高等数学：第四节：空间直线及其方程-七版
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间直线及其方程
因此所求直线的方程为
10 首页 上一页 下一页 结束
《高等数学》电子教案
例7.6.3 求过 的交点且方向向量为
解：所给直线的参数方程为
与平面2x＋y＋z－6=0
的直线
x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)－6=0. 解得t =－1. 把求得的t值代入直线的参数方程中即，得 所求交点的坐标为 故所求直线方程为
25 首页 上一页 下一页 结束
(2) 直线 l 的任一方向向量
直线的一组方向数, 而向量
角的余弦称为直线的方向余弦
《高等数学》电子教案
4 首页 上一页 下一页 结束
2. 直线的对称式方程与参数方程
已知直线上一点 任取直线上一点 和方向向量
则
即 向量式参数方程
5 首页 上一页 下一页 结束
《高等数学》电子教案
所以 坐标式参数方程
解: 先在直线上找一点.
令 x = 1, 代入直线方程得
解得
是直线上一点 .
《高等数学》电子教案
8 首页 上一页 下一页 结束
再求直线的方向向量
交已知直线的两平面的法向量为
因为直线与两平面的法向量垂直,所以可取
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
《高等数学》电子教案
9 首页 上一页 下一页 结束
所以投影直线的方程为
《高等数学》电子教案
19 首页 上一页 下一页 结束
x 5 y z 0, 例 7.6.7 求 通 过 直 线 且与平面 x z 4 0 π x 4 y 8 z 1 2 成0 角的平面． 4 解： 设所求的平面为 ( x 5 y z ) ( x z 4) 0 ，
空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义 两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种 值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零， 从而方程(13)表达一种平面， 若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而 也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳 值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
《空间直线方程》课件
谢谢您的聆听
THANKS
在解析几何中的应用
解析表达
空间直线方程是解析几何 中描述直线的一种方式， 它可以用来表示直线上所 有点的坐标满足的关系。
参数方程
通过空间直线方程，我们 可以方便地转化为直线的 参数方程，这在解决一些
特定问题时非常有用。
计算直线长度和角度
利用空间直线方程，我们 可以计算直线的长度（即 原点到直线的垂直距离） ，以及两直线之间的夹角
详细描述
首先，我们需要找到两个平面的法向量，记 作$mathbf{a}$和$mathbf{b}$。然后，计 算这两个法向量的叉积，得到直线的方向向 量$mathbf{d}$。接下来，我们需要找到两 个平面的交点，记作$P(x_0, y_0, z_0)$。最 后，根据直线的点向式方程$mathbf{d} = (x - x_0)mathbf{i} + (y - y_0)mathbf{j} + (z - z_0)mathbf{k}$，我们可以得到空间直
平行于y轴的空间直线方程
$x = k_3, z = k_4$，其中$k_3$和$k_4$是常数。
平行于z轴的空间直线方程
$x = k_5, y = k_6$，其中$k_5$和$k_6$是常数。
垂直于坐标轴的空间直线方程
垂直于x轴的空间直线方程
01
$x = k_7$，其中$k_7$是常数。
垂直于y轴的空间直线方程
《空间直线方程》ppt课件
CONTENTS
• 空间直线方程的基本概念 • 空间直线方程的推导 • 空间直线方程的应用 • 空间直线方程的性质 • 空间直线方程的特殊情况
01
空间直线方程的基本概念
空间直线的定义
01
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n2
因所求直线与两平面的法向量都垂直 s
2
L
取
i s n1 n2 1
j 1
k 1 (4,1,3),
对称式 方程
2 1 3
x 1 4t
x1
y0
z
2,
参数方程
y
t
.
4 1 3
z 2 3t
结论：若直线 L 的一般方程为
L
:
A1 x A2 x
B1 y B2 y
C1z C2z
3y 2y
3z 9 0 z 1 0
与直线
L2
:
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角。
i jk
解：取
s1 5
3
3 (3,4,1),
ijk
3 2 1
s2 2
2
1 (10,5,10) 5(2,1,2)
38 1
cos |s1 s2 |
| s1 | | s2 |
y y2 z z2 ,
n2
p2
cos |s1 s2 |
| s1 | | s2 |
s2
s1
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
j 0
k 4 (4,3,1),
2 1 5
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
s
L : x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
s (m, n, p),
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C),
x x0 0
y
y0
0
s (m, n, p), M0( x0 , y0 , z0 ),
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程或 点向式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的一组方向数 直线的参数方程
2
A1x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
例如：z 轴可以看作 yoz 面与 xoz 面的交线
x 0
y
0
也可以看作 yoz 面与 平 面 x – y = 0的交线
x 0
x
y
0
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
若 0 (s^, n) ,
2
若 (s^, n) ,
2
则 (s^,n)
2
则 (s^,n)
2
| (s^, n) |
2
若 0 (s^, n) , 则
| 2 3 4 1 1 2 | 0, 9 16 1 4 1 4
2
例 4 求过点(3, 2, 5)且与两平面 x 4z 3和
2 x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解
设所求直线的方据题意知
s n1 ,
sn2 ,
取
i s n1 n2 1
取
x0 1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2 点坐标(1,0,2),
（2）求直线的一个方向向量
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
n1
解： 点坐标 (1,0,2),
1
（2）求直线的一个方向向量
D1 D2
0 .
0
则直线 L 的一个方向向量可以取为
i j k s n1 n2 A1 B1 C1
A2 B2 C2
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y轴垂直相交，
求其方程.
解
取
s
BA
(2,
0,
4),
所求直线方程
A(2,3, 4) z •
x2 y3 z4. 204
上述方程组应理解为
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
（1）当 m , n , p 中有一个为 0，如 m = 0, 而 n , p 0 时，则上述方程组应理解为
x
x0
0
y y0 n
z
z0 p
（2）当 m , n , p 中有两个为 0，如 m = n = 0, 而
p 0 时，则上述方程组应理解为
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 (1,4, 0),
直线 L2 :
s2 (0,0,1),
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例3：求直线
L1
:
5 x 3 x
第四节 空间直线及其方程
• 一、空间直线的一般方程 • 二、空间直线的对称式方程与参数方程 • 三、两直线的夹角 • 四、直线与平面的夹角 • 五、杂例、小结
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
B(0,3, 0),
•
o
y
x 2 z 4
x
2 4
y 3 0
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（取锐角）
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
^直线
cos( s1, s2
L2
)
: x x2 m 2
s1 s2 , | s1 | | s2 |
方向向量的方向余弦称为直线 L 的方向余弦，
它是与方向向量同方向的单位向量。
cos m , cos n , cos p .
|s|
|s|
|s|
问题：如何化一般方程为对称式和参数方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解：（1）在直线上任求一点 ( x0 , y0 , z0 )
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M L,
o
y
M( x, y, z), M0M// s
x
设
s
(m,
n,
p),
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
s (m, n, p), M0( x0 , y0 , z0 ),