概率分布列及期望专题
概率、分布列、期望、方差、正态分布
概率、分布列、期望、正态分布1．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是(B)A.C120C410 C530B.C220C310 C530C.C320C210 C530D.C420C110 C530B[X服从超几何分布，P(X＝2)＝C220C310 C530.]2．(2014·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为(C)A.1 220B.27 55C.27 220D.21 25C[由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.]3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为(C)A．1B.1 2C.13D.15C [设X 的分布列为：即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，设失败的概率为p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13.]4．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( D ) A.23 B.34 C.45 D.56D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1， 知45a ＝1，解得a ＝54.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.]5．(2014·广州模拟)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( A ) A ．4B．6C．8D．10A[由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，故a＝4.]6．(2014·湖州模拟)一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为(C)A．1B．nC.n＋1 2D.n－1 2C[解法一：(特殊值验证法)当n＝2时，P(X＝1)＝P(X＝2)＝12，E(X)＝32，即打开柜门需要的次数为32，只有C符合．解法二：已知每一位学生打开柜门的概率为1 n，所以打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n＋2×1n＋…＋n×1n＝n＋12.]7．(2014·上海虹口模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(C)A.5 B ．6 C ．7 D ．8C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1， 解得b ＝0.4.∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a ＝7.]8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( C ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [发球次数X 的分布列如下表：所以期望E (X )＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＞1.75， 解得p ＞52(舍去)或p ＜12， 又p ＞0，则0＜p ＜12.]9．(2013·湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝(B)A.126 125B.6 5C.168 125D.7 5B[P(X＝0)＝27125，P(X＝1)＝54125，P(X＝2)＝36125，P(X＝3)＝8125，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝0×27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B.]10．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案4 511.如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)＝________.解析由已知，X的取值为7,8,9,10，∵P(X＝7)＝C22C12C35＝15，∴P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝4 5.答案4 512．(2014·山东济南)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ＜30)＝0.2，则P(30＜ξ＜50)＝________.解析根据正态分布曲线的对称性可得P(30＜ξ＜50)＝1－2P(ξ＜30)＝0.6.答案0.613．(2014·锦州模拟)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝________.(结果用最简分数表示)解析ξ可取0,1,2，因此P(ξ＝0)＝C25C27＝1021，P(ξ＝1)＝C15C12C27＝1021，P(ξ＝2)＝C22C27＝121，E(ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.答案4 714.(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2011年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； (2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．解析 (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：15.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列与期望E (X )．解析 (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得 P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)X 的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (X ＝0)＝5C 26＝13；P (X ＝1)＝4C 26＝415；P (X ＝2)＝3C 26＝15；P (X ＝3)＝2C 26＝215；P(X＝4)＝1C26＝115.从而知X的分布列为：所以X的期望E(X)＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.16．(2013·天津高考)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．解析(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6 7.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.17．(2014·湖北省七市联考)2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”)．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表)：(1)(2)若从月收入(单位：百元)在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X，求随机变量X 的分布列及数学期望．解析(1)这60人的月平均收入为(20×0.015＋30×0.015＋40×0.025＋50×0.02＋60×0.015＋70×0.01)×10＝43.5(百元)．(2)根据频率分布直方图可知[15,25)的人数为10×0.015×60＝9，[25,35)的人数为10×0.015×60＝9，X的所有取值可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝C38C39·C37C39＝518，P(X＝1)＝C28C39·C37C39＋C38C39·C12C27C39＝1736，P(X＝2)＝C28C39·C12C27C39＋C38C39·C22C17C39＝29，P(X＝3)＝C28C39·C17C22C39＝136，∴X的分布列为∴EX＝0×518＋1×1736＋2×29＋3×136＝1.。
8.2.6(2)分布列和数学期望高考题举例
1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率. （2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=.2.（2016年天津高考）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（Ⅰ）设事件A ：选2人参加义工活动，次数之和为4()112343210C C C 1C 3P A +== （Ⅱ）随机变量X 可能取值 0，1，2()222334210C C C 40C 15P X ++=== ()11113334210C C C C 71C 15P X +=== ()1134210C C 42C 15P X === 所以，X()7811515E X =+=3.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431(A)=6542P（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1511542(X=1),(X=2),(X=3)1=.6656653P P P 所以X 的分布列为所以1125E(X)1236632．4.（2016年山东高考）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是43，乙每轮猜对的概率是32；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1253232414331324343)(1212=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C B P ； 4132324343)(=⋅⋅⋅=C P ．所以3241125)()()(=+=+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144131413141)0(=⋅⋅⋅==X P ；725144103143314131413241)1(1212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C X P ；14425313243413131434332324141)2(12=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 1211441231413243)3(12==⋅⋅⋅==C X P ； 12514460)31433241(3243)4(12==⋅+⋅⋅⋅==C X P ； 411443632433243)6(==⋅⋅⋅==X P ；X 的分布列为：X 的数学期望62314455264141253121214425172501441==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．作业【2015高考重庆，理17】 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。
概率分布列及期望的十类创新问题
8（体育赛事中的决策问题）甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或乙无论谁胜了三次，比 赛宣告结束。假定甲获胜的概率是
胜 1 败而结束的概率； （II）比赛以乙 3 胜 2 败而结束的概率； （III）设甲先胜 3 次的概率为 a，乙先胜 3 次的概率为 b，求 a:b 的值。 简析：理解比赛的意义，注意分类和分布完成过程的探讨。 （I）以甲 3 胜 1 败而结束比赛，甲只能在 1、2、3 次中失败 1 次，因此所求概率为：
5 解： （1）从 10 道题中抽取 5 道题，共 C10 种方法，其中抽到 3 道历史题和 2 道地理题的方
3 2 C6 C4 10 （2） 甲答对 5 C10 21
3 2 法种数为 C6 C4 所以学生甲抽到 3 道历史题和 2 道地理题的概率为
4 道题，记作事件 U，答对 3 道历史题和 1 道地理题，记作事件 A，答对 2 道历史题和 2 道 地理题，记作事件 C∵ P( A) C2 0.8 0.2 0.9
8 8 16 8 8 16 64 、 、 ，于是， a ， 27 27 81 27 27 81 81
乙获胜概率
b 1
64 17 81 81 17 a：b 64
9（表格中的学生成绩问题）右表为某班英语及数学成绩的分布．学生共有 50 人，成绩分 1~5 五个档次．例如表中所示英语成绩为 4 分、数学成绩为 2 分的学生为 5 人．将 全班学生的姓名卡片混在一起，任取一枚，该卡片 同学的英语成绩为 x ，数学成绩为 y ．设 x, y 为随 机变量（注：没有相同姓名的学生） ． （１） x 1 的概率为多少？ 1 0 0 1 1 3
P
1 1 3 1 1 5 C5 2 2 64 2 2
概率论分布列期望方差习题及答案
概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
分布列,期望,方差
第二十六讲 分布列，期望，方差典型例题选读例1.2008年某地区发现禽流感疑似病例共10例，其中有4位禽流感患者，若从10例禽流感疑似病例中任意抽取4例进行分析诊断，并对其中的禽流感患者采用一种新的治疗方案进行治疗，每位禽流感患者被治愈的概率为13。
（1）求4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者且只有1位被治愈的概率；（2）设ξ表示4例禽流感疑似病例中被确诊为禽流感患者的人数，求ξ的分布列及数学期望。
解：（1）投4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者的概率为2P ，则2264241037C C P C == 2位禽流感患者中只有1位被治愈的概率为12124339C ⨯⨯= 所以，4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者且只有1位被治愈的概率为3477921⨯= ；（2）43166444101018(0),(1)1421C C C P P C C ξξ====== ，221364644441010103411(2),(3),(4)735210C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴数学期望0123414217352105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=例2.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分别如下：（Ⅰ）求a 的值和ξ（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
解：（Ⅰ）由概率分布的性质得0.1+0.3+2a +a =1,解得a =0.2. ξ∴的概率分布为00.110.3E ξ∴=⨯+⨯+（Ⅱ）设事件A 表示“两个月内共被投拆2次”；事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件2A 表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得：112()(2)(0)20.40.10.08p A C P P ξξ====⨯⨯=.212()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=.故该企业在这两个月内共被消费者投拆2次的概率为0.17.例3 如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望. 解：（I ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的， 其概率为31621==P ，因为只投掷一次不可能返回到A 点，若投掷两次点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为313)31(22=⋅=P ；若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为913)31(33=⋅=P ；若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），其概率为811)31(44==P 。
概率分布列及期望专题
概率分布列及期望专题类型一、独立重复试验例1、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列及其期望．练习：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望.类型二、超几何分布例2、研究性学习小组要从6名(其中男生4人，女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查．(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；(2)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．类型三、耗用子弹数型例3、某射手有3发子弹，射击一次命中概率为，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．练习、某次篮球联赛的总决赛在甲队与乙队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．由于天气原因场地最多使用6次，因甲、乙两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，问需要比赛的次数ξ的分布列及期望。
类型四、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例4、一批零件中有3个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．练习、在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若用ξ表示剩余果蝇的数量，求ξ的分布列与期望.类型五、古典概型求概率例5、某市公租房房屋位于三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
离散型随机变量的分布列及其期望与方差
离散型随机变量的分布列及其期望与方差题组一：1、已知随机变量X 的分布列为P （X=i ）=a i 2（i=1，2，3），则P （X=2）= .2、设离散型随机变量X 的概率分布为求：（1）2X+1的概率分布；（2）|X-1|的概率分布.3、设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布为则q 的值为 .4、设离散型随机变量ξ的分布列P （ξ=5k ）=ak ，k=1，2，3，4，5. （1）求常数a 的值；（2）求P （ξ≥53）；（3）求P （101＜ξ＜107）.题组二：1、若某一射手射击所得环数X 的概率分布如下：则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是 .2、一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率是 .3、某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为，击中目标就停止射击，则此人射击次数为5的概率为 .4、设随机变量X～B(6,21),则P（X=3）= .5、某同学有2盒笔芯，每盒有25支，使用时从任意一盒中取出一支。
经过一段时间后，发现一盒已经用完了，则另一盒恰好剩下5只的概率是 .6、甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.7、已知P（AB）=103，P（A）=53，则P （B|A）= .8、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 . 9、1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少（2）从2号箱取出红球的概率是多少10、甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.11、有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为，，.（1）若甲乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（3）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的概率分布.12、已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一个小组做三次试验,求至少两次试验成功的概率;(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.13、甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为54,乙投进的概率为21，求：（1）甲投进2球且乙投进1球的概率；（2）在甲第一次投篮未投进的条件下甲最终获胜的概率.题组三：1、一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出的最大号码.（1）求X 的概率分布；（2）求X ＞4的概率.2、袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数ξ的概率分布.3、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，则随机变量X可以取哪些值求X的概率分布.4、甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为ξ,若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求ξ的概率分布.5、某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的概率分布.6、一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.题组四：1、设一随机试验的结果只有A和A，且P（A）=p，令随机变量X=⎩⎨⎧不出现出现AA1，则D(X)= .2、设ξ～B（n，p），若有E(ξ)=12，D(ξ)=4，则n、p的值分别为 .3、已知ξ的分布列为ξ=-1,0,1,对应P=21，61，31，且设η=2ξ+1，则η的期望是 .4、随机变量ξ的概率分布如下：其中a,b,c成等差数列.若E（ξ）=31,则D（ξ）的值是 .5、设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件检查则查得次品数的数学期望为 .6、有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽取3张卡片，则这3张卡片上的数学这和的数学期望为 .7、编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.（1）求随机变量X的概率分布；（2）求随机变量X的数学期望和方差.8、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：（1）X的概率分布；（2）X的均值.9、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161.（1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的概率分布和数学期望.10、某地区的一个季节下雨天的概率是，气象台预报天气的准确率为.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失 3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的概率分布，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的概率分布.计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择11、有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.。
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概率分布列及期望专题
类型一、独立重复试验
例1、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为4
3，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列及其期望．
练习：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望.
类型二、超几何分布
例2、研究性学习小组要从6名(其中男生4人，女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查．
(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；
(2)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
类型三、耗用子弹数型
例3、某射手有3发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
练习、某次篮球联赛的总决赛在甲队与乙队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．由于天气原因场地最多使用6次，因甲、乙两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，问需要比赛的次数ξ的分布列及期望。
类型四、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列
例4、一批零件中有3个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．练习、在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混
入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若用ξ表示剩余果蝇的数量，求ξ的分布列与期望.
类型五、古典概型求概率
例5、某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A 片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。
练习、单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山，张家界，衡山3个景区中选一个，假设各个部门选择每个景区是等可能的。
（1）求恰好有2个景区有部门选择的概率（2）求被选取景区个数ξ的分布列与期望。
过关训练：
1、随机变量X 的分布列如下：
其中a ，b ，c 2、离散型随机变量X 的概率分布规律为()(1)
a P x n n n ==
+ (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52
)的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 3、设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值为( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14
4、袋中装有10个红球、5个黑球．从中随机抽出3个球．若抽取的红球数用ξ表示，则随机变量ξ的期望为
5、设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( )
A.12＋p
B.12
－p C ．1－2p D ．1－p
6、已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100，100)，则本次考试120分以上的学生约有________人．
7、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )
A ．0.6
B ．0.7
C 0.8
D ．0.66
8、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( )
①P (B )＝25； ②P (B |A 1)＝511
；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；
A ．②④
B ．①③
C ．②③
D ．①④
9、某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为( )
A ．36种
B ．18种
C ．27种
D ．24种
10、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。