2019高考数学最新压轴题专练
浙江省2019年高考数学压轴卷(含解析)
18.设函数 ，其中 ，已知 .
(1)求 ；
(2)将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值．
19.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ．
A.4B.-4C.6D.-6
8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是 .现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望 和方差 分别是（ ）.
∴ ，
解得 ，
∴ ，
解得R=2.
故答案为：2;2.
14.【答案】4
【解析】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，
，则：
，
令 ，则 ，
据此可得： ，
即 的最小值是4，最大值是 ．
15.【答案】
【解析】原问题等价于 有三个不同的实根，即 与 有三个不同的交点，当 时， 为增函数，在 处取得最小值为 ，与 只有一个交点.当 时， ，根据复合函数的单调性，其在 上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需 ，解得 .
设直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
则 ①.
设 ，则 .
∵
即 ，得： ，
∴ ，即 或 ，
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为： 或 .
∴直线过定点 （定点 不满足题意，故舍去）.
22.【答案】(1) ；(2) .
专题08-1立体几何问题第一季-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
专题08-1立体几何问题第一季1．正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示，由，可得，由，则，解得，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在直角中，，则，在中，，由余弦定理可得，即，所以截面的周长为，故选B.2．设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。
3．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A．B．1 C．D．【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的面积最小，最小值为，故选C.4．已知四面体，，则该四面体外接球的半径为（）学科_网A．1 B．C．D．【答案】B【解析】设为的中点，由于三角形为直角三角形，故其外心为点，则球心在点的正上方，设球心为，作出图像如下图所示.其中，.由余弦定理得，.设外接球的半径为.在三角形中，由勾股定理得①.在三角形中，由余弦定理得②.在三角形中，由余弦定理可知，由于，则，所以，所以③.联立①②③可得.故选B.5．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段P A长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，则，6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，CC1=3，长方体每条棱所在直线与过点C1的平面α所成的角都相等，则直线AC与平面α所成角的余弦值为（）A．或1 B．或0 C．或0 D．或1【答案】A在直角△EGC1中，，GC1＝2，，∴sin．∴直线AC与平面α所成角的余弦值为1，，故选：A．7．已知直三棱柱中的底面为等腰直角三角形，，点，分别是边，上动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹为A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【答案】C【解析】如图作平面PQRK∥平面BCC1B1，可得到点M，N为平面PQRK与边，的交点，取MN的中点D，由对称性可知，在梯形NQRM中，D到底面ABC的距离DF始终为三棱柱高的一半，故Q落在到底面ABC距离为三棱柱高的一半的平面上，且与底面ABC平行.又D在底面的投影F始终在底面BC的高线AE上，即Q落在过底面BC的高线且与底面垂直的平面上，所以Q在两个面的交线上，又只能落在柱体内，故为线段OH，又直线平面，所以去掉O点，故选C.8．已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可知，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，，得，球的表面积为，故选B.学科_网9．已知过球面上三点、、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A．B．C．D．【答案】C10．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE,∴，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是故选：11．已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（）A．B．2C．D．2【答案】D【解析】将三棱锥的侧面展开,如图则将求截面周长的最小值,转化成计算的最短距离,结合题意可知=,,所以,故周长最小值为,故选D.12．过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是A．1 B．C．D．【答案】D【解析】如图：在正方体中，取的中点,连接,过的平面截得正方体的截面中，当截面为菱形时，截面面积最小，,故选D.学_科网13．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.14．正三棱锥的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】D15．已知中，，，将绕BC旋转得，当直线PC与平面P AB所成角的正弦值为时，P、A两点间的距离是（）A．2 B．4 C．D．【答案】C【解析】画出图像如下图所示.设是的中点，则，过作交于，连接.由于，所以平面，所以，故平面，所以，结合，证得平面.故是直线与平面所成的角.故，.设，则，在直角三角形中，利用面积公式有，解得，即，故,.16．如图，在△ABC中，∠C=90°，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，AP=AB=2，∠EAF=α，当α变化时，则三棱锥P﹣AEF体积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，，底面，得，平面，可得，平面，平面，且面，三棱锥的高为定值，平面平面，中，，，∴当，即时，有最大值为，此时，三棱锥的体积的最大值为，故选C．17．如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B=60°，点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点)，且EF//AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B-ECDAF的体积最大时，EF的长为（）A．1 B．C．D．【答案】B【解析】由可知三角形为等边三角形，设，等边三角形的高为，面积为，所以五边形的面积为，故五棱锥的体积为.令，解得，且当时，单调递增，时，单调递减，故在时取得极大值也即是最大值.故选B. 18．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，设点P的坐标为，则，所以，又，所以当时，有最小值，且．故选C．19．如图，设梯形所在平面与矩形所在平面相交于，若，，，则下列二面角的平面角大小为定值的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，在等腰梯形中,过作于，作于,连接,在梯形中,由，可得，由三角形直角三角形，且，可得，则，，即，则平面，为二面角的平面角，同理可得为二面角的平面角，平面平面，则二面角的平面角为，与均为等腰三角形，，，，即二面角为，故选D.20．如图，已知三棱锥，记二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，直线与所成的角为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不妨设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=α，∠DAO=β，∠MNE=γ，∴，，∴，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴γ=90°．∴γ≥α≥β．学_科网故选：A．。
高考数学压轴题讲练：专题02 曲线的切线问题探究【解析版】
第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线x y e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x xy e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增， 把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立， 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同． 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞． 【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ， 则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或x =， 因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：x(,0)-∞0 (0,1)1 (1,)+∞()g x '+0 -+()g xt+3所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值， 当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-， 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时， 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 （3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-， 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+， 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】e 【解析】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b 的最大值是1144342b e e elne e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 故答案为：2e ．4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得f′(x)＝2x＋sin x＋x(sin x)′－sin x＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b.令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝b最多有一个交点，不合题意．②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0，g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b>4b－2b－1－b>0.∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． 【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0， 所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 （1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 （Ⅰ）∵()()2xf x e ax =+，∴()()2xf x eax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-， 且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值． 综上所述，当0a =时，()f x 无极值； 当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值； 当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥． 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增， 又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时， 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减， 注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>， 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根， 即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减， 且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立， 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点， 即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<， 由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x 12x x 处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =- 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭ ∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m 上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析 【解析】 （Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围； （2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'． 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭， 则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0， 可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1； （2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ． 可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减； 由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0， 当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ， 故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ， 可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增， 又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e）， 所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增， 可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。
专题12、函数与导数大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学(文)名师押题高端精品
（一）命题特点和预测：分析近8年的全国新课标1的函数与导数大题，发现8年8考，每年1题，第1小题主要考查函数的切线、函数的单调性、极值、最值，第2小题主要考查零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，第1小题是基础题，第2小题是压轴题，为难题.2019年函数与导数大题仍为压轴题，主要考查导数的几何意义、常见函数的导数及导数的运算法则、利用导数研究函数的图象与性质，进而研究零点个数、方程解得个数、切线的条数、极值点个数、不等式的证明、函数能成立与恒成立问题、范围问题，考查分类整合思想与分析解决问题的能力，难度为难题.（二）历年试题比较： 年份 题目2020年【2018新课标1，文21】已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．2020年【2017新课标1，文21】已知函数. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x …，求a 的取值范围． 2020年【2016新课标1，文21】已知函数.（I ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2020年【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时.2020年【2014全国1，文21】设函数，曲线处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在01,x ≥使得，求a 的取值范围。
2013年【2013课标全国Ⅰ，文20】(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．2012年【2012新课标全国1，文21】设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f´(x )+x +1>0，求k 的最大值2011年【2011新课标全国1，文21】已知函数()f x =ln 1a x bx x++，曲线y =()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当x ＞0，且x ≠1时，()f x ＞ln 1xx -. （2020年）【解析】（1）f （x ）的定义域为，f ′（x ）=a e x –．由题设知，f ′（2）=0，所以a =．从而f （x ）=，f ′（x ）=．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a ≥时，f （x ）≥．设g （x ）=，则当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当时，．（2020年）【解析】（1），①当0a =时，恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，2e 0x a +>恒成立，令()0f x '>，则e 0x a ->，故ln x a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，同理在(),ln a -∞上单调递减． ③当0a <时，e 0x a ->恒成立，令()0f x '>，则2e 0x a +>，即，所以，所以()f x 在上单调递增，同理在上单调递减．（2）①当0a =时，恒成立，符合题意；②当0a >时，，故，即01a <…；③当0a <时，，从而，故34e 2a -…，所以34e 20a -<…．综上所述：a 的取值范围为34e ,12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．（2020年）【解析】 (I)(i)设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. (ii)设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln(-2a). ①若2ea =-，则，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.②若2ea >-，则ln(-2a)<1,故当时，()'0f x >；当时，()'0f x <，所以()f x 在单调递增，在单调递减. ③若2ea <-，则()21ln a ->，故当时，()'0f x >，当时，()'0f x <，所以()f x 在单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.(II)(i)设0a >，则由(I)知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增.又，取b 满足b <0且ln 22b a <， 则，所以()f x 有两个零点.(ii)设a =0，则所以()f x 有一个零点.(iii)设a <0，若2ea ≥-，则由(I)知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x <0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由(I)知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在单调递增.又当1x ≤时()f x <0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞.【名师点睛】本题第(I)问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第(II)问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.（2020年）【解析】（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax-单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于，所以.故当0a >时，.（2020年）【解析】（1）∵()f x '=，由题设知，(1)f '=1b -=0，∴b =1.……4分（2）()f x 的定义域为（0，+∞），由（I ）知，()f x =，∴()f x '===，①当a ＜12时，1a -＞0，1a a-＜1，当 x ＞1时，()f x '＞0，则()f x 在（1，+∞）是增函数，当要使存在01x ≥使得，则(1)f =112a --＜1aa -，解得12--＜a ＜12-+；②当a =12时，()f x '=2(1)2x x-≥0，故()f x 在（1，+∞）是增函数，存在01x ≥使得，则(1)f =112a --=34-＜1aa -=1，适合； ③当12＜a ＜1时，1a -＞0，1a a -＞1，当x ＞1a a -时，()f x '＞0，则()f x 在（1a a-，+∞）是增函数，当1＜x ＜1a a -时，()f x '＜0，则()f x 在（1，1aa-）上是减函数，要使存在01x ≥使得，则()1af a -＜1a a -，而()1a f a -=＞1aa -，∴不合题意 ④当a ＞1时，1a -＜0，1aa-＜1，当x ＞1时，()f x '＜0，则()f x 在（1，+∞）是减函数，∵(1)f =112a --=12a +-＜0＜1a a -，适合； 综上所述，a 的取值范围为（12--，（2013年）【解析】（1）()f x '=.由已知得(0)f =4，(0)f '=4，故4b =，a b +=8，从而a =4，4b =； （2）由（Ⅰ）知，()f x =，()f x '==，令()f x '=0得，x =ln 2-或x =-2， ∴当时，()f x '＞0，当x ∈（-2，ln 2-）时，()f x '＜0，∴()f x 在（-∞，-2），（ln 2-，+∞）单调递增，在（-2，ln 2-）上单调递减. 当x =-2时，函数()f x 取得极大值，极大值为.（2012年）【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为(),-∞+∞，.若0a ≤,则()0f x '>,所以()f x 的增区间为(),-∞+∞,无减区间； 若0a >,则当时，()0f x '<; 当时，()0f x '>,所以在减区间为(),ln a -∞,增区间为()ln ,a +∞. (Ⅱ)由于a =1，所以.故当0x >时，(x －k ) f´(x )+x +1>0等价于 ()0x >，令，则.由(Ⅰ)知，函数在()0,+∞上单调递增，而，所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点，故()g x '在()0,+∞上存在唯一零点.设此零点为α，则()1,2α∈.当()0,x α∈时，()0g x '<；当(),x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()g α.又由()g α'，可得2e αα=+，所以.由于()0x >等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.（2011年）【解析】（Ⅰ）由于直线的斜率为12-，且过点(1,1)，故即解得1a =，1b =。
2019-年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析
2019年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析【题目叙述】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得´1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得´1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i p i“0,1,¨¨¨,8q表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0“0，p8“1，p i“ap i´1`bp i`cp i`1p i“1,2,¨¨¨,7q，其中a“P p X“´1q，b“P p X“0q，c“P p X“1q.假设α“0.5，β“0.8.（i）证明：t p i`1´p i up i“0,1,2,¨¨¨,7q为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.【题目分析】本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。
命题人在命题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。
专题14 概率统计解答题突破(第一季)-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
专题14-1概率统计解答题突破第一季1．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）7（Ⅲ）14.68【解析】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．2．2018年“双十一”期间，某商场举办了一次有奖促销活动，顾客消费每满1000元可参加一次抽奖(例如：顾客甲消费930元，不得参与抽奖；顾客乙消费3400元，可以抽奖三次)。
2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i 2i+=-+（ ）A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b>>>4.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，则双曲线C 的离心率等于（ ）A ．2B ．310C ．10D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120π- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1414B ．8314C ．1313 D ．138．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）A ． 2，4B ． 2，5C ． 0，4D ． 0，59.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，ac=（ ）A ．2B ．3C ．33D ．2211．已知为抛物线x y C 4:2=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 3个D ． 无数个12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()20171f x x<+的解集是（ ）A ．()1,1-B ．(),1-∞C ．()()1,00,1-D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()201512x -=2015012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则20151222015222a a a ++⋯+的值为 ．14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若其外接球的体积为32π3，则该三棱柱体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的单调区间和最大值、最小值．18．（本题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =（1）求证：//AM 平面PCD ；（2）设点N 是线段CD 上一动点，且DN DC λ=，当直线MN 与平面PAB 所成的角最大时，求λ的值.20．（本题满分12分）已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C 的方程；（2）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．（本题满分12分） 已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+. （1）求实数b 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，满足()014f x e ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：()2cos 3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数， 2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2.【答案】A 【解析】设(){sin cos sin cos cos sin sin +1a cos a b b sin αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之， 22sin cos 101a b a b a b θθ+≤⇒==⇒+≠ ，故选A.3．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0ab <. 综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 4.【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24111a d a +-==+，解得43a =-，故选A ．5．【答案】B【解析】∵双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的渐近线方程为x aby -=，又直线053=+-y x 斜率为3，∴31=a b 故91222=-a a c ， 双曲线的离心率310==a c e ，故选B. 6．【答案】．D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π- 7．【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠．在11Rt AC D △中，111C D =，2212313AD =+=，222112314AC =++=， ∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===．故选A ． 8．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，，不满足，不满足；满足； 满足； 满足；不满足，满足，输出的值为2，i 的值为，故选B. 9.【答案】A[QQ 群 545423319:QQ 群 545423319ZXXK] 【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．10．【答案】C【解析】由正弦定理得222202a b c b a ab +-+⋅= ，∴22220a b c +-=，2222c a b -=，∴22222333cos 2444a c b a c a c B ac ac c a +-+===⋅+≥当344a c c a =，即3a c =时cos B 取最小值．故选C ． 11．【答案】D【解析】抛物线方程为x y C 4:2=,C B A ,,为曲线上三点， 当0=++FC FB FA 时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使AF FD 21=， 当D 在抛物线内部时，设),(00y x D 若存在以D 为中点的弦BC ， 设),(),,(2211n m C n m B ，则0210212,2y n n x m m =+=+，2121m m n n k BC --=则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144m n m n ，两式相减化为，021212124y n n m m n n k BC =+=--=，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D. 12．【答案】C【解析】当0x >时，()()1x f x f x '⋅+>，∴()()10x f x f x '⋅+->，令()()()()1F x x f x x x f x =⋅-=-，则()()()10F x x f x f x ''=⋅+->，即当0x >时，()F x 单调递增．又()f x 为R 上的偶函数，∴()F x 为R 上的奇函数且()00F =，则当0x <时，()F x 单调递增．不等式()20171f x x <+，当0x >时，()2017x f x x ⋅<+，即()2017x f x x ⋅-<，()()1112017F f =-=，即()()1F x F <，∴01x <<；当0x <时，()2017x f x x -⋅<-+，()2017x f x x ⋅->-，()()112017F F -=-=-， 即()()1F x F >-，∴10x -<<．综上，不等式()20171f x x<+的解集为()()1,00,1-．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】-1【解析】在二项式展开式中，令12x =，得201501201511022a a a ⎛⎫=++⋯+ ⎪⎝⎭，令0x =得01a =，所以2015120220151222a a aa ++⋯+=-=-，故选C.14.51【解析】析 画出可行域如图7-14所示阴影部分（含边界），设圆心为'O 到直线210x y -+=的距离为d ，则55d ==，所以min 151PQ d =-=，故选A.15．【答案】120【解析】先选一个插入甲乙之间（甲乙需排列），再选一个排列即可. 详解：先从除了甲乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有种，最后再选出一人和刚才的三人排列得：.故答案为：120.16．【答案】2【解析】设三棱柱底面直角三角形的直角边为a ，b ，则棱柱的高22h a b +，设外接球的半径为r ，则3432ππ33r =，解得2r =，∵上下底面三角形斜边的中点连线的中点是该三棱柱的外接球的球心，224h r ==．∴22h =22282a b h ab +==≥，∴4ab ≤．当且仅当2a b ==时“=”成立．∴三棱柱的体积12422V Sh abh ab ===≤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）1，12-．【解析】（1）()1cos 2133cos 26262x f x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪πππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos 2133sin 2662x x x ωωωπ⎛⎫+- ⎪ππ⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 312cos 2323x x ωωππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =sin 2sin 2366x x ωωπππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4π，则44T π=， ∴周期22T ωπ==π，则1ω=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； O ' CyAB 220x y -+=O图 7-14210x y -+=20x y +-=x()2245BD αϕ++=4245BD +≥， 即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥3sin 5α=，203c =． （2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤，令2662x πππ-≤-≤得03x π≤≤，令52266x πππ≤-≤得32x ππ≤≤，∴()f x 的增区间为03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,，减区间为32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,．∵()f x 在区间03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增，在区间上32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减，又∵()102f =-，122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()min 102f x f ==-，()max 13f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）121140；（3）34． 【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A ， 则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （3）一个人是“好视力”的概率为14，ξ的可能取值为0，1，2，3． ()33402746P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，()2131327C 44641P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=， ()223139C 44426P ξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭=，()3114634P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭=，ξ的分布列为()27279130123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本题满分12分） 明（2）23λ=【答案】（1）见证中点K ，连接【解析】（1）取PCMK ，KD ，因为M 为PB 的中点，所以//MK DC 且12MK BC AD ==， 所以四边形AMKD 为平行四边形，所以//AM DK ， 又因为DK ⊂平面PDC ，AM ⊄平面PDC ， 所以//AM 平面PCD .（2）因为M 为PB 的中点，设PM MB x ==， 在PAB ∆中，∵PMA AMB π∠+∠=，设PMA θ∠=，ζ 0 1 23P64276427 649 641则AMB πθ∠=-，所以cos cos 0PMA AMB ∠+∠=，由余弦定理得222222022PM AM PA BM AM AB PM AM BM AM+-+-+=⋅⋅， 即222424044x x x x+-+-+=，所以x =则PB =所以222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，∵PA AD ⊥，AP AB ⊥且ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD ，且90BAD ABC ∠=∠=，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()0,1,1M ，因为点N 是线段CD 上一点，可设()1,2,0DN DC λλ==，()()()()()()1,0,01,2,01,2,01,2,00,1,11,21,1AN AD DN MN AN AM λλλλλλλ⎧=+=+=+⎪⎨=-=+-=+--⎪⎩，又面PAB 的法向量为()1,0,0，设MN与平面PAB所成角为θ，则sin θ=====，所以当1315λ=+时，即533λ=+，23λ=时，sin θ取得最大值. 所以MN 与平面PAB 所称的角最大时23λ=. 20．（本题满分12分）【答案】（1）2216x y +=（2【解析】（1）双曲线2215x y -=的焦点坐标为().因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =.故椭圆C 的方程为2216x y +=.（2）因为23MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()()2221612610k x kmx m +++-=. 因为()()()2221224161km k m ∆=-+-()2224160k m =+->，所以2216m k <+.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+则12MN x =-==因为3MN =3=.整理得 ()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-=15075189t t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯≤=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 的. 21．（本题满分12分） 【答案】（1）e （2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞，因为()ln x f x ax b x=-+，所以()2ln 1'ln x f x a x-=-.所以函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为y e ae b ax e --+=--，即y ax e b =-++.已知函数()f x 在点()(),e f e 处的切线方程为2y ax e =-+，比较求得b e =.所以实数b 的值为e .（2）由()014f x e ≤+，即0001ln 4x ax e e x -+≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，则 ()2222211ln 4'4ln 4ln x x h x x x x x x -=-=(22ln ln 4ln x x x x+-=. 令()ln p x x =-2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11'0p x x x ==<. 所以函数()p x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()()ln 0p x p e e <=-<.所以()'0h x <，即()h x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()22221111ln 424h x h e e e e ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）1C ：13422=+y x ，2C ：1=x ；（2）[]3,4． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：13422=+y x ， 当2k θπ≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：θθtan tan -=x y ， 当2k θπ=+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：0sin cos sin =--θθθy x ） （2）将2C ：()1cos sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩为参数代入1C ：13422=+y x 化简整理得： ()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+ 则()2236cos 36sin 31440∆θθ=++=>恒成立，∴1212212sin 3PA PB t t t t θ+=+=-=+，∵[]2sin 0,1θ∈，∴[]3,4PA PB +∈．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为{}21x x -≤≤． （2）∵()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+，∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤，∴a 的取值范围为[]5,1-．。
2019年高考数学导数压轴题专项训练(一)
2019年高考数学导数压轴题专项训练(一)1、已知函数().,22R a x ax e x f x ∈--=(Ⅰ)求函数()x f 的图像恒过的定点的坐标；(Ⅱ)若()1'--≥ax x f 恒成立，求a 的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，证明：()x f 存在唯一的极小值点0x ，且()412-0-<<x f .2、已知函数()x x x g ln sin 1+=θ在),1[+∞上为增函数，且），（πθ0∈，()().ln 1R m x xm mx x f ∈---=(Ⅰ)求θ的值；(Ⅱ)若()()x g x f -在),1[+∞上为单调函数，求m 的取值范围；(Ⅲ)设()xe x h 2=，若在],1[e 上至少存在一个0x ，使得()()()000x h x g x f >-成立，求m 的取值范围.3、已知函数()()R c b c bx x x f ∈++=,2，并设()()x e x f x F =.(Ⅰ)若()x F 图像在0=x 处的切线方程为0=-y x ，求c b ,的值；(Ⅱ)若()x F 是()∞+∞，-上的单调递增函数，则：(ⅰ)当0≥x 时，判断()x f 与()2c x +的大小关系，并证明；(ⅱ)对于满足题设条件的任意c b ,，不等式()()22Mb b f Mc c f -≤-恒成立，求M 的取值范围.4、已知函数()x f 是定义在],0()0,[e e -上的奇函数，当],0(e x ∈时，()x ax x f ln +=(其中R a ∈).(Ⅰ)求()x f 的解析式；(Ⅱ)设())0,[,ln e x x xx g -∈=，求证：当1-=a 时，()()21+>x g x f ；(Ⅲ)是否存在实数a ，使得当)0,[e x -∈时，()x f 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；若果不存在，请说明理由.5、已知()()2211,,,y x B y x A 是函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=21,121,212x x x x f 的图像上的任意两点(可以重合)，点M 在直线21=x 上，且MB AM =.(Ⅰ)求21x x +以及21y y +的值；(Ⅱ)已知01=S ，当2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n f n f n f S n 321 ，求n S ；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，设n S n a 2=，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若存在正整数m c ,，使得不等式211<--+c T c T m m 成立，求m c ,的值.6、已知函数()()0>+=x xt x x f ，过点()0,1P 做曲线()x f y =的两条切线PN PM ，，切点分别为N M ,.(Ⅰ)当2=t 时，求函数()x f 的单调递增区间；(Ⅱ)设()t g MN =，试求函数()t g 的表达式；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n n +内，总存在1+m 个数121.,,+m a a a ，使得不等式()()()()121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.7、已知函数()()1log +=x x f a ，()()t x x g a +=2log 2()R t ∈，其中]15,0[∈x ，0>a ，且1≠a .(Ⅰ)若1=x 是关于x 的方程()()0=-x g x f 的一个解，求t 的值；(Ⅱ)当10<<a 时，不等式()()x g x f ≥恒成立，求t 的取值范围；(Ⅲ)当]56,26[∈t 时，函数()()()x f x g x F -=2的最小值为()t h ，试求()t h 的解析式.8、设函数()c bx x x f n n ++=()R c b N n ∈∈+,,.(Ⅰ)设1,1,2-==≥c b n ，证明：()x f n 在区间)1,21(内存在唯一零点；(Ⅱ)设n 为偶数，()()11,11≤≤-f f ，求c b 3+的最小值和最大值；(Ⅲ)设2=n ，若对任意]1,1[,21-∈x x ，有()()421≤-x f x f ，求b 的取值范围.9、给出定义在),0(+∞上的三个函数：()()()()x a x x h x af x x g x x f -=-==,,ln 2，已知()x g 在1=x 处取得极值.(Ⅰ)确定函数()x h 的单调性；(Ⅱ)求证：当21e x <<时，恒有()()x f x f x -+<22成立；(Ⅲ)把函数()x h 的图像向上平移6个单位得到函数()x h 1的图像，试确定函数()()x h x g y 1-=的零点个数，并说明理由.10、已知函数()()02≠++=a c bx ax x f 满足()00=f ，且对任意R x ∈都有()x x f ≥，且⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x f x f 2121，令()()()01>--=λλx x f x g .(Ⅰ)求函数()x f 的表达式；(Ⅱ)求函数()x g 的单调区间；(Ⅲ)研究函数()x g 在区间)1,0(上的零点个数.11、对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对任意D x ∈，都有()()1≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代.(Ⅰ)若()()x x g x x f ln ,12=-=，试判断在区间],1[e 上()x f 能否被()x g 替代；(Ⅱ)记()()x x g x x f ln ,==，证明：()x f 在),1(m m ()1>m 上不能被()x g 替代；(Ⅲ)设()()x x x g ax x a x f +-=-=221,ln ，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的取值范围.【参考答案】1、9、10、11、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019最新压轴题专练压轴题(一)1．设P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为该双曲线的左、右焦点，c ，e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若PF 1→·PF 2→＝0，直线PF 2交y 轴于点A ，则△AF 1P 的内切圆的半径为( ) A ．aB ．bC ．cD ．E2．设实数m >0，若对任意的x ≥e ，不等式x 2ln x －m e m x≥0恒成立，则m 的最大值是( )A ．1eB ．e 3C ．2eD ．e3．在直角梯形ABCD ，AB ⊥AD ．DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，P 是以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上的动点(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF→，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－2，2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，224．已知函数f (x )＝ax －a 2－4(a >0，x ∈R)，若p 2＋q 2＝8，则f (q )f (p )的取值范围是( ) A ．(－∞，2－3) B ．[2＋3，＋∞) C ．(2－3，2＋3)D ．[2－3，2＋3]5．将三个边长为2的正方形，按下图方式剪成6部分，拼接成下面右图的形状，再折成一个封闭的多面体，则该多面体的体积为( )A ．4B ．2 6C ．733D ．5636．已知函数f (x )＝x ln x ＋a x ＋3，g (x )＝x 3－x 2，若∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，f (x 1)－g (x 2)≥0，则实数a 的取值范围为( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．[3，＋∞)7．对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1(x )＝－x 3＋32x 2；f 2(x )＝e x －x －1；f 3(x )＝⎩⎨⎧ln (－x ＋1)，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12，x ≠0，0，x ＝0.则其中是“偏对称函数”的函数个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．下列命题为真命题的个数是( )①ln 3<3ln 2；②ln π< πe ；③215<15；④3eln 2<4 2. A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是____．10．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，BD ＝22，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的体积为____．11．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”，这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高，这句话的意思是两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型，设某双曲线型冷却塔是曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线x ＝0，y ＝0和y ＝b 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示，试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为____．12．若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P (x 1，f (x 1))，总存在点P ′(x 2，f (x 2))也在y ＝f (x )图象上，使得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”．给出下列五个函数：①y ＝x －1；②y ＝sin x ＋1；③y ＝e x －2；④y ＝ln x ；⑤y ＝1－x 2.(其中e 为自然对数底数)其中是“特殊对点函数”的序号是____．(写出所有正确的序号)13．数列{a n }满足a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2－1a n ＋2n ，则{a n }的前20项和为____．14．在3×3方格中，规定每个单位正方形用黑色或白色涂染，如果某染色结果中，在每一行或列都至多有一个白色方格，那么就称为“穿杨染色”．例如，在三个方格中，如下图所示，只有右边是一个穿杨染色．则“穿杨染色”的总数是____．(旋转和反射认为是不同的)15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，sin C －3sin B ＝3sin(C －A )＋sin(A －B )，则△ABC 面积的最大值为____．16．已知椭圆的焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，其中c ＝23⎠⎛0π4 cos x d x ，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，∠F 1PF 2＝60°，则此椭圆的方程为____．17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝75|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率．18．已知函数f (x )＝12(x 2＋2a ln x )．(1)讨论f (x )＝12(x 2＋2a ln x )，x ∈(1，e)的单调性；(2)若存在x 1，x 2∈(1，e)(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)<0成立，求a 的取值范围．19．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F .若圆M 的面积最小值为π. (1)求p 的值；(2)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，且满足∠AMF ＝∠BMF .若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程．20．已知函数f (x )＝(x －2)e x －a 2x 2，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)函数f (x )的图象能否与x 轴相切？若能与x 轴相切，求实数a 的值；否则，请说明理由； (2)若函数y ＝f (x )＋2x 在R 上单调递增，求实数a 能取到的最大整数值．21．已知F 1(－2,0)，圆F 2：(x －2)2＋y 2＝24，若M 为圆F 2上的一个动点，且线段MF 1的垂直平分线与MF 2交于点C ． (1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与动点C 的轨迹的两个交点，点E (m,0)，当EA→·EB →为定值时，求m 的值．22．已知函数f (x )＝ln x ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2(m ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的最小值为－1，m ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝f (b n )＋3(n ∈N *)，记S n ＝[b 1]＋[b 2]＋…＋[b n ]，[t ]表示不超过t 的最大整数，证明：∑n i ＝1 1S i S i ＋1<12.23．已知椭圆C ：mx 2＋4y 2＝4m (m >0)．(1)若椭圆C的离心率为22，求焦点坐标；(2)已知A，B，M是椭圆C上的三点，BM经过坐标原点O，AB经过点P(－1,0)，若|AB|＝|AM|，求m的取值范围．24．已知函数f(x)＝2a ln x－x2＋3－2a，g(x)＝xf(x)，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．25．已知抛物线C：y＝－x2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率k的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．26．已知函数f(x)＝a e x＋x2＋a(e为自然对数的底数)．(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线为l，当实数a变化时，求证：直线l经过定点；(2)若函数f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围．27．已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD→＝53MD →. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QFk PA的取值范围．28．已知函数f (x )＝e x x －a lnx 2x 2＋x .曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为e 24(e 为自然对数的底数)．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )>e ＋2.29．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)过点M (－2,4)． (1)求抛物线C 的方程；(2)若过点P (－1，－1)的直线l 交抛物线C 于P 1，P 2两点，点Q 在线段P 1，P 2上，且满足1|PP 1|＋1|PP 2|＝2|PQ |，求点Q 的轨迹方程．30．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋2ln x (其中a 是实数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若设2⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e <a <203，且f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2), 求f (x 1)－f (x 2)的取值范围(其中e为自然对数的底数)．31．已知动点M 到定点F (1，0)的距离比M 到定直线x ＝－2的距离小1. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线l 1，l 2，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； (3)在(2)的条件下，求△FPQ 面积的最小值．32．设函数f (x )＝ln (x ＋a )－x ，g (x )＝x ·e x －2x －1.(1)若直线l ：y ＝－23x ＋ln 3－23是函数f (x )的图象的一条切线，求实数a 的值；(2)当a ＝0时，①关于x 的方程f (x )＝x 2－103x ＋m 在区间[1,3]上有解，求m 的取值范围； ②证明：当x >0时，g (x )≥f (x )．。