高考数学压轴题汇编

合集下载

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。

(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-；（Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷：解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==，因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-，因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<，所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-．由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…）所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。

2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，00h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a 0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。

2024年最新全国名校新高考数学名校选填压轴好题汇编05(学生版)

2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编051.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f x =5e x+1,x<0x2-6x+8,x≥0，g(x)=x2-ax+4，若y=g f x有6个零点，则a的取值范围为()A.4,+∞B.4,17 2C.4,5D.203,172∪4,52.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=1-f(1-x)，若函数y=4x4x+2与函数y=f(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x2025,y2025)，则2025i=1(x i+y i)=()A.0B.20252C.2025 D.607523.(山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知数列a n满足：a1=1，点n,a n+a n+1在函数y=kx+1的图象上，其中k为常数k≠0，且a1,a2,a4成等比数列，则k的值为()A.2B.3C.4D.54.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =e x-a-a+1xx≥1，则使f x 有零点的一个充分条件是()A.a<-1B.-1<a<0C.0<a<1D.a>15.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f(x)=x2-2-x ln x，a= f(ln2)，b=f ln33，c=f1e ，则()A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c6.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)若x=2是函数f x = ax2+2x-2e x的极小值点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,1C.-1,+∞D.1,+∞7.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x =sin6ωx+cos6ωx-1ω>0在0,π3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.32,3B.32,3C.3,92D.3,928.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知a，b为正数，若∀x>-b，有函数f x =x +b x -a ≥1，则1a +8b的最小值为()A.9+22B.9+42C.9D.639.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且P A =AB =2，侧棱P A ⊥底面ABCD ，若四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为12π，则该四棱锥的表面积为()A.8+43B.8+63C.6+43D.8+4210.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f x =e x -xa-b ，当实数a >0时，对于x ∈R 都有f (x )≥0恒成立，则a 2b 的最大值为()A.-1e 2B.1e 2C.-2e 2D.2e 211.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数f (x )=e 2x -2ae x -4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f (f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是()A.0,12B.(0,1]C.12,+∞ D.(1,+∞)12.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知ω>0，函数f x =sin ωx 与g x =cos ωx 的图象在π,2π 上最多有两个公共点，则ω的取值范围为()A.0,14∪54,178 B.0,54∪94,178C.0,178 ∪94,218D.0,178∪94,5213.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=e x -3-e 3-x +x ，则满足f (2m -2)+f (m +1)>6的m 的取值范围是()A.(3,+∞)B.32,+∞C.13,+∞D.73,+∞14.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-ax +2a ,x <-11-ln (x +2),x ≥-1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.[-2,+∞)D.[-2,0]15.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)定义x 为不超过x 的最大整数，区间a ,b (或(a ,b ),[a ,b ),(a ,b ])的长度记为b -a ．若关于x 的不等式k [x ]>2[x ]-6 的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为()A.0,45B.12,45C.12,1D.45,116.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为()A.313B.15C.14D.41317.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)对于x>0，e2λx-1λln x≥0恒成立，则正数λ的范围是()A.λ≥1e B.λ≥12eC.λ≥2eD.λ≥e18.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =xe3x-ln x-x-a x，若对任意的x>0，f x ≥1恒成立，则实数a的取值范围为()A.-3,3B.-2,2C.-4,4D.-1,119.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)函数f x =sin x-cos x cos5x2+π4在区间-π,2π上的所有零点之和为()A.πB.2πC.3πD.420.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知函数f x 的定义域为0,1，当x=0或x=1或x是无理数时，f x =0；当x=nm (n<m，m，n是互质的正整数)时，f x =1m．那么当a，b，a+b，ab都属于0,1时，下列选项恒成立的是()A.f a+b≤f a +f b B.f a+b≥f a ⋅f bC.f ab≥f a +f b D.f ab≥f a ⋅f b21.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P,Q，使得△PF1Q为正三角形，且OQ⊥F1P，则C的离心率为()A.2B.1+2C.3D.1+322.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知x0为函数f(x)=x2e x+e2ln x-2e2的零点，则x0+ln x0=()A.1B.2C.3D.423.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab ,a =b +1 个小球，第二层有a +1 b +1 个小球，第三层有a +2 b +2 个小球.....依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为()A.1B.2C.3D.424.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PD =2,∠APD =π4,∠BAD =π3，则三棱锥P -OCD 的外接球的体积为()A.423π B.823π C.1623π D.6423π25.(多选题)(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)已知函数f (x )=(x -1)ln x -ax -a (a ≠0)在区间(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列选项正确的是()A.a 的取值范围是(0,1)B.x 1x 2=1C.x 1+1 x 2+1 >4D.ln x 1+2a <ln x 2<ln x 1+2a +4326.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)如图，有一列曲线P 0,P 1,P 2,⋯，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k +1(k =0,1,2,3,⋯)是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记S k 为曲线P k 所围成图形的面积，则()A.P 3的边数为128B.S 2=4027C.P n 的边数为3×4nD.S n =85-35⋅49n27.(多选题)(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x3-ax+2,a∈R，则()A.f x 的图象关于点0,2对称B.∃a∈R,f x 仅有一个极值点C.当a=1时，f x 图象的一条切线方程为2x-y+4=0D.当a<3时，f x 有唯一的零点28.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法错误的是()A.ab有最小值14B.8a+8b有最大值82C.1a +1b有最小值4 D.a2+b2有最小值2229.(多选题)(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)函数f x =x+1x,x<03xe x,x≥0 ，关于x的方程f2x -m f x=0m∈R，则下列正确的是()A.函数f x 的值域为RB.函数f x 的单调减区间为-∞,0,1,+∞C.当m=12时，则方程有4个不相等的实数根D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是3e ,+∞30.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知幂函数f x =9m2-3x m的图象过点n,-1 m，则()A.m=-23B.f x 为偶函数C.n=364D.不等式f a+1>f3-a的解集为-∞,131.(多选题)(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知函数f x及其导函数f x 的定义域均为R，记g x =f x ，若g x+2的图象关于直线x=-2对称，且f x-1+f x+1=1+f-x，则()A.g x 是偶函数B.f x 是奇函数C.3为y=f x 的一个周期D.2025i=1g(i)=032.(多选题)(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)若存在实数b使得方程x4+mx 3+nx +b =0有四个不等的实根，则mn 的值可能为()A.-2024B.2025C.0D.-633.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知函数f (x )=ln (cos x )+sin 2x ，则()A.f (x )=f (-x )B.f (x )在-π2,-π4单调递增C.f (x )有最小值D.f (x )的最大值为1-ln2234.(多选题)(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l :y =x -1与C 相交于A ，B 两点，则()A.p =2B.p =4C.AB =8D.FA ⋅FB=-435.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知函数φ(x )的定义域为R ，对于∀x ，y ∈R ，恒有φ(x +y )=φ(x )+φ(y )-t ，且当x >0时，φ(x )<t ，则下列命题正确的有()A.φ(0)=tB.φ(x )=φ(2t -x )C.φ(-2024)=2t -φ(2024)D.∀x ≠y ∈R ，(x -y )[φ(x )-φ(y )]<036.(多选题)(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，(3n +2)S n +1+(3n -1)S n -1=(6n +1)S n (n ∈N ，且n ≥2)，若a 1=12，a 2=15，则下列说法正确的是()A.a 5=114B.数列1a n为等差数列C.数列an a 2n +1中的最小项为12D.数列(-1)na n a n +1的前2n 项和T 2n 为18n 2+12n37.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知a >0,b >0，且2a +b =4，则()A.ab ≤1B.1a +2b≥2C.2a +b ≤22D.b 2a+4a ≥1238.(多选题)(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )与g (x )的导函数分别为f (x )与g (x )，且f (x ),g (x ),f (x ),g (x )的定义域均为R ，g (x )-f (6-x )=3，f (x )=g (x -2)，g (x +4)为奇函数，则()A.g (2)+g (6)=0B.f(x +4)为偶函数C.f (x )=f (x +8)D.2024k =1g (k )=0同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则()A.P A∪B=1 B.P B∪C=1325C.A与B相互独立D.B与C相互独立40.(多选题)(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)定义：设f x是函数f x 的导数，f x 是函数f x 的导数，若方程f x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y=f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f x =ax3+bx2+53ab≠0的对称中心为1,1，则下列说法中正确的有()A.a=13，b=-1B.f110+f210 +⋅⋅⋅+f1810 +f1910 的值是19C.函数f x 有三个零点D.过-1,13只可以作两条直线与y=f x 图象相切41.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=23，CD=PC=PD=26．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()A.BM⊥平面PCDB.P A⎳平面MBDC.四棱锥M-ABCD外接球的表面积为18πD.四棱锥M-ABCD的体积为1242.(多选题)(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)某学习小组用函数图象：C1:y=4+-x2+4x，C2:y=4+-x2-4x和抛物线C3:x2=2py部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是()A.抛物线C3的方程为C3:x2=4yB.|PB|+|FB|的最小值为4C.S△P AB的最大值为h34=352 D.若P在C1上，则P A ⋅PB 的最小值为-443.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2AA 1，点M 是棱DD 1上的动点(不含端点)，则()A.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都垂直B.过点M 有且仅有一条直线与直线AC ，B 1D 1都相交C.有且仅有一个点M 满足△MAC 和△MB 1D 1的面积相等D.有且仅有一个点M 满足平面MAC ⊥平面MB 1D 144.(多选题)(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知P x 0,y 0 是曲线C :x 3+y 3=y -x 上的一点，则下列选项中正确的是()A.曲线C 的图象关于原点对称B.对任意x 0∈R ，直线x =x 0与曲线C 有唯一交点PC.对任意y 0∈-1,1 ，恒有x 0 <12D.曲线C 在-1≤y ≤1的部分与y 轴围成图形的面积小于π445.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中AB =4，M ，N ，D ，Q 分别为棱AB ,AC ,B 1C 1,AA 1的中点，DQ ⊥QM ，则以下结论正确的是()A.B 1C 1⎳平面QMNB.AA 1=6C.点Q 到平面DMN 的距离为6D.三棱锥D -QMN 的外接球表面积为131π1846.(多选题)(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ‹FA ,FB›=-1，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1,k 2，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是()A.若AF +BF =4，则AF ⋅BF =-1B.直线PN 的倾斜角α≥π4C.若k 1+k 2=2，则直线AB 的方程为x -y +1=047.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知F1、F2分别是双曲线C:x2-y2=2的左右焦点，点Q是圆A:(x-2)2+(y-3)2=12上的动点，下列说法正确的是()A.三角形AF1F2的周长是12B.若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2-y2=8C.若QF1+QF2=8，则Q的位置不唯一D.若P是双曲线左支上一动点，则PF2+PQ的最小值是5+32248.(多选题)(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)已知增函数f x的定义域为正整数集，f x 的取值也为正整数，且满足f f n=2n+1,n∈N*.下列说法正确的是()A.f1 =2B.f4 =6C.f2025=2536 D.对任意正整数n，都有f2n=3⋅2n-149.(山东省实验中学2025届高三第一次诊断考试数学试题)一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.现随机地将骰子抛掷三次(各次抛掷结果相互独立)，其向上的点数依次为a1,a2, a3，则事件“a1-a2+a2-a3+a3-a1=6”发生的概率为.50.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG,BH,CI,DJ,EK,FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI,PIJK,PKLG构成，∠GPI=∠IPK=∠KPG=θ≈109°28 ，设BC=1，则上顶的面积为.(参考数据：cosθ=-13,tanθ2=2)51.(山东省齐鲁名校联盟�天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题)已知函数f x =x ln x，则f x 的最小值为；设函数g x =x2-af x ，若g x 在0,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是.52.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =3x ,0≤x ≤1,ln x ,x >1, 若存在实数x 1,x 2满足0≤x 1<x 2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-6x 1的取值范围为.53.(山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +2 -2为奇函数，f 3x +1 为偶函数，f 1 =0，则2024k =1f (k )=.54.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知a >0且a ≠1，函数f x =2x ,x ≥1a x,x <1 ，若关于x 的方程f 2x -5f x +6=0恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是．55.(山东省名校考试联盟2024-2025学年高三上学期10月阶段性检测数学试题)已知三棱锥A -BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，若AB =26,CD =23，球O 的半径为7，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为．56.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)已知函数f x =log 3(3sin x +9sin 2x +1)+1，则f (m -2)+f 2-m =．57.(江西省上进联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题)函数f x =8ln sin x +sin 22x 在区间0,π2上的零点个数为个．58.(江西省部分学校2025届高三上学期9月月考考试数学试题)已知平面向量a=(2,1)，b 为单位向量，且(a +2b )⊥(a -b )，则向量b 在向量a 上的投影向量的坐标为．59.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=2，且a n +1=a n +a n +2，则a 2029=60.(福建省百校联考2024-2025学年高三上学期10月联合测评数学试题)已知不等式a +2ln x -2x2≤e x-1x恒成立，则实数a 的取值范围为．61.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)若函数f (x )=e xx 2+bx +1在x =2时取得极小值，则f (x )的极大值为．62.(安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题)已知函数f (x )=m x ,g (x )=3+ln x ，若存在两条不同的直线与曲线y =f (x )和y =g (x )均相切，则实数m 的取值范围为.63.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)已知样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6的平均数为3，方差为4，样本y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的平均数为8，方差为2，则新样本x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 6,y 1,y 2,⋅⋅⋅,y 9的方差为.1164.(安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题)在△ABC 中，AB ⋅CB -AC ⋅BC =-12BC 2，则tan B -C 的最大值为.65.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知数列a n 的通项公式是a n =2n -1，记b m 为a n 在区间m ,2m m ∈N ,m >0 内项的个数，则使得不等式b m +1-b m >2062成立的m 的最小值为.66.(安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷)已知函数f x =-x 2-2x +1,x <0log 2x ,x >0 ，若方程f x =a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，x 4⋅x 1+x 2 +16x 3⋅x 24的取值范围是..67.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)已知曲线y =e x 在x =1处的切线l 恰好与曲线y =a +ln x 相切，则实数a 的值为．68.(浙江省强基联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷)数学老师在黑板上写上一个实数x 0，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数x 0乘以-2再加上3得到x 1，并将x 0擦掉后将x 1写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数x 0除以-2再减去3得到x 1，也将x 0擦掉后将x 1写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x 2．现已知x 2>x 0的概率为0.5，则实数x 0的取值范围是．69.(浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(10月)数学试题)“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方(从0开始)，然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为0×42+1×41+3×40=7；四进制数0033转换为十进制数为0×43+0×42+3×41+3×40=15；四进制数1230转换为十进制数为1×43+2×42+3×41+0×40=108；现将所有由1，2，3组成的4位(如：1231，3211)四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为．70.(浙江省新阵地教育联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题)甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)一、单选题1.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)函数f x =A sin ωx +π4ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3，要得到函数g x =A cos ωx 的图象，只需将f x 的图象( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移3π4个单位【答案】A【解析】由题意，函数f x =A sin ωx +π4 ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3∴ 周期T =2π3，由周期公式：T =2πω∴T =2π3=2πω解得： ω=3∴f x =A sin 3x +π4 =A sin3x +π12要得到g x =A cos3x ，即g x =A cos3x =A sin 3x +π2=A sin3x +π6 由题意，可得f x 向左平移π12个单位可得g x .故选：A .2.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)若函数f x =e x -a -1 x +1在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是( )A.2,e +1B.2,e +1C.-∞,2 ∪e +1,+∞D.-∞,2 ∪e +1,+∞【答案】A【解析】∵f (x )=e x -(a -1)x +1，∴f (x )=e x -a +1，若f (x )在(0,1)上不单调，则f (x )在(0,1)上有变号零点，又∵f (x )单调递增，∴f 0 ∙f 1 <0，即(1-a +1)(e -a +1)<0，解得2<a <e +1．∴a 的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．3.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知圆C :x 2+y 2-10y +21=0与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.2B.53C.52D.5【答案】C【解析】由双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为y =b a x ，即bx -ay =0，又由圆C :x 2+y 2-10y +21=0，可得圆心为C (0,5)，半径r =2，则圆心到直线的距离为d =-5a b 2+(-a )2=5a c ，则5a c =2，可得e =c a =52，故选C ．4.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)过圆x 2+y 2=64上的动点作圆C :x 2+y 2=16的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π【答案】A 【解析】设圆x 2+y 2=64的动点为P m ,n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，则过P ,A ,B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：x x -m +y y -n =0.由x 2+y 2=16x x -m +y y -n =0 可得AB 的直线方程为：mx +ny =16.原点到直线mx +ny =16的距离为16 m 2+n 2=1664=2，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A .5.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9B.8π9C.16π27D.8π27【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r 2=3-x3，∴x =3-32r ，∴圆柱的体积为V (r )=πr 23-32r (0<r <2)，则V (r )=169π∙34r ∙34r ∙3-32r ≤16π9∙34r +34r +3-32r 33=16π9．当且仅当34r =3-32r ，即r =43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A ．6.(2022·福建省福州延安中学高三开学考试)已知2sin 2x +cos 2y =1，则sin 2x +cos 2y 的取值范围是( )A.0,12B.12,1C.22,1D.12,22【答案】B【解析】∵2sin 2x +cos 2y =1，∴cos 2y =1-2sin 2x ，∴0≤1-2sin 2x ≤1，∴0≤sin 2x ≤12，又sin 2x +cos 2y =sin 2x +1-2sin 2x =1-sin 2x ∈12,1，∴sin 2x +cos 2y 的取值范围是12,1.故选：B7.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为偶函数，f (x +2)为奇函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b .若f (0)+f (3)=4，则f 92=( )A.-2B.32C.-72D.72【答案】A【解析】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)的图像关于y 轴对称，所以f (x )关于x =1对称，则f (0)=f (2)，试卷第2页，共40页因为f (x +2)为奇函数，则f (x +2)的图像关于原点对称，且f (2)=0，所以f (x )关于(2,0)对称，则f (3)=-f (1)，因为当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b ，所以f (1)=a +b ，f (2)=2a +b =0，因为f (0)+f (3)=4，所以f (2)-f (1)=a =4，故f (2)=2a +b =8+b =0⇒b =-8，从而当x ∈[1,2]时，f (x )=4x -8，故f 92 =-f -12 =-f 52 =f 32 =4×32-8=-2.故选：A .8.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)设函数f x 是奇函数f x x ≠0 的导函数，f -1 =-2．当x >0时，f x >2，则使得f x >2x 成立的x 的取值范围是( )A.-∞,-1 ∪0,1 B.-1,0 ∪1,+∞ C.-∞,-1 ∪1,+∞ D.-1,0 ∪0,1【答案】B【解析】因为当x >0时，f x >2，所以f 'x -2>0，故令g x =f x -2x ，则g 'x =f 'x -2>0，故g x 在0,+∞ 上单调递增.因为f -1 =-2，所以g -1 =f -1 +2=0，又因为f x 为奇函数，所以g x =f x -2x 为奇函数，所以g 1 =0，且在区间-∞,0 上，g x 单调递增.所以使得f x >2x ，即g x >0成立的x 的取值范围是-1,0 ∪1,+∞ .故选：B9.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)若函数f x =x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m 的值A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a +b ,f -a 2 =b -a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．10.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2 C.2 D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．11.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f x =x 2+4a -3 x +3a ,x <0log ax +1 +1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程f x =2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.12,23 ∪34B.23,34 C.13,23 ∪34D.13,34【答案】C【解析】函数f x 在R 上单调递减，则3-4a 2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 0+1 +1，解得13≤a ≤34，在同一直角坐标系中，画出函数y =f x 和函数y =2-x 的图象，如图：由图象可知，在0,+∞ 上，f x =2-x 有且仅有一个解，故在-∞,0 上，f x =2-x 有且仅有一个解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0,x <0，则Δ=(4a -2)2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，方程可化为x +12 2=0,x =-12符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为13,23 ∪34.故选：C .12.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知正实数a ,b 满足abe a +ln b +1=0，则( )A.b >1eB.a <1C.ab =1D.e a <1b【答案】D【解析】因为abe a +ln b +1=0，所以ae a =-ln b -1b>0，故ln b +1<0，即0<b <1e，故选项A 错误；若a =1，则eb +ln b +1=0，作出函数y =ln x 与y =-ex -1的图象如图所示：显然有交点，则方程eb +ln b +1=0有解，故选项B 错误；若ab =1，则e a -ln a +1=0，即e a =ln a -1，作出函数y =e x 与y =ln x -1的图象如图所示：显然无交点，则方程e a -ln a +1=0无解，故选项C 错误；因为abe a +ln b +1=0，则ae a +1b =-ln bb=-ln b ⋅e -ln b >ae a ，且-ln b >0，令f x =xe x (x >0)，则fx =x +1 e x >0，所以f x在区间,+∞ 上单调递增，所以f -ln b >f a ，即-ln b >a ，因此e a <1b，故选项D 正确.故选：D13.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =ln x x 2，若f x <m -1x2在(0,+∞)上恒成立，e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是( )试卷第2页，共40页A.m >eB.m >e2C.m >1D.m >e【答案】B【解析】若f x <m -1x 2在(0,+∞)上恒成立，即f x +1x2<m 在(0,+∞)上恒成立，令g (x )=f (x )+1x 2=ln x +1x 2，故只需g (x )max <m 即可，g (x )=1x ⋅x 2-(ln x +1)⋅2xx 4=-2ln x -1x 3，令g(x )=0，得x =e -12，当0<x <e-12时，g(x )>0；当x >e-12时，g (x )<0，所以g (x )在0，e-12上是单调递增，在e -12,+∞ 上是单调递减，所以当g (x )max =g e -12 =e2，所以实数m 的取值范围是m >e2.故选：B .14.(2022·河北省唐县第一中学高三开学考试)定义运算a *b ，a *b ={a b a ≤ba >b，例如1*2=1，则函数y =1*2x 的值域为A.0,1 B.-∞,1 C.1,+∞ D.0,1【答案】D【解析】当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y =1*2x =1当1>2x 时，即x <0时，函数y =1*2x =2x ∴f (x )=1，x ≥02x ，x <0由图知，函数y =1*2x 的值域为：(0，1]．故选D ．15.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x =log 3x ,x >03x,x ≤0，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】A【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：∵函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰好有5个不同的零点，∴方程f x2-m +2 f x +2m =0有5个根，设t =f (x )，则方程化为t 2-m +2 t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f (x )的图象可知，t 1∈0,1 ，t 2∈1,+∞ ，令h (t )=t 2-m +2 t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m +2)2-8m >0h (0)>0h (1)≤0，解得：0<m ≤1.故选：A16.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知定义在(-3,3)上的函数f (x )满足f (x )+e 4x f (-x )=0,f (1)=e 2,f (x )为f (x )的导函数，当x ∈[0,3)时，f (x )>2f (x )，则不等式e 2x f (2-x )<e 4的解集为( )A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+∞)D.(0,1)【答案】B 【解析】令g x =f xe2x ，所以f x =e 2x g x ，因为f x +e 4x f -x =0，所以e 2x ⋅g x +e 4x ⋅e -2x g -x =0，化简得g x +g -x =0，所以g x 是-3,3 上的奇函数；gx =f x e 2x -2e 2x f x e 4x =f x -2f x e 2x，因为当0≤x <3时，f x >2f x ，所以当x ∈0,3 时，g x >0，从而g x 在0,3 上单调递增，又g x 是-3,3 上的奇函数，所以g x 在-3,3 上单调递增；考虑到g 1 =f 1 e 2=e 2e2=1，由e 2x f 2-x <e 4，得e 2x e 22-x g 2-x <e 4，即g 2-x <1=g 1 ，由g x 在-3,3 上单调递增，得-3<2-x <3,2-x <1,解得1<x <5，所以不等式e 2x f 2-x <e 4的解集为1,5 ，故选：B .17.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线C :y 2-x 2=5与直线x =±2所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是( )A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】由y 2-x 2=5x =2得：y =±3，则当y =t 5<t <3 与C 相交于两点时，内圆半径r =t 2-5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为4π-t2-5 π=9-t 2 π；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，试卷第2页，共40页对于③，双曲线实轴长为25，③中y 轴的最短距离为6-232-22=6-25，不合题意，③错误；对于④，几何体Γ母线长为6，④中y 轴的最长距离为25+232-22=45，不合题意，④错误；对于①，在y 轴的最短距离为6-2×3-32-22 =25，母线长为6，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为232-3+5-t 2，此时圆环面积为4π-32+3+5-t 2 π=-t 2+23+5 t -14-25 π，不合题意，①错误对于②，在y 轴的最长距离为25+2×3-32-22 =6，矩形高为25，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为232-t 2=29-t 2，此时圆面积为9-t 2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B .18.(2022·辽宁·高三开学考试)已知函数f x 满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则2022k =0f (k )= ( )A.12B.14C.-14D.-12【答案】A【解析】4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，令x =1,y =0得：4f 1 f 0 =2f 1 ，因为f 1 =14，所以f 0 =12，令x =n ，y =1得：4f n f 1 =f n +1 +f n -1 ，即f n =f n +1 +f n -1 ，则f n +1 =f n +2 +f n ，上面两式子联立得：f n +2 =-f n -1 ，所以f n -1 =-f n -4 ，故f n +2 =f n -4 ，故f x 是以6为周期的函数，且f 0 +f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 =f 0 +f 1 +f 2 -f 0 -f 1 -f 2 =0，所以2022k =0f (k )= 3375k =0f (k )+f 2022 =0+ f 2022 =f 0 =12故选：A19.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知△ABC ，I 是其内心，内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，则( )A.AI =13(AB +AC )B.AI =cAB a +bACaC.AI =bAB a +b +c +cAC a +b +cD.AI =cAB a +b +bACa +c 【答案】C【解析】延长AI ,BI ,CI ，分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：BD sin 12∠BAC =c sin ∠ADB ,CD sin 12∠BAC =bsin ∠ADC ，由于sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以BD c =CD b ,BD CD =c b ，BD BD +CD =c b +c ,BD a =c b +c ,BD =acb +c，同理可得c BD =AI DI ，c BD +c =AI DI +AI =AIAD ，AI =c ⋅AD BD +c =c ac b +c+c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅AD .所以AD =AB +BD =AB +c b +c BC =AB +c b +c AC -AB=b b +c AB +c b +c AC，则AI =b +c a +b +c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅b b +c AB +c b +c AC =b a +b +c AB +ca +b +c AC .故选：C 20.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知不等式x ln x +(x +1)k <2x ln2的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是( )A.0,34ln 43 B.34ln 43,23ln2C.23ln2,+∞D.34ln 43,23ln2【答案】D【解析】由x ln x +x (k -ln4)+k <0可得：k (x +1)<x ln4-x ln x ，设f (x )=k (x +1),g (x )=x ln4-x ln x ，g (x )=ln4-ln x -1，x ∈0,4e时，g (x )>0，g (x )单调递增，x ∈4e ,+∞ 时，g (x )<0，g (x )单调递减，则当x =4e时函数g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当k ≤0时，整数解超过了2个，不满足题意；当k >0时，需满足f 2 <g 2 f 3 ≥g 3 得：34ln 43≤k <23ln2．故选择：D ．21.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若α，β∈0，π2，且(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，则下列结论正确的是( )A.α+β=π2B.α+β2=π2C.2α-β=π2D.α-β=π2【答案】C【解析】∵α，β∈0，π2，∴cos α≠0.由(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，可得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β，即cos α(1+sin β)=sin αcos β.∴cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin α-β ，∴sin α-β =sin π2-α.∵α，β∈0，π2 ，∴-π2<α-β<π2，且0<π2-α<π2.由于函数y =sin x 在x ∈-π2，π2 上单调递增，∴α-β=π2-α，即2α-β=π2.故选:C .二、多选题22.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m .安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙(船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某试卷第2页，共40页季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m 时刻水深/m 时刻水深/m 0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )A.f x =2.5cos π6x+5 B.f x =2.5sin π6x+5C.该货船在2：00至4：00期间可以进港 D.该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【解析】依据表格中数据知，可设函数为f x =A sin ωx +k ，由已知数据求得A =2.5，k =5，周期T =12，所以ω=2πT =π6﹐所以有f x =2.5sin π6x +5，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以2.5sin π6x +5≥6.25，得sin π6x ≥12，又0≤x ≤24⇒0≤π6x ≤4π，则有π6≤π6x ≤5π6或13π6≤π6x ≤17π6，从而有1≤x ≤5或13≤x ≤17，选项C ，D 都正确.故选：BCD23.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，则( )A.函数f x +π12 为奇函数B.函数f x 在π3,π2上单调递增C.函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像关于x =π6对称，则a 的最小值是π3D.若方程f x =a 在π6,2π3 上有2个不同实根x 1,x 2，则x 1-x 2 的最大值为π2【答案】AC【解析】因为函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，所以，2×π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，解得φ=-π6+k π,k ∈Z ，因为-π2<φ<π2，所以φ=-π6，即f x =3sin 2x -π6，所以，对于A 选项，函数f x +π12 =3sin2x ，是奇函数，故正确；对于B 选项，当x ∈π3,π2 时，2x -π6∈π2,5π6，由于函数y =sin x 在π2,5π6 上单调递减，所以函数f x 在π3,π2 上单调递减，故错误；对于C 选项，函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像对应的解析式为g x =3sin 2x -2a -π6，若g x 图像关于x =π6对称，则2×π6-2a -π6=π2+k π,k ∈Z ，解得a =-π6+k π2,k ∈Z ，由于a >0，故a 的最小值是π3，故正确；对于D 选项，当x ∈π6,2π3时，2x -π6∈π6,7π6，故结合正弦函数的性质可知，若方程f x =a 在π6,2π3上有2个不同实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1-x 2 取得最大值时满足2x 1-π6=π6且2x 2-π6=5π6，所以，x 1-x 2 的最大值为π3，故错误.故选：AC 24.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知定义在R 上的奇函数f x 图象连续不断，且满足f x +2 =f x ，则以下结论成立的是( )A.函数f x 的周期T =2B.f 2019 =f 2020 =0C.点1,0 是函数y =f x 图象的一个对称中心D.f x 在-2,2 上有4个零点【答案】ABC【解析】定义在R 上的奇函数f (x )图象连续不断，且满足f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2，所以A 正确；f (-1+2)=f (-1)，即f (1)=f (-1)=-f (1)，所以f (1)=f (-1)=0，所以f (2019)=f (1)=0，f (2020)=f (0)=0，所以B 正确；f x +2 =f x =-f -x ⇒f x +2 +f -x =0⇒f x 图象关于1,0 对称，所以C 正确；f (x )在[-2，2]上有f (-2)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (2)=0，有5个零点，所以D 不正确；故选：ABC ．25.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=-x 2-2x ,x <0f (x -2),x ≥0，以下结论正确的是( )A.f (-3)+f (2019)=-3B.f x 在区间4,5 上是增函数C.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈-12,-14D.若函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则6i =1x i f x i 的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函数f (x )的图象如图所示：对A ，f (-3)=-9+6=-3，f (2019)=f (1)=f (-1)=1，所以f (-3)+f (2019)=-2，故A 错误；对B ，由图象可知f x 在区间4,5 上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知k ∈-12,-14，直线f (x )=kx +1与函数图象恰有3个交点，故C 正确；对D ，由图象可得，当函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则01eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>0【答案】AD试卷第2页，共40页【解析】函数f (x )=x ln x +x 2,(x >0),∴f (x )=ln x +1+2x ,∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f x 0 =0，即∴ln x 0+1+2x 0=0，∴f 1e =2e >0,当x >1e时，f x >0∵x →0,f (x )→-∞,∴0<x 0<1e,即A 选项正确,B 选项不正确;f x 0 +2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0ln x 0+x 0+2 =x 01-x 0 >0,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD .27.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)设函数f x =sinπxx 2-x +54，则下列结论正确的是( )A.f x 的最大值为1B.f x ≤4xC.曲线y =f x 存在对称轴D.曲线y =f x 存在对称中心【答案】ABC【解析】A ：因为x 2-x +54=x -12 2+1≥1,sinπx ≤1，所以sinπx ≤x 2-x +54⇒sinπx x 2-x +54≤1⇒f (x )≤1，当且仅当x =12时，f x =1故A 正确；B ：f x ≤4x 等价于sinπx ≤4x 3-x 2+54x ，设g x =x -sin x ,x ∈0,+∞ ，g (x )=1-cos x ≥0，所以函数g (x )=x -sin x 在x ∈[0,+∞)时单调递增，因此有g (x )≥g (0)=0-sin0=0，即x ≥sin x ,x ∈0,+∞ ，而设函数h (x )=x -sin x ，h (-x )=-x -sin (-x ) =x -sin x =h (x )，所以h (x )=x -sin x 是实数集上的偶函数，因此有x ≥sin x ，即πx ≥sinπx ，4x x 2-x +54 ≥4x ×1=4x ，f x ≤πx x 2-x +54≤πx ≤4x ，故B 正确；C ：因为f 12+x -f 12-x =sinπ12+x 12+x -12 2+1-sinπ12-x 12-x -12 2+1=cosπx -cosπx x 2+1=0，所以曲线y =f x 关于直线x =12对称，故C 正确；D ：设曲线y =f x 存在对称点，设为(a ,b )，则有f (a +x )+f (a -x )=2b ，当x =0时，则有2f (a )=2b ⇒f (a )=b ，当x =a 时，则有f (2a )=2b ⇒2f (a )=f (2a )，即sin2a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54⇒2sin a πcos a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54，因此有sin a π=0，所以a 为整数，b =f a =sin a πa 2-a +54=0，令x =12，f a +12 +f a -12=0，而f a +12 +f a -12 =sinπa +12 a +12-12 2+1+sinπa -12a -12-12 2+1=cos a πa 2+1-cos a π(a -1)2+1，显然f a +12 +f a -12=0不恒成立，故D 不正确.故选：ABC .28.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.P B =25B.P B |A 1 =511C.事件B 与事件A 1不相互独立D.A 1,A 2,A 3两两互斥【答案】BD 【解析】P A 1 =510=12,P A 2 =210=15,P A 3 =310，又P B |A 1 =511,P B |A 2 =411,P B |A 3 =411，故B 正确.故P (B )=P B |A 1 P A 1 +P B |A 2 P A 2 +P B |A 3 P A 2=511×12+411×15+411×310=922，故A 错误.P B P A 1 =922×12=944,P BA 1 =P B |A 1 P A 1 =522，故P B P A 1 ≠P BA 1 ，所以事件B 与事件A 1不相互独立，根据互斥事件的定义可得A 1,A 2,A 3两两互斥，故选：BD .29.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<10，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.ω=2B.ω=3C.f (x )在5π12,11π12上单调递增D.f (x )图像关于直线x =2π3对称【答案】AC【解析】由图可知： x =0，y =32；可得：ω×0+φ=2π3+2k π,k ∈Z ，所以φ=2π3+2k π,k ∈Z 又0<φ<π，所以φ=2π3；由x =π6，y =0，可得π6ω+2π3=π+2k π,k ∈Z ，所以ω=2+12k ,k ∈Z又0<ω<10，可得ω=2，所以A 选项正确，B 选项错误；所以函数的解析式为：f (x )=sin 2x +2π3 ，则f (x )在R 上的增区间满足：-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π,k ∈Z解得增区间为-7π12+k π,-π12+k π,k ∈Z ，所以当k =1时，函数f (x )的单调增区间为5π12,11π12，所以C 选项正确；当x =2π3时，f 2π3 =sin2π=0≠±1，所以直线x =2π3不是f (x )的对称轴，所以D 选项不正确；故选：AC ．30.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |，下列叙述正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间π2,π单调递增C.f (x )的最大值为2 D.f (x )在[-π,π]有4个零点【答案】AC【解析】f (-x )=sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；x ∈π2,π 时，f (x )=sin x +sin x =2sin x ，单调递减，B 错误；试卷第2页，共40页f (x )=sin x +sin x ≤1+1=2，且f π2=2，因此C 正确；在[-π,π]上，-π<x <0时，f (x )=sin (-x )+(-sin x )=-2sin x >0，0<x <π时，f (x )=sin x +sin x =2sin x >0，f (x )的零点只有π,0,-π共三个，D 错．故选：AC ．31.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)已知关于x 的不等式a (x -1)(x +3)+2>0的解集是x 1,x 2 ，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A.x 1+x 2+2=0 B.-3<x 1<x 2<1C.x 1-x 2 >4D.x 1x 2+3<0【答案】ACD【解析】由题设，a (x -1)(x +3)+2=ax 2+2ax -3a +2>0的解集为x 1,x 2 ，∴a <0，则x 1+x 2=-2x 1x 2=2a-3<0，∴x 1+x 2+2=0，x 1x 2+3=2a<0，则A 、D 正确；原不等式可化为f (x )=a (x -1)(x +3)>-2的解集为x 1,x 2 ，而f(x )的零点分别为-3,1且开口向下，又x 1<x 2，如下图示，∴由图知：x 1<-3<1<x 2，x 1-x 2 >4，故B 错误，C 正确.故选：ACD .32.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0，f (x )+f (x +6)=0，且对任意的x 1,x 2∈[-3，0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则以下判断正确的是( )A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[-9，-6]上单调递增C.x =2是函数f (x +1)的对称轴D.函数f (x )的最小正周期是12【答案】BCD【解析】因为定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )，故函数f (x )是奇函数，故A 错误；因为f (x )+f (x +6)=0，故f (x +6)=-f (x )，而f (-x )=-f (x )，所以f (x +6)=f (-x )，即f (x )的图象关于x =3对称，则x =2是函数f (x +1)的对称轴，故C 正确；因为f (x +6)=f (-x )，所以f (x +12)=-f (x +6)=f (x )，故12是函数f (x )的周期；对任意的x 1,x 2∈[-3，0] ，当x 1≠x 2 时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ，即(x 1-x 2)⋅[f (x 1)-f (x 2)]<0，故x ∈[-3，0]时，f (x )单调递减，又因为f (x )为奇函数，所以x ∈[0，3]时，f (x )单调递减，又因为f (x )的图象关于x =3对称，故x ∈[3,6]时，f (x )单调递增，因为12是函数f (x )的周期，故函数f (x )在[-9,-6] 单调性与x ∈[3,6]时的单调性相同，故函数f (x )在[-9,-6]上单调递增，故B 正确，作出函数f (x )的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数f (x )的最小正周期，D 正确；故选：BCD33.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f (x )=ln (x +1)x，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-1，0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数B.当x 1>x 2>0时，f (x 1)x 22>f (x 2)x 21C.若方程f (|x |)=a 有2个不相等的解，则a 的取值范围为(0,+∞)D.1+12+⋯+1n -1 ln2≤ln n ，n ≥2且n ∈N +【答案】BD【解析】对于选项A ：f x =ln x +1 x ，x ∈-1,0 ∪0,+∞ .则f x =x -x +1 ln x +1x +1 x2，令g x =x -x +1 ln x +1 ,x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，则g x =-ln x +1 ，当x ∈-1,0 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈0,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.所以对任意x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，g x <g 0 =0，即f x <0，所以f x 在-1,0 ,0,+∞ 都是减函数，故A 错误；对于选项B ：令h x =x 2f x =x ln x +1 ,x ∈0,+∞ ，则h x =x +x +1 ln x +1x +1，当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增，所以当x 1>x 2>0时，h x 1 >h x 2 ，即x 12f x 1 >x 22f x 2 ，所以f x 1 x 22>f x 2 x 12，故B 正确；对于选项C ：因为y =f x 是偶函数，所以“方程f x =a 有2个不相等的解”等价于“方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解”.由A 可知，f x 在0,+∞ 上单调递减，且x →0时，f x →1；x →+∞时，f x →0，所以，当0<a <1时，方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解，即f x =a 有2个不相等的解，故C 错误；对于选项D ：由A 知，f x 在0,12 上单调递减，则对任意x ∈0,12 ，f x ≥f 12 =2ln 32=ln 94>ln2，即ln x +1 x >ln2，所以当n ≥2时，ln 1n+1 1n>ln2，即1n ln2<ln n +1n.所以ln2=ln2，12ln2<ln 32，13ln2<ln 43，⋯，1n -1ln2<ln nn -1，以上式子相加得ln2+12ln2+13ln2+⋯+1n -1ln2≤ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n n -1，即1+12+13+⋯+1n -1 ln2≤ln n (n =2时，等号成立)，故D 正确.故选：BD .34.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =A cos ωx +φ (A >0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为-π12,3 ，与之相邻的一个对称中心为π6,0 ，将f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g x 的图象，则( )A.g x 为偶函数B.g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12试卷第2页，共40页C.g x 为奇函数D.g x 在0,π2上只有一个零点【答案】BD 【解析】由题意，可得T 4=π6--π12 =π4，所以T =π，可得w =2πT=2，所以f x =3cos (2x +φ)，因为f -π12 =3cos 2×-π12 +φ =3，所以φ-π6=2k π,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ=π6，即f x =3cos 2x +π6 ，所以g x =3cos 2x -π6 +π6 =3cos 2x -π6 ，可得函数g x 为非奇非偶函数，令-π+2k π≤2x -π6≤2k π,k ∈Z ，可得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ，当k =0时，函数g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12；由2x -π6=π2+k π,,k ∈Z ，解得x =π3+k π,k ∈Z ，所以函数g x 在0,π2上只有一个零点.故选：BD35.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是( )A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12【答案】ABC【解析】由x 2f x +xf x =ln x ，可知x >0，则xf x +f x =ln x x ，即xf x =ln xx．设g x =xf x ，则由g x =ln xx>0得x >1，由g x <0得0<x <1，所以g x =xf x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，所以当x =1时，函数g x =xf x 取得极小值g 1 =f 1 =12．故选：ABC ．36.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)若4x -4y <5-x -5-y ，则下列关系正确的是( )A.x <yB.y -3>x -3C.x >yD.13 y <3-x【答案】AD【解析】由4x -4y <5-x -5-y ，得4x -5-x <4y -5-y ，令f x =4x -5-x ，则f x <f y ．因为g x =4x ，h x =-5-x 在R 上都是增函数，所以f x 在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G x =x -3在0,+∞ 和-∞,0 上都单调递减，所以当x <y <0时，x -3>y -3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y =13 x 在R 上是减函数，且x <y ，所以13 y <13 x ，即13y<3-x ，故D 正确．故选：AD ．37.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x<0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =2022D.不等式f 1x -f x -3 ≥2的解集为4,+∞【答案】ABD【解析】对于A ，令x =y =1 ，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x=-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =f 12022×2022 +f 12021×2021 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1+⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12=-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，故D 正确,故选:ABD ．38.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱DC 上运动(不与顶点重合)，则点B 到平面AD 1P 的距离可以是( )A.2B.3C.2 D.5【答案】CD【解析】以D 为原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0),A (3,0,0),B (3,3,0),D 1(0,0,3)，设P (0,t ,0)，所以AP =-3,t ,0 ,AD 1 =-3,0,3 ，AB =(0,3,0)，设n 1=x 1,y 1,z 1 为平面AD 1P 的法向量，则有： n 1 ⋅AP=-3x 1+ty 1=0n 1 ⋅AD 1 =-3x 1+3z 1=0，令y 1=3，可得n=(t ,3,t )，试卷第2页，共40页则点B 到平面AD 1P 的距离为d =AB ⋅nn=92t 2+9，因为0<t <3，所以距离的范围是(3,3).故选：CD .39.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知a >b >1，则( )A.a ln b >b ln aB.e 1a-1b<a bC.a >e1-1bD.若b m =b +n ，则a m >a +n【答案】BC【解析】因为a >b >1，所以a ln b >b ln a ⇔ln b b>ln aa ，设函数f (x )=ln x x (x >1)，f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(1,e )时，f (x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以A 选项错误；因为a >b >1，所以由e 1a-1b<a b ⇔1a -1b <ln a -ln b ⇔ln a -1a >ln b -1b，设函数g (x )=ln x -1x ，g (x )=1x +1x 2，当x ∈(0,+∞)时，g(x )>0，函数g (x )单调递增，所以B 选项正确；因为a >e 1-1b ⇔ln a >1-1b ，设函数h (a )=ln a -1-1a ，所以h (a )=a -1a 2，当a ∈1,+∞ 时，h (a )>0，函数h (a )单调递增，当a ∈0,1 时，h (a )<0，函数h (a )单调递减，所以h (a )>h (1)=0，即ln a -1-1a >0⇒ln a >1-1a，因为a >b >1，所以1a <1b ⇒1-1a >1-1b ，因此ln a >1-1a >1-1b，所以C 选项正确.令b =2,m =0，则有n =-1，又令a =3，所以a m =a 0=1,a +n =2，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC40.(2022·辽宁·高三开学考试)双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】方法一(几何法，双曲线定义的应用)情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为B ，所以OB ⊥F 1N ，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的左支，OB =a ，OF 1 =c ， F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a52a -32a +2b =2a ，2b =a ，∴e =52选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，所以OB =a ，OF 1 =c ，F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由cos ∠F 1NF 2=35，即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a 32a +2b -52a =2a ，所以2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a2=132选C方法二(答案回代法)A 选项e =52特值双曲线x 24-y 2=1,∴F 1-5,0 ,F 25,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =2x +5 ，∵两交点都在左支,∴N -655,-255 ，∴NF 2 =5,NF 1 =1,F 1F 2 =25，则cos ∠F 1NF 2=35，C 选项e =132特值双曲线x 24-y 29=1,∴F 1-13,0 ,F 213,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =23x +13 ，∵两交点在左右两支，N 在右支，∴N 141313,181313 ，∴NF 2 =5,NF 1 =9,F 1F 2 =213，则cos ∠F 1NF 2=35，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又OG =a ，OF 1 =c ，GF 1 =b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有NF 2 sin β=NF 1 sin α+β=2csin α，故NF 1 -NF 2 sin α+β -sin β=2c sin α即a sin α+β -sin β=c sin α，试卷第2页，共40页所以a sin αcos β+cos αsin β-sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=132若M ,N 均在左支上，同理有NF 2sin β=NF 1sin α+β=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=-bc，故NF 2 -NF 1 sin β-sin α+β=2c sin α即a sin β-sin αcos β-cos αsin β=c sin α，代入cos α=35，sin β=a c ，sin α=45，整理得到：a 4b +2a=14，故a =2b ，故e =1+b a 2=52，故选：AC .41.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)将以下四个方程e x =a -x 、x 2=a -x (x >0)、x =a -x 、ln x =a -x 的正数解分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则以下判断一定正确的有( )A.x 1<x 2<x 3<x 4 B.x 1+x 2+x 3+x 4=2aC.x 3-x 1=x 4-x 2D.x 1x 4=x 2x 3【答案】BC【解析】画出y =e x ,y =x 2x >0 ,y =x ,y =ln x ,y =a -x 的图象如下图所示，y =x y =a -x ⇒x =y =a 2，由图可知x 1,x 4关于x =a 2对称，x 2,x 3关于x =a2对称，所以x 1+x 4=a ,x 2+x 3=a ，则x 1+x 2+x 3+x 4=2a ,x 1-x 2+x 4-x 3=0,x 3-x 1=x 4-x 2，所以BC 选项正确.当a =2时，x 1+x 4=x 2+x 3=2且x 2=x 3=1，x 1<x 2=x 3<x 4所以A 选项不正确，对于D 选项，x 1x 4<x 1+x 422=1=x 2x 3，所以D 选项不正确.故选：BC42.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知函数f (x )在R 上有定义，记f (x )为函数f (x )的导函数，又f (2x -1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )A.f 4x -2 是奇函数 B.f x -1 +f 3x -1 是奇函数C.f 4x 2-2 是偶函数 D.f (-5x -1)是偶函数【答案】BCD【解析】若f x =x +1，则f 2x -1 =2x 为奇函数，而f 4x -2 =4x -1为非奇非偶函数，所以A 选项错误.由于f 2x -1 是奇函数，所以f -2x -1 =-f 2x -1 ，对于函数f x -1 +f 3x -1 ，f -x -1 +f -3x -1 =-f x -1 -f 3x -1 =-f x -1 +f 3x -1 ，所以f x -1 +f 3x -1 是奇函数，B 选项正确.对于函数f 4x 2-2 ，f 4-x 2-2 =f 4x 2-2 ，所以函数f 4x 2-2 是偶函数，C 选项正确.对于D 选项，先证明奇函数的导数是偶函数：若f x 是定义在R 上的奇函数，则f -x =-f x ，两边求导得f -x =-f x ，即-f -x =-f x ，即f -x =f x ，所以奇函数的导数是偶函数.然后证明f -5x -1 为奇函数：由于f 5x -1 =-f -5x -1 ，所以f -5x -1 为奇函数，所以f (-5x -1)是偶函数，D 选项正确.故选：BCD43.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，图象关于y 轴对称，导函数为f x ，且当x <0时，f x >f xx，设a >1，则下列大小关系正确的是( )A.a +1 f 4aa +1 >2a f 2a B.f 2a >a f 2aC.4af a +1 a +1>a +1 f 4a a +1D.2f 2a <a +1 f 4a a +1 【答案】AD【解析】当x <0时，fx >f x x ，即f x -f x x =xf x -f x x>0，所以xf (x )-f (x )<0，构造函数g x =f x x ，则g(x )=xf (x )-f (x )x 2<0，∴当x <0时，g x 单调递减，又由题意可得f x 是偶函数，∴g x 是奇函数，则当x >0时，g x 也单调递减．对于A ，∵a >1，∴0<4a a +1<4a 2a=2a ，∴g 4aa +1 >g 2a ，即f 4a a +1 4a a +1>f 2a 2a ，∴a +1 f 4a a +1 >2a f 2a ，故A 正确；对于B ，∵a >1，∴2a >2a >0，∴g 2a <g 2a ，即f 2a2a <f 2a 2a，可得f 2a <a f 2a ，故B 错误；对于C ，∵a >1，a +1-4a a +1=a -1 2a +1>0，即a +1>4a a +1>0，∴g a +1 <g 4aa +1 ，即f a +1 a +1<f 4a a +1 4a a +1，∴4af a +1 a +1<a +1 f 4aa +1，故C 错误；对于D ，∵a >1，2a -4a a +1=2a 2+2a -4a a +1=2a a -1 a +1>0，∴2a >4aa +1>0，g 2a <g 4a a +1 ，即f 2a 2a <f 4a a +1 4a a +1，∴2f 2a <a +1 f 4a a +1 ，故D 正确．故选:AD ．44.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ∈R 在区间7π12,5π6上单调，且满足f 7π12=-f 3π4 有下列结论正确的有( )A.f 2π3 =0B.若f 5π6-x =f x ，则函数f x 的最小正周期为π；试卷第2页，共40页。

2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(学生版)

2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。

1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。

2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。

1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。

3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。

1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。

4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。

1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考数学压轴题汇编1．〔本小题满分12分〕设函数在上是增函数.求正实数的取值范围；设，求证：1,0>>a b .ln 1bb a b b a b a +<+<+高考数学压轴题练习22．已知椭圆C 的一个顶点为，焦点在x 轴上，右焦点到直线(0,1)A -10x y -+=〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点F 〔1，0〕作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设，若的取值范围.高考数学压轴题练习22．已知椭圆C 的一个顶点为，焦点在x 轴上，右焦点到直线(0,1)A -10x y -+=〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点F 〔1，0〕作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设，若的取值范围.高考数学压轴题练习44．设函数322()f x x ax a x m =+-+(0)a >〔1〕若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；〔2〕若函数在内没有极值点，求的范围；〔3〕若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．高考数学压轴题练习55．〔本题满分14分〕已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P ，线段PF2的垂直平分线交于点M ，求点M 的轨迹C2的方程；〔Ⅲ〕若AC 、BD 为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD 的面积的最小值．高考数学压轴题练习66．〔本小题满分14分〕已知椭圆＋＝1〔a>b>0〕的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e ＝，右准线方程为x ＝2．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕过点F1的直线l 与该椭圆相交于M ．N 两点，且|＋|＝，求直线l 的方程．高考数学压轴题练习77.〔本小题满分12分〕已知，函数，〔其中为自然对数的底数〕．〔1〕判断函数在区间上的单调性；〔2〕是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．高考数学压轴题练习815．〔本小题满分12分〕已知线段，的中点为，动点满足〔为正常数〕．〔1〕建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；〔2〕若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．高考数学压轴题练习918〔本小题满分12分〕设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,2〕,短轴长为，为坐标原点. 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由高考数学压轴题练习1010.已知函数的导数()f x 2'()33，=-f x x ax (0)=f b ．a ，b 为实数，．12a <<(1) 若在区间上的最小值、()f x [11]-，最大值分别为、1，求a 、b 的值；(2) 在〔1〕的条件下，求曲线在点P 〔2，1〕处的切线方程；(3) 设函数，试判2()['()61]x F x f x x e =++ 断函数的极值点个数．()F x高考数学压轴题练习1112已知函数f 〔x 〕= 〔1〕当时, 求的最大值;〔2〕设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由．高考数学压轴题练习1214．A ﹑B ﹑C 是直线上的三点，向量﹑﹑满足：-[y+2]·+ln〔x+1〕·= ；〔Ⅰ〕求函数y=f 〔x 〕的表达式；〔Ⅱ〕若x ＞0, 证明f 〔x 〕＞；〔Ⅲ〕当时,x 及b 都恒成立，求实数m 的取值范围.高考数学压轴题练习1313已知经过点，且与圆内切.M (0,1)G -22:(1)8Q x y +-= 〔Ⅰ〕求动圆的圆心的轨迹的方程.〔Ⅱ〕以为方向向量的直线交曲线于不同的两点，在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形〔为坐标原点〕.若存在，求出所有的点的坐标与直线的方程；若不存在，请说明理由.高考数学压轴题练习1416.已知函数和的图象关于原点对称，且．()f x ()g x ()22f x x x =+ 〔Ⅰ〕求函数的解析式；〔Ⅱ〕解不等式；〔Ⅲ〕若在上是增函数，求实数的取值范围．高考数学压轴题练习1517.已知函数21()ln 2(0).2f x x ax x a =--< 〔1〕若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；〔2〕若且关于x 的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；〔3〕设各项为正的数列满足：求证：高考数学压轴题练习1618.已知．〔1〕求函数的图像在处的切线方程；〔2〕设实数，求函数在上的最小值；〔3〕证明对一切，都有成立．高考数学压轴题练习1719．〔本小题满分14分〕已知函数处取得极值．〔I〕求实数的值；〔II〕若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；〔III〕证明：对任意正整数n，不等式都成立．高考数学压轴题练习18高考数学压轴题练习1921. 〔本小题满分12分〕已知椭圆〔〕的左、右焦点分别为，为椭圆短轴的一个顶点，且是直角三角形，椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为〔1〕求椭圆的方程；〔2〕与两坐标轴都不垂直的直线：交椭圆于两点，且以线段为直径的圆恒过坐标原点，当面积的最大值时，求直线的方程.当，即时，面积取得最大值，——————————11分又，所以直线方程为——————————————-12分122+±=x y高考数学压轴题练习2022.〔本小题满分12分〕已知函数〔1〕若对任意的恒成立，求实数的取值范围；〔2〕当时，设函数，若，求证高考数学压轴题练习2123．本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.ABC ∆,,AB BC CA ,,D E F )0,2(),0,2(C B -(1,),0I t t ≠A L 〔1〕求的方程；〔2〕过点的动直线交曲线于不同的两点〔点在轴的上方〕，问在轴上是否存在一定点〔不与重合〕，使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.高考数学压轴题练习2224.〔本小题满分12分〕设函数.〔Ⅰ〕求函数f 〔x 〕在点〔0,f 〔0〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕的极小值；〔Ⅲ〕若对所有的，都有成立，求实数a 的取值范围.高考数学压轴题练习2325.已知函数.,ln 1)(R ∈+-=a xxa x f 〔I 〕求的极值；〔II 〕若的取值范围；〔III 〕已知高考数学压轴题练习24设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥ 〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕当时，若方程在上有两个实数解，求实数t 的取值范围；〔Ⅲ〕证明：当m>n>0时，.高考数学压轴题练习25【文科】已知椭圆，双曲线C 与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切. 〔I 〕求双曲线C 的方程；〔II 〕设直线与双曲线C 的左支交于两点A 、B ，另一直线l 经过点及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.高考数学压轴题练习26椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点.)0(12222>>=+b a b y ax 〔1〕如果点A 在圆〔c 为椭圆的半焦距〕上，且|F1A|=c ，求椭圆的离心率；〔2〕若函数的图象，无论m 为何值时恒过定点〔b ，a 〕，求的取值范围.高考数学压轴题练习27如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点x (2,1)M OM l y (0)m m ≠l A B 、〔1〕求椭圆的方程；〔2〕求的取值范围；〔3〕求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.高考数学压轴题28已知函数mx x x f ++=21ln )(〔1〕为定义域上的单调函数，求实数的取值范围〔2〕当时，求函数的最大值〔3〕当时，且，证明：高考数学压轴题29已知函数，是常数，．x ax x x f ++=23)(R a ∈R x ∈⑴若是曲线的一条切线，求的值；21y x =+)(x f y =a⑵，试证明，使．R m ∈∀)1 , ( +∈∃m m x )()1()(/m f m f x f -+=高考数学压轴题30我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题.〔1〕设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L 与椭圆M 的位置关系.〔2〕设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线〔m 、n 不同时为0〕的距离分别为d1、d2，且直线L 与椭圆M 相切，试求d1·d2的值.〔3〕试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明.〔4〕将〔3〕中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论〔不必证明〕.高考数学压轴题练习3115.已知抛物线经过点A〔2,1〕，过A作倾斜角互补的两条不同直线.〔Ⅰ〕求抛物线的方程及准线方程；〔Ⅱ〕当直线与抛物线相切时，求直线的方程〔Ⅲ〕设直线分别交抛物线于B，C两点〔均不与A重合〕，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准`线BC的方程.。