2019高考数学压轴题常考题型及解析
全国卷Ⅰ2019年高考数学压轴卷理含解析20190514012
（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭UB ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin)1lg()(2++-+=xxxxf若21)(=αf则=-)(αf14．在()311nx xx⎛⎫++⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为256，则x项的系数是__________．15.知变量x，y满足条件236y xx yy x≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x yzx y-=+的最大值为16．如图，在ABC△中，3sin23ABC∠=，点D在线段AC上，且2AD DC=，433BD=，则ABC△的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a和等比数列{}n b满足：113a b==，24b a=，且1a，4a，13a成等比数列．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）令nnnacb=，求数列{}n c的前n项和n S．18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2A B =-I ，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确；当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，MAF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析（2）13（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BD DE D =I ， ∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3EDDB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF =则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r为平面BDE 的一个法向量， ∴(3,3,0)CA =-u u u r ， ∴||13cos ,13||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯r u u u rr u u u r r u u u r ． ∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =u u u r u u u r，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x yy kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ． 由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--， 则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--， 则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤． （ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷文含解析20190514018
（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =，()2213cos2a b B BA BC-=⋅u u u v u u u v，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π8. 如图为函数()y f x=的图象，则该函数可能为()A．sin xyx=B．cos xyx=C．sin||xyx=D．|sin|xyx=9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为20-，在条件框内应填写（）A．3?i>B．4?i<C．4?i>D．5?i< 10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组2024x yx yyx y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(),x y恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。
江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158
【解析】解：P（3，4）为 C 上的一点， 所以 9 - 16＝1 ，解得 m＝1，
m2 所以 A（﹣1，0）B（1，0），
设△PAB 的外接圆的圆心（0，b），
则 1+b2＝32+（b﹣4）2，解得 b＝3，
则△PAB 的外接圆的标准方程为 x2+（y﹣3）2＝10．
故答案为：x2+（y﹣3）2＝10．
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2019 江苏省高考压轴卷 数学 1．【答案】{1，2，4，5}
【解析】解：A∩B＝{3}，
则∁U（A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}，
2．【答案】1．
【解析】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，
a 1 2 ∴ 1 a 0 ，即 a＝1．
| PA PB | 的最小值是 ．
2
12．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝ ，∠ABC 的平分线交 AC 3
于点 D，BD＝1，则 a+c 的最小值为 ．
13．如图，点 D 为△ABC 的边 BC 上一点， BD 2DC ，En（n∈N）为 AC 上一列点，且满
的外接圆的标准方程为 ． 9．已知 f（x）是 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f（x）＝|x2﹣3x|，则不等式 f（x﹣2）≤ 2 的解集为 ．
10．若函数 f（x）＝a1nx，（a∈R）与函数 g（x）＝ x ，在公共点处有共同的切线，则 实数 a 的值为 ．
11．设 A，B 在圆 x2+y2＝4 上运动，且 AB ＝2 3 ，点 P 在直线 3x+4y﹣15＝0 上运动．则
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天津市2019年高考数学压轴卷文含解析
天津市2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B．3CD．7.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8.已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________． 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值 ．13.已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．14.函数()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16(本小题满分13分)某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据()()12,,,,6i i x y i =如下表所示（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测4月6日的产品销售量m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率． 参考公式：ˆˆˆybx a =+， 其中()()1122211(ˆ)n niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离． 18.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20.（本小题满分14分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围． 1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，， 满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4【答案】A【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则1a -<，此时a 的范围为(]1,0-，当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 5【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 6【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等边三角形，所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．7【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ．8.【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或3211131【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =+故答案为1e =+ 14【答案】ln21--【解析】由()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，可令()()ln 2g x x x =-+， ()11122x g x x x +'=-=++，故()()l n 2g x x x =-+在()2,1--上是减函数，()1,-+∞上是增函数，故当1x =-时，()g x 有最小值()11g -=-，而e 4e 4x a a x --≥+，（当且仅当e 4e x a a x --=，即ln2x a =+时成立）， 故()3f x ≥（当且仅当等号同时成立时，等式成立）， 故ln21x a =+=-，即ln21a =--．15(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos29A A ==- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16【答案】（1）41；（2）23．【解析】（1）由题设可得111012113x ++==，322935323y ++==， 则()()()()()31322221ˆ0013133011iii ii x x y y bx x ==--⨯+-⨯-+⨯===++-∑∑．所以32ˆ11ˆ31ay bx =-=-⨯=-， 则回归直线方程为ˆ31yx =-，故314141m =⨯-=．（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共15种，其中相邻两天的结果为{}12,A A ，{}23,A A ，{}34,A A ，{}45,A A ，{}56,A A 共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率()521153P B =-=．17【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ， 由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF18【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由O M O N ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0．19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+ 【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n a = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+ 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2n i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅ 20【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e x f x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m +-，所以21e 11e m +--≤，解得m ≥或m ≤∴实数m 的取值范围是2,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．。
上海市2019年高考数学压轴卷含解析2019051401106
上海市2019年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A. B. C. D.2.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.已知三棱锥S-ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.4.定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数是周期函数，最小正周期为；③函数在上是增函数；④函数的图象关于直线对称.其中所有的正确命题的序号为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若=0，则x=______．6.已知双曲线=1的离心率为，则m=______．7.（-）6的展开式中常数项为______ ．8.函数f（x）=4x-2x+2（-1≤x≤2）的最小值为______ ．9.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是______．10.若数列{a n}满足a11=，-=5（n∈N*），则a1= ______ ．11.已知是R上的增函数，则a的取值范围是______ ．12.已知圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是______ ．13.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为______．14.已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于______．15.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是16.函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）的最小值是2；③f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；④f（x）没有最大值．其中正确命题的序号是______ ．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=k（x+1）与C相切于点A，|AF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线l交C于M，N两点，T是MN的中点，若|MN|=8，求点T到y轴距离的最小值及此时直线l的方程．18.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围．19.某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量件与单价元之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．根据周销售量图写出件与单价元之间的函数关系式；写出利润元与单价元之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．21.各项均为正数的数列中，前n项和．求数列的通项公式；若恒成立，求k的取值范围；是否存在正整数m，k，使得，，成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】由题意方程可知，A（-a，0），B（a，0），设M（x0，y0），∴，则，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得e=．故选D．2. 【答案】A【解析】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．3. 【答案】D【解析】如图所示，直角三角形ABC的外接圆的圆心为AB中点D，过D作面ABC的垂线，球心O在该垂线上，过O作球的弦SC的垂线，垂足为E，则E为SC中点，球半径R=OS=∵，SE=3，∴R=5棱锥的外接球的表面积为4πR2=100π，故选：D．4. 【答案】B【解析】∵①中，由题意知，{x}-{x}+，则得到f（x）=x-{x}∈（-]，故①错误；②中，由题意知函数f（x）=x-{x}∈（-]的最小正周期为1，，故②正确；③中，由于{x}-{x}+则得f（x）=x-{x}为分段函数，且在上是增函数，，故命题③正确；④中，由题意得，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）不对称，故命题④错误；由此可选择②③，故选B.5. 【答案】1【解析】=4x-2×2x=0，设2x=t，t＞0，则t2-2t=0，解得：t=2，或t=0（舍去）则2x=t=2，则x=1，故答案为：1．6. 【答案】2或-5【解析】双曲线-=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，即，解得m=2，当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，∵双曲线-=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=-5．故答案为2或-5．7. 【答案】60【解析】（-）6的展开式中的通项公式：T r+1==（-1）r26-r，令-6=0，解得r=4．∴（-）6的展开式中常数项==60．故答案为60．8. 【答案】-4【解析】f(x)=(2x)2-4•2x，令t=2x，∵-1≤x≤2，∴t∈[，4]，则y=t2-4t=(t-2)2-4，y在t∈[，2]上递减，在t∈[2，4]上递增，所以当t=2时函数取得最小值-4．故答案为-4．9.【答案】【解析】复数z=（1+i）（1+2i）=1-2+3i=-1+3i，∴|z|==．故答案为：．10.【答案】【解析】-=5，∴{}是以5为公差的等差数列，∴=+5（n-1），∵a11=，∴=+5（11-1）=52，即=2，∴a1=.故答案为．11. 【答案】[2，+∞）【解析】首先，y=log a x在区间[1，+∞）上是增函数且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数∴a＞1 (1)其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即（a+2）-2a≤l og a1⇒a≥2 (2)联解（1）、（2）得a≥2．故答案为[2，+∞）．12. 【答案】6【解析】∵圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．∵P（2，2）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|==，∴由垂径定理，得|BD|=2．因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．故答案为613.【答案】【解析】口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．14. 【答案】8【解析】各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．15. 【答案】（4，8）【解析】当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=-x2，得a=-，设g（x）=-，则g′（x）=-=-，由g′（x）＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜-2，此时递减，即当x=-2时，g（x）取得极小值为g（-2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得-x2+2ax-2a=ax，得x2-ax+2a=0，得a（x-2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为（4，8）16. 【答案】①④【解析】①f（-x）=lg=f（x），∴函数f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，故①正确；②2，∴f（x）=lg≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故②不正确；③函数g（x）=在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故函数f（x）=lg在（-∞，-1），（0，1）上是减函数，在（-1，0），（1，+∞）上是增函数，故③不正确；④由③知，f（x）没有最大值，故④正确故答案为：①④．17. 【答案】（Ⅰ）设A（x0，y0），直线y=k（x+1）代入y2=2px，可得k2x2+（2k2-2p）x+k2=0，由△=（2k2-2p）2-4k4=0，解得p=2k2，解得x0=1，由|AF|=1+=2，即p=2，可得抛物线方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程可得y2-4my-4n=0，△=16m2+16n＞0，y1+y2=4m，y1y2=-4n，|AB|=•=8，可得n=-m2，=2m，==2m2+n=+m2=+m2+1-1≥2-1=3，当且仅当=m2+1，即m2=1，即m=±1，T到y轴的距离的最小值为3，此时n=1，直线的方程为x±y-1=0..【解析】（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x=my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．18. 【答案】（Ⅰ）由题意，f（）=2sin（•ω+φ）=0，即•ω+φ=kπ，①，即T=，得ω=2，代入①得φ=，，取k=1，得φ=，∴f（x）=2sin（2x）；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴∈[]，，得f（x）∈[-2，1]，由f（x）+log2k=0，得log2k=-f（x）∈[-1，2]，∴k∈[，4]．【解析】本题考查函数与方程的应用，三角函数的最值，周期及解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．（Ⅰ）由函数的零点列式得到•ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解即可求得k的范围．19. 【答案】（1）由题设知，当12≤x≤20时，设p=ax+b，则,解得a=-2，b=50.∴p=-2x+50，同理得，当20＜x≤28时，p=-x+30，所以;（2）当12≤x≤20时，销售利润,因此当时,;当20＜x≤28时，销售利润,∵函数在（20,28]上单调递减，∴y<75，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.【解析】本题考查了函数的表示方法,分段函数,待定系数法和一次函数、二次函数模型. （1）利用函数图象,结合分段函数的概念,运用待定系数法计算得结论;（2）利用二次函数模型，分段求最值得结论.20. 【答案】（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=-，直线l2的方程y=-（x-1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k1=-，直线l1的方程y=-（x+1），联立，解得：，则Q（-x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02-1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=-，=-，直线l1的方程y=-（x+1），①直线l2的方程y=-（x-1），②联立解得：x=-m，则Q（-m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2-n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2-c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02-1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．21. 【答案】（1）∵，∴，两式相减得，整理得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n-a n-1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又得a1=1，∴a n=2n-1；（2）由题意得，∵，∴=，∴；（3）∵a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即即（2m+9）2=（2m-1）•（2k-1），∵（2m-1）≠0，∴，∵2k-1∈Z，∴2m-1为100的约数，∴当2m-1=1，m=1，k=61,当2m-1=5 , m=3 , k=23,当2m-1=25, m=13, k=25.故存在.【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）利用递推关系得（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，数列{a n}的各项均为正数，可得a n-a n-1=2，n≥2，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）由题意得，利用，“裂项求和”方法即可得出；（3）a n=2n-1．假设存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列，即．可得，进而得出．。
2019高考数学压轴小题及答案解析
数学压轴小题专练（选择9/10-12，填空15-16） 题组一10.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()s i n f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（ ） A ．6 B ．7 C ．13 D ．1411.已知函数2()s i n 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．012.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =. 其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415.若平面向量1e ，2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是 ．16.观察下列各式：311=；3235=+；337911=++；3413151719=+++……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为 ． 题组二 9．如图在三棱锥中,平面平面,,,现将一小球放入三棱锥内,往三棱锥内注水,当注入水的体积是三棱锥的体积的时,小球与底面及三个侧面都相切,且小球与水面也相切,则小球的表面积等于A ．B ．C ．D ．10．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过做轴的垂线交双曲线于，若双曲线左、右顶点分别为、，直线，与轴分别交于点，点，若，则圆上的点到双曲线的渐近线的距离的最大值为A ．B ．C ．D ．11．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则的值为A ．B ．C ．D ．15．若实数满足约束条件，则的范围为___________.16．已知抛物线的方程为，设直线：，交抛物线于、两点，为坐标原点，点在抛物线的部分上，则的面积最大为___________.题组三10. 已知，且，则=（）A. B.C. D.11. 已知不等式264cos64cos4sin22≥--+mxxx对于]3,3[ππ-∈x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. ]2,(--∞ B.]22,(-∞(,)3παπ∈3sin()65πα+=cosα10343-10343+10343--10343+-C. ]2,22[D. ),2[+∞12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点05,2P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为双曲线上一点，若12PF F ∆的内切圆半径为1，且圆心G 到原点O）A. 2281325x y -=B. 22145x y -= C. 2221625x y -=D. 221850x y -=题组四10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（ ） A ．13e+ C ．1 D ．1e -12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ．14400 B ．28800 C ．38880 D ．43200 15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20x e y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ．16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则c b 的最大值是 ．题组五题组六 10.函数()21y f x =-是偶函数，则函数()21y f x =+的对称轴是 （ ）A ．1x =-B ．0x =C ．12x =D ．12x =-11. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为1)．则z O M O A =⋅的最大值为A. B.12.定义域和值域均为[,]a a -（常数a>0）的函数()y f x =和g()y x =大致图象如图所示，给出下列四个命题： ①方程[()]0f g x =有且仅有三个解； ②方程[()]0g f x =有且仅有三个解； ③方程[()]0f f x =有且仅有九个解；④方程[()]0g g x =有且仅有一个解。
2019年全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科Word版含解析
fx
2
x1
y2
2
x1
y2
x2
2
y 2 的最小值为 ______ ．
16．已知 △ABC 中， AB AC ，点 D 是 AC 边的中点，线段 BD x ， △ABC 的面积 S 2 ， 则 x 的取值范围是 _________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，角 A 、 B 、
B． c a d b
C． d c a b
D． c d a b
7． 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A． 16π 3
B． 3
C． 2 9
D． 16 9
8．已知向量 a 1, 3 ， b 0, 2 ，则 a 与 b 的夹角为（
）
A． π 6
B． π 3
C． 5π 6
D． 2 π 3
人中女生人数为 X ，写出 X 的分布列，并求 E X ．
附： K 2
2
n ad bc
，其中 n a b c d ．
abcd acbd
12 人参 设选取的 3
P K 2 k0
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， PD DC ，底面 ABCD 是梯形， AB∥DC ，
9．在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， a b c a c b 3ac ，则角 B
2019年浙江省数学高考压轴题解答
2019浙江题目22.已知实数a ≠0，设函数f(x)=alnx +√1+x ，x >0.(1)当a =−34时，求函数f(x)的单调区间.(2)对任意x ∈[1e 2,+∞)均有f(x)≤√x 2a ，求a 的取值范围. 解答(1)当a =−34时，有函数f(x)的导函数f ′(x)=2x −3√1+x4x √1+x =(4x +3)(x −3)4x √1+x ⋅(2x +3√1+x), 因此函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞)，单调递减区间是(0,3).(2)设函数g(x)=alnx +√1+x −√x 2a. 注意到{ g (1e 2)=2a +12ae +√1+1e 2≤0g(1)=√2−12a≤0⇒0<a ≤√24 接下来证明0<a ≤√24时符合题意. 情形一 x ≥1.此时有 g(x)≤√24lnx +√1+x −√2x, 记右侧函数为φ(x)，则其导函数 φ′(x)=12√2x +12√1+x −1√2x=√1+x +√2x −2√x(1+x)2√2x √1+x =2√2x √1+x −(2x 2+3x −1)2√2x √1+x(√1+x +√2x +2√x(1+x)) =(x −1)(4x 3+8x 2+5x −1)2√2x √1+x(√1+x +√2x +2√x(1+x))(2√2x √1+x +(2x 2+3x −1)), 进而φ(x)在[1,+∞)上单调递减，g(x)≤φ(x)≤φ(1)=0符合题意.情形二 1e ≤x <1.此时欲证明g(x)≤0，即lnx ⋅a 2+√1+x ⋅a −1√x ≤0, 左侧是关于a 的开口向下的二次函数μ(a)，其判别式 Δ(x)=1+x +2√xlnx =√x ⋅(4ln √x +√x +1√x ),注意到当x >1e 时，有(lnx +x +1x )′=x 2+4x −1x 2>0, 于是Δ(x)在x ∈[1e ,1)上单调递增，而Δ(14)=54−2ln2<0, 于是当x ∈[1e ,14]时命题成立.而当x ∈(14,1)时，此时μ(a)的对称轴a =√1+x −2lnx 随x 递增，于是对称轴在a =√58ln2的右侧，而√58ln2>√24⇔ln2<√58, 因此μ(a)<μ(√24)≤φ(1)=0, 命题成立.综上所述，实数a 的取值范围是(0,√24]. 备注 (1)事实上，a =√24这个分界点是在探索极值为0的情形 {alnx +√1+x −√x 2a =0,a x +12√1+x −14a √x =0, 时得到的.(2)其中用的58<ln2<√58，事实上当x >1时，有 2(x −1)x +1<lnx <√x −1√x, 于是23<ln2<√22.。