为原子公
式。
②若P是合适公式，则～P也是一个合适公式。
2013-3-10
③若P和Q是合适公式，则P∧Q、 P∨Q 、PQ 、 PQ都是合适公式。 ④经过有限次使用规则1、2、3，得到的由原子公 式、联结词和圆括号所组成的符号串，也是合适 公式。
2013-3-10
④分配律 P∧(Q∨R) 等价于 (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R) 等价于 (P∨Q)∧(P∨R)
⑤交换律
P∧Q 等价于 Q∧P P∨Q 等价于 Q∨P
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⑥结合律
(P∧Q)∧R 等价于 P∧(Q∧R) (P∨Q)∨R 等价于 P∨(Q∨R) ⑦逆否律 PQ 等价于 ～Q～P
2013-3-10
谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。它将一个原
子命题分解成客体和谓词两个组成部分。 例如： 雪 是黑的
客体
谓词
本课程主要介绍一阶谓词逻辑。
2013-3-10
2.3.1 谓词演算
1、语法与语义
谓词逻辑的基本组成部分
谓词 变量 函数 常量 圆括号、方括号、花括号和逗号
2013-3-10
（谓词）合适公式 的（递归）定义：
①原子（谓词）公式是合适公式。
②若 A 是合适公式，则 ～A 也是合适公式。 ③若 A 和 B 是合适公式，则 A∧B 、A∨B 、 AB 、AB 也是合适公式。
2013-3-10
④若 A 是合适公式， x 为 A 的自由变元（变量），
人工智能习题&答案-第2章-知识表示方法
第二章知识表示方法2-1 状态空间法、问题归约法、谓词逻辑法和语义网络法的要点是什么？它们有何本质上的联系及异同点?2-2 设有3个传教士和3个野人来到河边，打算乘一只船从右岸渡到左岸去。
该船的负载能力为两人。
在任何时候，如果野人人数超过传教士人数，那么野人就会把传教士吃掉。
他们怎样才能用这条船安全地把所有人都渡过河去?用S i(nC, nY) 表示第i次渡河后，河对岸的状态，nC表示传教士的数目，nY表示野人的数目，由于总人数的确定的，河对岸的状态确定了，河这边的状态也即确定了。
考虑到题目的限制条件，要同时保证，河两岸的传教士数目不少于野人数目，故在整个渡河的过程中，允许出现的状态为以下3种情况：1. nC=02. nC=33. nC=nY>=0 (当nC不等于0或3)用d i(dC, dY)表示渡河过程中，对岸状态的变化，dC表示，第i次渡河后，对岸传教士数目的变化，dY表示，第i次渡河后，对岸野人数目的变化。
当i为偶数时，dC,dY同时为非负数，表示船驶向对岸，i为奇数时，dC, dY同时为非正数，表示船驶回岸边。
初始状态为S0(0, 0)，目标状态为S0(3, 3)，用深度优先搜索的方法可寻找渡河方案。
在此，用图求法该问题，令横坐标为nY, 纵坐标为nC，可行状态为空心点表示，每次可以在格子上，沿对角线移动一格，也可以沿坐标轴方向移动1格，或沿坐标轴方向移动2格。
第奇数次数状态转移，沿右方，上方，或右上方移动，第偶数次数状态转移，沿左方，下方，或左下方移动。
从(0,0)开始，依次沿箭头方向改变状态，经过11步之后，即可以到达目标状态(3,3)，相应的渡河方案为：d1(1,1)--→d2(-1,0)--→d3(0,2)--→d4(0,-1)--→d5(2,0)--→d6(-1,-1)--→d7(2,0)--→d8(0,-1)--→d9(0,2)--→d10(-1,0)--→d11(1,1)2-3 利用图2.3，用状态空间法规划一个最短的旅行路程：此旅程从城市A 开始，访问其他城市不多于一次，并返回A 。
第2章 知识表示方法
CISIC
6
状态空间表示概念详释
Original State
…
Middle State
…
Goal State
状态空间法：从某个初始状态开始，每次加一个 操作符，递增地建立起操作符的实验序列，直至 达到目标状态止。 例如下棋、迷宫及各种游戏。
CISIC
7
3 Puzzle Problem(3数码难问题)
CISIC
34
示例—分子结构识别问题 （DENDRAL系统）
把分子式重写为原子数较少的分子式和原子间结 合关系的混合结构，例如：
H
C5H12
C2H5
C
H
C2H5
CISIC
35
将混合结构的识别再分解为子识别问题，直至不出现分 子式为至,每个子问题只是单一分子式或原子间结合关系 的表示。 H
C2H5 H C
V=c,climbbox （c，1，c，0） grasp
（c，1，c，1） 目标状态
goto（U）
（U，0，V，0）
goto（U）
初始状态变换为目标状态的操作序列为： {goto(b), pushbox(c), climbbox, grasp} 猴子和香蕉问题的状态空间图
CISIC
17
猴子和香蕉问题自动演示：
climbbox ：猴子爬上箱顶
（W，0，W，z）
climbbox
（W，1，W，z）
应用算符climbbox的先决条件是什么？
CISIC
15
初始状态 （a，0，b，0）
goto（U）
pushbox（V） U=b
goto（U） （U，0，b，0）
U=b，climbbox (b，1，b，0) U=V
人工智能第二章 知识表示方法
人工智能第二章知识表示方法2-1 状态空间法、问题归约法、谓词逻辑法和语义网络法的要点是什么？它们有何本质上的联系及异同点?答：状态空间法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。
一般用状态空间法来表示下述方法：从某个初始状态开始，每次加一个操作符，递增的建立起操作符的试验序列，直到达到目标状态为止。
问题规约法：已知问题的描述，通过一系列变换把此问题最终变成一个子问题集合：这些子问题的解可以直接得到，从而解决了初始问题。
问题规约的实质：从目标（要解决的问题）出发逆向推理，建立子问题以及子问题的子问题，直至最后把出示问题规约为一个平凡的本原问题集合。
谓词逻辑法：采用谓词合式公式和一阶谓词算法。
要解决的问题变为一个有待证明的问题，然后采用消解定理和消解反演莱证明一个新语句是从已知的正确语句导出的，从而证明这个新语句也是正确的。
语义网络法：是一种结构化表示方法，它由节点和弧线或链组成。
节点用于表示物体、概念和状态，弧线用于表示节点间的关系。
语义网络的解答是一个经过推理和匹配而得到的具有明确结果的新的语义网络。
语义网络可用于表示多元关系，扩展后可以表示更复杂的问题2-2 利用图2.3，用状态空间法规划一个最短的旅行路程：此旅程从城市A开始，访问其他城市不多于一次，并返回A。
选择一个状态表示，表示出所求得的状态空间的节点及弧线，标出适当的代价，并指明图中从起始节点到目标节点的最佳路径。
710910D图2.32-3 试用四元数列结构表示四圆盘梵塔问题，并画出求解该问题的与或图。
用四元数列(nA, nB, nC, nD) 来表示状态，其中nA表示A盘落在第nA号柱子上，nB表示B盘落在第nB号柱子上，nC表示C盘落在第nC号柱子上，nD表示D盘落在第nD号柱子上。
初始状态为1111，目标状态为3333如图所示，按从上往下的顺序，依次处理每一个叶结点，搬动圆盘，问题得解。
2-4 把下列句子变换成子句形式：(1) ∀x∀y(On(x,y)→Above(x,y))(2) ∀x∀y∀z(Above(x,y)∧Above(y,z)→Above(x,z))(1) (ANY x) (ANY y) { On(x,y)◊Above(x,y) }(ANY x) (ANY y) { ~On(x,y) OR Above(x,y) } ~On(x,y) OR Above(x,y) 最后子句为~On(x,y) OR Above(x,y)(2) (ANY x) (ANY y) (ANY z) { Above(x,y) AND Above(y,z) ◊ Above(x, z) }(命题联结词之优先级如下:否定→合取→析取→蕴涵→等价)(ANY x) (ANY y) (ANY z) { ~ [ Above(x,y) AND Above(y,z) ] OR Above (x,z) } ~ [ Above(x,y) AND Above(y,z) ] OR Above (x,z) 最后子句为~[Above(x,y), Above(y,z)] OR Above(x,z)2-5 用谓词演算公式表示下列英文句子(多用而不是省用不同谓词和项。
问题规约课件
0 是初始问题，即要求解的问题;
P是本原问题集，其中的每一个问题是不用证明的，自然成立的，如公理、已
知事实等或已证明过的问题;
O是操作算子集，它是一组变换规则，通过一个操作算子把一个问题化成若干
个子问题。
变换可区分为以下三种情况:
1. 状态变迁 -- 导致问题从上一状态变迁到下一状态，这就是一般图搜索技术中操作算子
的作用。
2. 问题分解 -- 分解问题为需同时处理的子问题,但不改变问题状态。
3. 基于状态变迁的同题分解 -- 先导致状态变迁，再实现问题分解，实际上就是前两个操
作的联合执行。
约和本原问题的求解无交互作用，可按任意次序进行。
然而对于许多复杂问题，子问题仅相对独立，之间仍存在一定的交互作
用。 在这种情况下，正确安排子问题求解的先后次序，甚至孙子问题求
解的次序是重要的。
04
问题规约
栗子：梵塔问题
04
问题规约
梵塔问题状态空间表示
04
问题规约
问题规约是一种广义的状态空间搜索技术，其状态空间可表示为三元组:
04
问题规约
04
问题规约
问题规(归)约是人求解问题常用的策略，其把复杂的问题变换为若
干需要同时处理的较为简单的子问题后再加以分别求解。只有当这
些子问题全部解决时，问题才算解决，问题的解答就由子问题的解
答联合构成 ，问题规约可以递归地进行，直到把问题变换为本原
问题的集合。所谓本原问题就是不可或不需再通过变换化简的“原
子”问题，本原问题的解可以直接得到或通过一个“黑箱”操作得到。
04
问题规约
04
问题规约
通过上面的变换可以看出，问题规约的实质是从目标(要解决的问题)出
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Hale Waihona Puke 问题归约法有解节点t
t
t
t
t t t
t
t
无解节点
终叶节点
与或图例子
作业
利用问题归约法求四个盘子的梵塔问题。 要求：画出归约图
问题归约法
问题归约法举例： 汉诺塔问题（ Hanoi ）
从1移到3
1 A B C
2
3
每次移动一个盘子
大盘在下小盘在上
C B A 初始状态（111） 目标状态（333）
汉诺塔问题
原始问题可以归约为下列3个子问题： 子问题1：移动圆盘A和 B 至柱子2（借助柱子3）
子问题2：移动圆盘C至柱 子3 子问题3：把圆盘A和B移至 柱子3（借助柱子1）
与或图
子问题替代集合结构图
F
G
问题归约法
一些关于与或图的术语
起始节点 对应于原 始问题描 述
终叶节点对应于本原问题
问题归约法
与或图的构成规则
1）与或图中的每个节点代表一 个要解决的单一问题或问题集合。 图中所含起始节点对应于原始问 题A 。 2）对应于本原问题的节点称为 终叶节点，它没有后继节点。
第二章 问题归约法
Problem Reduction Representation
问题归约法
问题归约（Problem Reduction） 是另外一种基于状态空间的问题描述与求解方法 已知问题的描述，通过一系列变换把此问题变为一个 子问题集合 这些子问题的解可以直接得到（本原问题），从而解 决了初始问题
问题归约法
不可解节点
没有后裔的非终叶节点为不可解节点。 如果某个非终叶节点含有或后继节点，那么只有当其全 部后裔为不可解时，此非终叶节点才是不可解的。 如果某个非终叶节点含有与后继节点，那么只要当其后 裔至少有一个为不可解时，此非终叶节点才是不可解的。
解树
由可解节点所构成，并且由这些可解节点可推出初始节 点为可解节点的子树称为解树。 解树中一定包含初始节点，它对应于原始问题。
问题归约法
与或图表示：用一个类似于图的结构来表示把问题归约为 后继问题的替换集合。
与图：把一个复杂问题
分解为若干个较为简单的 子问题，形成“与”树。
或图：把原问题变换为
若干个较为容易求解的新 问题，形成“或”树。
问题归约法
与或图表示： A N B C D G M H A
E
F
B
C D E
汉诺塔问题
归约过程（3个圆盘）
汉诺塔问题
汉诺塔问题归约图
C B A
与或图 本原问题
本原问题
梵塔问题的答案
问 题
一圆盘问题要走几步，两圆盘问题要走几步？ 三个、四个、…、六十四个圆盘呢？ 移动圆盘次数 圆盘个数 1 1 2 22-1=3 3 23-1=7 … … 64 264-1
264-1=18446744073709551615 一年=365*24*60*60=31536000秒 18446744073709551615÷31536000≈584942417355年
A A M
简化
5）特殊情况下，当只有一个算符 可应用于问题A，而且这个算符产 生具有一个以上子问题的某个集 合时，由上述规则3）和规则4） 所产生的图可以得到简化。
D E
F
D
E
F
问题归约法
与或图的搜索：目的在于表明起始节点是有解的。
可解节点
终叶节点是可解节点（对应于本原问题）。
如果某个非终叶节点含有或后继节点，那么只要当其后 继节点至少有一个是可解的时，此非终叶节点才是可解 的。 如果某个非终叶节点含有与后继节点，那么只有当其后 继节点全部为可解时，此非终叶节点才是可解的。
问题归约法
问题归约法的组成部分 一个初始问题描述； 一套把问题变换为子问题的操作符；
一套本原问题描述。(本原问题:不能再分解或变换且 直接可解的子问题)
问题归约的实质：
从目标（要解决的问题）出发逆向推理，建立子问题 以及子问题的子问题，直到最后把初始问题归约为一 个本原问题集合。
A N M H
B
C
3）对于把算符应用于问题A的每 种可能情况，都把问题变换为一 个子问题集合；有向弧线自A指 向后继节点表示所求得的子问题 集合。
D E
F G
问题归约法
与或图的构成规则
4）一般对于代表两个或两个以上 子问题集合的每个节点，有向弧 线从此节点指向次子问题集合中 的各个节点。由于只有当集合中 所有项都有解时，这个子问题的 集合才能获得解答，所以这些子 问题节点叫做与节点。