2020届艺考生高考数学抓分题型复习讲义(含答案)
2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第一章第1节 集 合 Word版含解析
第1节 集 合最新考纲核心素养 考情聚焦1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．3.在具体情境中，了解全集与空集的含义．4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．7.能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养．2.集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养．3.集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情景设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情景设置题的阅读理解能力1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)常见数集的记法集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法． 2．集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图A B或B A{x|x∈A，且x∈1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N*⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A解析：D [由题意知A ＝{0,1,2,3}，由a ＝22，知a ∉A .] 2．(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：B [A ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}， ∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]3．(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [由题意可得：圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以A ∩B 中有两个元素．故选B.]4．(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{0,1,2} 解析：A [本题考查了集合交集的求法，是基础题．由题意得，B ＝{x |－1≤x ≤1}，则A ∩B ＝{－1,0,1}．故选A.]5．(人教A 版教材习题改编)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝___________________________.答案：{2,4}考点一 集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A [∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1， 当x ＝－1时，y ＝－1,0,1； 当x ＝0时，y ＝－1,0,1； 当x ＝1时，y ＝－1,0,1； 所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98解析：D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n ) 2019＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.∴(m －n )2019＝－1或0. 答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(师生共研)[典例] (1)已知集合A ＝{x |ax ＝1}, B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．[解析] (1)由题意，得B ＝{－1,1}， 因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1. 又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D. (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. [答案] (1)D (2){m | m ≤4} [互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其他条件不变，则a 的取值范围是________．解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a . 因为A ⊆B ，所以1a≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a. 因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练]1．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素，即方程ax2＋ax＋1＝0只有一个根．当a＝0时方程无解．当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4.故a＝4.答案：42．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)．由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(2019·全国Ⅱ卷)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝()A．(－1，＋∞)B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅解析：C[A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝(－1,2)．]2．(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：A[A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．] [命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A ＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}解析：C[∵∁U A＝{1,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．]4．(2019·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：B[由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)5．(2017·全国Ⅱ卷)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：C[由题意知x＝1是方程x2－4x＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，从而B＝{1,3}．]6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∁R B＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁R B)＝R，则a≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{3}B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.]2．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝() A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}解析：C [∵x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3， 即N ＝{x |－2＜x ＜3}，∴M ∩N ＝{x |－2＜x ＜2}，故选C.]3．如图所示，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁I S )D ．(M ∩P )∪(∁I S )解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁I S )．故选C.]4．(2019·漳州模拟)满足{2 018}⊆A{2 018,2 019，2 020}的集合A 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [满足{2 018}⊆A {2 018,2 019,2 020}的集合A 可得：A ＝{2 018}，{2 018,2 019}，{2 018,2 020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ， 得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：D [A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.] 7．(2019·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.] 8．(2019·石家庄模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D [使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．(2019·淮南一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________． 解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．答案：[0,4)。
2020届艺考生(中层生)高考数学抓分题型复习讲义第2讲 复数
2020届艺考生（中层生）高考数学抓分题型复习讲义第2讲 复数 说明：高考分值5分，属于简单题型，主要考察复数的概念，运算，几何意义等，做题时关键是认真计算。
【基础知识】一．复数的有关概念 12-=i(1)形如 a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中 a ，b 分别是复数的实部和虚部．若 b ＝0，则 a ＋b i 为实数；若 b ≠0，则 a ＋b i 为虚数；若 a ＝0 且 b ≠0，则 a ＋b i 为纯虚数．(3)a ＋b i 的共轭复数为 a －b i(a ，b ∈R )．(4)复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面的点 Z (a ，b )一一对应．(5)复数 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝22b a +注意：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．二．复数的四则运算：①i d b c a di c bi a )()()()+++=+++（②i ad bc bd ac di c bi a )()-())(++=++（ ③2222a biac bdbc ad i c di c d c d ++-=++++三．常用结论【基本题型】 一．基本运算型例1.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ2）复数512i i=-( ) A.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+选C 解法一： 55(12)1052.12(12)(1+2)5i i i i i i i i +-+===-+-- 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案.变式训练1.已知i 是虚数单位，复数131i i--=( ) (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． ①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈Z )．A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i --二．基本概念型例2.设i 是虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12【思路点拨】先根据复数的除法运算化简，再利用纯虚数概念，令实部为0，求a【精讲精析】选A. 1(1)(2)2122(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+,由12ai i+-是纯虚数， 则0521,052≠+=-a a ，所以a =2. 变式训练2.（1）（2011·新课标全国高考理科·Ｔ1）复数212i i+-的共轭复数是( ) A ．35i - B.35i C.i - D.i （2）.若a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a =( )（A ）2 （B （3）.设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________三.复数相等例3.设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
2020新课标高考艺术生数学复习：排列与组合含解析
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，
故所求的个数为36－3＝33(个)，故选C.]
2．(20xx·××市模拟)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是( )
A．60种B．63种C．65种D．66种
解析：D[因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C ＋C ＋C C ＝66(种)不同的取法．故选D.]
3．某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．
解析：当甲、乙在第二排且相邻时有4A ＝4×4×3×2×1＝96(种)排法，当甲、乙在第三排且相邻时有A A ＝2×4×3×2×1＝48(种)排法，所以不同的安排方法总数为144种．
2．某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为( )
A．840B．720C．600D．30
解析：B[由题知可分两种情况．第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为C ·C ·A ＝480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为C ·A ＝240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480＋240＝720.故选B.]
2020年高考数学(理)抢分秘籍05 平面解析几何(解析版)
秘籍05平面解析几何1．已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )A.4±B.-4C.4D.2±【答案】B解析:由2a-2×8=0,得a=±4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2√3B．2C．√6D．√3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=√3x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2√4−1=2√3，故选：A．3．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB|=8，那么直线l 的方程为（ ） A ．5x+12y+20=0 B ．5x ﹣12y+20=0或x+4=0C ．5x ﹣12y+20=0D ．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件． 当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x+4 ），即 kx ﹣y+4k=0， 则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d=|−k−2+4k|√k 2+1=|3k−2|√k 2+1．再由 d 2+(AB2)2=r 2，得|3k−2|√k 2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣512（x+4），即 5x+12y+20=0． 故选：D ．1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则212||1||AB k x x =+-.2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为( ) A ．12B ．22C ．23D ．63【答案】D 解析：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ．5．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为( ) A ．45B ．23C ．12D ．25【答案】B【解析】：椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，12||2F F c =， 根据正弦定理可得1212||2432sin 3sin 3F F c cR F PF π===∠， 233c R ∴=，1346cr R ==． 设1||PF m =，2||PF n =，则2m n a +=， 由余弦定理得，2222242cos()3433c m n mn m n mn a mn π=+-=+-=-，224()3a c mn -∴=， 122213()sin 233F PF a c S mn π-∴==V ，又1213()(2)26F PF c a c S m n c r +=++=V g ， ∴223()3()36a c a c c-+=，即22230a c ac --=，故2320e e +-=， 解得：23e =或1e =-（舍)．故选：B ．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为( )A ．233B ．263C ．3D ．2【答案】A【解析】：双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则3tan63π=， 所以该条渐近线方程为33y x =； 所以233a =， 解得6a =；所以226222c a b =+=+=， 所以双曲线的离心率为222336c e a ===． 故选：A ．7．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c=-， 由121c e a ==-，解得21e =+， 故选：C ．求双曲线的离心率一般有两种方法（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即2222111c b e a abc ==+=-，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式ce a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A （3，y ）作准线l 作垂线，垂直为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2=12xB ．y 2＝xC ．y 2＝2xD ．y 2＝4x【解析】：设直线l交x轴于点C∵AB⊥l，l⊥x轴，∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是y2＝4x．故选：D．9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，|PF|=5，且|OP|>5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l′交抛物线C于M，N 两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p ，所以P(8p,4)，因为|PF|=5，所以8p +p2=5，整理得p2−10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足|OP|>5；当p=8时，P(1,4)，|OP|<5，不符合题意，舍去.所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2−4y−4=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，故AB的中点为D(3,2)，|AB|=√12+1√(y1+y2)2−4y1y2=8.又因为l′的斜率为-1，所以l′的方程为y−2=−(x−3)，即x=−y+5.将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y−20=0.设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−4，y3y4=−20，故|MN|=√(−1)2+1√(y3+y4)2−4y3y4=8√3.所以四边形AMBN的面积S=12|AB|⋅|MN|=12×8×8√3=32√3.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（）A．23B．±35C．﹣35D．35【答案】D【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．故选：D．两条直线的位置关系斜截式→111222::l y k x b l y k x b =+=+一般式→11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1l 与2l 相交 12k k ≠12210A B A B -≠ 1l 与2l 垂直121k k =-12120A A B B +=1l 与2l 平行 12k k =且12b b ≠1221122100A B A B B C B C -=⎧⎨-≠⎩或122112210A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩ 1l 与2l 重合 12k k =且12b b =1221122112210A B A B AC A C B C B C -=-=-=2．圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为( )A.x +√3y-2=0 B .x +√3y-4=0 C .x-√3y +4=0 D .x-√3y +2=0 【答案】D【解析】:∵点P (1,√3)在圆x 2+y 2-4x=0上,∴点P 为切点.从而圆心与点P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k ,∴0−√32−1·k=-1,解得k=√33. ∴切线方程为x-√3y +2=0.故选:D3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切，则a 等于( ) A ．1或3- B ．1-或3-C ．1或3D ．1-或3【答案】A【解析】：根据题意，圆22()2x a y -+=的圆心为(,0)a ，半径2r =， 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=相切， 则圆心到直线的距离|1|22a d +==，即|1|2a +=，解可得：1a =或3-， 故选：A ．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程. 2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=,求得k ,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线3y b =与双曲线C 的右支相交于P ，若122PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．32y x =±B ．23y x =±C ．52y x =±D ．255y x =±【答案】C【解析】由222231y b x y ab =-=⎧⎪⎨⎪⎩，解得P(2a,√3b)，根据双曲线的定义有|PF 1|−|PF 2|=|PF 2|=2a ，双曲线的焦点F 2(c,0)， 故|PF 2|=√(2a −c )2+(√3b)2=2a ，两边平方化简得4c 2−4ac −3a 2=0， 即4e 2−4e −3=0，解得e =32， 故(b a )2=e 2−1=54，所以b a=√52，即双曲线的渐近线方程为y =±√52x .故选C ．对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.4．已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ,点F 1,F 2为椭圆的焦点,且12△MF F 是边长为2的等边三角形,若直线l :y =kx+2√3与椭圆E 交于不同的两点A ,B . (1)直线MA ,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值.【解析】(1)因为12△MF F 是边长为2的等边三角形,所以2c =2,b =√3c ,a =2, 所以a =2,b =√3,所以椭圆E :x 24+y 23=1,点M (0,√3).将直线l :y =kx+2√3代入椭圆E 的方程, 整理得(3+4k 2)x 2+16√3kx+36=0. (*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由(*)式可得Δ=(16√3k )2-4(3+4k 2)×36=48(4k 2-9)>0, 所以k ∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x 1+x 2=216334kk-+,x 1x 2=23634k +. 则直线MA ,MB 的斜率之积为k MA ·k MB =()()121212123333kx kx y y x x x x ++--⋅=()1221233k x x k x x ++=+22216333343634k k k k k ⎛⎫-⋅+ ⎪+⎝⎭=++=k 2+9−36k 236=14, 所以直线MA ,MB 的斜率之积是定值14. (2)记直线l :y =kx+2√3与y 轴的交点为N (0,2√3)， 则S △ABM =|S △ANM -S △BNM |=12|MN|·|x 2-x 1|= 2221212222223316336649()4()42234343463,1224949k k x x x x k k k k k --+-=-⋅=+++=≤-+-当且仅当4k 2-9=12,即k =±212∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,所以△ABM 的面积的最大值为32. 5．已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.（1）求p 的值；（2）已知点T(t,−2)为C 上一点，M,N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为−83，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线的定义，得02pQF x =+， 又2QF PQ =，即0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知C 的方程为28y x =，所以点T 的坐标为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 设直线MN 的方程为x my n =+，点221212,,,88y y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由28x my ny x=+=⎧⎨⎩得2880y my n --=，所以12128,8y y m y y n +==-，所以12221212228811228282MT NT y y k k y y y y +++=+=+---- ()()121212832643282481643y y m y y y y n m +--===--++--+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为x +1=m(y +1)，恒过点(−1,−1).定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．与直线 3x −2y =0 平行，且过点 (−4,3) 的直线方程为 ( ) A. y −3=−32(x +4) B. y +3=32(x −4) C. y −3=32(x +4)D. y +3=−32(x −4)2． 已知直线 l ：y =x +b 与曲线 C ：y =3−√4x −x 2 有公共点，则 b 的取值范围为 ( ) A. [−3,3] B. [3,1+2√2] C. [1−2√2,3]D. [1−2√2,1+2√2]3．圆 C:(x −1)2+y 2=25，过点 P (2,−1) 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 ( ) A. 10√3 B. 9√21 C. 10√23 D. 9√114．若当方程 x 2+y 2+kx +2y +k 2=0 所表示的圆取得最大面积时，则直线 y =(k −1)x +2 的倾斜角 α= ( ) A.3π4 B. π4C.3π2D.5π45．已知A （3，﹣1），B （5，﹣2），点P 在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，﹣1） B ．（﹣1，1）C ．（135，﹣135）D ．（﹣2，2）6．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（ ） A ．y=﹣3或4x ﹣3y+3=0 B ．y=﹣3或4x+3y+21=0C ．x=﹣3或4x ﹣3y+3=0D ．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的 方程是（ ）A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=08．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆9．若直线l:ax−by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2−2x+4y=0，则1a +1b的最小值为A．2√2B．2C．12(3+2√2)D．3+2√210．圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为()A.36πB.12πC.4√3πD.4π11．己知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6312．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左右焦点分别为1F，2F，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为()A．22143x y+=B．22132x y+=C．2212xy+=D．2214xy+=13．已知椭圆22:186x yC+=的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是[1，2]，则直线PB斜率的取值范围是()A．[2-，1]-B．3[2-，3]4-C．[1-，1]2-D．3[4-，3]8-14．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线212yx=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A．42B．5C．3D．515．已知双曲线221(0)x ym nm n-=>>和椭圆22154x y+=有相同的焦点，则14m n+的最小值为()A．2B．4C．6D．916．已知双曲线22:1(0)3x C y x -=>，点(2,0)F ，点M 是曲线C 上的一个动点，点N 满足0NM NF =u u u u r u u u r g ，则点N 到原点的最短距离为( ) A ．2B ．3C ．2D ．117．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与C 的公共点为P ，若△12PF F 是直角三角形，则C 的离心率为( ) A ．2-1B ．51-C ．21+D ．51+18．设双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，命题p ：双曲线E 离心率2e =，命题q ：双曲线E 的渐近线互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则||||PM PF +的最小值为( ) A ．3B ．2C ．4D ．2320. 若直线 l 过抛物线 y 2=4x 的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则弦AB 的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 821.已知A ，B 为抛物线C ：y2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若AB →=5FB →，则|AB|＝（ ）A ．252B ．10C ．254 D ．622.已知椭圆x 2+2y 2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（ ）A ．3√2B ．2√3C ．√303D ．3√6223．已知圆C 1:x 2+y 2-6x -7=0与圆C 2:x 2+y 2-6y -27=0相交于A,B 两点,则直线AB 的方程是 . 24．已知动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为 ．25．与曲线2212449x y +=共焦点，而与曲线2213664x y -=共渐近线的双曲线方程为26．在椭圆x 216+y 24=1内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为27．过椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 的直线l 交C 于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且A 不在x 轴上． （Ⅰ）求|y 1y 2|的最大值； （Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l 的方程．28． 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为 y =√3x ，右焦点 F (4,0)，左右顶点分别为 A 1，A 2，P 为双曲线上一点（不同于 A 1，A 2），直线 A 1P ，A 2P 分别与直线 x =1 交于 M ，N 两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，并求此定值．29．已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的离心率 e =2√33，直线 l 过 A (a,0) 、 B (0,−b ) 两点，原点O 到直线 l 的距离是√32． （1）求双曲线的方程；（2）过点 B 作直线 m 交双曲线于 M 、 N 两点，若 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，求直线 m 的方程．30． 已知椭圆 E 的方程是x 24+y 23=1，左、右焦点分别是 F 1，F 2，在椭圆 E 上有一动点 A ，过 A ，F 1 作一个平行四边形，使顶点 A ，B ，C ，D 都在椭圆 E 上，如图所示．（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．1.【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点(−4,3)，所以y−3=3 2[x−(−4)]=32(x+4)．2. 【答案】C3.【答案】C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4. 【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=√4−3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=(k−1)x+2的斜率为−1，从而倾斜角为3π4．5.【答案】C【解析】：如下图所示：点A （3，﹣1），关于直线l ：x+y=0的对称点为C （1，﹣3）点， 由BC 的方程为：x−14=y+31，即x ﹣4y ﹣13=0，可得直线BC 与直线l 的交点坐标为：（135，﹣135）， 即P 点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小． 故选：C ． 6.【答案】C【解析】：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5， 若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8， 则圆心C 到直线l 的距离d=3， 由直线l 过点M （﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y+3=k （x+3），即kx ﹣y+3k ﹣3=0， 则|−6k+2+3k−3|√k 2+1=3，解得：k=43，故直线l 的方程为43x ﹣y+1=0，即4x ﹣3y+3=0 故选：C ． 7.【答案】C【解析】：⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0， 即（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4， 点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点， 显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线， 设另一条切线和圆相切于P （a ，b ）， 则MP 的斜率是ba+2，直线直线MP 的方程是：bx ﹣（a+2）y+2b=0， 故{3−b2−a ⋅ba+2=−12b−3(a+2)+2b √b 2+(a+2)2=4，解得：{a =−26b =7，故切线方程是7x+24y+14=0， 故选：C ． 8.【答案】B【解析】：如图：延长DC ，交直线OA 与A ′，因为点A 关于点B 的对称点为点C ，若BD ⊥AC 且CD ∥OB ，所以OB ∥CA ′，BC=12CA ′， CD=DA ，所以DA ′﹣DA=CA ′=2OB 定值．2OB ＜AA ′，所求的D 轨迹是双曲线． 故选：B ．9．【答案】C【解析】将x 2+y 2−2x +4y =0化为(x −1)2+(y +2)2=5， 因为直线l:ax −by =2平分圆x 2+y 2−2x +4y =0， 所以a +2b =2，又a >0,b >0，则1a+1b=12(a +2b)(1a+1b)=12（3+2b a+ab)≥3+2√22， 当且仅当2ba =ab ，即a =√2b 时取等号. 故选C ．【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力． 10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4π(√3)2=12π. 故选：B ． 11.【答案】D 【解答】：如图，由题意可得，2b c =，则222b c =， 即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即63c e a ==．故选：D ． 12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得2()6a c +=， 所以3a c +=①，当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值， 即最大值为3bc =②，由①②及222a c b =+联立求得2a =，3b =，1c =，可得椭圆方程为22143x y +=，故选：A ． 13.【答案】D【解答】：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为(,0)A a -，(,0)B a ，0(P x ，0)y 为椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则00PA y k x a =+，00PB y k x a=-， ∴20220PA PBy k k x a =-g ，由P 在椭圆上，得2200221x y a b+=， 则2202220y b x a a=--． 由椭圆22:186x y C +=，得6384PA PB k k =-=-g ，[1PA k ∈Q ，2]，∴33[44PB PA k k =-∈-，3]8-． 故选：D ． 14.【答案】B【解析】：Q 抛物线212y x =的焦点坐标为(3,0)， 依题意，249b +=， 25b ∴=．∴双曲线的方程为：22145x y -=，∴其渐近线方程为：52y x =±， ∴双曲线的一个焦点(3,0)F 到其渐近线的距离等于|530|554d ±⨯-==+．故选：B ． 15.【答案】D【解析】：椭圆22154x y +=是焦点在x 轴上的椭圆，且2541c =-=． Q 双曲线221(0)x y m n m n -=>>和椭圆22154x y +=有相同的焦点，1(0)m n m n ∴+=>>，∴141444()()5529n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++=g …． 当且仅当4n mm n=，即13m =，23n =时取等号．∴14m n+的最小值为9． 故选：D ． 16.【答案】B【解析】：由0NM NF =u u u u r u u u rg ，得点N 的轨迹是以MF 为直径的圆，设||2MF r =，1O 为MF 的中点，(2,0)F '-， 则点N 到原点的最短距离为1111||||||23222O O r MF MF a a '-=-=⨯==， 故选：B ．17.【答案】C【解析】：由题意知121||2||F F c PF ==，若△12PF F 是直角三角形，则122PF F π∠=，且2||22PF c =，又由双曲线的定义，可得21||||2PF PF a -=， 可得2||2222PF a c c =+=，即2(222)a c =-， 由121c e a ==-，解得21e =+， 故选：C ． 18.【答案】C【解析】：双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，离心率为ce a=，由2e =，可得2c a =，即有22222c a a b ==+，可得a b =， 即有渐近线方程为y x =±，可得两渐近线垂直； 若两渐近线垂直，可得a b =，可得2e =，即有p 是q 的充要条件， 故选：C ． 19.【答案】A【解析】：抛物线标准方程24x y =，2p =，焦点(0,1)F ， 准线方程为1y =-．设p 到准线的距离为PA ，（即PA 垂直于准线，A 为垂足）， 则||||||||||3PM PF PA PM AM +=+=…， （当且仅当P 、A 、M 共线时取等号）， 故选：A ． 20.【答案】C【解析】因为抛物线为 y 2=4x ，所以 p =2， 设 A ，B 两点横坐标分别为 x 1，x 2， 因为线段 AB 中点的横坐标为 2，则 x 1+x 22=2，即 x 1+x 2=4，故 ∣AB ∣=x 1+x 2+p =4+2=6． 故选：C 21.【答案】C【解析】：设A （x1，y1），B （x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1）， 又F （1，0），∴FB →=(x 2−1，y 2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2， ∴{x 1=5−4x 2y 1=−4y 2，由{y 22=4x 2(−4y 2)2=4(5−4x 2)，得x 2=14，x 1=4， ∴|AB|=x 1+x 2+2=254．故选：C ． 22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a ，b ）和（2﹣a ，2﹣b ） 列方程组{a 2+2b 2=4(2−a)2+2(2−b)2=4解得a=1+√63，b=1﹣√66或a=1﹣√63，b=1+√66两端点的坐标为（1﹣√63，1+√66）和（1+√63，1﹣√66）弦长为√[(1−√63)−(1+√63)]2+[(1+√66)−(1−√66)]2=√303．故选：C ．23.【答案】:3x -3y -10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x -3y -10=0.24.【答案】.22143x y +=【解析】：设圆22(1)1x y ++=的圆心1(1,0)O -，半径11r =；圆22(1)25x y -+=的圆心2(1,0)O ，半径25r =． 设动圆C 的圆心(,)C x y ，半径R ．Q 动圆C 与圆22(1)1x y ++=及圆22(1)25x y -+=都内切，1||1O C R ∴=-，2||5O C R =-． 1212||||514||2O C O C O O ∴+=-=>=，因此动点C 的轨迹是椭圆，设其标准方程为：22221x y a b+=．则24a =，22c =，解得2a =，1c =，2223b a c ∴=-=．因此动圆圆心C 的轨迹方程是22143x y +=．故答案为：22143x y +=．25.【答案】221169y x -=【解析】：由题意得，曲线2212449x y +=是焦点在y 轴上的椭圆，且2249245c a b =-=-=， 所以双曲线焦点的坐标是(0、5)、(0,5)-，因为双曲线与曲线2213664x y -=共渐近线，所以设双曲线方程为22(0)3664x y λλ-=<， 即2216436y x λλ-=--，则643625λλ--=，解得14λ=-， 所以双曲线方程为221169y x -=. 26.【答案】x ﹣2y+4=0【解析】：设以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x 216+y 24=1交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点P （﹣2，1）是线段AB 的中点， ∴{x 1+x 2=−4y 1+y 2=2， 把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆x 2+4y 2=16，得{x 12+4y 12=16①x 22+4y 22=16②，①﹣②得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， ∴﹣4（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0， k=y 1−y 2x 1−x 2=12，∴以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y −1=12(x +2)， 整理，得x ﹣2y+4=0． 故答案为：x ﹣2y+4=0．27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C ：x 225+y 29=1右焦点F 为（4，0），设AB 的直线方程为x=ky+4，由{x 225+y 29=1x =ky +4，消x 可得（9k 2+25）y 2+72ky ﹣81=0， ∴|y 1y 2|=819k 2+25，当k=0时，|y 1y 2|有最大值，最大值为8125， （Ⅱ）∵|AF||FB|=14， ∴|FB|=4|AF|， ∴FB →=4AF →， ∴y 2=﹣4y 1， 由（Ⅰ）可得y 1y 2=﹣819k 2+25=﹣4y 12，y 1+y 2=﹣72k9k 2+25=﹣3y 1，∴(24k)2(9k 2+25)2=814(9k 2+25)，解得k=±3√77， ∴直线方程为x=±3√77y+4，∴√7x ±3y ﹣4√7=0． 28. 【解析】（1） 由已知可得{c =4,ba =√3,c 2=a 2+b 2,⇒{a =2,b =2√3. 故双曲线方程为 x 24−y 212=1．（2） 设 P (x 0,y 0)，则 A 1P:y =y 0x 0+2(x +2)，A 2P:y =y 0x 0−2(x −2)，所以 M (1,3y 0x 0+2)，N (1,−y 0x 0−2)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3y 0x 0+2)⋅(−3,−y 0x0−2)=9−3y 02x 02−4=9−3y 02y 023=0.即 FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值 0． 29.【解析】 （1） 依题意，l 的方程为 xa +y−b =1，即 bx −ay −ab =0， 由原点 O 到直线 l 的距离为 √32，得 ab √a 2+b2=ab c=√32， 又 e =ca =2√33，所以 b =1，a =√3．故所求双曲线方程为x 23−y 2=1．（2） 显然直线 m 不与 x 轴垂直，设 m 方程为 y =kx −1，则点 M 、 N 坐标 (x 1,y 1) 、 (x 2,y 2) 是方程组 {y =kx −1x 23−y 2=1 的解，消去 y ，得(1−3k 2)x 2+6kx −6=0 ⋯⋯① 依题意，1−3k 2≠0，由根与系数关系知x 1+x 2=6k 3k 2−1,x 1x 2=63k 2−1.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1−1)(kx 2−1)=(1+k 2)x 1x 2−k (x 1+x 2)+1=6(1+k 2)3k 2−1−6k 23k 2−1+1=63k 2−1+1.因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，所以 63k 2−1+1=−23，k =±12． 当 k =±12 时，方程 ① 有两个不等的实数根． 故直线 m 的方程为 x −2y −2=0 或 x +2y +2=0． 30. 【解析】（1） 由椭圆方程：x 24+y 23=1，F 1(−1,0)，如图，直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 x =my −1，点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立方程，{3x 2+4y 2−12=0,x =my −1, 得 (3m 2+4)y 2−6my −9=0，所以 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 若四边形 ABCD 为菱形，则 OA ⊥OB ，即 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以 x 1x 2+y 1y 2=0， 又 x 1x 2=(my 1−1)(my 2−1)=m 2y 1y 2−m (y 1+y 2)+1， 所以 (m 2+1)y 1y 2−m (y 1+y 2)+1=0，得到 −12m 2−53m 2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形 ABCD 不能是菱形．（2） 由题 S ABCD =4S △AOB ，而 S △AOB =12∣OF 1∣∣y 1−y 2∣， 又 ∣OF 1∣=1，即 S ABCD =2∣OF 1∣∣y 1−y 2∣=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 由（1）知 y 1+y 2=6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 所以S ABCD =2√36m 2+36(3m 2+4)(3m 2+4)2=24√m 2+1(3m 2+4)2=24√19(m 2+1)+1m 2+1+6,因为函数 f (t )=9t +1t ，t ∈[1,+∞)，在 t =1 时，f (t )min =10， 所以 S ABCD 的最大值为 6，此时 m 2+1=1，即 m =0 时， 此时直线 AB ⊥x 轴，即四边形 ABCD 是矩形．。
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题01 分段函数与函数的图象(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题01 分段函数与函数的图象【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合，重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算，偶尔有创新题型，是基础题.2020年的高考将会继续以选择填空题形式，与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系，仍为基础题，分值5分。
【主题考前回扣】1.集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.2.子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题，常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻 找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析，未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题，若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【分析】先求出B A ⋃，再对m 分类讨论，求出C ，利用A B C ⋃⊆，即可求出m 的取值 范围.考向二 集合的并、交、补运算【解决法宝】对集合运算问题，先正确理解集合的含义，弄清集合元素的属性及元素所代 表的意义，再集合进行化简，最好求出具体集合，若是离散的集合，直接依据并、交、补的定义求解，若是连续实数集，常利用数轴进行计算，若是抽样集合，常用文氏图法.例2 已知全集U R =，集合2{|24},{|60}A x x B x x x =<<=--≤，则()R A C B ⋂等于（ ） A. ()1,2 B. ()3,4 C. ()1,3 D. ()()1,23,4⋃【分析】先求出B 集合，再根据补集的定义和数轴法求出B 的补集，再利用数轴法求出()R A C B ⋂.【解析】由题意知 {}|23B x x =-≤≤，则{}|23U C B x x x =-或， ∴ (){}|34U A C B x x ⋂=<<，故选B. 考向三 与集合有关的参数问题【解决法宝】对含参数的集合运算及关系问题，先对已知集合化简，若是连续实数集合常 用将集合在数轴上表示出来，根据集合运算的概念，列出关于参数的不等式，即可解出参数的范围，注意空集的情况；若离散集合，则根据集合运算或集合间关系的概念，列出关于参数的方程，即可解出参数的值，注意要检验集合元素的互异性．例3已知集合()()4{,|21},{,|1}23y A x y ax y B x y x -=+===+，若A B φ⋂=，则实数a 的值是 （ ）A. 4-B. 4C.143 D. 4-或143【分析】由题知，B 集合表示270x y -+=上的点除去点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭之外的点组成的集合，分成直线直线21ax y +=与直线270x y -+=平行和直线21ax y +=过点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况分别求出a 即可.考向四 与新概念有关的集合问题【解决法宝】对与新概念有关的集合问题，认真阅读试题，理解新定义，利用新定义将集 合问题转化为普通集合间的关系问题或集合运算问题，或直接利用新概念对问题求解.例4用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*{,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥=-<，若}2,1{=A ，B =ax x ax x x ++22)((|{ +}0)2=且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据新定义B 要么是单元素集，要么是三元素集,分两种情况分别分析求出方程20x ax +=和220x ax ++=解得情况，即可求出a 值，从而求出S ，进而求出)(S C .【主题集训】1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则)(B C A U ⋂=（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}4 D. {}1,2 【答案】A【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，∴}5,3,1{=B C U ， ∴)(B C A U ⋂={1}，故选A 。
2020高等数学辅导讲义练习题参考答案
《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。
（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。
2020年高考数学备考艺体生百日突围系列专题07三角函数(基础篇)解析版版含解析
<2021艺体生文化课 -百日突围系列>专题7 三角函数同角三角函数的根本关系﹑诱导公式【背一背根底知识】1. 掌握同角三角函数的根本关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=. 2. 诱导公式诱导公式一：sin(2)sin k απα+= ,cos(2)cos k απα+= ,tan(2)tan k απα+= ,其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)cos αα+=- ,tan(180)tan αα+= 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= ,tan()tan αα-=-诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=- ,tan(180)tan αα-=- 诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-= ,tan(360)tan αα-=- 诱导公式六：sin(90)cos αα-=； cos(90)sin αα-= ,tan(90)cot αα-= 诱导公式七：sin(90)cos αα+=； cos(90)sin αα+=- ,tan(90)tan αα+=-记忆方法：可用十个字概括为 "奇变偶不变 ,符号看象限〞 ,要把角化成形式为90k α⋅±(k 为常整数 )；奇变偶不变是指：当k 为偶数时 ,三角函数名称不变 ,即前面假设是正弦 ,后面也是正弦 ,名称不变 ,当k 为偶数时 ,三角函数名称变 ,即前面假设是正弦 ,后面也是余弦 ,名称变；符号看象限是指：把α看成锐角时 ,为第几象限角 ,由原三角函数在各象限符号决定正负号 ,具体一二象限正弦为正 ,一四象限余弦为正 ,一三象限正切为正 ,其它为负． 【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1 )同角三角函数的根本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有：大角化小 ,切割化弦等 ,应用 "弦化切〞的技巧 ,即分子、分母同除以一个不为零的cos α ,得到一个只含tan α的教简单的三角函数式 .需注意的是:①这是一组同角关系式,②利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,③计算中应尽可能少用平方关系式.(2 ) 正、余弦三兄妹 "sin cos x x ±、sin cos x x ⋅〞的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起 ,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=± ,2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=即sin cos αα-=(根据α判断正负 )；因此在解题中假设发现题设条件有三者之一 ,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.应用同角关系式的两点技巧:(1)"1"的代换: 22sin cos 1αα+=,(2)整体代换:为了计算或化简需要可将计算式作适当变形,使得所给条件可整体代入. (3 )如何利用 "切弦互化〞技巧(1 )弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式 ,这样减少了变量 ,统一为 "切〞得表达式 ,进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式 (如22sin sin cos cos a b c αααα++ )的问题常采用 "1〞代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式 (如sin cos sin cos a b c d αααα++ )的问题常采用分式的根本性质进行变形．(2 )切化弦：利用公式tan α=sin cos αα,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候 ,采用此技巧. 温馨提示：(1 )求同角三角函数有知一求三规律 ,可以利用公式求解 ,最||好的方法是利用画直角三角形速解 .(2 )利用平方关系求三角函数值时 ,注意开方时要结合角的范围正确取舍 "±〞号 .sin cos αα、的求值技巧：当sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭ ,cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时 ,利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos αα+或sin cos αα- ,这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα ,根据同角三角函数的平方关系 ,即可求出另外一个 ,这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立 ,通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值． (4 )应用诱导公式的重点是对"函数名称"与"正负号"的正确判断, 关键抓住题中的整数k 是表示2π的整数倍 ,所以做题时须把k 分成奇数和偶数两种类型 ,分别加以讨论 .给角求值问题 ,利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值． 常用结论：sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭i. 利用诱导公式求值 给角求值的原那么和步骤(1)原那么：负化正、大化小、化到锐角为终了. (2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π之间角的三角函数 ,然后求值 ,其步骤为：给值求值的原那么:寻求所求角与角之间的联系 ,通过相加或相减建立联系 ,假设出现2π的倍数 ,那么通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题 ,不妨考虑两个角的和 ,要善于利用角的变换的思想方法解决问题. ii. 利用诱导公式化简、证明利用诱导公式化简三角函数的原那么和要求(1)原那么：遵循诱导公式先行的原那么 ,即先用诱导公式化简变形 ,到达角的统一 ,再进行三角函数名称转化 ,以保证三角函数名称最||少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少 ,次数尽可能低 ,结构尽可能简单 ,能求值的要求出值. iii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同 ,把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形 ,再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知 ,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算 ,如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 2.典型例题： 例153)sin(=+απ ,且α为第四象限的角 ,那么)2cos(πα- = ．【答案】54 分析：等式利用诱导公式化简求出sin α的值 ,根据α为第四象限角 ,利用同角三角函数间的根本关系求出cos α的值 ,所求式子利用诱导公式化简后将cos α的值代入计算尽快求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值 ,熟练掌握诱导公式是解此题的关键． 【解析】例2假设5sin 13α=- ,且α为第四象限角 ,那么tan α的值等于 ( ) A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】由5sin 13α=-,且α为第四象限角 ,那么212cos 1sin 13αα=-= ,那么sin tan cos ααα= 512=-,应选D ． 【考点定位】同角三角函数根本关系式．【名师点睛】此题考查同角三角函数根本关系式 ,在sin α、cos α、tan α三个值之间 ,知其中的一个可以求剩余两个 ,但是要注意判断角α的象限 ,从而决定正负符号的取舍 ,属于根底题． 【练一练趁热打铁】 1. 21sin()34πα-= ,那么sin()3πα+= . 【答案】14-【解析】221sin()sin[()]sin()3334πππααπα+=-+=--=-.2. sin α＋2cos α＝0 ,那么2sin αcos α－cos 2α的值是______________. 【答案】－1 【解析】【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等根底知识 ,考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1 ,解出sin α与cos α的值 ,然后代入计算 ,但这种方法往往比较麻烦 ,而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想 ,先求出tan α的值 ,对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧 ,通常称为 "齐次式方法〞 ,转化为tan α的一元表达式 ,可以防止诸多繁琐的运算.属于中档题.三角函数的图象与变换【背一背根底知识】 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法 .利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时 ,十分方便 . 以坐标原点为圆心 ,以单位长度1为半径画一个圆 ,这个圆就叫做单位圆 (注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米 ) .当角α为第|一象限角时 ,那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ,过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ,根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α== .α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点 ,规定：当线段OM 与x 轴同向时 ,OM的方向为正向 ,且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时 ,OM 的方向为负向 ,且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有：cos OM x α== 同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点 ,规定：当线段MP 与y 轴同向时 ,MP 的方向为正向 ,且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时 ,MP 的方向为负向 ,且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α== .像MP OM 、这种被看作带有方向的线段 ,叫做有向线段.如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有：tan yAT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线 ,统称为三角函数线 .sin y x = ,余弦函数cos y x = ,正切函数tan y x =的图象与性质性质sin y x =cos y x =tan y x =图象O xya 角的终P TM A2．函数()sin()f x A x ωϕ=+的问题： (1) "五点法〞画图：分别令30,,,,222x ππωϕππ+= ,求出五个特殊点； (２) 由sin y x =的图象变换出()sin()f x A x ωϕ=+的图象一般有两个途径 ,只有区别开这两个途径 ,才能灵活进行图象变换 . i.函数图像的变换 (平移变换和上下变换 ) 平移变换：左加右减 ,上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位 ,得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω,得到函数()()01y f x ωω=<<的图像;把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω,得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ,得到函数()()1y Af x A =>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ,得到函数()()01y Af x A =<<的图像.ii.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径 ,只有区别开这两个途径 ,才能灵活进行图象变换 .利用图象的变换作图象时 ,提倡先平移后伸缩 ,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形 ,请切记每一个变换总是对字母x 而言 ,即图象变换要看 "变量〞起多大变化 ,而不是 "角变化〞多少 .途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位 ,再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变 ,横坐标变为原来的1ω倍(0ω>) ,便得()sin y x ωϕ=+的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的纵坐标不变 ,横坐标变为原来的1ω倍(0ω>) ,再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位 ,便得()sin y x ωϕ=+的图象 .注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象 ,可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到 . 【讲一讲根本技能】1.必备技能：利用图象的变换作图象时 ,提倡先平移后伸缩 ,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形 ,请切记每一个变换总是对字母x 言 ,即图象变换要看 "变量〞起多大变化 ,而不是 "角变化〞多少 .研究类似于()sin()f x A x ωϕ=+的性质时 ,一般是通过整体代换的方法 ,将其化归成sin y x =的形式．这样就可通过sin y x =的性质来研究()sin()f x A x ωϕ=+的性质．对于()cos()f x A x ωϕ=+和()tan()f x A x ωϕ=+用同样的方法来处理 ,在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象 ,得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致 ,假设不一致 ,应先利用诱导公式化为同名函数；三是由()sin f x A x ω=的图象得到()sin()f x A x ωϕ=+)的图象时 ,需平移的单位数应为ϕω而不是ϕ. 2.典型例题：例1要得到函数4y sinx =-（3π）的图象 ,只需要将函数4y sin x =的图象 ( ) (A )向左平移12π个单位 (B )向右平移12π个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】此题考查三角函数图象的变换 ,解答此题的关键 ,是明确平移的方向和单位数 ,这取决于x 加或减的数据.此题属于根底题 ,是教科书例题的简单改造 ,易错点在于平移的方向记混.例2a 是实数 ,那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )分析：函数()1sin f x a ax =+的图象是一个正弦曲线型的图 ,其振幅为a ,周期为2T aπ=,周期与振幅成反比 ,从这个方向观察四个图象．由于函数的解析式中只含有一个参数 ,这个参数影响振幅和周期 ,故振幅与周期相互制约 ,这是此题的关键． 【答案】D【解析】对于振幅大于1时 ,三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴< ,而D 不符合要求 ,它的振幅大于1 ,但周期反而大于了2π．答案：D【练一练趁热打铁】1. 将函数x y 2sin = (R ∈x )的图像分别向左平移m (0>m )个单位 ,向右平移n (0>n )个单位 ,所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合 ,那么n m +的最||小值为 ( ) A ．32π B ．65π C ．π D ．34π 【答案】C【解析】2.如图 ,某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ,据此函数可知 ,这段时间水深(单位：m )的最||大值为____________.【答案】8 【解析】【考点定位】三角函数的图像和性质.【名师点睛】1.此题考查三角函数的图像和性质 ,在三角函数的求最||值中 ,我们经常使用的是整理法 ,从图像中知此题sin()16x π+Φ=-时 ,y 取得最||小值 ,继而求得k 的值 ,当sin()16x π+Φ=时 ,y 取得最||大值.2.此题属于中档题 ,注意运算的准确性.求三角函数的解析式【背一背根底知识】1. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时 ,常采用待定系数法 ,由图中的最||高点、最||低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据 "五点法〞中的五个点求解 ,其中一般把第|一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口 ,可以从图象的升降找准第|一个零点的位置． 由()sin()f x A x b ωϕ=++的图象求其函数式 ,确定()sin()f x A x b ωϕ=++的解析式的步骤：(1)求,A b 确定函数的最||大值M 和最||小值m ,那么_,22M m M mA b +==. (2)求ω ,确定函数的周期T ,那么2Tπω=. (3)求ϕ ,常用方法有：①代入法：把图象上的一个点代入(此时,,A b ω)或代入图象与直线y b =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时 ,往往以寻找 "五点法〞中的第|一零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口．具体如下： "第|一点〞(即图象上升时与x 轴的交点)为0x ωϕ+=； "第二点〞(即图象的 "峰点〞)为2x πωϕ+=； "第三点〞(即图象下降时与x 轴的交点)为x ωϕπ+=； "第四点〞(即图象的 "谷点〞)为32x πωϕ+=； "第五点〞为2x ωϕπ+=. 2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位 , ,得到函数()sin y x ϕ=+ ,将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>) ,便得()sin y x ωϕ=+ ,将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >) ,便得()sin y A x ωϕ=+.有关变换法需注意两点:①周期变换、相位变换、振幅变换可按任意次序进行;②在不同的变换次序下平移变换的量可能不同. 【讲一讲根本技能】1.必备技能：求三角函数的解析式须注意ϕ的值 ,ϕ是由函数图象的位置确定 ,但ϕ的值是不确定的 ,它有无数个 ,事实上 ,如果0ϕ是满足条件的一个ϕ值 ,那么()02,k k Z πϕ+∈都是满足条件的ϕ值 ,故这类题目一般都会限制ϕ的取值范围 ,假设没限制ϕ的取值范围 ,也能根据所给的图象去判断．适时关注题设条件中ϕ的取值范围或数形结合 ,避开此类问题的陷阱． ：例1把函数sin ()y x x R =∈图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变) ,再把图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度 ,得到的图像所表示的函数是 ( ) A ．sin 2)()3y x x R π=-∈（ B ． sin+)()26x y x R π=∈（ C ． sin2+)()3y x x R π=∈（ D ． 2sin 2+)()3y x x R π=∈（ 分析：先根据横坐标缩短到原来的12倍时 ,ω变为原来的2倍进行变换 ,再根据左加右减的原那么进行平移 ,即可得到答案．平移变换时注意都是对单个的x 或y 来运作的．【答案】C【解析】把函数sin ()y x x R =∈图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变) ,得x y 2sin =；再把图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度 ,得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ,应选C.例2函数 ()cos ()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ>><) 的局部图象如上图所示 ,那么)(x f 的函数解析式为 ．分析：根据函数图象求出,A T ,求出ω ,利用点,02π⎛⎫⎪⎝⎭在曲线上 ,求出ϕ ,得到解析式 ,由()cos ()f x A x ωϕ=+的局部图象确定其解析式 ,正确视图 ,选择适当的点的坐标 ,能够简化计算过程 ,解题的关键是初相的求法要注意．【答案】3cos()24x y π=+【解析】【练一练趁热打铁】1. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的局部 图象如下列图 ,那么函数()y f x =对应的解析式为 ( ) A.sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】Oxy 1 π611π122. 函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的最||小正周期为2 ,且1()16f = ,那么函数()y f x =的图象向左平移13个单位所得图象的解析式为 ( )(A )2sin()3y x ππ=+ (B )1sin()23y x ππ=- (C)12sin()3y x π=+(D)11sin()23y x π=+【答案】A【解析】由最||小正周期为2 ,得22πω= ,那么ωπ= ,又1()16f = ,所以sin 16A π= ,2A = ,所以()2sin f x x π= ,向左平移13个单位得到2sin()3y x ππ=+.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性【背一背根底知识】经过恒等变形化成"sin()y A x ωφ=+ ,cos()y A x ωφ=+ ,tan()y A x ωφ=+〞的形式 ,利用x y sin = ,x y cos = ,x y tan =的单调性、奇偶性、对称性和周期性来解1. 三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈ ,递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈ ,递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈ ,x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈2. 对称轴与对称中|心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ ,对称中|心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π= ,对称中|心为(,0)2k ππ+；tan y x =无对称轴 ,对称中|心为(,0) 2k k Z π∈. 3. 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成 "sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+〞的形式 ,在利用周期公式ωπ2=T ,另外还有图像法和定义法.4. 判断三角函数的奇偶性的常用方法：一般根据函数的奇偶性的定义解答 ,首||先必须考虑函数的定义域 ,如果函数的定义域不关于原点对称 ,那么函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称 ,那么继续求()f x -；最||后比较()f x -和()f x 的关系 ,如果有()()f x f x -= ,那么函数是偶函数 ,如果有()()f x f x -=- ,那么函数是奇函数 ,否那么是非奇非偶函数 .5．在做这一类题时经常用到三角恒等变化,要用到下面公式: 两角和与差的三角函数:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.二倍角公式:αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-.降幂公式:ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. 辅助角公式:()sin cos sin a x b x x ϕ+=+ ,sin cos ϕϕ==其中【讲一讲根本技能】1.必备技能：三角函数性质的求解方法(1)三角函数的性质问题 ,往往都要先化成sin()y A x ωφ=+的形式再求解．(2)要正确理解三角函数的性质 ,关键是记住三角函数的图象 ,根据图象并结合整体代入的根本思想即可求三角函数的单调性 ,最||值与周期．[易错提示] (1)在求三角函数的最||值时 ,要注意自变量x 的范围对最||值的影响 ,往往结合图象求解．(2)求函数sin()y A x ωφ=+的单调区间时 ,要特别注意,A ω的正负,只有当0ω>时 ,才可整体代入并求其解 ,当0ω<时 ,需把ω的符号化为正值后求解． 2.典型例题：例1函数()2sin 23sin2x f x x =-． (I )求()f x 的最||小正周期； (II )求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最||小值． 【答案】 (I )2π； (II )3-. 【解析】考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最||值.【名师点晴】此题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最||小正周期和三角函数的最||值 ,属于中档题．解题时要注意重要条件 "20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦〞 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最||小正周期和三角函数的图象 ,即211sin cos 222αα=-+ ,()22sin cos a x b x a b x ϕ+=++ ,函数()()sin f x x ωϕ=A + (0A > ,0ω> )的最||小正周期是2πωT =．例2函数()f x =cos()x ωϕ+的局部图像如下列图 ,那么()f x 的单调递减区间为( ) (A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】此题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质 ,先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程 ,求出ωϕ， ,或利用利用图像先求出周期 ,用周期公式求出ω ,利用特殊点求出ϕ ,再利用复合函数单调性求其单调递减区间 ,是中档题 ,正确求ωϕ，使解题的关键.【练一练趁热打铁】1. 函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++ (0,||)2πωϕ><的最||小正周期为π ,且满足()()f x f x -= ,那么 ( )(A ))(x f 在)2,0(π上单调递减 (B ))(x f 在)43,4(ππ上单调递减 (C ))(x f 在)2,0(π上单调递增 (D ))(x f 在)43,4(ππ上单调递增 【答案】A【解析】()sin()cos()2sin()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++ ,∵函数()f x 的最||小正周期为π , ∴2T ππω== ,∴2ω= ,∴()2sin(2)4f x x πϕ=++ ,又∵()()f x f x -= ,∴4πϕ=,∴()2cos2f x x = ,∵02x π<<,∴02x π<< ,∴()f x 在)2,0(π上单调递减.2. 函数()2103sincos 10cos 222x x xf x =+． (Ⅰ )求函数()f x 的最||小正周期； (Ⅱ )将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度 ,再向下平移a (0a > )个单位长度后得到函数()g x 的图象 ,且函数()g x 的最||大值为2 ,求函数()g x 的解析式； 【答案】 (Ⅰ )2π； (Ⅱ ) ()10sin 8g x x =-． 【解析】正弦定理、余弦定理【背一背根底知识】 1.正、余弦定理在△ABC 中 ,假设角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径 ,那么2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径) ,并可由此计算R ,r .【讲一讲根本技能】1.必备技能： (1 )利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化 ,解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数 ,注意应用A +B +C =π． (2 )正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高|考的热点 ,主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题 ,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题．2.典型例题：例1如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 ,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上 ,行驶600m 后到达B 处 ,测得此山顶在西偏北75的方向上 ,仰角为30 ,那么此山的高度CD _________m.AB【答案】1006. 【解析】【考点定位】此题考查解三角形的实际应用举例 ,属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景 ,将抽象的数学知识回归生活实际 ,凸显了数学的实用性和重要性 ,表达了 "数学源自生活 ,生活中处处有数学〞的数学学科特点 ,能较好的考查学生识记和理解数学根本概念的能力和根底知识在实际问题中的运用能力. 例2设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C3sin 2sin A B ,那么c =________. 【答案】4 【解析】由3sin 2sin AB 及正弦定理知：32a b =,又因为2a =,所以2b = ,由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-= ,所以4c =;故填：4.【考点定位】正弦定理与余弦定理.【名师点睛】此题考查正弦定理与余弦定理的应用 ,先由正弦定理将3sin 2sin AB 转化为3a =2b 结合即可求得b 的值 ,再用余弦定理即可求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性及最||后结果还需开方. 【练一练趁热打铁】1.在ABC ∆中 ,6=AB , 75=∠A ,45=∠B ,那么=AC .【答案】2【解析】由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC【考点定位】此题主要考查正弦定理的应用.【名师点睛】熟练掌握正弦定理的适用条件是解决此题的关键 ,此题考查了考生的运算能力.C ∆AB 中 ,3a =,b =23π∠A =,那么∠B= ． 【答案】4π 【解析】由正弦定理 ,得sin sin a b A B = ,=所以sin 2B = ,所以4B π∠=.【考点定位】正弦定理.【名师点晴】此题主要考查的是正弦定理 ,属于容易题．解题时一定要注意检验有两解的情况 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是正弦定理 ,即sin sin a b=A B．（一） 选择题 (12*5 =60分 )1. cos540° = ( ).A ．0B ．1C ． -1D ． 1/2 【答案】C【解析】cos540cos(360180)cos1801=+==-. 2. 为了得到函数)32sin(π+=x y 的图像 ,只需将函数x y 2sin =的图像 ( )(A )向右平移3π个单位 (B )向右平移6π个单位 (C )向左平移3π个单位 (D )向左平移6π个单位分析：函数sin(2)sin 2()36y x x ππ=+=+ ,再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律 ,得出结论 ,函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换的平移规律为： "左加右减〞、 "上加下减〞． 【答案】D 【解析】2()sin 22sin sin 2f x x x x =-⋅ ,那么()f x 是 ( )A ．最||小正周期为π的偶函数B ．最||小正周期为π的奇函数C ．最||小正周期为2π的偶函数D ．最||小正周期为2π的奇函数 【答案】D分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为1sin 42x ,从而得到函数的周期性和奇偶性,解这一类题的关键是,通过角函数的恒等变换,把它化为一个角的一个三角函数. 【解析】4. 假设sin cos tan (0)2παααα+=<<,那么α∈( )A ．(0,)6πB ．(,)43ππC ．(,)64ππD ．(,)32ππ【答案】Ｂ【解析】sin cos 24πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ,因为02πα<< ,所以1224πα⎛⎫<+< ⎪⎝⎭故1tan 23α<<<所以43ππα<<．5. 角α的终边上一点)2,(-x P ,且αcos =31-,那么x =A ．21B ．22-C ．22D ．22±【答案】B.【解析】由余弦函数的定义知 ,31)2(cos 22-=-+=x xα ,解之得 ,212=x ,又0<x ,所以22-=x ,故应选 B. 6. 假设11tan,tan()32,那么tan = ( ) (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯ ,应选A. 【考点定位】正切差角公式及角的变换.【名师点睛】此题考查角的变换及正切的差角公式 ,采用先将未知角β用角α和αβ+表示出来 ,再用正切的差角公式求解.此题属于根底题 ,注意运算的准确性. 7. 设函数f (x ) =sin (2x +) ,那么以下结论正确的选项是 ( )A ． f (x )的图象关于直线x =对称B ． f (x )的图象关于点 ( ,0 )对称C ． f (x )的最||小正周期为πD ． f (x )在[0 ,]上为增函数【答案】C 【解析】8. 函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的局部图象如下列图 ,那么()f x = ( )Aπ)6x -π)3x -π)3x +π)6x +【答案】B【解析】由图知()f x 在5π12x =时取到最||且最||小正周期T 满足 35ππ+.4123T =故A =32π3π,2,4ωω⨯==5π)12θ⨯+=5πsin()1,6θ+= 5πππ2π,2π,623k k k θθ+=+=-∈Z .所以π()(2).3x f x -= 或由5(π)12f =π()(2).3x f x -=9. "sin cos αα=〞是 "cos 20α=〞的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】A【解析】22cos20cossin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+= ,所以sin cos αα=或sin cos αα=- ,故答案选A . 【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.此题考查三角恒等变换和命题的充分必要性 ,采用二倍角公式展开cos 20α= ,求出sin cos αα=或sin cos αα=-.2.此题属于根底题 ,高|考常考题型.10. 函数()sin()f x x ωφ=+ (其中||2πφ<)的图象如下列图 ,为了得到sin y x ω=的图象 ,只需把)(x f y =的图象上所有点 ( )个单位长度.6π12π6π12π。
2020年高考数学备考艺体生百日突围系列专题05导数(基础篇)解析版Word版含解析
<2021艺体生文化课 -百日突围系列>专题五导数变化率与导数、导数的计算【背一背根底知识】1．函数f(x)在点x0处的导数(1)定义函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率limΔx→000()()f x x f xx+-＝l ,通常称为f(x)在点x0处的导数 ,并记作f′(x0) ,即limΔx→000()()f x x f xx+-＝f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0 ,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．2．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a ,b)内每一点x导数都存在 ,那么称f(x)在区间(a ,b)可导．这样 ,对开区间(a ,b)内每个值x ,都对应一个确定的导数f′(x)．于是 ,在区间(a ,b)内,f′(x)构成一个新的函数 ,我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数 ,记为f′(x)(或y′x、y′)．3．根本初等函数的导数公式4(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3) 2()'()()'()()'()()f x f xg x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦ (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u) ,u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u′x ,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【讲一讲根本技能】必备技能：1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆ ,简记作：一差、二比、三极限.2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数 ,而导数值是导函数在某一点的函数值 ,导数值是常数3.运用可导函数求导法那么和导数公式 ,求函数()y f x =在开区间 (a,b )内的导数的根本步骤：①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法那么和导数公式求导； ③整理得结果.4.对较复杂的函数求导数时 ,先化简再求导 ,特别是对数函数真数是根式或分式时 ,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.5.复合函数的求导方法求复合函数的导数 ,一般是运用复合函数的求导法那么 ,将问题转化为求根本函数的导数解决.①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些根本函数复合而成的 ,适中选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 ,而其中特别要注意的是中间变量； ③根据根本函数的导数公式及导数的运算法那么 ,求出各函数的导数 ,并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后 ,中间步骤可以省略 ,不必再写出函数的复合过程. 典型例题例1函数()f x 在1x =处的导数为1 ,那么 0(1)(1)3limx f x f x x→--+ =A ．3B ．23-C ．13D ．32-【答案】B例2．求以下函数的导数.()()()()()()()222x x x 251y 2x 1(3x 1)x x 12y x x 13y 3e 2elnx 4y x 15y 32x =-+-+=++=-+=+=-【答案】 (1 )21843x x +-； (2 )22222(1)x x x +-+； (3 )()3322x xe ln e ln -； (4 )2222ln )1x((11)x x x -++；(5 )()41032.x --【练一练趁热打铁】1. 假设)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,那么=')3(f ( )A.2-B.2C.12-D.12 【答案】 A2. 求以下函数的导数： (1)y ＝e x·ln x； (2) 2311y=x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭导数的几何意义【背一背根底知识】函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0 ,f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地 ,切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【讲一讲根本技能】必备技能：1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ,由导数的几何意义知0'()k f x = ,故当0'()f x 存在时 ,切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.2.要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.3.可以利用导数求曲线的切线方程 ,由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率 ,因此 ,曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程 ,可按如下方式求得：第|一 ,求出函数()y f x =在0x x =处的导数 ,即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率；第二 ,在切点坐标和切线斜率的条件下 ,求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时 ,由切线的定义可知 ,切线的方程为0x x =. 典型例题 例1函数在点处的切线方程是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C例2函数x x x f +=ln )( ,那么函数)(x f 点P (1 ,)1(f )的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .【答案】41【练一练趁热打铁】1. 函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7 ,那么a = .xe xf x ln )(=))1(,1(f )1(2-=x e y 1-=ex y )1(-=x e y ex y -=【答案】1 【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+ ,∴(1)31f a '=+ ,即切线斜率31k a =+ , 又∵(1)2f a =+ ,∴切点为 (1 ,2a + ) ,∵切线过 (2,7 ) ,∴273112a a +-=+- ,解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题 ,常设出切点 ,利用导数求出切线方程 ,将点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程 ,解出切点的横坐标 ,即可求出切线方程 ,思路明确 ,关键是运算要细心.2. 函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【解析】()()(1)x xy f x xe f x x e '==⇒=+ ,令()01f x x '=⇒=- ,此时1(1)f e-=- 函数xy xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.此题考查导数的几何意义 ,利用导数研究曲线上某点处切线方程等根底知识 ,考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率. 3. 曲线31y x =+．(1 )求曲线在1x =-处的切线方程； (2 )求曲线过点(1,0)-的切线方程．【答案】 (1 )330x y -+=； (2 )330x y -+=或3430x y -+= 【解析】导数与函数的单调性、极值【背一背根底知识】1．函数的单调性在某个区间(a ,b)内 ,如果f′(x)>0 ,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0 ,那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地 ,当函数f(x)在点x0处连续时 ,①如果在x 0附近的左侧f′(x)>0 ,右侧f′(x)<0 ,那么f(x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f′(x)<0 ,右侧f′(x)>0 ,那么f(x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负 ,那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正 ,那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最||值(1)在闭区间[a ,b]上连续的函数f(x)在[a ,b]上必有最||大值与最||小值．(2)假设函数f(x)在[a ,b]上单调递增 ,那么f(a)为函数的最||小值 ,f(b)为函数的最||大值；假设函数f(x)在[a ,b]上单调递减 ,那么f(a)为函数的最||大值 ,f(b)为函数的最||小值．(3)设函数f(x)在[a ,b]上连续 ,在(a ,b)内可导 ,求f(x)在[a ,b]上的最||大值和最||小值的步骤如下：①求f(x)在(a ,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a) ,f(b)进行比较 ,其中最||大的一个是最||大值 ,最||小的一个是最||小值．【讲一讲根本技能】必备技能：1.导数法证明函数()f x 在(,)a b 内的单调性的步骤 (1)求'()f x ；(2)确认'()f x 在(,)a b 内的符号；(3)作出结论：'()0f x ≥时为增函数；'()0f x ≤时为减函数． 2.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x ≥ ,解集在定义域内的局部为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤ ,解集在定义域内的局部为单调递减区间． 3.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；②求导数''()y f x = ,令f′(x)＝0 ,解此方程 ,求出在定义区间内的一切实根；③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 ,然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成假设干个小区间；④确定'()f x 在各个区间内的符号 ,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 4.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0 ,求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 0左右两侧值的符号 ,如果左正右负 ,那么f(x)在x 0处取极大值 ,如果左负右正 ,那么f(x)在x 0处取极小值． 5. 求函数f(x)在[a ,b]上的最||大值和最||小值的步骤 (1)求函数在(a ,b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a) ,f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a) ,f(b)比较 ,其中最||大的一个为最||大值 ,最||小的一个为最||小值． 典型例题例1函数f (x )＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2 ,其中a >0. 设g (x )为f (x )的导函数 ,讨论g (x )的单调性； 【答案】【解析】由 ,函数f (x )的定义域为(0 ,＋∞)g (x )＝f '(x )＝2(x －1－lnx －a ) 所以g '(x )＝2－22(1)x x x-= 当x ∈(0 ,1)时 ,g '(x )＜0 ,g (x )单调递减 当x ∈(1 ,＋∞)时 ,g '(x )＞0 ,g (x )单调递增 例2设函数()x x x x f 2141ln 2--=. (1 )求()x f 的单调区间和极值； (2 )假设()()⎪⎭⎫⎝⎛++=1412x x f x x g ,当1>x 时 ,()x g 在区间()1,+n n 内存在极值 ,求整数n 的值.例3函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a ,b∈R)．(1)假设函数f(x)在x＝1处有极值10 ,求b的值；(2)假设对于任意的a∈[－4 ,＋∞) ,f(x)在x∈[0,2]上单调递增,求b的最||小值．【答案】(1 )b＝－11；( 2 )16 3.【练一练趁热打铁】1.函数()2xf x e x =-的单调递增区间是_______________. 【答案】(ln 2,)+∞2. 函数()ln()x f x e x m =-+．x ＝0是f(x)的极值点 ,那么m = ,函数的增区间为 ,减区间为 . 【答案】1,(0,),(1,0).+∞-3. 函数()ln(1)2ex f x f x '=-⋅ ,32()()2x a g x f x x=-- (其中a R ∈ ). (1 )求()f x 的单调区间；(2 )假设函数()g x 在区间[2,)+∞上为增函数 ,求a 的取值范围； 【答案】 (1 )单调增区间为(0,2) ,单调减区间为(2,)+∞. (2 )3a ≥-.（一） 选择题 (12*5 =60分 )1. 假设21()(2)ln 2f x x b x =--+在(1 ,＋∞)上是减函数 ,那么b 的取值范围是( ) A ．[－1 ,＋∞) B ．(－1 ,＋∞) C ．(－∞ ,－1] D ．(－∞ ,－1)【答案】C2. 函数的图象如以下列图所示 ,那么导函数的图象的大致形状是 ( )【答案】D ．)('x f y =)(x f y =3.曲线32y x x =-在(1,1)-处的切线方程为( )A ．20x y --=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y ++= 【答案】A4.如图 ,是函数的导函数的图象 ,那么下面判断正确的选项是 ( )A ．在区间 (－2 ,1 )上是增函数B ．在区间 (1 ,3 )上是减函数C ．在区间 (4 ,5 )上是增函数D ．当时 ,取极大值． 【答案】C5. 对二次函数2()f x ax bx c =++ (a 为非零常数 ) ,四位同学分别给出以下结论 ,其中有且仅有一个结论是错误的 ,那么错误的结论是 ( )A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上)(x f 4=x )(x f )(x f )(x f )(x f ')(x f y =【答案】 A的定义域为 ,的导函数 ,且满足 ,那么不等式的解集是 ( )A ．B ．C ． (1 ,2 )D ． 【答案】D7. 设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+-- ,那么()f x 是( )A 、奇函数 ,且在 (0,1 )上是增函数B 、奇函数 ,且在 (0,1 )上是减函数C 、偶函数 ,且在 (0,1 )上是增函数D 、偶函数 ,且在 (0,1 )上是减函数 【答案】A 【解析】函数()ln(1)ln(1)f x x x =+-- ,函数的定义域为 ( -1 ,1 ) ,函数()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =+=+-- ,在 (0,1 )上()'0f x > ,所以()f x 在(0,1)上单调递增 ,应选A. 【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ,b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认),2(+∞),1(+∞)1,0()1()1()1(2-->+x f x x f )()(x f x x f '-<)()(x f x f 为'),0(+∞)(x f()'f x 在(a ,b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时 ,首||先要明确函数定义域.8. 定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ,且不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立 ,那么函数)(x g =1lg )(++x x xf 的零点的个数为 ( ) A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】∵不等式)()(x f x x f '->在),0(+∞上恒成立 ,∴'(())0xf x > ,∴函数()y xf x =在(0,)+∞上为增函数 ,又∵)(x f y =在R 上为奇函数 ,∴函数()y xf x =在(,0)(0,)-∞+∞上为偶函数 ,且过(3,0)和(3,0)-和(0,0) ,∴函数)(x g=1lg )(++x x xf 的零点的个数为3个.9. 函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4 ,那么m =( )A.3B.13C.2D.12【答案】B【解析】()()2361f x mx m x '=+- ,那么0与4是方程()0f x '=的两根 ,那么由韦达定理得()214m m-=-, 10. 假设定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ,其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ,那么以下结论中一定错误的选项是 ( )A ．11f k k⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C11. 定义域为的可导函数的导函数为 ,满足,且那么不等式的解集为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B12. 对二次函数2()f x ax bx c =++ (a 为非零常数 ) ,四位同学分别给出以下结论 ,其中有且仅有一个结论是错误的 ,那么错误的结论是 ( )A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】假设选项A 错误时 ,选项B 、C 、D 正确 ,()2f x ax b '=+ ,因为1是()f x 的极值点 ,3是()f x 的极值 ,所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩ ,解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩ ,因为点()2,8在曲线()y f x =上 ,所以428a b c ++= ,即()42238a a a +⨯-++= ,解得：5a = ,所以10b =- ,8c = ,所以()25108f x x x =-+ ,因为()+∞,2()2,∞-()+∞,0()0,∞-()1<xe xf (),10=f ()()x f x f '>()x f '()x f y =R()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠ ,所以1-不是()f x 的零点 ,所以选项A 错误 ,选项B 、C 、D 正确 ,应选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】此题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值 ,属于难题．解题时一定要抓住重要字眼 "有且仅有一个〞和 "错误〞 ,否那么很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心 ,除了作理论方面的推导论证外 ,利用特殊值进行检验 ,也可作必要的合情推理．（二） 填空题 (4*5 =20分 )13. 设函数()f x 在(0)∞，＋内可导 ,且()x x f e x e ＝＋，那么2'1f ⎛⎫⎪⎝⎭＝________. 【答案】314. 函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,假设()13f '= ,那么a 的值为 ．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 【考点定位】此题主要考查导数的运算法那么.【名师点睛】此题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说此题是一道根底题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.15.向量2=(e ,-x)2xx a + ,1()b t ＝， ,假设函数()·f x a b ＝在区间(－1,1)上存在增区间 ,那么t 的取值范围为________．【答案】()1e ∞－，＋16. 设函数. 曲线在点(1,(1))f 处的切线与直线a 的值.【答案】1a =. 【解析】由题意知 ,曲线在点(1,(1))f 处的切线斜率为2 ,所以'(1)2f = ,又'()ln 1,af x x x=++所以1a =.公众号：惟微小筑。