高中数学必修四知识点总结

必修四数学公式概念第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1、一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 {}Z k k S ∈︒⋅+==,360αββ.与角α终边垂直的角的集合：{}Z k k S ∈︒⋅+︒+==,18090αββ.1.1.2 弧度制2、如图，圆O 的半径为1，的长等于1，AOB ∠就是1弧度的角。

3、角α的弧度数的绝对值是：rl=α 变形：r l ⋅=α αl r = 其中 半径r ，圆心角α，弧长l . 4、特殊弧度数 度 0°15°30°45°60°75°90°120° 135° 150°弧度 012π6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π 5、弧长公式：r l α= 6、扇形面积公式：22121r lr S α==扇形 1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1、如图：022>+==y x r OP①正弦：r y =αsin ②余弦：r x =αcos ③正切：)0(tan ≠=x xyα2三角函数定义域 3、三角函数值的符号度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度π67π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2三角函数 定义域 αsinR“弧度”与“度”计算公式：︒⋅=180π度弧度 π︒⋅=180弧度度4、诱导公式一.,tan )2tan(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k k k k ∈=⋅+=⋅+=⋅+其中απααπααπα利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为[)π2,0内的三角函数值。

5、三角函数线如图，xy AT OM x MP y ======αααtan ,cos ,sin 6、特殊角的三角函数αcosRαtanZ k k ∈+≠,2ππα角度0° 30° 45°60°90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°αsin 正弦21 22 23 123 22 21 0 1- 0αcos 余弦123 22 21 021- 22-23- 1- 0 1αtan 正切0 33 1 3不存在3-1- 33-不存在+ _ _+补充1、如图，角平分线落在一、三象限线()x y =上方，则sin cos x x >. 补充2、如图，当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan ααα>> 证明：αααααtan sin 2121212<<∴<<∴<⋅<∴<<∆∆AT MP ATOA OA OM OA OAT S OPA S OPA S 扇形 1.2.2 同角三角函数的基本关系7、平方关系：1cos sin 22=+αα 变形：αα22cos 1sin -=，αα22sin 1cos -=8、商数关系：αααtan cos sin = 变形：αααcos tan sin ⋅=，αααtan sin cos = 9、推导公式： ①αα22tan 11cos += ②ααα222tan 1tan sin += ③()ααααcos sin 21cos sin 2±=± ④()()2cos sin cos sin 22=-++αααα1.3 三角函数的诱导公式公式二： 公式三： 公式四：()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 公式五： 公式六：.tan 12tan ,sin 2cos ,cos 2sin ααπααπααπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- .tan 12tan ,sin 2cos ,cos 2sin ααπααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1.4 三角函数图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1、正弦、余弦函数图象x=y2、在正弦和余弦函数中，起关键作用的五个点的坐标为：x y sin =，[]π2,0∈x ：()()()0,2,1,23,0,,1,2,0,0ππππ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛x y cos =，[]π2,0∈x ：()()()1,2,0,23,1,,0,2,1,0ππππ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质3、对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数．．．．、非零常数T 就叫做这个函数的周期．．。

函数()ϕω+=x A y sin 及函数()ϕω+=x A y cos 的周期ωπ2=T .4、重要推论（1）若函数()()x a f x a f -=+，则()x f 关于a x =对称； 若函数()()x a f x a f --=+，则()x f 关于点()0,a 对称. （2）与周期相关的结论①()()x f a x f -=+，则函数()x f 的一个周期a T 2=； ②()()x f a x f 1=+，则函数()x f 的一个周期a T 2=； ③()()x f a x f 1-=+，则函数()x f 的一个周期a T 2=； ④()()b x f a x f +=+，则函数()x f 的一个周期b a T -=； ⑤()()()x f x f a x f -+=+11，则函数()x f 的一个周期a T 4=； ⑥()x f 关于a x =和b x =对称，则()x f 周期b a T -=2； ⑦()x f 关于()0,a 和()0,b 对称，则()x f 周期b a T -=2； ⑧()x f 关于()0,a 和b x =对称，则()x f 周期b a T -=4. 5、正弦函数x y sin =的定义域为R ；值域为[]1,1-. 当()Z k k x ∈+=ππ22时，y 取最大值1；当()Z k k x ∈+-=ππ22时，y 取最小值1-.6、余弦函数x y cos =的定义域为R ；值域为[]1,1-.当()Z k k x ∈=π2时，y 取最大值1；当()Z k k x ∈+=ππ2时，y 取最小值1-. 7、奇偶性由诱导公式()x x sin sin -=-，()x x cos cos =-可知： 正弦函数是奇函数．．．，余弦函数是偶函数．．．。

8、对称性（1）正弦曲线对称中心坐标为()()Z k k ∈0,π；对称轴方程是()Z k k x ∈+=2ππ.（2）余弦曲线对称中心坐标为()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ππ；对称轴方程是()Z k k x ∈=π. 9、单调性（1）正弦函数x y sin =在()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ22,22上都是增函数，其值从1-增大到1；在()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ223,22上都是减函数，其值从1减小到1-.（2）余弦函数x y cos =在[]()Z k k k ∈+-πππ2,2上都是增函数，其值从1-增大到1；在[]()Z k k k ∈+πππ2,2上都是减函数，其值从1减小到1-.1.4.3 正切函数的性质与图像10、正切函数的图像 11、正切函数x y tan =的定义域是：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ. 12、周期性由诱导公式()R x x x ∈=+,tan tan π,Z k k x ∈+≠,2ππ可知，正切函数是周期函数，周期是=T π.13、奇偶性由诱导公式()R x x x ∈-=-,tan tan ，Z k k x ∈+≠,2ππ可知，正切函数是奇函数。

14、单调性：正切函数在开区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内都是增函数。

15、值域：正切函数的值域为R.1.5 函数()ϕω+=x A y sin 的图像1、ϕ对()ϕ+=x y sin ，∈x R 图像的影响函数()ϕ+=x y sin （0≠ϕ）的图像，可以看做是把x y sin =的图像上各点向左（0>ϕ）或向右（0<ϕ）平移ϕ个单位得到的。

（可简记为左“+”右“-”） 2、ω()0>ω对()ϕω+=x y sin 图像的影响函数)sin(ϕ+=x y 的图像上点的横坐标缩短()1>ω或伸长()10<<ω到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的。

3、A ()0>A 对()ϕω+=x A y sin 图像的影响函数()ϕω+=x A y sin 的图像，可以看做是把()ϕω+=x y sin 上所有点的纵坐标伸长)1(>A 或缩短)10(<<A 到原来的A 倍（横坐标不变）而得到。

4、()ϕω+=x A y sin ，[]0,x ∈+∞，0,0>>ωA 的性质（1）对称轴：令()1sin ±=+ϕωx ，即ππϕωk x +=+2，)(2Z k k x ∈-+=∴ωϕππ（2）对称中心：令()0sin =+ϕωx ，∴πϕωk x =+，ωϕπ-=∴k x ，()Z k k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴0,ωϕπ （3）最值：⎩⎨⎧+-=+-=+=+=ππϕωππϕωk x y k x y 22,1,22,1min max（4）单调区间：ω,A 均大于0以后，将ϕω+x 整体代入5、当函数()()()0,00sin >>≥+=ωϕωA x x A y 表示一个振动量．．．时，A 为振幅．．，ωπ2=T 是周期．．，πω21==T f 是频率．．，ϕω+x 为相位．．，ϕ为初相．．。

第二章 平面向量2.1 平面向量的基本概念2.1.1 平面向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度面积、体积、质量等）称为数量。

2.1.2 向量的几何表示3、有向线段：如图，具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。