结构位移计算3图乘法
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
结构力学-图乘法
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第2页
等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐 tan 标原点， 沿AB杆段为 常数 M x tan
B
A
M M P ds EI
1 EI
B
MM
A
P
dx
tan EI
B
xM
A
P
dx
tan EI
c
y1
y2
d
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第8页
a
1
2
b
d
y2 c y1
yc
EI 1 EI
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样， 可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
( 1 y 1 2 y 2 )
( 10
2 )( 1 . 5 2 ) 4 2
98 . 84 EI
( )
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第24页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
y5 y 4 y 3
y1 y2
解 （1）作实际状态的 M
P
。
ql 8
2
ql 8
2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第14页
（2）建立虚拟状态，并作
l/2
M
图。
1
（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 C y 。
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
静定结构的位移计算-图乘法
这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
图乘法
分析： 分析： 在直杆结构中总是直线。 M在直杆结构中总是直线。 满足上式推导中f(x)的条件 满足上式推导中f(x)的条件 f(x)
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
y0 o A
MM P 1 ∆ = ∑∫ ds = ωy 0 EI EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院 结构力学教研室 李保德副教授
MM P 1 ds = ∑ ωy 0 ∆ = ∑∫ EI EI
1 1 2 ω 3 = × qL 2 8 3 y3 = L 4
C
B L/2
1 L 1 2 ω1 = × × qL 3 2 8
1 L 1 2 ω 2 = × × y2 = L 6
∆B =
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) EI
41qL4 = 384 EI
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
3. 常见图形的面积和形心
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
注意: 注意:
标准抛物线
武汉理工大学土木工程与建筑学院
结构力学教研室
李保德副教授
4. 图乘的一般方法
两图均是直线图形，y0可取其中的任一图形
ω
y0
y0
ω
武汉理工大学土木工程与建筑学院
武汉理工大学土木工程与建筑学院
C
B L/2
∆B =
1 ωM P y EI
1 1 2 PL3 = × L × PL × L = EI 2 3 EI
B
MP
或
1 ∆B = ωM y EI
1 1 2 PL3 = × L × L × PL = EI 2 3 EI
M
结构力学教研室
李保德副教授
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
结构力学位移法
例:求图示悬臂梁C 点的竖向位移。
(a) 54 C MP (c) 24 C 3kN/m (d) 30 3kN/m (b) 4 C M1 3kN/m F =1
4m
2m
6 M P2 C
M P1
解 在C点施加竖向单位力，作出M1图和MP图，再 用图乘法求位移。但图乘结果不能直接得出，需要采用 叠加法， 将MP图分解为MP1和MP2叠加，见图c、图d， 然后令MP1 和MP2 图分别与M1图图乘后再相加。
4. 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
已有基础： 1. 静定结构的内力计算； 2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；
3. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,即:
kFQ FQds FN FNds MM P ds P EI EA GA
Dy
3 1 FP a 2 2a ( 1 2 2 ) F a 4 F a P ( FP a 2 a ) P () E2 I 2 2 3 E1 A1 3 E2 I 2
例 7. 已知 EI 为常数，求 Cy 。
解：作荷载和单位荷载的内力图
返回
MP
分解
M
Cy
1 1 ql l 3l 1 ql l [( ) ( l) EI 3 8 2 8 2 8 3 2 ql 2 l ql 4 ( l) ] () 温 3 8 4 128 EI 度
ql 4
ql 2 M 8 2
ql 2 8
解法二、
ql 2 2
ql 2 8
ql 2 2
A
ql 2 32
ql 2 8
1 1 l ql l Cy [( ) EI 2 2 2 3 A 2 1 l ql l ( ) 2 2 8 6 2 4 2 l ql l 17ql ( )] () 3 2 32 4 384 EI
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
结构位移计算-3图乘法
l
h
qh3l () 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1
1 1
A
B
ll
Mi 1/l
ql 2 / 4
ql 2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2ql2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
例. 试求图示梁B端转角.
A
P B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl/ 4
解: B MEMIPds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl 2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
NP P/2
P A
l Cl
2
2
a
B
Ni 1/ 2
D
1 A
l Cl
2
2
a
B
l
MP
Pl
M
4
4
C y E 2 [1 2 ( I2 l P 4 ) 3 2 l 4 l] E 1 1 2 A P 2 a 4 P E 38 l 4 P E I( ) a A
三、图形分解
求 B
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五、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
A
B
h
q
1
q
1
l
ql2 / 8
h h
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 EI
2 ql 2 38
lh
qhl 3 ( ) 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
EI 20kN m 40kN m
10m
1
Mi
60
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
40
B
1 EI
1 2
101 (60
2 3
20)
100 ( ) EI
20
B
1 EI
(1 2
10 60
2 3
2010 1) 100 ( ) 2 EI
三、图形分解
求 B
ql2 / 2 MP A l/2
Mi
q ql2 / 8 l/2C l/2 B
1
c
yc 1 1 l ql2 1 l
EI EI 3 2 2 2
1 ql3 ()
24 EI
C
C
yc 1 (1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l )
MP图
1 M图
练习： 试求图示梁A端截面转角.
A
Ay0 EI
Pl / 2
P
1 (1 l Pl ) 1 (1) 1 Pl2 l/6
EI 2 2 2
8 EI
（顺时针）
1
MP图 1 M图
例. 试求图示梁D端竖向位移. EI=常数。
解: A
ΔAy
Ay0 EI
a m
1 ( 1 a m 2a 1 a m a)
解:
B
MM EI
P
ds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M 1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
解:
ΔAy
Ay0 EI
EI
A
l/2
l/2
Pl / 2
P
1 (1 l Pl ) 5 l 5 Pl3 () l/6 EI 2 2 2 6 48 EI l 5l/6
)
()
3 4 8 2 16 2 4 32 3 16 4048 EI
四、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
（3） yc 应取自直线图中。
2. 若 与 yc 在杆件的同侧，yc取正值；
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
二、常见图形的面积和形心位置
b
l/4 l
A 1 bl 3
l/2
l/2
A 2 bl 3
b
b
5l/8 l
A 2 bl 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
1
q
A
B
2
1
MP 图
解:
1 ql2
M图
8
B
1 EI
[(2 3
l
1 8
ql2 )
1] 2
1 ql3 （ ）
24 EI
三、图形分解
MP
ql / 4
Mi
l
1/ 2
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
EI
1 ( 1 l ql 2 2 l 1 2l ql 2 2 l 2
EI 2 4 3 2 2
4 32 3
2 2 ql 4 ( ) 48EI EI
2l ql 2 1 l ) 8 22
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
一、图乘法
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
1
EI
MM Pdx (对于直杆)
(M x tan )
1 EI
x
tan
M Pdx
tan
EI
tan
EI
xMPdx
xc
1 EI
yc
图乘法求位移公式为:
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl / 4
1 1 1
A
l
ql2 / 4
B
Mi
l
1/ l
ql2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2 ql 2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
ql3
(
24 EI
)
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。
q
q
1
l
A ql2 / 4
l/2
l
q
q
A
B
MP
ql2 / 8 EI ql2 / 4
l
ql2 / 8
ql 2
1
4
Mi
B
1 EI
(
2 3
l
ql 2 8
1 2
1 2
lql 2 4来自2 31)ql3 ( ) 24 EI
三、图形分解
求C截面竖向位移 C
q
3ql 2 / 32
A
B
EI
C
MP
ql2 / 8
3l / 4
l/4
P 1
q
3ql 2 / 32
能E用I M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
Pl2 ( ) 16EI
1
Mi
1/ 2
B
1 EI
(1 2
l
Pl 4
1) 2
Pl 2 16 EI
(
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
40
A
B
MP 20
EI 2
32
3 a/3
1 ma2 () 6 EI
a 2a/3
m
B a
m
m
a/3
a/3
C a
a
D
MP图 1
M图
例. 试求图示结构B点竖向位移.
P
1
Pl
l
EI
B
l EI MP
Mi
l
解:
By
MM P EI
ds
yc
EI
1 (1 Pl l 2 l Pl l l)
EI 2
3
4 Pl 3 () 3 EI
B
1 EI
(1 2
10 20
2 3
10 20 1) 500 ( ) 2 3EI
B
1 EI
1 2
101 (20
20 2) 500 ( ) 3 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P Pl / 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
3ql2 / 32 q
3l / 4 q l/4 q
q(3l / 4)2 / 8 3ql 2 / 32
q(l / 4)2 / 8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
B
1 EI
(2 3
3l 4
q(3l / 4)2 8
1 2
3l 16
1 3l 24
3ql 2
32
2 3
3l 16
2 l q(l / 4)2 1 3l 1 l 3ql 2 2 3l 19ql 4
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/3 2/3
B
1 EI
(1 2
10 40
2 3
1 10 20 1) 500 ( )
2
3 3EI
20 A
20kN m A
B 40 B 40kN m
三、图形分解
求 B
20
40
A
B
MP
EI
20kN m10m40kN m
1
Mi
1/ 2 2/3