正弦型函数的周期
正弦型函数的周期
一、教学目标1.通过学习，让学生掌握正弦型函数周期的推导过程，进而会求解正弦型函数的周期.2.通过学习，让学生体会到整体代换的方法在数学中的重要性，使学生能够熟练并灵活运用它.3.通过正弦函数周期公式的推导过程，让学生感受到数学的美，从而加强学习数学的兴趣.二、教学重难点重点：1.正弦型函数周期的推导过程.2.正弦型函数周期的计算公式.3.整体代换的数学方法.难点：正弦型函数周期的推导过程.三、教学过程1.复习旧知，引入新课里得出周期）师：学习三角函数时，（设计意图：为后面推导正弦型函数的周期奠基基础）师：上一节课我们学习了正弦型函数通过学习我们知道，它与正弦基础上来讨论一下它的周期.（设计意图：让学生知道这两个函数之间的联系，为后面整体代换方法的应用提供依据）2.教师讲解，学习主题首先我们写出正弦型函数师：我们如何把它转化为我们熟悉的正弦函数了？大家还记得我？生：我们使方程变成我们熟悉的一元二次方程.（设计意图：让学生复习整体代换的数学方法，为下面把正弦型函数转化为正弦函数提供基础）生：令（设计意图：让学生感受到成功的喜悦，增强学习的自信心）师：上面一步我们运用了数学一个非常重要的方法整体代换的方法，可见，通过这种方法会把不熟悉的东西变成我们熟悉的东西，通.（设计意图：让学生再次体会整体代换的方法，为得出结论做出铺垫）子？师：我们再把它还原过来，有为了和保持一致，我们把写成（设计意图：为得出最后结论而做铺垫，为学生自己得出总结而理清思路）师：于是有3.得出结论一般地，正弦型函数4.例题讲解，深化主题求下列函数的周期.（1（2（3（45.课堂小结，巩固反思本节课我们学习了正弦型函数的周期求解公式以及它的推导过程，再次体会了一类非常重要的数学方法，整体代换的方法，为以后的数学学习奠定基础.。
正弦型函数的周期
2
f
x
2
由周期函数的定义可知，
T 2 是f x A sin x ( 0)的周期
动脑思考 探索新知
一般我们指的周期都是最小正周期
因此我们得到y A sin x 的周期是：T 2 。
注意：正弦函数的周期只与 有关
f x T f x 成立，那么，函数 y f x 叫周期函数，常数 T 叫这个函数的一个周期
情境引入
情境引入
在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流 叫做交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电 流的大小和方向随时间而变化，满足：
i I m sin(t 0 ) (Im 0, 0, ≤ 0 ≤ )
巩固知识 典型例题
例1、求下列函数的最小正周期T.
（1）f (x ) 2sin(1 x )
24
（2）f
x
2 sin
2x
3
解：（1）= 1 ，T
2
2
1
4
2
（2）=2，T 2
2
点评：找准函数中的，即x 的系数。
巩固知识 典型例题
例2、求函数y sin x cos 2x cos x sin 2x的周期。
(2) y 3sin(x π)； 3
(3) y sin(1 x π)； 23
(4) y cos 2x sin 2x．
（1） 2π ； 3
（2） 2π； （3） 4π； （4） π ．
理论升华 整体建构
三角函数的周期性
.
4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
.
7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
三角函数周期性知识点总结
三角函数周期性知识点总结一、三角函数的概念三角函数是一个关于角度或弧度的函数，它是一个周期性函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
1.正弦函数正弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π。
2.余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域也是[-1,1]。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期也是2π。
3.正切函数正切函数的定义域是整个实数集，它的图像是一条呈周期性的曲线。
以上是三角函数的基本概念，下面将详细介绍三角函数的周期性特点。
二、正弦函数的周期性正弦函数是一个周期性函数，它的周期是2π。
这意味着，如果一个角度的正弦值是sinθ，那么在θ+2π、θ+4π、θ+6π……等角度上，它的正弦值都是sinθ。
也就是说，正弦函数在每隔2π的角度上都有相同的函数值。
正弦函数的周期性在周期函数中是非常典型的，它在描述周期性现象时有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数可以描述周期性振动的规律，在工程学中，它也常被用来描述交流电流的波形。
三、余弦函数的周期性与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，它的周期也是2π。
这意味着，如果一个角度的余弦值是cosθ，那么在θ+2π、θ+4π、θ+6π……等角度上，它的余弦值都是cosθ。
正弦函数与余弦函数有着相似的周期性特点，它们都在每隔2π的角度上都有相同的函数值。
这说明，正弦函数和余弦函数的周期性是非常紧密相关的，它们在周期性描述上有着相似的特点。
四、三角函数的周期性函数三角函数的周期性特点是它们在描述周期性现象时非常有用的特性。
它们可以帮助我们精确地描述周期性变化，是物理学、工程学等领域中不可或缺的数学工具。
在实际应用中，我们经常会遇到需要描述周期性变化的情况，比如声音的波形、电流的波形、机械振动等。
而三角函数的周期性特点正好可以帮助我们准确地描述这些周期性变化。
总结：三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们具有明显的周期性特点。
函数的周期性解读
函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = x α 无周期性，指数函数 y = a x 无周期性，对数函数 y =log a x 无周期，一次函数 y = kx +b 、二次函数 y = ax 2+bx +c 、三次函数 y = ax 3+bx 2 + cx +d 也无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y =sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP . 正弦函数的周期性动点P 每旋转一周，正弦线MP 的即时位置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P 的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y =sin x 的最小正周期2π.2、y =sin （ωx ）的最小正周期设ω>0，y =sin （ωx ）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x +L ） = sin （ωx + ωL ） = sin ωx . 令ωx = x ' 则有 sin （x ' + ωL ） = sin x ' 因为sin x 最小正周期是2π，所以有ωωπ2π2=⇒=L L例如 sin2x 的最小正周期为π2π2= sin2x 的最小正周期为π421π2=3、正弦函数 y =sin （ωx +φ） 的周期性对正弦函数sin x 的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx +φ）. 它的最小正周期与y = sin ωx 的最小正周期相同，都是ωπ2=L .如⎪⎭⎫⎝⎛+=2π3sin x y 的最小周期与 y = sin （3x ）相同，都是3π2.于是，余弦函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2πsin 2πsin cos x x x y 的最小正周期与sin x 的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x →ωx ，sin x →sin ωx后者周期变为)0(π2>ωω而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sin ωx → si n （ ωx +φ）；（2）振幅变换sin （ωx +φ）→ A sin （ ωx +φ）；（3）纵移变换 A si n （ ωx +φ） → A si n （ ωx +φ）+m ；后者周期都不变，亦即 A si n （ ωx +φ） +m 与si n （ωx ）的周期相同，都是ωπ2.而对复合函数 f （sin x ）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数 f （sin x ） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sin x ； （2）x sin（2）x sin 的定义域为［2k π，2k π+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sin x 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 ,21，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x ，sin x ，xsin 1， sin （sin x ）都是最小正周期2π的周期函数.2、y = sin 3 x 的周期性对于y = sin 3x =(sin x )3，L =2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y = sin 2 x 的周期性对于y = sin 2x = (sin x )2，L =2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin 2x 的最小正周期为π，不是2π.4、sin 2n x 和sin 2n -1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为 cos2x 的周期是π，故 sin 2x 的周期也是π.sin 2x 的周期，由cos x 的2π变为sin 2x 的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x 的幂符合函数sin m x ，当m =2n 时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n –1时，sin m x 的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sin x |的最小正周期.【解答】 x x y 2sin |sin |==最小正周期为π.【例2】 35)(sin x y =求的最小正周期.【解答】 5335)(sin )(sin x x =最小正周期为2π.【例3】 求52)(sin x y =的最小正周期.【解答】5252)(sin )(sin x x =最小正周期为π.【说明】 正弦函数sin x 的幂复合函数pq x )(sin . 当q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cos x ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 si nx + cos x 的最小正周期如何？)4πsin(2cos sin +=+x x x和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？1、函数 sin x + sin2 x 的周期性sin x 的最小正周期为2π，sin2x 的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.表上看到函数sin x +sin2x 的最小正周期是2π.2、函数 sin x + sin2x 的周期性依据上表，作sin x +sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx ，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x +sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x +sin32x 的周期性 sin x 的最小正周期为2π，sin 32x 的最小正周期是3π. 它们之间的和sin x + sin 32x 的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设2π0=x 则x 0 +3π=π32π+ 2312π32sin 2πsin 2π)(0+=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f )(23127π32sin 27πsin π32ππ)3(00x f f x f ≠+-=⎪⎭⎫⎝⎛∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+因此3π不是sin x + sin32x 的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x +sin32x 的最小正周期为6π，即sin x 和sin 32x 最小正周期的最小倍数.四、周期函数在高考中三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性. 关系到正弦函数的试题，有2种形式. （1）直接考，求正弦函数的最小正周期.（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.1、求正弦函数的周期【例1】 函数 y =|sin 2x|的最小正周期为 （A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π 【解答】 2sin |2sin |2x x y == 最小正周期是2sinx最小正周期的一半，即2π. 答案为（C ） 【说明】 图象法判定最简便，|sin x |的图象是将sin x 的图象在x 轴下方部分折到x 轴上方去. 倍角法定判定最麻烦 x xy cos 212sin2-== 【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x 决定2、求正弦函数的周期【例2】 （1）y =2cos 2x +1的最小正周期为 .（2）y =|sin x + cos x |的最小正周期为 .【解答】 （1）y = 2cos 2x + 1的最小正周期由cos 2x 决定，故答案为π.（2）)(sin 2|)sin(|2|cos sin |2ϕϕ+=+=+x x x x 故答案为π.【说明】 )(sin cos 22ϕ+x x 都可看作sin x 的幂函数的复合函数.3、函数周期性应用于求值【例题】 f (x )是R 上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.【解答】 ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛3π 3π 32π 35π f f f f 233πsin == 【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.若 时 f (x ) = si nx 试求 的值.4、函数周期性应用于求单调区间【例题】 x ∈R ，求函数 y =sin 2x + 3sin x cos x +2cos 2x 的单调增区间.【解答】 )2cos 1(2sin 2322cos 1x x x y +++-=23)6π2sin(232cos 212sin 23++=++=x x x 函数的最小正周期为π. 令 2π6π22π≤+≤-x 得 6π3π≤≤-x 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6ππ ,3ππk k .【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.周期函数在高考中5、周期性应用于求函数零点【例题】 已知函数412sin 2cos sin cos sin )(2244--++=x x x x x x f .【解答】 41)cos sin 1(2cos sin 1412sin 2cos sin cos sin )(222244---=--++=x x x x x x x x x x fx x 2sin 4141412sin 4121+=-+=令 02s i n4141=+x 得 4π=x 故交点横坐标的值的集合为4π=x .【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.五、高考史上的周期大难题高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料. 后来分析，该题的难点有三 .（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.【考题】设三角函数)3π5πsin()(+=k x f ，其中k ≠0.（1）写出 f (x )极大值M 、极小值m 与最小正周期;（2）试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x )至少有一个值是M 与一个值是m .【解答】 （1） M =1，m = -1，k k T π10π25=⨯=.（2）f (x )在它的每一个周期中都恰好有一个值是M 与一个值是m .而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f (x )至少有一个值是M 与一个值是m ，必须且只须使 f (x )的周期≤1即：k =32就是这样的最小正整数. .4.31 π10 ,1 π10 =≥≤k k六、高考史上的周期大错题中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高. 2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.【例题】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2B.3C.4D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下，就是“D”的一种解法.【解答】 f (x )周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0f (x )为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D. 【讨论】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x )的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x )的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5. 【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的. 高考史上的周期大错题【实验检验】 f (x )同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x )的一个具体例子：x x x f 3π4sin 3π2sin)(+= 并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.函数x x x f 3π4sin 3π2sin)(+=在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.。
三角函数的单调性与周期知识点
三角函数的单调性与周期知识点三角函数是数学中一类重要的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
研究三角函数的单调性与周期是深入理解和应用三角函数的基础。
在本文中，我们将重点讨论三角函数的单调性与周期的相关知识点。
一、正弦函数的单调性与周期正弦函数是最常见的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。
正弦函数的标准形式为：f(x) = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D 为常数。
1. 单调性：正弦函数的单调性与其幅值A有关。
当A>0时，正弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图1所示。
当A<0时，正弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图2所示。
插入图1和图22. 周期：正弦函数的周期与参数B有关。
正弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。
当B增大时，正弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，正弦函数的周期变长，波动速度减慢。
二、余弦函数的单调性与周期余弦函数也是常用的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。
余弦函数的标准形式为：f(x) = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。
1. 单调性：余弦函数的单调性与其幅值A有关。
当A>0时，余弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图3所示。
当A<0时，余弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图4所示。
插入图3和图42. 周期：余弦函数的周期与参数B有关。
余弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。
当B增大时，余弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，余弦函数的周期变长，波动速度减慢。
三、正切函数的单调性与周期正切函数是三角函数中的一种特殊函数，可以表示角度的对称性关系。
正切函数的标准形式为：f(x) = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C 和D为常数。
1. 单调性：正切函数在每个周期内都存在间断点，因此不存在严格的单调性。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
正弦函数的周期性(周期性、奇偶性、单调性)
y A sin( x ，它的周期 )
T 2
是多少?
•
正弦函数的奇偶性
• 奇函数定义： 如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有f(-x)=-f(x), 则称这个函数为奇函数。
奇函数关于原点对称
• 偶函数定义： 如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有f(-x)=f(x), 则称这个函数为偶函数。 偶函数关于y轴对称
1
-1
1
-1
周期性
1
-1
奇偶性
1
-1
单调性
正弦函数的周期性
• 周期函数的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非 零常数T叫做这个函数的周期。 f(x)=sinx的周期为2kπ
• 最小正周期的定义：
• 因此：
正弦函数y=sinx是关于原点对称的奇函数 其对称轴是 x
2
k ，且关于
（kπ，0）对称
5 y sin(2 x ) 2 例2.
的图象的一条对
2
称轴是（ ）
• A.
A
x
B.
x
4
• C.
x
8
D
5 x 4
三角函数的单调性
1
3 2 k , 2 k • y=sinx的在每一个闭区间 _______________________ 2 2
y 3sin 2 x
sin( )
• 例4.利用三角函数的单调性，比较下 列各组数的大小：
• （1） sin( 与 ) 18
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正弦型函数()ϕ
ω+
)
(的周期
f sin
A
=x
x
一、教学目标
1。
通过学习,让学生掌握正弦型函数周期的推导过程，进而会求解正弦型函数的周期。
2.通过学习,让学生体会到整体代换的方法在数学中的重要性，使学生能够熟练并灵活运用它．
３。
通过正弦函数周期公式的推导过程,让学生感受到数学的美，从而加强学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点:１.正弦型函数周期的推导过程．
２。
正弦型函数周期的计算公式。
3。
整体代换的数学方法．
难点:正弦型函数周期的推导过程。
三、教学过程
1。
复习旧知,引入新课
师:通过前面的学习我们知道,如果一个函数)(x
f的周期为a
=a
T,则它应该满足怎么样的关系呢？
(≠
)0
生:满足)
x
=．
f
f+
(a
(
)
x
（设计意图:通过复习，使学生在后面的式子)2()(ω
π+=x f x f 清楚的里得出周期)
师:学习三角函数时,我们首先学习了正弦函数x x f sin )(=和余弦型函数x x f cos )(=，通过描画它们的图像得知，它们的周期都是π2=T ，根据上面的周期公式式子,它们应该满足什么关系呢？
生：满足()π2sin sin +=x x 、()π2cos cos +=x x ．
(设计意图：为后面推导正弦型函数的周期奠基基础)
师：上一节课我们学习了正弦型函数
()ϕω+=x A x f sin )(
）且为常数（其中R x A A ∈,0,0≠,,,>ωϕω,通过学习我们知道，它与正弦函数x x f sin )(=有着密切的联系,那么正弦型函数有没有周期呢？,如果有,它该怎么样求解呢?所以本节课我们在正弦函数x x f sin )(=基础上来讨论一下它的周期。
(设计意图：让学生知道这两个函数之间的联系，为后面整体代换方法的应用提供依据)
2.教师讲解，学习主题
首先我们写出正弦型函数
()ϕω+=x A x f sin )(,R x ∈。
师：我们如何把它转化为我们熟悉的正弦函数了？大家还记得我
们在解方程012-24=+y y 时是如何解得？
生：我们令t y =2，使方程变成我们熟悉的一元二次方程012-2=+t t 来求解的.
(设计意图：让学生复习整体代换的数学方法,为下面把正弦型函数转化为正弦函数提供基础）
师:我们如何把()ϕω+=x A x f sin )(转化成我们熟悉的正弦函数? 生：令 ϕω+=x z ，R z ∈
（设计意图：让学生感受到成功的喜悦，增强学习的自信心) 师:上面一步我们运用了数学一个非常重要的方法整体代换的方法，可见,通过这种方法会把不熟悉的东西变成我们熟悉的东西,通过代换则有z A x f sin )(=即变成了我们非常熟悉的正弦函数.
(设计意图:让学生再次体会整体代换的方法,为得出结论做出铺垫)
师：我们知道正弦函数的周期为π2=T ,那么我们能得到什么式子?
生:())2(2sin sin )(ππ+=+==x f z A z A x f
师：我们再把它还原过来，有
()()πϕωϕω2sin sin )(++=+=x A x A x f
为了和()ϕω+x A sin 保持一致，我们把()πϕω2sin ++x A 写成()ϕπω++2sin x A .
师:我们知道()ϕω+=x A x f sin )(中函数的自变量为x ,那么()ϕπω++=2sin )(x A x f 中函数的自变量是什么？
生：是ωπ2+x .
(设计意图：为得出最后结论而做铺垫，为学生自己得出总结而理清思路）
师:于是有 ()()πϕωϕω2sin sin )(++=+=x A x A x f
()ϕπω++=2sin x A
()[]ϕωωπ++=2sin x A )2(ωπ+=x f 。
即有)2()(ωπ+=x f x f ,那么它的周期应是多少？
生：是ωπ
2.
3。
得出结论
一般地,正弦型函数
()ϕω+=x A x f sin )( 的周期为ω
π2=T ）且为常数（其中R x A A ∈,0,0≠,,,>ωϕω。
4。
例题讲解,深化主题
求下列函数的周期.
（1）
43sin 2x y =,R x ∈; （2）()
432sin π+=x y ，R x ∈; （3）
ππ3sin cos 3cos sin x x y +=，R x ∈; （4）x x y cos sin +=,R x ∈。
5。
课堂小结,巩固反思
本节课我们学习了正弦型函数的周期求解公式以及它的推导过程，再次体会了一类非常重要的数学方法，整体代换的方法,为以后的数学学习奠定基础．。