计算方法微分方程

习题6

6.1试用三种方法导出线性二步方法

y n 2 y n 2hf n 1

6.2用Taylor展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法

6.3形如

k

j y n j h k f n k

i 0

的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。

6.4试用显式Euler法及改进的Euler法

h

y n 1 y n 2〔f(t n,y n) f (t n 1, y n hf n)]

6.5给出线性多步法

y n 2 ( 1)y n1 y n ￡[( 3)f n 2 (3 1) f n]

4

为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的

6.6给出题(6.5)题中1时的公式的绝对稳定域.

6.7指出Heun方法

0000

1/31/300

2/302/30

1/403/4

的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.

6.8试述刚性问题的基本特征，并给出s级Runge-Kutta方法为A-稳定的条件

y f (x, y)

6.9设有，试构造形如

y(x。)y。

Y n 1 (Y n Y n 1) h( o f n 1 f n 1) 的二阶方法，并推导其局部截断误差首项。

6.10 设有常微分方程初值问题的单步法

y(x。)y o

y n 1 y n 3【f(X n,y n) 2f(X ni,y ni)］，证明该方法是无条件稳定的。

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